(2)设B A ,均为n 阶方阵，3||,2||?==B A ，?A 为矩阵A 的伴随矩阵，则=??12B A 。
(3)设????????????=100110111A ，E AB A =?2，则=B 。
(4)设??????????+?=??????????31321321232x x x x x x x x σ，其中3321R x x x ∈????
??????为任意3维实向量，则线性变
换σ在基??????????????????????????????100,010,001下的矩阵表示为
。
(5)设A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则A 的伴随矩阵?A 一定有一个特征值为。
(6)若方程????
??????=?????????????????????+03121232121321x x x t t 无解，则=t ；若此方程有唯一解，则=t 。
(7)设324)(2?+=t t t f ，????
??????=c c c A 001001，则=
)(A f 。(8)向量组??????
??????????????????????????????????????????????????3310,1011,1432,4321的秩等于，其一个最大无关组是。
(9)设???????
??????????=2121021210001A ，??????????=321x ，Ax y =，则向量y 的长度=y 。(10)设n 阶方阵A 的秩m A R =)(，n 阶方阵B 的秩n B R =)(，则0=x AB 的解空间的维数等于
。
2．计算题
(1)设n 维向量??????????????=111?α，令T A αα=，求对角矩阵Λ和可逆矩阵P 使得Λ=?AP P 1。
(2)设521,,,e e e ?是5维Euclid 空间5R 的一组标准正交基，),,(321αααVL ，其中321e e +=α，4212e e e ++?=α，521354e e e +?=α，求1V 的一组标准正交基。
(3)设????
???????????=222333111A ，求A 的初等因子和Jordan 标准矩阵。(4)设n 阶方阵A 满足A A 22=，且r A R =)(，证明A 相似于对角阵，并求|3|E A ?的值。
(5)设),,,(21n A βββ?=是n 阶方阵，4=A ，求矩阵),,,,(132211n n n B ββββββββ++++=??的行列式的值。
3．证明题
(1)设21,V V 是n R 中的两个非平凡子空间，证明在n R 中存在向量α使得21,V V ??αα，并在3R 中举例说明此结论。
(2)设n e e e ,,,21?是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量n n V ∈ααα,,,21?，证明存在唯一的线性变换T 使得n i e T i i ,,2,1,)(?==α。
(3)(i)设B A ,为n 阶方阵，证明)()(B R AB R =的充分必要条件是0=ABx 的解均为0=Bx 的解。
(ii)设B A ,为n 阶方阵，)()(B R AB R =，证明对于任意可以相乘的矩阵C 均有)()(BC R ABC R =。
(iii)若有自然数k 使得)()(1+=k k A R A R ，则??,2,1),()(=?=+j A R A R j k k 。
(4)设A 为n 阶实对称矩阵。
(i)若n A R <)(，则存在非负整数r 和可逆矩阵P 使得
????
???????=?O O O O E O
O O E AP P r
A R r
T )((ii)记}0|{'=∈=Ax x R x S n ，给出S 为n R 的子空间的充分必要条件，并证明你的结论。
(5)设实二次型n R x Ax x x f ∈=,)('，λ是A 的特征值，证明存在非零向量??????
????????=n k k k ?21α，使得)()(22221n k k k f +++=?λα。(6)设)(),(),(x d x g x f 是三个多项式，证明
1))
()(,)()(()())(),((=?=x d x g x d x f x d x g x f 。
重庆大学2006年硕士研究生入学考试试题 科目代码:421
科目名称:高等代数
特别提醒考生:
答题一律做在答题纸上(包括填空题包括填空题、、选择题选择题、、改错题等)，直接做在试题上按零分计直接做在试题上按零分计。。
一、（10分）计算行列式：n
x b b b x b a a
x L L L L
L L L 21 二、（15分）b a ,为何值时，方程组
?=++?=+?++=?+3)2(33)2()2(223221321x b a ax b x a x x x x 有惟一解？无解？有无穷解？
无穷解是并求其全部解。
三、（15分）设n d ,为正整数，证明)1()1(??n d x x 的充分必要条件为n d 。
四、（10分）设向量组s ααα,,,21L 线性无关，且1β可由s ααα,,,21L 线性表示，而2β不能由s ααα,,,21L 线性表示，证明对任意实数l ，向量组2121,,,,ββααα+l s L 线性无关。
五、（10分）设A 为n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，证明
=01)(*n A R 1)(1)()(?
