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高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
【参考答案】 【1】．D提示：结合命题与逆命题的结构特点，即知选项（D ）正确. 【2】．C提示：依题意可设抛物线的方程为()220y px p =>，又22p-=-，所以224p =⨯=，故所求抛物线的方程为28y x =.【3】．B提示：方法一：因为0a b <<，a <，22a b b bb ++<=，2a b +>2a ba b +<<<.方法二：取1,4a b ==，则由52,,422a b a b +====，即得2a ba b +<<<. 【4】．B提示：因为幂函数的图像必经过点()1,1，所以选项（A ）（D ）错误.又13111828⎛⎫=> ⎪⎝⎭，故由此判断即知选项（C ）错误，选项（B ）正确. 【5】．A提示：由三视图知，对应几何体是这样的：在棱长为2的正方体中挖去一个倒放的圆锥（高为2，底面圆半径为1）.故所求体积为()3212212833V ππ=-⨯⨯⨯=-. 【6】．C提示：通过在同一坐标系内，分别作出函数y x =和cos y x =的图像（注意：它们都是偶函数），观察即知图像有且仅有两个交点．故方程cos x x =在(),-∞+∞内有且仅有两个根.【7】．B 提示：若3699x -<-成立，则698.52p +==，这显然不可能．若3699x -<-不成立，则3398.582x p x +==⇒=，满足3699x -<-不成立．综上，所求38x =. 【8】．C 提示：因为222cos sin cos 2,1i 11ixx x x x x -=<⇒-<⇒<， 所以集合{|0M y =≤y ≤1}，{}11N x x =-<<，故[)0,1M N ⋂=.【9】．A提示：因为线性回归直线必经过样本中心点(),x y ，所以选项（A ）正确.注意：由图知，直线l 的斜率小于零，所以x 和y 的相关系数必小于零，但x 和y 的相关系数并不是直线l 的斜率，故选项（B ）（C ）错误.因为无论n 为奇数或偶数，所有样本点都基本集中在直线l 的附近，至于直线l 两侧的样本点的个数是否相同显然是不确定的，故选项（D ）错误. 【10】．D提示：设开始时树苗集中在第x 个树坑旁边，则路程总和为()()2102010110201020x x +++-++++-⎡⎤⎣⎦()()201211220x x =+++-++++-⎡⎤⎣⎦()()()()21202120202121022x x x x x x ---⎡⎤=+=-+⎢⎥⎣⎦.又1,2,3,,20x =，从而易知当10x =或11x =时路程总和最小.故两个最佳坑位的编号为10◯和11◯. 【11】．2- 提示：因为()22100f --=>，所以()()()22210lg102f f f ---===-.【12】．1提示：方法一：设2z x y =-，又注意到1,1AB CD k k <<，于是平移直线l ：2y x z =-，分析即知当A l ∈时，z 取得最小值，故所求()min 22111x y -=⨯-=.方法二：将,,,A B C D 的坐标分别代入2x y -得11,2，显然其中1最小，故所求2x y -的最小值为1.【13】．567891011121381++++++++=提示：由所给等式可知：第五个等式左边第一个加项为5，然后依次增加1，且加项个数为9（注意：加项个数的规律为1,3,5,7,）；右边是29，即81（注意：右边的规律为22221,3,5,7,）.【14】．3或4提示：一元二次方程240x x n -+=有整数根，首先要满足164n ∆=-≥0，又n +∈N ，所以1,2,3,4n =.又由240x x n -+=变形得()224x n -=-，从而经检验即知3n =或4时方程根x 为整数.故所求充要条件是3n =或4. 【15】．(],3-∞提示：由题设得a ≤()min123x x ++-=，故所求a 的取值范围是(],3-∞.【16】．2提示：由题设知△ABE ∽△ADC ，所以AB AD AE AC =，所以64212AB AC AE AD ⨯===•.【17】．1提示：因为曲线1C 的方程为()2231x y -+=，曲线2C 的方程为221x y +=，所以它们均表示圆，圆心和半径分别是()3,0,1和()0,0,1.又易知两圆相离，故所求min 3111AB =--=.【18】．（1）证明：∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴ 当△ABD 折起后，,AD DC AD DB ⊥⊥． 又DB DC D ⋂=， ∴AD ⊥平面BDC ． ∵AD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）解：由（1）知，,,DA DB DB DC DC DA ⊥⊥⊥,1DB DA DC ===，∴AB BC CA ===从而111122DAB DBC DCA S S S ===⨯⨯=△△△， 1sin 602ABC S =︒=△∴表面积133222S=⨯+=． 【19】．解：（1）将(0,4)代入C 的方程得2161b=， ∴4b =． 又35c e a ==，∴222925a b a -=，即2169125a -=， ∴5a =． ∴C 的方程为2212516x y +=． （2）过点(3,0)且斜率为45的直线方程为()435y x =-， 设直线与C 的交点为()11,Ax y ，()22,B x y ，将直线方程()435y x =-代入C 的方程，得()22312525x x -+=，即2380x x --=，解得132x =232x =， ∴AB 的中点坐标12322x x x +==，()1212266255y y y x x +==+-=-，即中点坐标为36,25⎛⎫- ⎪⎝⎭． 注：用根与系数的关系正确求得结果，同样给分．【20】．解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．或：在△ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，有2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-．证法一：如图1，2aBC BC =•()()AC AB AC AB =--• 222AC AC AB AB =-+•222cos AC AC AB A AB =-+• 图1 222cos b bc A c =-+，即2222cos a b c bc A =+-．同理可证2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-． 