2011年韶关学院本科插班生-高等代数考试真题A卷

绝密★启用前 试卷类型：B2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式121()()()niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑ ， ay bx =- ， 样本数据12,,,n x x x 的标准差，222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ， 其中x ，y 表示样本均值．n 是正整数，则1221()()n n n n n n a b a b a a b ab b -----=-++++ ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足1iz =，其中i 为虚数单位，则z =A ．i -B ．iC ．1-D ．1 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且1}x y +=，则A B ⋂的元素个数为A ．4B ．3C ．2D ．1 3．已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c ．若λ为实数，()λ+a b ∥c ，则λ=A ．14 B ．12C ．1D ．2 4．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是 A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-⋃+∞ D ．(,)-∞+∞5．不等式2210x x -->的解集是A ．1(,1)2-B ．(1,)+∞C ．(,1)(2,)-∞⋃+∞D ．1(,)(1,)2-∞-⋃+∞ 6．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤给定．若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为(2,1)，则z OM OA=⋅的最大值为A ．3B ．4C ．32D ．4223正视图 图1侧视图 图22 俯视图 2图37．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有A ．20B ．15C ．12D ．10 8．设圆C 与圆22(3)1x y +-=外切，与直线0y =相切，则C 的圆心轨迹为A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆 9．如图1 ~ 3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体的体积为 A ．43 B ．4 C ．23 D ．210．设(),(),()f x g x h x 是R 上的任意实值函数，如下定义两个函数()f g ()x 和()f g ()x ：对任意x ∈R ，()f g ()x =(())f g x ；()f g ()x =()()f x g x ，则下列等式恒成立的是A ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xB ．(()f g h )()x =(()f h ()g h )()xC ．(()f g h )()x =(()f g ()g h )()xD ．(()f g h )()x =(()f g()g h )()x二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（9 ~ 13题）11．已知{}n a 是递增的等比数列，若22a =，434a a -=，则此数列的公比q = ．12．设函数3()cos 1f x x x =+．若()11f a =，则()f a -= ．13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x （单位：小时）与当天投篮命中率y 之间的关系：图4BAC DEF时间x 1 2 3 4 5 命中率y0.40.50.60.60.4小李这5天的平均投篮命中率为 ；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为 ． （二）选做题（14 ~ 15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(0)θπ<≤和254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩(t ∈)R ，它们的交点坐标为___________．15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，4AB =，2CD =，,E F 分别为,AD BC 上的点，且3EF =， EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1()2sin()36f x x π=-，x ∈R ．（1）求(0)f 的值；（2）设,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，10(3)213f πα+=，6(32)5f βπ+=，求sin()αβ+的值．17．（本小题满分13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n = 的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩n x7076727072（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．18．（本小题满分13分）图5所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右BAB 'A 'CC 'DD 'EE 'G H '1O2O1O '2O '图5水平平移后得到的．,,,A A B B ''分别为 CD , C D '', DE , D E ''的中点，1122,,,O O O O ''分别为CD ,C D '', DE ,D E ''的中点．（1）证明：12,,,O A O B ''四点共面；（2）设G 为AA '中点，延长1A O ''到H '，使得11O H A O ''''=．证明：2BO '⊥平面H B G ''．19．（本小题满分14分）设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性． 20．（本小题满分14分）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，111n n n nba a a n --=+-(n ≥2)．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，2n a ≤11n b ++．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，直线l ：2x =-交x 轴于点A ．设P 是l 上一点，M 是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足MPO AOP ∠=∠．（1）当点P 在l 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；（2）已知(1,1)T -，设H 是E 上动点，求HO HT +的最小值，并给出此时点H 的坐标； （3）过点(1,1)T -且不平行于y 轴的直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点，求直线1l 的斜率k 的取值范围．1．（A ）．1()iz i i i i -===-⨯- 2．（C ）．A B ⋂的元素个数等价于圆221x y +=与直线1x y +=的交点个数，显然有2个交点 3．（B ）．(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=124．（C ）．10110x x x -≠⎧⇒>-⎨+>⎩且1x ≠，则()f x 的定义域是(1,1)(1,)-⋃+∞5．（D ）．21210(1)(21)02x x x x x -->⇒-+>⇒<-或1x >，则不等式的解集为1(,)(1,)2-∞-⋃+∞6．（B ）．2z x y =+，即2y x z =-+，画出不等式组表示的平面区域，易知当直线2y x z =-+经过点(2,2)时，z 取得最大值，max 2224z =⨯+=7．（D ）．正五棱柱中，上底面中的每一个顶点均可与下底面中的两个顶点构成对角线，所以一个正五棱柱对角线的条数共有5210⨯=条8．（A ）．依题意得，C 的圆心到点(0,3)的距离与它到直线1y =-的距离相等，则C 的圆心轨迹为抛物线 9．（C ）．该几何体是一个底面为菱形的四棱锥，菱形的面积1223232S =⨯⨯=，四棱锥的高为3，则该几何体的体积112332333V Sh ==⨯⨯= 10．（B ）．11．2． 2243224422402(2)(1)0a a a q a q q q q q -=⇒-=⇒--=⇒-+=2q ⇒=或1q =-∵{}n a 是递增的等比数列，∴2q =12．9-3()cos 111f a a a =+=，即3()cos 10f a a a ==，则33()()cos()1cos 11019f a a a a a -=--+=-+=-+=- 13．0.5；0.53小李这5天的平均投篮命中率1(0.40.50.60.60.4)0.55y =++++= 3x =，1222221()()0.2000.1(0.2)0.01(2)(1)012()niii ni i x x y y bx x ==--++++-===-+-+++-∑∑ ， 0.47a y bx =-=∴线性回归方程 0.010.47y x =+，则当6x =时，0.53y = ∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.5314．25(1,)5．5cos sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩表示椭圆2215x y +=(5501)x y -<≤≤≤且，254x t y t⎧=⎪⎨⎪=⎩表示抛物线245y x =,22221(5501)5450145x y x y x x x y x ⎧+=-<≤≤≤⎪⎪⇒+-=⇒=⎨⎪=⎪⎩且或5x =-（舍去），又因为01y ≤≤，所以它们的交点坐标为25(1,)515．75如图，延长,AD BC ，AD BC P =∵23CD EF =，∴49PCD PEF S S ∆∆= ∵24CD AB =，∴416PCD PEF S S ∆∆= ∴75ABEF EFCDS S =梯形梯形16．解：（1）(0)2sin()16f π=-=-（2）110(3)2sin[(3)]2sin 232613f πππααα+=+-==，即5sin 13α= 16(32)2sin[(32)]2sin()3625f ππβπβπβ+=+-=+=，即3cos 5β=∵,0,2παβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴212cos 1sin 13αα=-=，24sin 1cos 5ββ=-= ∴5312463sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ+=+=⨯+⨯=17．解：（1）61(7076727072)756x +++++=，解得690x = PBAC DEFxy O2x =-AP l MM标准差22222222212611[()()()](5135315)766s x x x x x x =-+-++-=+++++= （2）前5位同学中随机选出的2位同学记为(,)a b ，,{1,2,3,4,5}a b ∈且a b ≠则基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共10种 这5位同学中，编号为1、3、4、5号的同学成绩在区间（68，75）中设A 表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学，恰有1位同学成绩在区间（68，75）中” 则A 中的基本事件有(1,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)共4种，则42()105P A == 18．证明：（1）连接2,BO 22,O O '依题意得1122,,,O O O O ''是圆柱底面圆的圆心∴,,,CD C D DE D E ''''是圆柱底面圆的直径∵,,A B B ''分别为 C D '', DE , D E ''的中点∴1290A O D B O D ''''''∠=∠=∴1A O ''∥2BO '∵BB '//22O O '，四边形22O O B B ''是平行四边形∴2BO ∥2BO ' ∴1A O ''∥2BO ∴12,,,O A O B ''四点共面（2）延长1A O '到H ，使得11O H AO ''=，连接1,,HH HO HB '' ∵11O H A O ''''=∴1O H ''//2O B ''，四边形12O O B H ''''是平行四边形 ∴12O O ''∥H B ''∵1222O O O O '''⊥，122O O B O ''''⊥，2222O O B O O ''''= ∴12O O ''⊥面22O O B B ''∴H B ''⊥面22O O B B ''，2BO '⊂面22O O B B '' ∴2BO H B '''⊥易知四边形AA H H ''是正方形，且边长2AA '=∵11tan 2HH HO H O H '''∠==''，1tan 2A G A H G A H '''∠==''∴1tan tan 1HO H A H G ''''∠⋅∠=∴190HO H A H G ''''∠+∠= ∴1HO H G ''⊥易知12O O ''//HB ，四边形12O O BH ''是平行四边形∴2BO '∥1HO '∴2BO H G ''⊥，H G H B H ''''= ∴2BO '⊥平面H B G ''21．解：（1）如图所示，连接OM ，则PM OM =∵MPO AOP ∠=∠，∴动点M 满足MP l ⊥或M 在x 的负半轴上，设(,)M x yxy O 2x =-TN l HNH∙H xy O TA 1l 1l1l① 当MP l ⊥时，2MP x =+，22OM x y =+222x x y +=+，化简得244y x =+(1)x ≥-② 当M 在x 的负半轴上时，0y =(1)x <-综上所述，点M 的轨迹E 的方程为244y x =+(1)x ≥-或0y =(1)x <-（2）由（1）知M 的轨迹是顶点为(1,0)-，焦点为原点的抛物线和x 的负半轴0y =(1)x <- ① 若H 是抛物线上的动点，过H 作HN l ⊥于N由于l 是抛物线的准线，根据抛物线的定义有HO HN = 则HO HT HN HT +=+当,,N H T 三点共线时，HN HT +有最小值3TN =求得此时H 的坐标为3(,1)4--② 若H 是x 的负半轴0y =(1)x <-上的动点显然有3HO HT +>综上所述，HO HT +的最小值为3，此时点H 的坐标为3(,1)4-- （3）如图，设抛物线顶点(1,0)A -，则直线AT 的斜率12AT k =-∵点(1,1)T -在抛物线内部，∴过点T 且不平行于,x y 轴的直线1l 必与抛物线有两个交点 则直线1l 与轨迹E 的交点个数分以下四种情况讨论： ① 当12k ≤-时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 ② 当102k -<<时，直线1l 与轨迹E 有且只有三个不同的交点 ③ 当0k =时，直线1l 与轨迹E 有且只有一个交点 ④ 当0k >时，直线1l 与轨迹E 有且只有两个不同的交点 综上所述，直线1l 的斜率k 的取值范围是1(,](0,)2-∞-+∞。