六、（10分）设B A ,为n 阶方阵，证明；线性方程组0=ABX 与0=BX 同解的充分必要条件是)()(B R AB R =。
七、（10分）已知平面上三条不同的直线方程分别为,032:1=++c by ax l ,032:2=++a cy bx l 032:3=++b ay cx l ；证明这三条直线交于一点的充分必要条件是0=++c b a 。
八、（20分）C 表示复数域，{}
C a a C M ij n n ij n ∈=×)()(
1．问)(C M n 关于矩阵的加法与数乘能否作为实数域R 的线性空间？若能，求出其维数； 2．选定XA AX X C M A A ?→∈：定义σ),(2 ）上的（是），证明（C M C M X A 22σ∈?线
性变换；
3．证明：数0是A σ的一个特征值。
九、（15分）设B A ,均为n 阶实对称矩阵，且B 正定。
1．证明：存在阶可逆矩阵T ，使BT T AT T ′′,同时为对角阵；
2．设
= ?=1112,1112B A 求可逆矩阵T ，使BT T AT T ′′,同时为对角阵。 十、（10分）设V 是n 维欧氏空间，m ααα,,,21L 是V 的一组标准正交向量，证明：对任意的 ∑=≥∈m
i i V 122
),,βαββ（总有。 十一、（15分）设A 是n 阶反对称阵。
1．证明：1与-1不是A 的特征值。
2．令的特征值不是是正交阵，且证明：B B A E A E B 1,))((1?+?=?。
十二（10分）A A k A n k 相似于。证明：任意自然数的特征值全为阶方阵设,1。
(完整)09川大高等代数及答案
四川大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、解答下列各题. 1.（5分）设)(x f 是数域F 上次数为2008的多项式，证明：20092不可能是)(x f 的根. F 为有理数域该命题成立 如题：设)(x f 是有理数域Q 上一个m 次多项式（0≥m ），n 是大于m 的正整数，证明： n 2不可能是)(x f 的根. 证明：反证法：假设n 2是)(x f 的根，有 )2()2(--n n x x 对于2-n x ，存在素数2=p 110,,,-n a a a p Λ、p 不能整除n a 、2p 不能整除0a 由艾森斯坦判别法，有2-n x 在有理数域不可约，则有)()2(x f x n - 则n x f ≥?))((与题设矛盾，故假设不成立，即n 2不可能是)(x f 的根. 2.(10分)用代数基本定理证明，实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满 足042 <-ac b 的二次多项式：c bx ax ++2. 证明：由代数基本定理，任意多项式在复数域都可以分解为一次多项式的乘积 则令多项式为)())(()(21n a x a x a x k x f ---=Λ （C a i ∈，R k ∈且0≠k ） 当R a i ∈时，则i a x -是实数域R 上的一次不可约多项式 当R a i ?时，有i a 也是)(x f 的根，有i i i i i i a a x a a x a x a x ++-=--)())((2 i i i i a a x a a x ++-)(2满足042<-ac b 由)(i i a a +-，R a a i i ∈，则i i i i a a x a a x ++-)(2 是实数域R 上的二次不可约多项式 故实数域R 上的任意不可约多项式只能是一次多项式或满足042 <-ac b 的二次多项式： c bx ax ++2.