证法二：已知△ABC 中，,,A B C 所对边分别为,,a b c ，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图2，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ． ∴2222(cos )(sin )a BCb Ac b A ==-+22222cos 2cos sin b A bc A c b A =-++222cos b c bc A =+-． 图2同理可证2222222cos ,2cos .b c a ca B c a b ab C =+-=+-【21】．解：（1）设11(,0)k k P x --，由e xy '=，得111(,e )k x k k Q x ---点处切线方程为111e e ()k k x x k y x x ----=-．由0y =，得11(2k k x x -=-≤k ≤)n ．（2）由110,1k k x x x -=-=-得，得(1)k x k =--，所以(1)ee kx k k k PQ --==． 于是，112233...n n n S PQ PQ PQ PQ =++++112(1)11e e e 1e e...e 1e e 1n nn ---------=++++==--． 【22】．解：（1）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， 则用频率估计相应的概率为0.44．（2）选择1L 的有60人，选择2L 的有40人， 故由调查结果得频率为：（3）1A ，2A 分别表示甲选择1L 和2L 时，在40分钟内赶到火车站；1B ，2B 分别表示乙选择1L 和2L 时，在50分钟内赶到火车站．由（2）知12()0.10.20.30.6,()0.10.40.5P A P A =++==+=，因为12()()P A P A >，所以甲应选择1L； 12()0.10.20.30.20.8,()0.10.40.40.9P B P B =+++==++=，因为21()()P B P B >，所以乙应选择2L ． 【23】．解：（1）由题设知1()ln g x x x=+， ∴21(),x g x x -'=令()g x '=0，得x =1． 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，故(0,1)是()g x 的单调递减区间． 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，故(1,)+∞是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1g =．（2）1ln g x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭， 设11()()2ln h x g x g x x x x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，则22(1)()x h x x -'=-．当1x =时，(1)0h =，即1()g x g x ⎛⎫=⎪⎝⎭． 当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0,(1)0h x h ''<=， 因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减．当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()g x g x ⎛⎫>⎪⎝⎭， 当1,()(1)0x h x h ><=时，1()g x g x ⎛⎫<⎪⎝⎭即． （3）由（1）知()g x 的最小值为1，所以1()()g a g x a -<对任意0x >成立1()1,g a a⇔-< 即ln 1,a <从而得0e a <<，即a 的取值范围为(0,e)． 【End 】。
河南科技大学2011年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数一.（40分，每题4分）答：1.(C) 2.(B) 3.(D) 4.(D) 5.(C) 6.(B) 7.(A) 8.(B) 9.(A) 10.(D)二.（20分）(1). 证明：如果((),())1f x g x =, ((),())1f x h x =, 那么((),()())1f x g x h x =. (2). 命题“如果α是()f x '的m 重根，那么α是()f x 的1m +重根”对吗？若你认为这个命题是对的，给出一个证明。
若你认为不对，请举出反例。
答：(1). 如果()f x 与()()g x h x 不互素，那么存在不可约多项式()p x , 使()()p x f x ∣并且()()()p x g x h x ∣.（5分）由后者可知，()()p x g x ∣或者()()p x h x ∣, 都与((),())1f x g x =及((),())1f x h x =矛盾。
(10分)(2). 命题不对（4分）。
反例：取2()1f x x =-, 则()2f x x '=. 0是()f x '的1重根，但0不是()f x 的2重根。
（10分）三.（15分）已知行列式13311172173141151D --=--. 求12223242A A A A +++，其中ij A 是元素ija 的代数余子式。
解：考虑行列式1131117211314151C -=---，按它的第二列展开。
（5分）由于C 和D 除了第二列外均相同，故12223242C A A A A =+++，（10分）而计算可得113111721131415154C -=-=---. 所以1222324254A A A A +++=-.（15分）四．（20分）计算n 阶行列式123111000022*******n n n n-----L L LM M M M M L .解：各列加到第一列；按第一列展开。
2011学年第一学期 高等代数Ⅰ(A 卷)一、选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 1. 注：此题不考2. 已知方阵33()ij A a ⨯=的第1行元素分别为111=a ，212=a ，113-=a ，且知A 的伴随矩阵*732537425A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A =（ B ）A . 0B . -1C . 1D . 以上答案都不对分析： A 的第一行元的代数余子式111213,,A A A 就是*A 的第一列元-7,5,4所以按照A 的第一行元展开得111112121313=1-7+25+-=-A a A a A a A =++⨯⨯⨯（1）41。