韩山师范学院2011年专升本插班生考试样卷数学与应用数学专业高等代数 A卷题号一二三四五六七八九十总分评卷人得分一、选择题(每小题3分，共15分)题号 1 2 3 4 5 答案1．m个方程n个未知量的线性方程组中，若其系数矩阵的秩等于m, 则( )成立。

（A）方程组一定有解; （B）方程组一定有无穷多解;（C）方程组一定无解; （D）方程组一定有唯一解.2. 设E1E2…E s A E s+1…E t =I,其中E i为初等矩阵，i = 1,2,…, t , 则A-1等于( ).（A）E1E2…E t；（B）E t…E2E1；（C）E s+1…E t E1…E s；（D）E t…E s+1E1…E s .3. 设A1, A2,…, A s都是n阶方阵，则对角线分块矩阵12sAAA⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭的秩等于( ).（A）秩(A1A2…A s)；（B）秩A1×秩A2×…×秩A s；（C）秩(A1+A2+…+A s)；（D）秩A1+秩A2+…+秩A s .4. 设α1 , α2 ,…, αs与β1 , β2 ,…, βs均为线性相关的向量组，则下列结论正确的是（）.（A）α1+β1, α2+β2,…,αs+βs线性相关；（B）α1+β1,α2+β2,…,αs+βs线性无关；（C）α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βs线性相关；（D）α1, α2,…,αs,β1,β2,…,βs线性无关.5.1221 , , 333α⎛⎫=-⎪⎝⎭，2212, ,333α⎛⎫=-⎪⎝⎭是R3的规范正交组，添加( )可以扩充为R 3的规范正交基.（A ）122 , , 333⎛⎫- ⎪⎝⎭； （B ）122 , , 333⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（C ）221 , , 333⎛⎫-- ⎪⎝⎭； （D ）212 , , 333⎛⎫-- ⎪⎝⎭.二、填空题（把答案填在题中横线上。

每小题3分，共15分）1. 在n 元排列中，反序数最大的排列的反序数为 .2. 实数域上的不可约多项式的次数只能是 .3. 5432()2101616146f x x x x x x =-+-+-在Q [x ]内的典型分解式为. 4. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数是 . 5. m ×n 矩阵A 的行向量组所生成的F n 的子空间叫做A 的 .三、判断题(每小题2分，共14分. 你认为正确的，在题后圆括号内打“√”，错误的打“×”。

2011年广东省普通高等学校本科插班生招生简章一、报考条件坚持四项基本原则，热爱祖国，品德良好，遵纪守法，决心为社会主义现代化建设勤奋学习且具有培养前途，并符合下列条件之一人员可以报考：1．就读广东省普通高校的高职高专应届毕业生（含外省生源）；2．广东省户籍或广东生源在省外普通高校就读的高职高专应届毕业生（不含办理了暂缓就业的非应届毕业生）；3．其它取得国民教育专科毕业文凭的广东省户籍考生。

下列人员不得报考：1．应届毕业生之外的高等学校专科在校生；2．非广东户籍的专科毕业生（含办理了暂缓就业的专科毕业生）；3．2010年参加本科插班生考试，因作弊被取消各科考试成绩并被禁止下年度参加本科插班生考试的；4．因触犯刑律已被有关部门采取强制措施或正在服刑者。

二、报名时间和办法报名时间：2011年1月4日至7日四天为网上预报名时间，考生通过互联网登陆/cbsbm进行预报名，逾期不再办理报名手续；2011年1月8日至1月10日三天为网上报名确认时间。