10年川大高等代数及答案
四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题，每小题满分10分. 1.证明：矩阵A E n +-1可逆，这里n E 是n 阶单位阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化 即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1 ，A 的特征值为n λλλ,,,21 （R k ∈λ） )())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλ 由0)(≠±i k λ，则01≠+-A E n ，故A E n +-1可逆. 2.设函数f ：R R R n n →?为：AY X Y X f '),(=，n R Y X ∈,.证明：f 不是零函数当且仅 当存在n R X ∈0使得0),(00≠X X f 证明：充分性： 由存在n R X ∈0使得0),(00≠X X f ，则f 不是零函数 必要性： 由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可正交对角化 令r A r =)(，A 的非零特征值为i λ（r i ,,2,1 =） 即存在正交矩阵),,,(21n Q ααα =，使得)0,,0,,,,('21 个 r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0，有0'),(00≠==i i i A X X f λαα 3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式，设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明：A 是数量矩阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化 即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1 ，A 的特征值为n λλλ,,,21 （R k ∈λ） )())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=-- ① )()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= （0>n ） ② 由①、②，得b n ====λλλ 21，则n bE AP P =-1 ，有n bE A =，即A 是数量矩阵. 注：关于)()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= （0>n ）的证明
高等代数中一道习题的不同解法
第38卷第7期 湖南农机HUNAN AGRICULTURAL MACHINERY 第38卷第7期·学术Vol.38No.72011年7月July.2011 高等代数是大学数学专业的一门重要基础课程,其特点是抽象严谨,解题方法又灵活多变。因此,如何在教学中引导学生在做题的过程中自觉的体会总结，运用本课中常用的方法，并联系所学知识和已证明的习题，就显得尤为重要。 1预备知识 定义1：在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 引理1：n维欧氏空间的子空间V1的正交补V1┷由所有与V1正交的向量组成。 引理2：在欧氏空间中必存在标准正交基。 引理3：(线性映射的维数公式)设σ是线性空间V到线性空间V1的线性映射，则σ的像空间的维数+σ的核空间的维数=dimV.即σ的秩+σ的零度=dimV。 2主要结果 教材[1]的习题中有如下一道题： 设V是n维欧氏空间，α≠0是V中的一个固定向量, (1)证明：V1={x/（x，α）=0，x缀V}是V的子空间； (2)证明：V1的维数等于n-1。 问题(1)的证明一般情况下就用子空间的定义证明即可，即对数乘和加法运算封闭。下面主要给出问题(2)的不同证明方法。 证法1:为证明结论首先证明V1是L（α）(表示由向量α生成的子空间)的正交补。 事实上，由引理1可知L（a）┷={x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L （α）}，而容易证明：{x∈V/（x，β）＝0，坌β∈L（α）}=V1。 从而L（α）┷=V1，所以V=V1+L（α）=V1+L（α），因此,由直和的判定定理可知n=dinV=dimV1=dimL（α）=dimV1+1。 这表明dimV1=n-1 证法2：由引理2可知任意欧氏空间必存在标准正交基，故不妨设α1，Λ，αn为V的标准正交基。设α=k1α1+Λ+k nαn，其中k1，Λ，k n∈R则对坌β=x1α1+Λ+x nαn∈V1，其中x1，Λ，x n∈R,由α1，Λ，αn为V的标准正交基可知（α，β）=x1k1+Λ+x n k n=0.