注意：行列式按本行（列）展开的值为A ，串行（列）展开的值为“0” 内容见课本78页定理3.3. 下列命题中与命题“n 阶方阵A 可逆”不等价．．．的是（ ） A . 0A ≠ B . ()R A n =C . 方程组0Ax =有非零解D . A 的行（列）向量组线性无关 分析：n 阶方阵A 可逆0A ⇔≠⇔判断矩阵可逆的常用方法0(A)=n A A R ≠⇔⇔满秩(A)=n A R A n n ⇔⇔的行（列）向量组的秩为n 的的个行（列）向量无关00A Ax ≠⇔=方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组只有零解 注意：此题改为与“n 阶方阵A 不可逆”的等价条件是？ 4. 设,A B 为n 级矩阵，则下列结论错误的是（ A ）A . AB A B +=+ B . AB BA =C . ()T T T AB B A =D . ()T T T A B A B +=+ 分析：A B A B +=+，纯属杜撰，无此公式AB BA =，课本175页定理1；C ，D 见课本174页公式（17）（18）. 5. 设A 为5级方阵，且()4R A =，12,αα是0AX =的两个不同的解向量，则0AX =的通解为（ A ）A . 1k αB . 2k αC . 12()k αα+D . 12()k αα- 分析：方程组0AX =含“5”个未知数，其基础解系解向量个数n-r(A)=1,1212121+--0αααααααα≠r，，，中只有，其它不能保证非零，从而无法保证无关 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 以1－i 为根的次数最低的实系数多项式是 .此题不考2. 设,A B 均为3阶方阵，且1,12A B ==-，*A 为A 的伴随矩阵,则12A B *-=－2分析：312*112||||=8A 2BB A B A *--=注意：n 阶方阵A ：11*1A A ,A ,A A n n Aλλ--=== 3. 若矩阵12345(,,,,)A ααααα=经过初等行变换化为10312011010001100000⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（阶梯型矩阵），那么向量组12345,,,,ααααα的秩为 3 ，它的一个极大线性无关组为124,,ααα.注意：初等行（列）变换不改变矩阵的秩；（矩阵求秩的原理） 初等行变换不改变列向量组的相关性；（求极大无关组依据） 初等列变换不改变行向量组的相关性；4. 当x = -1 时, 向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=-线性表出.分析：向量(,1,0)x 可由向量组12(1,1,0),(2,0,1)αα=-=-线性表出，因此3个向量构成相关组，因此1011001201x x -=⇒=-- 5. 若二次型222123123121323(,,)5224f x x x x x x t x x x x x x =+++-+是正定的，则t 的取值范围为405t -<<. 分析：二次型正定，所有顺序主子式去全大于零。
2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试业务课试题适用专业名称：考试科目名称： 高等代数科目代码： 注意事项： 1、请将答案直接做到答题纸上，做在试题纸上或草稿纸上无效。
2、除答题纸上规定的位置外，不得在卷面上出现姓名、考生编号或其它标志，否则按违纪处理。
3、本试题共 页，满分 分，考试时间180分钟。
一.计算行列式. 123x xx x x x x x xx x x x x x x n ++++L L L MM M M L二.设且证明:()()()()()()11,,f x af x bg x g x cf x dg x =+=+0,ad bc -≠ ()()()()()()111,,.f x g x f x g x =三.求齐次线性方程组的基础解系及通解.12345123451234512345325270,647450,322110,644130.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨+-+-=⎪⎪+++-=⎩四.设为矩阵,证明:秩秩+秩.,A B s n ⨯()A B +≤()A ()B 五.设是一实二次型,是级实对称矩阵()'12,,,n f x x x X AX =L 12,,,n λλλL n 的特征值,且证明:对任意有A 12,n λλλ≤≤≤L ,n X R ∈'''1.n X X X AX X X λλ≤≤六.证明每个维线性空间都可表示为个一维子空间的直和.n n 七.设是维线性空间上的幂等线性变换,即试证:σn V 2,σσ=(1) 的特征值只能是0和1.σ(2)Im .V Ker σσ=⊕八.求矩阵的若当标准形及相似变换矩阵,使得126103114--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭J P1.P AP J -=九,设是欧氏空间的一个变换,证明:如果保持内积不变,即对于任T V T 意那么它一定是线性的,因而是正交变换.()(),,,,,V T T αβαβαβ∈=2004年招收攻读硕士学位研究生入学考试业务课试题适用专业名称：考试科目名称： 高等代数科目代码： 注意事项： 1、请将答案直接做到答题纸上，做在试题纸上或草稿纸上无效。
习题1.1解答1.下列数集哪些是数域？哪些是数环？哪些既非数域也非数环？1）所有正实数所成的集合．2）所有偶数（或奇数）构成的集合． 3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合．4）F={Q b a b a ∈+,23}．解 1）所有正实数所成的集合对减法不封闭，所以不是数环，当然也非数域．2）所有偶数构成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．3）某个整数a 的所有整数倍所成的集合对加、减、乘均封闭，所以是数环；但对除法不封闭，所以不是数域．4）在F={Q b a b a ∈+,23} 中取32，显然32×32∉F ，即对乘法不封闭，所以F 不是数环，当然也非数域．2.证明：两个数域的交是一个数域．解 设A ，B 是两个数域，则0,1∈A ，0,1∈B ，从而0,1∈A ∩B ；对任意x,y ∈A ∩B ，有x,y ∈A 和x,y ∈B ，从而x+y ∈A ，x-y ∈A ，x ×y ∈A ，x ÷y ∈A （对y ≠0），同样也有x+y ∈B ，x-y ∈B ，x ×y ∈B ，x ÷y ∈B （对y ≠0），所以x+y ∈A ∩B ，x-y ∈A ∩B ，x ×y ∈A ∩B ，x ÷y ∈A ∩B （对y ≠0），故A ∩B 是数域．