报名确认地点：各招生院校。

考生必须持身份证原件与复印件及最后学历成绩单（毕业学校加盖公章）亲自到报名点确认报名资格。

此外，往届生须持专科毕业证书原件与复印件；普通高校应届毕业生须持当年入学名册复印件（考生所在学校加盖公章方有效），入学时补验毕业证书原件。

招生学校负责对考生报考材料的审查，省招生办在录取审核时复查有关材料，对弄虚作假者取消录取资格。

考生报名时不再出具所在单位同意报考的证明材料。

考生与所在单位因报考本科插班生产生的问题由考生自行处理。

考生未能提供相关档案，高校不得录取。

考生必须提供真实的档案材料，供高校录取。

考生凡持假证明、假文凭等虚假材料报名考试的，取消考试资格；已被录取的，取消录取资格。

考生报名时须缴交200元报名考试费。

考生按规定考试时间、地点，持盖有招生学校骑缝章的准考证参加考试。

经审查材料不符合报考资格的考生，不退还报名考试费。

考生报考志愿只能填写一个学校的一个专业（该专业为专业课考试对应的专业）。

2011年普通专升本高等数学真题一一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.函数()()x x x f cos 12+=是（ ）.()A 奇函数 ()B 偶函数 ()C 有界函数 ()D 周期函数2.设函数()x x f =，则函数在0=x 处是（ ）.()A 可导但不连续 ()B 不连续且不可导()C 连续且可导 ()D 连续但不可导3.设函数()x f 在[]1,0上,022>dxfd ，则成立（ ）. ()A ()()0101f f dxdf dxdf x x ->>== ()B ()()0110==>->x x dx df f f dxdf()C ()()0101==>->x x dxdf f f dxdf()D ()()101==>>-x x dxdf dxdf f f4.方程22y x z +=表示的二次曲面是（ ）.()A 椭球面 ()B 柱面()C 圆锥面 ()D 抛物面5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 至少有一条 ()B 仅有一条().C 不一定存在 ().D 不存在二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)考学校：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号： ----------------------------------------------------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2.设函数()x f 在1=x 可导, 且()10==x dx x df ,则()().__________121lim=-+→xf x f x .3.设函数(),ln 2x x f =则().________________________=dxx df4.曲线x x x y --=233的拐点坐标._____________________5.设x arctan 为()x f 的一个原函数,则()=x f ._____________________6.()._________________________2=⎰xdt t f dx d7.定积分().________________________2=+⎰-ππdx x x8.设函数()22cos y x z +=,则._________________________=∂∂x z9. 交换二次积分次序().__________________________,010=⎰⎰xdy y x f dx10. 设平面∏过点()1,0,1-且与平面0824=-+-z y x 平行，则平面∏的方程为._____________________三.计算题:(每小题6分,共60分)1.计算xe x x 1lim 0-→.2.设函数()()x x g e x f xcos ,==,且⎪⎭⎫⎝⎛=dx dg f y ,求dx dy .3.计算不定积分()⎰+.1x x dx4.计算广义积分⎰+∞-0dx xe x .5.设函数()⎩⎨⎧<≥=0,0,cos 4x x x x x f ,求()⎰-12dx x f . 6. 设()x f 在[]1,0上连续，且满足()()⎰+=12dt t f e x f x，求()x f .7.求微分方程xe dx dy dxy d =+22的通解. 8.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.9.设函数()yx yx y x f +-=,,求函数()y x f ,在2,0==y x 的全微分. 10.计算二重积分,()⎰⎰+Ddxdy y x22，其中1:22≤+y x D .四.综合题:(本题共30分,其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1.设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所 围成,()1求此平面图形的面积;()2求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积.2.求函数1323--=x x y 的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.3.求证:当0>x 时,e x x<⎪⎭⎫⎝⎛+11.__报考专业：______________________姓名： 准考证号------------------------------密封线---------------------------------------------------------------------------------------------------2011年普通专升本高等数学真题二一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）1.当0→x 时,1sec -x 是22x 的（ ）..A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小2.下列四个命题中成立的是（ ）..A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3.设()x f 为连续函数,则()⎰dx x f dx d等于( ). .A ()C x f + .B ()x f.C ()dx x dfD .()C dxx df + 4.函数()x x x f sin 3=是（ ）..A 偶函数 .B 奇函数.C 周期函数 D .有界函数5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）.()A 不存在 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 至少有一条二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分)__________=a .2.()()().___________________311sin lim221=+--→x x x x3..___________________________1lim 2=++--∞→xx x x x 4.设函数()x f 在点1=x 处可导，且()11==x dx x df ，则()()._______121lim=-+→xf x f x5设函数()x x f ln 2=，则().____________________=dxx df6.设xe 为()xf 的一个原函数，则().___________________=x f 7.()._________________________2=⎰x dt t f dxd 8.._________________________0=⎰∞+-dx e x9.().________________________2=+⎰-ππdx x x10.幂级数()∑∞=-022n nnx 的收敛半径为.________________三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞→lim.2.求极限()nnnn n n 75732lim+-++∞→.3.设()b ax ey +=sin ，求dy .4.设函数xxe y =，求22=x dx yd .5.设y 是由方程()11sin =--xy xy 所确定的函数,求(1).0=x y ; (2).=x dx dy .6.计算不定积分⎰+dx x x132.7.设函数()⎩⎨⎧≤<≤≤=21,210,2x x x x x f ，求定积分()⎰20dx x f .8.计算()xdte ex t tx cos 12lim--+⎰-→.9.求微分方程022=+dxdydx y d 的通解. 10.将函数()()x x x f +=1ln 2展开成x 的幂级数.四．综合题：（每小题10分，共30分）1. 设平面图形由曲线xe y =及直线0,==x e y 所围成, (1)求此平面图形的面积;(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2.求过曲线xxey -=上极大值点和拐点的中点并垂直于0=x 的直线方程。