因此,线性方程组x1k1+Λ+x n k n=0的解就是V1中的向量在α1，Λ，αn 下的坐标向量，其解空间的维数就是V1的维数。因为α≠0，故（k1，Λ，k n）≠0，从而x1k1+Λ+x n k n=0的解空间的维数为n-1，即dimV1=n-1。 证法3：考虑实数集R按数的加法和数乘在实数域R上构成的的线性空间，定义映射σ：V→R为σ（x）=（x，α），坌x∈V，则易验证σ是线性映射，σ的核空间就是V1{x/σ（x）=（x，α）=0，x∈R}，σ的像空间为R。由线性映射的维数公式有：σ的核空间的维数+σ的像空间的维数=dimV=n，而σ的像空间的维数=dimR=1,故的核空间的维数=dimV1=n-1，故结论成立。 3结语 以上利用不同的方法给出了一道习题 高等代数中一道习题的不同解法 高英 (重庆师范大学数学学院代数与几何教研室，重庆400047) 摘要:高等代数是大学数学专业的一门重要基础课程,其特点是抽象严谨,解题方法又灵活多变。文章针对一 道高等代数习题,给出了不同的证明方法,并以此说明做习题过程中体会总结并与所学知识和已有的结论联系尤为重要。 关键词:欧氏空间,线性映射,基 中图分类号:G642文献标识码：A文章编号：1007-8320（2011）07-0167-01 Advanced algebra in a different solution Exercise GAO Ying (Department of Mathematics,College Algebra and Geometry，Chongqing Normal University,Chongqing400047,China) Abstract:Mathematics Advanced Algebra is an important basis for professional courses,which is characterized by abstract rigorous,problem-solving approach and flexible.Article for an advanced algebra exercises,gives a different method of proof,and as experience shows the process of doing exercises concluded with the knowledge and contacts have been important conclusions. Keywords:euclidean space;linear mapping;base 收稿日期：2011-05-03 作者简介：高英（1982—），女，内蒙古乌兰浩特人，博士，讲师， 研究方向：多目标优化、数学教育。 基金项目：重庆师范大学博士启动基金(No.10XLB015)、重庆市 教育委员会科学技术研究项目(No.KJ110624)和重庆 市科委重点实验室专项经费资助项目。 （下转第175页）
2001川大高等代数及答案
四川大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试题 一(每小题8分，共16分) （1）计算行列式 n n n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 2 111312113333231223 22 2 13 2 11111-------- 解：补一行和一列构成范德蒙德行列式 有 ∏∏≤<≤=--------+-?-==n j i i j n k k n n n n n n n n n n n n n x x x y y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D 11 3 2 11131211223 222 12 23 22 2 13 2 11) ()(1111 1+n D 按第1+n 列展开，有n n n n n n n n n n n n y A y A y A y A A D 1,111,21,11,21,11++-+-+-++++++++= 2-n y 的系数为 n n n n n n D D A =-=++-+-)1()1(1,1)1( 由∏∏≤<≤=-? -n j i i j n k k x x x y 11)()(，得2-n y 的系数为∏∑≤<≤=-? n j i i j n l k l k x x x x 11 ,)( （l k ≠） 故原行列式∏∑≤<≤=-?=n j i i j n l k l k n x x x x D 11 ,)( （2）设??????--=54 32A ，求n A （1≥n ）