3*.证明：F={a+bi|a,b ∈Q}（i 是虚单位）是一个数域．解 显然0=0+0i ∈F ，1=1+0i ∈F ；对任意a+bi,c+di ∈F ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈F ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ∈F ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈F ，若c+di ≠0，则(a+bi)÷(c+di)=F i d c ad cb d c bd ac d c di c bi a ∈+-+++=+-+222222)())((．所以F 是数域．4*.证明：G={a+bi|a,b ∈Z}是数环而不是数域．解 对任意a+bi,c+di ∈G ，有(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ∈G ，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i∈G ，(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ∈G ，所以G 是数环．数1=1+0i ∈G ，2=2+0i ∈G ，2≠0，但1÷2∉G ，所以G 不是数域．习题1.2解答1.用行的初等变换，将下列矩阵化为行最简形．①⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-213312011 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321③⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---443112110013 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521 解 ①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-213312011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-240330011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--200110011→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100010001 ②⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2605573314122321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------129100123032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----23/700200032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----200023/70032302321→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000010000100001 ③⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443112110013→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---443100131211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----564036401211 →⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200036401211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100006400211→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100002/31002/101 ④⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----133331241246104210521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----231890126306600010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----660002318901263010521 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----11000130001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---40000110001263010521→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10000010000063000521 →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100000100000310001012*.用行的与列的初等变换，将上题中的③化成形为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE 的矩阵． 解 接上题中的③的行最简形⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100004/61002/101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000100001→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛010*********习题1.3解答1.写出以下列行最简形矩阵为增广矩阵的线性方程组的全部解．①⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000032100301 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110000010010011 解 ①对应的线性方程组可写为⎩⎨⎧+=-=32312330x x x x令x 3=c ，得x 1=-3c ，x 2=3+2c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=c x c x c x 321233 其中c 为任意数．② 对应的线性方程组可写为⎪⎩⎪⎨⎧==-=1014321x x x x令x 2=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=1014321x x c x c x 其中c 为任意数．2.解下列线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x ②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432321321321321x x x x x x x x x x x x③⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+-+=+-+12222412432143214321x x x x x x x x x x x x ④⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--80311102132124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2/54/112/502/174/112/502124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110034111002124~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---2400034111002124 由于系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，所以原方程组无解．② 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328354214132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----69141328341325421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----147702814140147705421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000021105421 对应的同解方程组可写为⎩⎨⎧+=--=-323212452x x x x x令x 3=c ，全部解可表示为⎪⎩⎪⎨⎧=+=--=cx c x cx 321221 其中c 为任意数．③对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111122122411112~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---020000100011112 ~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000010002/102/12/11 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧=+-=02/12/12/14321x x x x令x 2=c 1，x 3=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=021212142312211x c x cx c c x 其中c 1，c 2为任意数．④ 对应的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----253414312311112~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111124312325341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------5957010181014025341~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000005957025341 对应的同解线性方程组可写为⎩⎨⎧+-=--+-=+432432195575324x x x x x x x令x 3=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-+-=++=24132122117/97/57/57/7/7/6c x c x c c x c c x 其中c 为任意数．3.解下列齐次线性方程组：①⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x ②⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 解 ① 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--212211121211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----430013101211~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---430030103/4001 令x 4=c ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=-=cx c x c x c x 43213/433/4 中c 为任意数．