2011年广东高考文科数学真题及答案一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）设复数z满足iz=1，其中i为虚数单位，则z=（）A．﹣i B．i C．﹣1 D．1【解答】解：设Z=x+yi∵iz=1，∴i（x+yi）=﹣y+xi=1故x=0，y=﹣1∴Z=﹣i故选A2．（5分）已知集合A={（x，y）|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|（x，y）|x，y为实数，且x+y=1}，则A∩B的元素个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：联立两集合中的函数关系式得：，由②得：x=1﹣y，代入②得：y2﹣y=0即y（y﹣1）=0，解得y=0或y=1，把y=0代入②解得x=1，把y=1代入②解得x=0，所以方程组的解为或，有两解，则A∩B的元素个数为2个．故选C3．（5分）已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）∥，则λ=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．∴=（1+λ，2）∵（+λ）∥，∴4（1+λ）﹣6=0，∴故选B．4．（5分）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【解答】解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选：C．5．（5分）不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A．（﹣，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0∴x＞1或x＜故选：D6．（5分）已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则z=•的最大值为（）A．3 B．4 C．3 D．4【解答】解：首先做出可行域，如图所示：z=•=，即y=﹣x+z做出l0：y=﹣x，将此直线平行移动，当直线y=﹣x+z经过点B时，直线在y轴上截距最大时，z有最大值．因为B（，2），所以z的最大值为4故选：B7．（5分）正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）A．20 B．15 C．12 D．10【解答】解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．故选D8．（5分）设圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为（）A．抛物线B．双曲线C．椭圆 D．圆【解答】解：设C的坐标为（x，y），圆C的半径为r，圆x2+（y﹣3）2=1的圆心为A，∵圆C与圆x2+（y﹣3）2=1外切，与直线y=0相切∴|CA|=r+1，C到直线y=0的距离d=r ∴|CA|=d+1，即动点C定点A的距离等于到定直线y=﹣1的距离由抛物线的定义知：C的轨迹为抛物线．故选A9．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）A．B．4 C．D．2【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得这个几何体是一个四棱锥由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2故底面棱形的面积为=2侧棱为2，则棱锥的高h==3故V==2故选C10．（5分）设f（x），g（x），h（x）是R上的任意实值函数，如下定义两个函数（f°g）（x）和（（f•g）（x）对任意x∈R，（f°g）（x）=f（g（x））；（f•g）（x）=f（x）g（x），则下列等式恒成立的是（）A．（（f°g）•h）（x）=（（f•h）°（g•h））（x）B．（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C．（（f°g）°h）（x）=（（f°h）°（g°h））（x）D．（（f•g）•h）（x）=（（f•h）•（g•h））（x）【解答】解：A、∵（f°g）（x）=f（g（x）），（f•g）（x）=f（x）g（x），∴（（f°g）•h）（x）=（f°g）（x）h（x）=f（g（x））h（x）；而（（f•h）°（g•h））（x）=（f•h）（（g•h）（x））=f（g（x）h（x））h（g（x）h（x））；∴（（f°g）•h）（x）≠（（f•h）°（g•h））（x）B、∵（（f•g）°h）（x）=（f•g）（h（x））=f（h（x））g（h（x））（（f°h）•（g°h））（x）=（f°h）•（x）（g°h）（x）=f（h（x））g（h（x））∴（（f•g）°h）（x）=（（f°h）•（g°h））（x）C、（（f°g）°h）（x）=（（f°g）（h（x））=f（g（h（x））），（（f°h）°（g°h））（x）=f（h（g（h（x））））∴（（f°g）°h）（x）≠（（f°h）°（g°h））（x）；D、（（f•g）•h）（x）=f（x）g（x）h（x），（（f•h）•（g•h））（x）=f（x）h（x）g（x）h（x），∴（（f•g）•h）（x）≠（（f•h）•（g•h））（x）．故选B．二、填空题（共5小题，考生作答4小题每小题5分，满分20分）11．（5分）已知{a n}是递增等比数列，a2=2，a4﹣a3=4，则此数列的公比q= 2 ．【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由已知{a n}是递增等比数列，a2=2，我们可以判断此数列的公比q＞1，又由a2=2，a4﹣a3=4，我们可以构造出一个关于公比q的方程，解方程即可求出公比q的值．【解答】解：∵{a n}是递增等比数列，且a2=2，则公比q＞1又∵a4﹣a3=a2（q2﹣q）=2（q2﹣q）=4即q2﹣q﹣2=0解得q=2，或q=﹣1（舍去）故此数列的公比q=2故答案为：2【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式，其中利用等比数列的通项公式及a2=2，a4﹣a3=4，构造出一个关于公比q的方程，是解答本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=x3cosx+1，若f（a）=11，则f（﹣a）= ﹣9 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由于函数f（x）=x3cosx+1，是一个非奇非偶函数，故无法直接应用函数奇偶性的性质进行解答，故可构造函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，然后利用g（x）为奇函数，进行解答．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=x3cosx则g（x）为奇函数，又∵f（a）=11，∴g（a）=f（a）﹣1=11﹣1=10∴g（﹣a）=﹣10=f（﹣a）﹣1∴f（﹣a）=﹣9故答案为：﹣9【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中构造出奇函数g（x）=f（x）﹣1=x3cosx，是解答本题的关键．13．（5分）工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为=50+80x，下列判断正确的是②①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元，则工资提高80元；③劳动生产率提高1千元，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率为2千元．【考点】线性回归方程．【专题】概率与统计．【分析】回归方程═50+80x变量x增加一个单位时，变量产生相应变化，从而对选项一一进行分析得到结果．【解答】解：：∵对x的回归直线方程=50+80x，∴=（x+1）+50，∴﹣=80（x+1）+50﹣80x﹣50=80．所以劳动生产率提高1千元，则工资提高80元，②正确，③不正确．①④不满足回归方程的意义．故答案为：②．【点评】主要考查知识点：统计．本题主要考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程自变量变化一个单位，对应的预报值是一个平均变化，这是容易出错的知识点．14．（5分）已知两曲线参数方程分别为（0≤θ＜π）和（t∈R），它们的交点坐标为（1，）．【考点】参数方程化成普通方程；直线的参数方程；椭圆的参数方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】利用同角三角函数的基本关系及代入的方法，把参数方程化为普通方程，再利用消去参数t化曲线的参数方程为普通方程，最后解方程组求得两曲线的交点坐标即可．【解答】解：曲线参数方程（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：；曲线（t∈R）的普通方程为：；解方程组：得：∴它们的交点坐标为（1，）．故答案为：（1，）．【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，参把数方程化为普通方程的方法，以及求两曲线的交点坐标的方法，考查运算求解能力．属于基础题．15．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2．E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为7：5 ．【考点】相似三角形的性质．【专题】解三角形．【分析】根据EF的长度和与上下底平行知是梯形的中位线，设出中位线分成的两个梯形的高，根据梯形的面积公式写出两个梯形的面积，都是用含有高的代数式来表示的，求比值得到结果．【解答】解：∵E，F分别为AD，BC上点，且EF=3，EF∥AB，∴EF是梯形的中位线，设两个梯形的高是h，∴梯形ABFE的面积是，梯形EFCD的面积∴梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为=，故答案为：7：5【点评】本题考查梯形的中位线，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R．（1）求f（0）的值；（2）设α，β∈，f（3）=，f（3β+）=．求sin（α+β）的值．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）把x=0代入函数解析式求解．（2）根据题意可分别求得sinα和sinβ的值，进而利用同角三角函数基本关系求得cosα和cosβ的值，最后利用正弦的两角和公式求得答案．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin（x﹣），x∈R，∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1（2）∵f（3）=2sinα=，f（3β+）=2sinβ=．