解：)2)(1(5 43 2 --=--+= -λλλλλA E ，A 的特征值为1，2 当1=λ时，0 03 34433=--=-A E ，基础解系由1)(=--A E r n 个向量构成 1=λ对应的特征向量为)'1,1(- 当2=λ时，0 03 434342=--=-A E ，基础解系由1)2(=--A E r n 个向量构成； 2=λ对应的特征向量为)'4,3(- 两个特征值分别对应两个线性无关的特征向量，则A 可对角化 有可逆矩阵? ? ????--=4131P ，使得Λ=-AP P 1，有1 -Λ=P P A n n ?? ?????+-?+-?-?-=??????--????????????--=n n n n n n A 243244233234113420014131 二（每小题6分，共12分）. （1）请找出两个n n ?矩阵A 、B ，使得A 和B 的特征值全为零，但AB 的特征值不全为零. 解：令????????????=01010 A ，? ????? ??????=01010 B 有? ???? ? ??????=011 AB ，则A 、B 为所求矩阵. （2）设A 是n 维线性空间V 的线性变换，A 的核为)(1 θ-A .A 的值域为)(V A ，举例说
(完整)10年川大高等代数及答案
四川大学2010年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵.解答下列各题，每小题满分10分. 1.证明：矩阵A E n +-1可逆，这里n E 是n 阶单位阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化 即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ） )())((1)1(12111i i i P E P P E P A E n n n n ±±±=Λ+-=Λ+-=+---λλλΛ 由0)(≠±i k λ，则01≠+-A E n ，故A E n +-1可逆. 2.设函数f ：R R R n n →?为：AY X Y X f '),(=，n R Y X ∈,.证明：f 不是零函数当且仅当存在n R X ∈0使得0),(00≠X X f 证明：充分性： 由存在n R X ∈0使得0),(00≠X X f ，则f 不是零函数 必要性： 由A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可正交对角化 令r A r =)(，A 的非零特征值为i λ（r i ,,2,1Λ=） 即存在正交矩阵),,,(21n Q αααΛ=，使得)0,,0,,,,('2132 1ΛΛ个 r n r diag AQ Q -=Λ=λλλ 取i X α=0，有0'),(00≠==i i i A X X f λαα 3.设A xE x f n -=)(是A 的特征多项式，设)('x f 为)(x f 的导数且)()('x f x f .证明：A 是数量矩阵. 证明：A 为实数域R 上的n 阶实对称矩阵，则A 可对角化 即存在可逆矩阵P ，使得Λ=-AP P 1 ，A 的特征值为n λλλ,,,21Λ（R k ∈λ） )())(()()(2111n n n n x x x P xE P P xE P A xE x f λλλ---=Λ-=Λ-=-=--Λ ① )()('x f x f 的充分必要条件为n b x a x f )()(-= （0>n ） ② 由①、②，得b n ====λλλΛ21，则n bE AP P =-1 ，有n bE A =，即A 是数量矩阵. n
2009-2011高等代数(下)考试卷(A)
2009-2010学学年第二期 数高等代(下)期末考试试卷(A 卷) 选择题题（本大共5题题小，每小3分，共15分） 1．( )义变换下列所定的σ哪个线变换，一是性 (A)线间在性空V 设中，α为对一固定的非零向量，于任意的V ξ∈，义 定()σξξα=+; (B) 在3R 义中，定221231233(,,)(,,)x x x x x x x σ=+; (C) 在3R 义中，定222222123131223(,,)(,,)x x x x x x x x x σ=+++; (D) 在[]P x 义中，定()0()()f x f x σ=,其中0x 为P 个数中一固定的。 ２．（ ）实数在域R 中，由全体3阶阵构线间矩所成的性空V 维数为的 （A ）2； （B ）4； （C ）6； （D ）9。 3. ( ) 如果1V , 2V 线间是性空V 两个间的子空, 且()1dim 5V =, ()2dim 3V =, ()12dim 6V V +=, 么那()12dim V V ∩为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ４．（ 设）σ为欧间氏空V 个线变换号的一性，符(,)αβ表示向量α和β内积的， 则哪说与下列一法σ为变换正交不等价 （A ） 对任意V α∈，有()(),()(,)σασααα=； （B ） 对任意,V αβ∈，有()(),()(,)σασβαβ=; （C ） 对任意,V αβ∈，有()()(),,()σαβασβ=; ( D) σ组标阵阵在任意一准正交基下的矩是正交矩. ５. ( ) 设A 和B 为数域P 上的n 阶阵则方，A 和B 当仅当相似且 (A) A 和B 值有相同的特征； (B) A 和B 有相同的秩； (C) 为存在着行列式不零的n 阶阵方T 使得1B T AT ?= ； ( D) A 和B 有相同的迹。 二、 填题空题（本大共5题题小，每小3分，共15分） 1、设阶阵三方A 项为的特征多式32()225f λλλλ=???则， =||A ________。 2. 设,στ是2P 两个线变换义的性，定如下(,)(,0)x y x y σ=?+, (,)(,)x y y x y τ=?+ (,x y P ?∈)则， (,)x y στ= 。 3. 线间在性空[]4P x 义线变换中，定性()()'()f x f x σ=则，σ在基23 1,,,26 x x x 下