② 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----5110531631121~⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---040004001121~⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004001121对应的同解方程为⎩⎨⎧=-+-=+04234231x x x x x令x 2=c 1，x 4=c 2，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+-=2431221102c x x c x c c x ③ 对应的系数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----7421631472135132~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----5132631472137421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----199703419901410707421 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----51007/1127/43001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----510011243001410707421~⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---100051001410707421 系数矩阵的秩为4，对应的齐次线性方程组只有零解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====00004321x x x x4.讨论a,b 取什么值时下面的线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？①⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++=-+b x a x x x x x x x x 3221321321)5(322 ②⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++4234321321321x bx x x bx x ax x x 解 ①系数矩阵的行列式为5111211112--a =400211112--a =(a-2)(a+2)当a ≠2且a ≠-2时，方程组有唯一解。
2011陕西高考数学引言2011年陕西高考数学试题是对学生数学能力和综合运用能力的一次全面考察。
该试卷涵盖了高中数学的各个知识点，包括代数、几何、概率与统计等内容。
本文将对该试题进行全面的分析和解答，并为学生提供一些解题思路和方法。
第一题题目描述第一题是一道典型的代数题目，要求解方程组：$\\begin{cases} \\frac{2x}{y}+\\frac{3y}{x}=7 \\\\\\frac{x}{y}+\\frac{y}{x}=4 \\end{cases}$解答思路我们可以设 $a=\\frac{x}{y}$，将原方程组转化为a的一元方程：$\\begin{cases} 2a+\\frac{3}{a}=7 \\\\ a+\\frac{1}{a}=4 \\end{cases}$通过求解上述方程，可以得到a=1和a=3。
然后利用这两个解回代原方程，得到a=3a和a=a。
结论此题的解集为(a,a)=(3a,a)和(a,a)=(a,a)。
第二题题目描述第二题是一道几何题，要求计算一个三角形的面积。
具体描述如下：已知直角三角形ABC，直角边AB=3cm，BC=4cm。
以BC为底边作高。
又有一个等腰三角形DEF，两腰分别与BC和AC相交，DE=3cm。
求三角形DEF的面积。
解答思路我们可以先计算三角形ABC的面积，然后通过相似三角形的性质计算三角形DEF的面积。
由于三角形ABC是直角三角形，所以可以使用勾股定理计算AC的长度。
设AC为x，则a2=32+42=25，得到a=5。
进一步得到ABC的面积为$\\frac{(3 \\times 4)}{2}=6$平方厘米。
由于三角形ABC与三角形DEF相似，所以它们的边长之比为1:3。
根据面积的相似性质，可以得到DEF的面积为$\\frac{(6 \\times 3^2)}{3^2}=6$平方厘米。
结论三角形DEF的面积为6平方厘米。
第三题题目描述第三题是一道概率与统计题目，要求计算抽样调查的样本量。
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
《高等代数》习题与参考答案数学系第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。
解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。
2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。
解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。
2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。
综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。
解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。
4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。
（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（完整）高等代数2011-2012第一学期期末试卷答案高等代数2011—2012第一学期期末试卷答案课程名称:《高等代数》参考答案及评分标准（A 卷）考试(考查）：考试 时间：200 年 月 日 本试卷共7页，满分100 分； 考试时间:120 分钟答题前请将密封线内的项目填写清楚一．选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案,并将其号码填入题后的括号内)。
1．在[]F x 里一定能整除任意多项式的多项式是 【 B 】 A ．零多项式 B ．零次多项式 C ．本原多项式 D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k 【 C 】A ．4B ．3C ．2D ．13．A ,B 是n 阶方阵，则下列结论成立的是 【 C 】A .AB O A O ≠⇔≠且B O ≠ B 。
0A A O =⇔=C ．0AB A O =⇔=或B O =D . 1||=⇔=A I A4．设n 阶矩阵A 满足220A A I --=，则下列矩阵哪个不可逆 【 B 】A 。
2A I +B 。
A I +C ．A I -D .A5．设A 为3阶方阵，且1)(=A r ，则 【 A 】 A 。
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。