∴sinα=，sinβ=∵α，β∈，∴cosα==，cosβ==∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数．考查了对三角函数基础公式的熟练记忆．17．（13分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5成绩x n70 76 72 70 72（1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s；（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．【考点】极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（1）根据平均数公式写出这组数据的平均数表示式，在表示式中有一个未知量，根据解方程的思想得到结果，求出这组数据的方差，再进一步做出标准差．（2）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41种结果，根据概率公式得到结果．【解答】解：（1）根据平均数的个数可得75=，∴x6=90，这六位同学的方差是（25+1+9+25+9+225）=49，∴这六位同学的标准差是7（2）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，根据古典概型概率个数得到P==0.4．【点评】本题考查一组数据的平均数公式的应用，考查求一组数据的方差和标准差，考查古典概型的概率公式的应用，是一个综合题目．18．（13分）如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，A，A′，B，B′分别为的中点，O1，O1′，O2，O2′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．（1）证明：O1′，A′，O2，B四点共面；（2）设G为A A′中点，延长A′O1′到H′，使得O1′H′=A′O1′．证明：BO2′⊥平面H′B′G．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）要证O1′，A′，O2，B四点共面，即可证四边形BO2A′O1′为平面图形，根据A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径知道A′O1′∥B′O2′即BO2∥A′O1′再根据BO2=A′O1′=1即可得到四边形BO2A′O1′是平行四边形，则证．（2）建立空间直角坐标系，要证BO2′⊥平面H′B′G只需证，，根据坐标运算算出•，的值均为0即可【解答】证明：（1）∵B′，B分别是中点∴BO2∥B′O2′∵A′O1′与B′O2′在未平移时属于同一条直径∴A′O1′∥B′O2′∴BO2∥A′O1′∵BO2=A′O1′=1∴四边形BO2A′O1′是平行四边形即O1′，A′，O2，B四点共面（2）以D为原点，以向量DE所在的直线为X轴，以向量DD′所在的直线为Z轴，建立如图空间直角坐标系，则B（1，1，0），O2′（0，1，2），H′（1，﹣1，2），A（﹣1，﹣1，0），G（﹣1，﹣1，1），B′（1，1，2）则=（﹣1，0，2），=（﹣2，﹣2，﹣1），=（0，﹣2，0）∵•=0，=0∴BO2′⊥B′G，BO2′⊥B′H′即，∵B′H′∩B′G=B′，B′H′、B′G⊂面H′GB′∴BO2′⊥平面H′B′G【点评】本题考查了直线与平面垂直的判定，棱柱的结构特征，平面的基本性质及推论以及空间向量的基本知识，属于中档题．19．（14分）设a＞0，讨论函数f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】求出函数的定义域，求出导函数，设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞），讨论a=1，a＞1与0＜a＜1三种情形，然后利用函数的单调性与导函数符号的关系求出单调性．【解答】解：定义域{x|x＞0}f′（x）==设g（x）=2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1，x∈（0，+∞）①若a=1，则g（x）=1＞0∴在（0，+∞）上有f'（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．②若a＞1则2a（1﹣a）＜0，g（x）的图象开口向下，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）＞0方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根为x1=，x2=且x1＜0＜x2∴在（0，）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，+∞）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数；③若0＜a＜1则2a（1﹣a）＞0，g（x）的图象开口向上，此时△=[﹣2（1﹣a）]2﹣4×2a（1﹣a）×1=4（1﹣a）（1﹣3a）可知当≤a＜1时，△≤0，故在（0，+∞）上，g（x）≥0，即f'（x）≥0，f（x）是增函数；当0＜a＜时，△＞0，方程2a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x+1=0有两个不等的实根不等的实根满足＞＞0故在（0，）和（，+∞）上g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）是增函数；在（，）上g（x）＜0，即f'（x）＜0，f（x）是减函数．【点评】本题考查利用导函数讨论函数的单调性：导函数为正函数递增；导函数为负，函数递减，同时考查了分类讨论的数学思想方法，属于难题．20．（14分）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）由题设形式可以看出，题设中给出了关于数列a n的面的一个方程，即一个递推关系，所以应该对此递推关系进行变形整理以发现其中所蕴含的规律，观察发现若对方程两边取倒数则可以得到一个类似等差数列的形式，对其中参数进行讨论，分类求其通项即可．（2）由于本题中条件较少，解题思路不宜用综合法直接分析出，故求解本题可以采取分析法的思路，由结论探究其成立的条件，再证明此条件成立，即可达到证明不等式的目的．【解答】解：（1）∵（n≥2），∴（n≥2），当b=1时，（n≥2），∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n，即a n=1，当b＞0，且b≠1时，（n≥2），即数列{}是以=为首项，公比为的等比数列，∴=×=，即a n=，∴数列{a n}的通项公式是（2）证明：当b=1时，不等式显然成立当b＞0，且b≠1时，a n=，要证对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1，只需证2×≤b n+1+1，即证∵==（b n+1+1）×（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=（b2n+b2n﹣1+…+b n+2+b n+1）+（b n﹣1+b n﹣2+…+b+1）=b n[（b n+b n﹣1+…+b2+b）+（++…+）]≥b n（2+2+…+2）=2nb n所以不等式成立，综上所述，对于一切正整数n，有2a n≤b n+1+1，【点评】本题考点是数列的递推式，考查根据数列的递推公式求数列的通项，研究数列的性质的能力，本题中递推关系的形式适合用取倒数法将所给的递推关系转化为有规律的形式，两边取倒数，条件许可的情况下，使用此技巧可以使得解题思路呈现出来．数列中有请多成熟的规律，做题时要注意积累这些小技巧，在合适的情况下利用相关的技巧，可以简化做题．在（2）的证明中，采取了分析法的来探究解题的思路，通过本题希望能进一步熟悉分析法证明问题的技巧．21．（14分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=﹣2交x轴于点A，设P是l上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP．（1）当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，﹣1），设H是E上动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，﹣1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】综合题；压轴题；转化思想．【分析】（1）由于直线l：x=﹣2交x轴于点A，所以A（﹣2，0），由于P是l上一点，M 是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP，可以设点P，由于满足∠MPO=∠AOP，所以分析出MN∥AO，利用相关点法可以求出动点M的轨迹方程；（2）由题意及点M的轨迹E的方程为y2=4（x+1），且已知T（1，﹣1），又H是E 上动点，点O及点T都为定点，利用图形即可求出；（3）由题意设出过定点的直线方程l1并与点M的轨迹E的方程联立，利用有两个交点等价与联立之后的一元二次方程的判别式大于0，即可得到所求．【解答】解：（1）如图所示，连接OM，则|PM|=|OM|，∵∠MPO=∠AOP，∴动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上，设M（x，y）①当MP⊥l时，|MP|=|x+2|，|om|=，|x+2|=，化简得y2=4x+4 （x≥﹣1）②当M在x的负半轴上时，y=0（x≤﹣1），综上所述，点M的轨迹E的方程为y2=4x+4（x≥﹣1）或y=0（x＜﹣1）．（2）由题意画出图形如下：∵由（1）知道动点M 的轨迹方程为：y2=4（x+1）．是以（﹣1，0）为顶点，以O（0，0）为焦点，以x=﹣2为准线的抛物线，由H引直线HB垂直准线x=﹣2与B点，则利用抛物线的定义可以得到：|HB|=|HO|，∴要求|HO|+|HT|的最小值等价于求折线|HB|+|HT|的最小值，由图可知当由点T直接向准线引垂线是与抛物线相交的H使得HB|+|HT|的最小值，故|HO|+|HT|的最小值时的H．（3）如图，设抛物线顶点A（﹣1，0），则直线AT的斜率，∵点T（1，﹣1）在抛物线内部，∴过点T且不平行于x，y轴的直线l1必与抛物线有两个交点，则直线l1与轨迹E的交点个数分以下四种情况讨论：①当K时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，②当时，直线l1与轨迹E有且只有一个不同的交点，③当K=0时，直线l1与轨迹E有且只有一个交点，④当K＞0时，直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点．综上所述，直线l1的斜率K的取值范围是（﹣]∪（0，+∞）．【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了利用抛物线的定义求出HO|+|HT|的最小值时等价转化的思想，还考查了直线与曲线有两个交点的等价转化思想．。