2011(1)高等代数1期末考试试卷(A卷)
2011学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷) 一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 设()[],f x P x ∈ 如果α是()f x 的一阶导数()f x '的m 重根, 则（ ） A . α是()f x 的1m +重根 B . α不是()f x 的1m +重根 C . α可能是()f x 的1m +重根 D . α是()f x 的单根 2. 已知方阵33()ij A a ?=的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ， 且知A 的伴随矩阵*732537425A --?? ? =- ? ?-?? ，则A =（ ） A . 0 B . -1 C . 1 D . 以上答案都不对 3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．． 的是（ ） A . 0A ≠ B . ()R A n = C . 方程组0Ax =有非零解 D . A 的行（列）向量组线性无关 4. 设,A B 为n 级矩阵，则下列结论错误的是（ ） A . A B A B +=+ B . AB BA = C . ()T T T AB B A = D . ()T T T A B A B +=+ 5. 设A 为5级方阵，且()4R A =，12,αα是0AX =的两个不同的解向量，则 0AX = 的通解为（ ） A . 1k α B . 2k α C . 12()k αα+ D . 12()k αα- 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 以1－i 为根的次数最低的实系数多项式是 . 2. 设,A B 均为3阶方阵，且1 ,12 A B ==-，*A 为A 的伴随矩阵, 则12A B *-= . 3. 若矩阵12345(,,,,)A ααααα=经过初等行变换化为103120 1101000110 000 0?? ? ? ? ??? ，那么向量组12345,,,,ααααα的秩为 ，它的一个极大线性无关组为 .
高等代数与空间解析几何期末试卷
诚信应考 考出水平 考出风格 浙江大学城市学院 2010 — 2011 学年第 二 学期期末考试试卷 《 高等代数与空间解析几何（II ） 》答题卷 开课单位： 计算分院 ；考试形式：闭卷；考试时间：_2011_年_6_月_26_日； 所需时间： 120 分钟 一．___填空题__(本大题共___10__空，每空___2__分，共___20__分。) 1. 2. 3. 4. 5. 二．问答题（本大题共_ 4_题，每题_5_分，共_20_分。） 2. 3. 4.
2.
五．__证明题_(本题6分。)
浙江大学城市学院 2010 — 2011 学年第 二 学期期末考试试卷 《 高等代数与空间解析几何（II ） 》试题卷 注：答案及过程写入答题卷中才有效。 一．___填空题__(本大题共___10__空，每空___2__分，共___20__分。) 1．σ是3R 上的一个线性变换，则σ保持向量的 运算和 运算. 2．设[][][] 1 231 3 1,2 5 1,2 6 T T T αααλ===， 则λ = 时， 123 ,,ααα线性相关，且极大无关组可以取为 ，其余向量被此极 大无关组线性表示的表示式为 . 3．设矩阵0100010 0A ?? ??=?????? ，那么齐次线性方程组0 A X =的通解为. 4.已知3阶方阵A 的特征值为1,3,a ，且 9 A =，则,a =2 24A A E --= . 5. 矩阵1 000 200 3A ?? ??=-?????? 所对应的二次型为，且此二次型的秩为 . 二．问答题（本大题共_ 4_题，每题_5_分，共_20_分。） 1．集合{ }123123123,,1,,,T V x x x x x x x x x =++=???? 其中均为实数 是线性空间吗？请 说明理由. 2．已知向量组[][][] 1 2311,121,31,2,4T T T ααα=-=-=，，，，以及[] 3,5,2T β=，则 β 能否由123,,ααα线性表示，请说明理由. 3．请写出一个与[]3P x 同构的线性空间并说明理由. 4.若矩阵1 232 10 3x ?? ? ? ?????? 能对角化，则x 取何值？请说明理由. 三．__简单计算题_(本大题共_6_题，每题均5分，共_30_分。只写答案无过程不得分。)