若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。
若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。
综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。
1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。
由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。
用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。
第一章多项式习题解答1. 用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x).5x2. m, p,q 适合什么条件时，有 1) x 2 mx 11 x 3 px qq(x)x 2 x 1, r(x)5x 7.x 3 0x 2 px q xp 10,q m 时 x 2 mx 11 x 3 px1) f(x)x 3 3x 2 2x3x 232x 3xx 1 3 2 2 1x —x -x3 3 7 24 1 x x 3 37 2 14 7 —x ■ x — 3 9 926 2 —x9 9q(x) £ r (x )26 x92) f(x)2x 5, g(x)4 x 4x0x 3 0x 2 x 3 2x 2 x 3 2x 22x 32x x 2xx2x2x 54x 5 x 2 mx 1当且仅当m 2 i,g(x)x 2x 1 1—x 3 3x 2本题也可用待定系数法求解 .当X 2 mx 1| x 3 px q 时，用x 2 mx 1去除x 3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为 x q.于是有因此有m 2 p 1 0, q m .2) x 2 mx 11 x 4 2px q由带余除法可得42/ 2x px q (x mx1)( x2mx 2p 1 m ) m(2pm 2)x (q 1 pm 2) 当且仅当r(x) m(2 p 2m )x (q 1 p m 2) 0 时2x 42mx 11 x pxq .即m(2 p m 2) 2m，即 mQ 或 p 2小m 2,q 1p 0q 1 p,q 1.本题也可用待定系数法求解.当x 2 mx 1|x 4px 2 q 时，用x 2 mx 1去除x 4 px 2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为 x 2 ax q .于是 有3. 求 g(x)除 f (x)的商 q(x)与余式 r(x). 531) f (x) 2x 5x 8x, g(x) x 3; 解：运用综合除法可得 32580 6 18 39 1173272 6 1339 109 327商为 q(x) 2x 4 6x 3 13x 2 39x 109，余式为 r(x) 327.4 2x pxq (x 2ax q)( 2x mx 1)(m a)x 3 (ma2q 1)x(a mq)x q.ma q 1 p,a mq 0.消去a 可得m 0,或2p m 2,q 1 p,q 1.x 4 比较系数可得m a 0,2px q (x q)(x mx 1)x 3 (m q)x 2(mq 1)x q .2) f(x) x 3 x 2x,g(x) x 1 2i .解:运用综合除法得：1 2i 11 1 0 1 2i4 2i 9 8i 1 2i5 2i9 8i商为x 2 2ix (5 2i),余式为9 8i .c 0即为x X o 除f (x)所得的余式，商为q(x) q 可得C 1为x x o 除商q(x)所得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数 解：1)解法一：应用综合除法得•1 1 o o o o o11111 111111 112 3 4 1 1 2 3 4 51 3 6 1 1 3 6 1o1 4 1 1 4 1o 14.把 f(; x)表成x X °的方幂和，即表示成CoC 1(X X o ) C 2(X X o )2的形1) f(x) 5x12) f(x) 4x 2x 23, xo2;3) f(x) 4x2ix 3 (1 i)x 2 3x 7 i,x o1分析： 假设 f(x) 为n 次多项式，令f(x)C o G (x X o ) C 2(X X o )2C n (x X o )n式.x o )n1]C o (x X o )[G C 2(x x o )C n (x C 2(x X 。
2011年陕西省专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题 6. 证明题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．下列极限存在的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：因为所以存在极限，选C。
2．设曲线y=x2+x一2在点M处的切线率为3，则点M的坐标是( ) A．(一2，0)B．(1，0)C．(0，一2)D．(2，4)正确答案：B解析：由题意可得：f’(x)=2x+1=3，把A、B、C、D代入上式，只有B项符合，故选B。
3．设函数f(x)=xex，则f11(x)=( )A．10xexB．11xexC．(x+10)exD．(x+11)ex正确答案：D解析：f’(x)=ex+xex=ex(1+x)f’’(x)=ex+ex+xex=ex(2+x)f’’(x)=ex+ex+ex+xex=ex(3+x)由此可得f’’(x)=ex(11+x) 选D4．下列级数绝对收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：因为收敛所以原级数绝对收敛．5．设闭曲线L：x2+y2=4，则对弧长的曲线积分的值为( ) A．4πe2B．一4πe2C．2πe2D．一2πe2正确答案：A解析：由题意可知积分路径为0≤θ≤2π填空题6．已知函数则定积分的值等于___________．正确答案：解析：7．微分方程的通解为y=_________．正确答案：Cx解析：原微分方程可变为：变形为8．过点(1，1，0)并且与平面x+2y一3z=2垂直的直线方程为__________．正确答案：解析：由题可知平面的法向量为(1，2，一3)其法向量是平行于过点(1，1，0)的直线，所以过该点直线方程为：9．设函数f(x，y)=x3+3xy2，则函数f(x，y)在点(1，1)处的梯度为__________．正确答案：6i+6j解析：由题可知梯度公式为：gradf(x，y)=fx’i+fy’j所以f(x，y)在点(1，1)处梯度为6i+6j10．