试题一考核课程： 《高等代数》（上） 考核类型： 考试 考核形式： 闭卷 学生院系： 年 级： 试 卷：一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）1． 若整系数多项式()f x 在有理数域可约，则()f x 一定有有理根． （ ） 2． 若()p x 、()q x 均为不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则存在非零常数c ，使得()()p x cq x =． （ ）3． 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变． （ ） 4． 若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r ． （ ） 5． 若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数． （ ） 6． 若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合． （ ）7． 若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同． （ ） 8． 若矩阵A 、B 满足0AB =，且0A ≠，则0B =． （ ） 9． A 称为对称矩阵是指'A A =．若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵． （ ） 10．设n 级方阵A 、B 、C 满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =． （ ）二、填空题：（每小题2分，共20分） 1． 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为 ．2． 设0a ≠，用()g x ax b =-除()f x 所得的余式是函数值 ．3． 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 ． 4．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性无关，则A 的秩为 ． 5．线性方程组有解的充分必要条件是 ．6．设矩阵A 可逆，且1A =，则A 的伴随矩阵A *的逆矩阵为 ．7．设A 、B 为n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++的充要条件是 ． 8．设P 、Q 都是可逆矩阵，若PXQ B =，则X = ． 9．若120s ααα+++=，则向量组12,,,s ααα必线性 ．10．一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分）1．求多项式32()24f x x x x =++-与32()241g x x x x =+-+的最大公因式．2．111111111aa a+++ （n 级）3．设000a A b a c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，给出A 可逆的充分必要条件，并在A 可逆时求其逆．4．求向量组(1,1,1)α=、(1,2,3)β=、(3,4,5)γ=的一个极大线性无关组，并将其余向量 表为该极大线性无关组的线性组合．四、设向量组12,,,r ααα线性无关，而向量组12,,,,r αααβ线性相关，证明：β可以由12,,,r ααα线性表出，且表示法唯一．（本大题10分）五、设A 是一个秩为r 的m n ⨯矩阵，证明：存在一个秩为n r -的 ()n n r ⨯-矩阵B ，使0AB =．（本大题10分）六、（10分）设12111n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12111n B b b b ⎛⎫=⎪⎝⎭． （1）计算AB 及BA ；（2）证明：BA 可逆的充分必要条件是111()()nnniii ii i i a b n a b ===≠∑∑∑；（3）证明：当2n >时，AB 不可逆． （本大题10分）七、设线性方程组为1234123412341234123(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ 讨论λ为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）． （本大题10分）试题一参考答案及评分标准课程名称： 高等代数（下） 执笔人： 胡付高一、判断题（每小题2分，共20分）（1）×； （2）√； （3）√； （4）×； （5）√； （6）√； （7）×； （8）×； （9）×； （10）√．二、填空题（每小题2分，共20分）（1）()g x ； （2）()b f a； （3）()()()()1u x f x v x g x +=； （4）n ；（5）系数矩阵与增广矩阵的秩相等； （6）A ； （7）AB BA =；（8）11P BQ --； （9）相关； （10）23n n -三、计算题（每小题5分，共20分） 1．((),())1f x g x x =-．注：本题一般用辗转相除法求出最大公因式，如果分解因式2()(1)(24)f x x x x =-++，2()(1)(31)g x x x x =-+-得到最大公因式，也给满分．2．解：原式1()n n a a-=+．3．解：因为3A a =，所以A 可逆的充分必要条件是0a ≠．…………………（2分）A 的伴随矩阵2222000a A aba b ac ab a *⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ …………………（4分） 故21232200110a A A ab a A a b ac ab a -*⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………（5分） 注：本题在得到A 可逆时，求其逆矩阵可以采用初等变换法．院系负责人签字4．由113102124011135000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知,αβ为向量组的一个极大线性无关组，…………………（3分）且有2γαβ=+． …………………（5分）注：本题也可以先说明其秩为2，故任意两个向量都是极大线性无关组（容易看出任意 两个向量线性无关），或其它方法均可．四、证明 （1）由12,,,,r αααβ线性相关，存在不全为零的数121,,,,r r k k k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++=…………………（2分）又由12,,,r ααα线性无关，得10r k +≠（否则，12,,,r ααα线性相关，矛盾），于是有1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----； …………………（5分）（2）设1122r r c c c βααα=+++，1122r r l l l βααα=+++，则1111r r r r c c l l αααα++=++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，…………………（8分）由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =）． …………………（10分）五、证明 考虑齐次线性方程组0Ax =，因为秩()A r =，故存在基础解系12,,,n r ξξξ-，作()n n r ⨯-矩阵12(,,,)n r B ξξξ-=，则0AB =， …………………（6分）由于B 的n r -个列向量线性无关，故有秩()B n r =-．…………………（10分）注： 本题的另一证法是：由秩()A r =，存在可逆矩阵,P Q 使000r E PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，即11000rE A P Q --⎛⎫=⎪⎝⎭，取0n r B Q E -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0AB =．（B 的取法不唯一）． 六、（1）1112121222212111111111n n n n n a b a b a b a b a b a b AB a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪= ⎪⎪+++⎝⎭， 111ni i n nii i i i n a BA b a b ===⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑． …………………（4分）（2）由于111()()n n ni iiii i i BA na b a b ====-∑∑∑，故BA 可逆的充分必要条件是0BA ≠，即111()()nnni i i i i i i a b n a b ===≠∑∑∑． …………………（7分）（3）当2n >时，由于()()2R AB R A n ≤≤<，故AB 不可逆．…………………（10分）注：对（3）直接证明0AB =的，只要方法正确，也给满分．七、解 由于系数行列式2(1)(2)A λλ=-- …………………（2分） （1）由克莱姆法则知，当1λ≠且2λ≠时，方程组有唯一解 ；…………………（4分）（2）当1λ=时，11111111121111311101⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭11111000010000200020⎛⎫⎪⎪⎪⎪-⎝⎭，方程组无解；…………………（6分）（3）当2λ=时，11111121121121311111⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭11111010010010200000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭方程组有无穷多解： …………………（8分）123421102001x x k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………（10分）注：直接作初等变换111111112111311111λλλ⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪-⎝⎭11111010010010200020λλλ⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪-⎝⎭，然后讨论 方程组解的情况亦可，根据相应步骤给分．试题二一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）1．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1． （×） 2．1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++． （×）3．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数． （√） 4．若矩阵A 的秩是r ，则A 的所有r 级的子式全不等于零． （×） 5．若矩阵A 经过初等变换化为矩阵B ，则A B =． （×） 6．若一组向量的和为零向量，则它们必线性相关． （√） 7．任一线性方程组有解⇔它的导出组有解． （×）8．若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同． （×） 9．若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合． （×）10．一个非齐次线性方程组的两个解（向量）之差一定是它的导出组的解． （√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．排列(1)321n n -的逆序数为(1)2n n -．