2005川大高等代数及答案
四川大学2005年攻读硕士学位研究生入学考试题 六、(本题满分15分)用两种方法证明如下结论：设m n ij a A ?=)(和p m ij a B ?=)(是数域F 上的矩阵， 则m AB rank B rank A rank +≤+)()()( 证明:令A r A r =)(、B r B r =)(、r AB r =)( 法1：存在可逆矩阵P 和Q ，使得?? ????=-O O O E AQ P A r 1 令??????=?-?-p r m p r A A B B B Q )(1 ，有B r B r B Q r ==-)()(1 有r B AQQ P r AB r ==--)()(11 由?? ????=????????????=??-?--O B B B O O O E B AQQ P p r p r m p r r A A A A )(11 得r B r p r A =?)(，说明p r m A B ?-)(中线性无关的行数为r r B - 有A B r m r r -≤-，即m AB rank B rank A rank +≤+)()()( 法2：令?? ????=+?+AB O O E C m p m n m )()(，有r m C r +=)( 第1行的左A 倍加至第2行，有?? ????AB A O E m 第1列的右)(B -倍加至第2列，有?? ????-O A B E m B A r r C r +≥)(，即m AB rank B rank A rank +≤+)()()( 七、(本题满分10分)设)(F M n 是数域F 上的n 阶方阵全体.对任意非零矩阵)(F M A n ∈，定义集合)}(,{F M Y X XAY S n A ∈=任意.证明：)(F M S n A = 证明：由)(,,F M Y X A n ∈，得)(F M S n A ?
(完整)11年川大高等代数及答案
四川大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试题 一、（本题满分20分） 1. (5分)设V 是数域F 上的线性空间，V s ∈ααα,,,21Λ.令}{1F k k W i s i i i ∈=∑=α.证明：W 是V 的子空间（称为由s ααα,,,21Λ生成的子空间）. 证明：取W ∈βα,且∑==s i i i k 1 αα，∑==s i i i k 1 ββ ∑∑∑===+=+=+s i i i i s i i i s i i i k k k 1 1 1 )(βαβαβα，则W ∈+βα ① ∑∑====s i i i s i i i k k k k k 1 1 )(ααα，则W k ∈α ② 由①、②，得W 是V 的子空间 2. （15分）设)(2F M 是数域F 上的2阶方阵组成的线性空间，设V 是由如下的4个矩阵生成的)(2F M 的子空间： ?? ????-=02411A ，??????=30152A ，??????--=41233A ，??????--=54924A ， （1）求V dim 并写出V 的一个基. （2）设映射f ：F f →为：)()(A tr A f =，其中)(A tr 表示矩阵A 的迹. 求f ker dim 并写出f ker 的一个基. 解：（1）取)(2F M 的一个基11E 、12E 、21E 、22E ，V F M →)(2在这个基下对应的矩阵是B 有),,,(),,,(432122211211A A A A B E E E E =，则? ????? ??????-----= 54304102 921423 5 1 B ? ???? ? ? ?????----→????????????---→????????????-----00003618005430235 1 54300510011021023515430 4102921423 5 1 则3dim =V ，故V 的一个基为1A 、2A 、3A
2000川大高等代数试题及解答
四川大学2000年攻读硕士学位研究生入学考试题 一(12’)判断下列多项式在有理数域上的可约性，并说明理由. 16)(3++=x x x f ，1 66)(23+++=x x x x g 解：对于)(x f ，由1=s 、1=r ，有)(x f 的可能值为1±，带入验证有8)1(=f 、6 )1(-=-f 故)(x f 在有理数域上不可约 同理：对于)(x g ，由1=s 、1=r ，有)(x g 的可能值为1±，带入验证有14)1(=g 、0 )1(=-g 有)15)(1()(2 +++=x x x x g ,故)(x g 在有理数域上可约，二(12’)设A 是一个n 阶方阵，* A 是A 的伴随矩阵，如果存在n 维非零列向量α，满足：θα=A . 证明：非齐次线性方程组α=*X A 有解?1)(-=n A r . 证明：（?）由θαα==0A （θα≠），则A 有特征值零，即1 )(-≤n A r 若1)(-