已知函数f(x)在[0，1]上有连续的二阶导数，且f(0)=1，f(1)=2，f’(1)=3，则定积分的值等于__________．正确答案：2解析：=3—2+1=2综合题11．求极限正确答案：12．设参数方程确定了函数y=y(x)，求正确答案：13．设函数f(x)=2x3一9x2+12x一3，求f(x)的单调区间和极值．正确答案：f’(x)=6x2一18x+12=6(x一1)(x一2)令f’(x)，得驻点x=1，x=2当x＜1时，f’(x)＞0；当1＜x＜2时，f’(x)＜0当x＞2时，f’(x)＞0，故函数f(x)在区间(一∞，1)和(2，一∞)内单调增加；f(x)在区间(1，2)内单调减少f(x)在x=1处取得极大值f(1)=2，在x=2处取得极小值f(2)=114．设函数z=f(x，xlnx)，其中f(u，v)具有二阶连续偏导数，求正确答案：15．计算不定积分正确答案：16．设函数f(x)在(_∞，+∞)内具有二阶导数,且f(0)=f’(0)=0，试求函数f(x)=的导数。
济 南 大 学2011年攻读硕士学位研究生入学考试试题（A 卷）答案及评分标准一、（20分）⑴.设p 是奇素数，试证1++px x p 在有理数域上不可约.设()1p f x x px =++.令1x y =-,()(1)g y f y =-,那么()(1)(1)(1)1p g y f y y p y =-=-+-+1122221(1)(1)(1)(1)1221p p p p p p p p p y y y y p y p p p ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦,取素数p ,则()g y 满足Eisenstein 判断法的条件,故()g y 在有理数域上不可约. 由于()g y 与()f x 在有理数域上有相同的可约性,故()f x 有理数域上不可约.⑵.判断2=x 是8122116)(2345+--+-=x x x x x x f 的几重根.作综合除法可知,2是()f x 的三重根,且3()(2)(1)(1)f x x x x =-+-.二、（10分）如果1()n x f x -，则1()n nx f x -.()1()()1()(1)01()1()n n n n x f x f x x g x f x f x x f x -⇒=-⇒=⇒-⇒-三、（10分）()111(1)x x x n x x x ααααααααααα=-+()()()()(1)12111(1)1(1)n n n x n x n x x x ααααα---=-+=--+--四、（20分）向量组I 与II 等价⇔I 与II 的极大无关组等价⇔I 与II 的极大无关组为III 的极大无关组123r r r ⇔==.五、（20分）求证：⑴设12,,,s ηηη 是齐次线性方程组0AX =的基础解系，12,,,s ηηη 与12,,,t εεε 等价，由于它们都线性无关，所以s t =；12,,,t εεε 由12,,,s ηηη 表示，i ε为12,,,s ηηη 的线性组合，当然是0AX =的解，又因为任何一个解可由12,,,s ηηη 表示，当然也可由12,,,t εεε 表示，故12,,,t εεε 也是基础解系.⑵显然12,,,,s ξξηξηξη+++ 为AX b =的解，12,,,s ηηη 线性无关，ξ不能由它们表示，12,,,,s ηηηξ 线性无关，秩为1s +;12,,,,s ξξηξηξη+++ 与12,,,,s ηηηξ 等价，12,,,,s ξξηξηξη+++ 的秩也为1s +，从而无关，故为AX b =的线性无关解.试题科目：六、（10分）设n 阶半正定矩阵A ，存在可逆矩阵P ，0'00rE A P P ⎛⎫=⎪⎝⎭，矩阵000rE C P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'A C C =．七、（15分）作初等行变换'''''123111312121052(,,,,)1111221153A αααββ--⎛⎫ ⎪⎪== ⎪---- ⎪---⎝⎭100017170100349001032500013B -⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪→=- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭由于对矩阵施行初等行变换不改变列向量间的线性关系,从B 知1231,,,αααβ线性无关,且2123117492517333βαααβ=---+.显然dim 13W =,dim 22W =,而dim 12()W W +=dim 12312(,,,,)L αααββ=dim 1231(,,,)4L αααβ=.由维数公式得dim12()W W ⋂=dim1W +dim2W -dim12()3241W W +=+-=.由于211231225174917333W W γββααα=-=---∈⋂,且0γ≠,故γ是12W W ⋂的一个基. 八、（10分）设上三角的正交矩阵为A ，上三角1'A A -=下三角，A 必为对角矩阵，又因为2122'n A A A E λλ⎛⎫ ⎪=== ⎪⎪⎝⎭，21i λ=，1i λ=±，即对角线元素为1±. 九、（15分）⑴对于()()1211,,22V αααααααα∀∈=-A ++A =+()()1211,,22αααααα=-A =+A1122A ,A αααα=-=，112111,,V V V V V αα--∴∈∈=+；又因为{}1111,,0,0V V V V γαααα--∀∈⋂=A =-=⋂=，11V V V -=⊕；⑵线性变换A 在1V 某组基下矩阵为s E ，在1V -某组基下矩阵为n s E --，设11V V -，的基构成V 的基，故线性变换A 在V 的某组基下矩阵为s n s E E -⎛⎫⎪-⎝⎭. 十、（20分）证明：⑴设欧氏空间V 的一组标准正交基为1,,n εε ，()()11A ,,,,n n A εεεε= ，(A ,)(,A )αβαβ= ，(A ,)(,A )ji i j i j ij a a εεεε∴===，'A A ∴=为对称矩阵；反之，A 在一组标准正交基1,,n εε 下的矩阵A 为实对称矩阵，()()11,,,,,n n X Y αεεβεε== ，()()()11(A ,),,,,,n n AX Y αβεεεε=()'''AX Y X A Y ==()()()()11',,,,,(,A )n n X AY X AY εεεεαβ=== ，线性变换A 为对称的.(2)对于11,V V αβ⊥∀∈∀∈，此时1A V β∈，()()A ,=,A 0αβαβ=，1A V α⊥∴∈，则1V ⊥也是A 的不变子空间.。