2．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为 负 ． 3．n 级行列式D 按第j 列展开公式是D =1122j j j j n j n j a A a A a A +++．4．已知非零向量组α、β、γ两两线性相关，则该向量组的秩为 1 ． 5．线性方程组有解的充分必要条件是 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 ．6．若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则秩()A r ≥．7．一个齐次线性方程组中共有s 个线性方程、t 个未知量，其系数矩阵的秩为p ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于t p -．8．一个非齐次线性方程组记为（Ⅰ），它的导出组记为（Ⅱ），则（Ⅰ）的一个解与（Ⅱ）的一个解的差是（Ⅰ）的解．9．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性相关，则A 的行列式 等于0 ． 10．两个向量组等价是指它们 可以相互线性表出 ． 三、计算下列行列式（每小题5分，共20分）．（1）1827641491612341111解 原式33322222233311111234123412341234123412341111==12=．注：其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）1111222a b c bc ac a b b c c a a b+++ 解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式0=． 注：本题也可以从第4行提取公因子12，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式0=．（3）121212nn n a x a a a a x a a a a x+++；解 将所有列全加到第1列并提起公因子，得原式221211()1n nn i i n a a a x a x a a a x=+=++∑21100()n ni i a a x x a x==+∑11()nn i i x a x-==+∑11()nnn i i x a x -==+∑．（4）12n a x x xx a x x xxa x+++ （120n a a a ≠）解 将所有行减去第1行，化为爪形行列式，得原式112100na x x x a a a a +-=-11121000ni ina a x x xa a a =+=∑11211()nn i ia a x a a a ==+∑1211(1)nn i ix a a a a ==+∑．注：本题也可以用加边法化为爪形行列式计算．四、设线性方程组为：1234123412341234111(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩，试讨论下列问题：（1）当λ取什么值时，线性方程组有唯一解？（2）当λ取什么值时，线性方程组无解？（3）当λ取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解．（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解） （共15分）解 线性方程组的系数行列式为211111111111010(1)(2)111001111102λλλλλλλλ-==-----（1）当2(1)(2)0λλ--≠，即1λ≠且2λ≠时，线性方程组有唯一解； （2）当2λ=时，1111111111121110100011211001001111200001⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭线性方程组无解；（3）当1λ=时111111111111102111110000000011111110000000000111020001100000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性方程组有无穷多解，且其通解为123412(,,,)(1,1,0,0)(1,0,1,0)(2,0,0,1)x x x x k k =-+-+-．五、（1）设向量123,,ααα线性无关，证明：向量122331,,αααααα+++ 线性无关；（2）证明：对任意4个向量1234,,,αααα，向量组1223,,αααα++34,αα+41αα+都线性相关． （共15分）证明 （1）设112223331()()()0k k k αααααα+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=，由于123,,ααα线性无关，故有13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得，1230k k k ===故122331,,αααααα+++也线性无关． (8)（2）由12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=得，12233441,,,αααααααα++++线性相关．六、设向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,,r αααβγ线性相关，但β不能由12,,,,r αααγ线性表出，证明：γ可以由12,,,r ααα线性表出，且表示法唯一．（10分）证明 （1）先证γ可以由12,,,r ααα线性表出：因为12,,,,,r αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数122,,,r k k k +，使得1122120r r r r k k k k k αααβγ+++++++=．由于β不能由12,,,,r αααγ线性表出，故必有10r k +=，下证20r k +≠．用反证法：若20r k +=，则11220r r k k k ααα+++=，由于122,,,r k k k +不全为零，故12,,,r k k k 不全为零，与12,,,r ααα线性无关的假设矛盾，于是20r k +≠，得到1212222rr r r r k kk k k k γααα+++=-----．（2）次证表示法唯一：设1122r r c c c γααα=+++，1122r r l l l γααα=+++，则 11221122r r r r c c c l l l αααααα+++=+++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =），于是表示法唯一．七、（附加题）证明或否定下面命题：若三个向量,,αβγ两两线性无关，则,,αβγ线性无关．并说明在三维矢量空间中的几何意义．（10分）解 本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面．很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面.注 否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)αβγ===等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．试题四（每小题2分，共20分）1. 集合A =｛a +︱,a b 为整数｝是一个数域； （ ）2. 设在数域P 上(,())1x a f x -=，则一定有()0f a ≠； （ ）3. 若整系数多项式()f x 无有理根，则()f x 在有理数域上一定不可约； （ ）4. 设A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A =-； （ ）5. 设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同； （ ）6. 设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0， 则该线性方程组无解； （ ）7. 任意等价向量组中所含向量的个数相等； （ ）8. 任何齐次线性方程组都存在基础解系； （ ）9. 设,αβ都是n 维列向量，则''αββα=； （ ） 10．设,A B 都是n 级对称矩阵，且0AB ≠，则A 与B 在复数域上合同． （ ）二、填空题：（每小题2分，共14分）1．设,,αβγ是多项式32()f x x ax bx c =+++的三个根，则αβγ++= ． 2．四阶行列式中，项23124134a a a a 的符号为 ． 3．设矩阵A 可逆，且1A =，则1()A *- ．4．设A 、B 为n 阶方阵，则22()()A B A B A B +-=-的充要条件是 ． 5．设A 为s t ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =有非零解的充要条件是：秩（A ） ． 6．设,,,a b c d 是互异常数，则线性方程组12312322221231x x x ax b x c x d a x b x c x d⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的解向量中分量1x = ． 7．二次型22212312323(,,)22f x x x x x x x x λμ=+++是正定的充分必要条件是λ与μ满足 ．（每小题6分，共12分）1．1111111111111111a a a a ++++（n 级）2．设000a b c A a b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，给出A 可逆的充分必要条件，并在A 可逆时求其逆．四、（共10分）化二次型222123112132323(,,)2443f x x x x x x x x x x x x =++++-为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？五、（14分）当λ为何值时，下面线性方程组有解？并求解．1234123412341234123(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩六、（10分）设向量β可以由12,,,,s αααγ线性表出，但不能由12,,,s ααα线性表出．证明：（1）γ可由向量组12,,,,s αααβ线性表出；（2）γ不能由12,,,s ααα 线性表出．七、（10分）设A 是一个秩为r 的n n ⨯矩阵，证明：存在一个秩为n r -的n n ⨯矩阵B ，使0AB =．八、（10分）证明：如果((),())1f x g x =，((),())1f x h x =，则((),()())1f x g x h x =．参考答案及评分标准（试题四）一．判断题（每小题2分）1．×； 2．√；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．×；9．√；10．√．二．填空题（每小题2分，共14分）1．a -； 2．负号； 3．A ； 4．AB BA =； 5．t <； 6．()()()()()()c d c b b d c a c b b a ------； 7．220λμ->．三．计算（每小题6分，共12分）1． 原式11111111()11111111a n a a a +=+++1111000()000a n a a a=+………（2分） ………（4分）(1)12(1)()n n n n a a --=-+ ………（6分）2．因为3A a =，所以A 可逆的充分必要条件是0a ≠， ………（3分）且221232100a ab b ac A a ab a a -⎛⎫-- ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭………（6分）四．f 212323(2)7x x x x x =++-，令112322332y x x x y x y x =++⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，则f 21237y y y =-………（2分）再令11223323y z y z z y z z=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，则f 22212377z z z =-+ ………（4分）且所作的非退化的线性替换为111222333112112100010010011001001011x y z x y z x y z ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123131011011z z z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． ………（6分） （1）该二次型的正、负惯性指数及符号差分别是2，1，1． ………（8分） （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是222123f w w w =++与222123f w w w =+- ………（10分）五．解 111111112111311111λλλ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭11111010010010200020λλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭………（2分） （1）当1λ≠且2λ≠时，方程组有唯一解 ………（4分）141x λλ-=-，211x λ=-，321x λ=-，40x =； ………（7分） （2）当1λ=时，方程组无解； ………（9分） （3）当2λ=时，方程组有无穷多解： ………（11分）123421102001x x k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ………（14分） 六．证明 （1）因为β可以由12,,,,s αααγ线性表出，所以存在不全为零的数11,,,s s k k k +，使11221s s s k k k k βαααγ+=++++， ………（2分）若10s k +=，则β可以由12,,,s ααα线性表出，矛盾．故10s k +≠， ………（4分）从而有121211111s s s s s s k k kk k k k γαααβ++++=----+． ………（5分） （2）（反证法）若γ可由12,,,s ααα线性表出，又由于β可以由12,,,,s αααγ线性表出，得β可以由12,,,s ααα线性表出，矛盾．故γ不能由12,,,s ααα线性表出．……（10分）七．证明 考虑齐次线性方程组0Ax =，因为秩()A r =，故存在基础解系12,,,n r ξξξ-，作n n ⨯矩阵12(,,,,0,,0)n r B ξξξ-=，则0AB =，且秩()B n r =-． ………（10分）注1 在构造矩阵B 时，B 的后面r 列未必一定要取零向量，事实上，只要说明B 中每列都是线性方程组0Ax =的解，且B 中含n r -个线性无关的列向量即可．注2 本题的另一证法是：由秩()A r =，存在可逆矩阵,P Q 使000r E PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，即 11000rEA P Q --⎛⎫= ⎪⎝⎭，取000n r B Q P E -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0AB = 八．证明 由((),())1f x g x =及((),())1f x h x =，存在多项式(),()i i u x v x （1,2i =），使11()()()()1u x f x v x g x +=，22()()()()1u x f x v x h x +=， ………（4分）两式相乘得，12122112()()1u u f u v h u v g f v v gh +++= ………（8分） 所以有((),()())1f x g x h x =． ………（10分）试题六1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂= ． 2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是 ．3．用()L V 表示n 维线性空间V 的所有线性变换构成的线性空间，则dim ()L V = ． 4．若n nA P⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 ．5．设欧氏空间的正交变换A 在一组标准正交基下的矩阵是U ，则U = ． 6．设V 是一个n 维欧氏空间，0α≠是V 中非零向量，{}(,)0,W V βαββ==∈，则dim W = ．一、填空题（每小题2分，共20分）7．矩阵111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为 ．8．已知线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a aa a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 在基321,,εεε下的 矩阵为 ．9．在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,,,n x x x -下的矩阵为 ．10．设6级矩阵A 的不变因子是231,1,1,1,(2),(2)(3)λλλ---，则A 的若尔当标准形是 ．1．下列集合构成n nP⨯的子空间的是 （ ）a ．{},0n n A A P A ⨯∈≠；b ．{},0n n A A P A ⨯∈=；c ．{},'n n A A P A A ⨯∈=．2．n 维线性空间V 的线性变换A 可以对角化的充要条件是 （ ）a ．A 有n 个互不相同的特征向量；b ．A 有n 个互不相同的特征根；c ．A 有n 个线性无关的特征向量．3．对子空间123,,V V V ，123V V V ++为直和的充要条件是 （ ）a ．{}1230V V V ⋂⋂=；b ．123V V V V =++；c ．{}()0i j j iV V ≠⋂=∑，1,2,3i =．4．下列类型的矩阵A 一定相似于对角矩阵 （ ）a ．正交矩阵；b ．特征值皆为实数的矩阵；c ．主对角元两两互异的上三角矩阵．5．~A B 的充要条件是 （ ）a ．A二、选择题（每小题3分，共15分）四、 （10分）设[]n P x 表示数域P 上次数小于n 的多项式及零多项式 作成的线性空间．（1）证明：211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基；（2）求上述的一组基到基211,,,,n x x x -的过渡矩阵．五、（12分）设A ()L V ∈，且A 2=A ．证明（1）A的特征值为０或１； （2）V =A V⊕A -1(0)．六、（8分）设12,,,s ααα是欧氏空间V 的两两正交的非零向量组，证明它们线性无关． ,,s α是欧氏空间,,)s α，W ∈使(,i γα1,2,,s ，那么(,)iβαβ=1,2,,s ，那么s W V ⊥⋂⋂．试题六参考答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）（1）123m m m +-； （2）12dim dim V V =； （3） 2n ；（4）1或1-； （5）1±； （6）1n -； （7）23λλ-；（8）333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； （9）01000020000100n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎝⎭； （10）221231313⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．二、选择题（每小题3分，共15分） （1）c ；（2）c ；（3）c ；（4）c ；（5）c ．三、（1）解 21111113111E A λλλλλλ----=---=----（），因此A 的特征值为0λ=与3λ=．…………………（4分）对3λ=，可求出A 的一个线性无关的特征向量为3111ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故得A 的所有特征向量为123()k εεε++，这里k 不为零． …………………（6分）对0λ=，求出A 的两个线性无关的特征向量1110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故A 的所有特征向量为1211223()k k k k εεε-+++，或112213()()k k εεεε-++-+，这里1k 、2k 不全为零．…………………（8分）院系负责人签字（2）由于A 有三个线性无关的特征向量，故A 可以对角化． …………………（3分）取0T =⎪⎪⎭，则1300000000T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ …………………（7分） 注：也可以指出A 是实对称阵，故A 可以对角化．另外注意正交矩阵T 的取法不唯一．四、（1）证明（方法1）由于dim []n P x n =，只需证明211,,(),,()n x a x a x a ----线性无关：设211231()()()0n n k k x a k x a k x a -⋅+-+-++-=，令x a =，得10k =，又对等式两边求导后令x a =，得20k =，再求二阶导数，…，求1n -阶导数，分别得到30n k k ===，于是211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基； …………………（5分）（方法2）已知211,,,,n x x x -是[]n P x 的一组基，求出21(1,,(),,())n x a x a x a ----=21(1,,,,)n x x x A -中的矩阵A ，只需说明A 可逆，便得结论；（方法3）由数学分析中的泰勒定理可知，对于()[]n f x P x ∀∈，都有(1)11()()1'()()()()(1)!n n f x f a f a x a f a x a n --=⋅+-++--又已知dim []n P x n =，故211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基．（2）所求过渡矩阵为12101(1)001n n a a n a A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． …………………（10分）五、证明（1）设A ξλξ=（0ξ≠），则由A 2=A 推出A ２2ξλξ=，从而2λξλξ=，即得2λλ=，于是0λ=或１； …………………（6分）（2）对V α∀∈，由α=A α+(α-A )α，注意到A (α-A )0α=，因此α∈A V +A -1(0)，于是V ⊂A V +A -1(0)，即得V =A V +A -1(0)； …………………（3分）设β∀∈A V ⋂A -1(0)，则V α∃∈，.s tβ=A ()α，且A ()0β=，推出A ２()0α=，即得β=A ()0α=，于是A V ⋂A -1(0){}0=，故V =A V⊕A -1(0)．…………………（6分）六、证明 设11220s s k k k ααα+++=，由于(,)0i j αα=，i j ≠，故由(,)0i j j k αα=∑，得(,)0i i i k αα=， …………………（5分）而0i α≠，所以(,)0i i αα≠，于是0i k =，1,2,,i s =．因此12,,,s ααα线性无关．…………………（8分）七、证明（1）因为0W ∈，所以W φ≠． …………………（1分）设,X Y W ∀∈，由()A XY AX AY +=+()XA YA X Y A =+=+，得X Y W +∈．…………………（3分）又设X W ∀∈，k P ∀∈，由()()A kX kAX kX A ==，得kX W ∈，因此W 是n n P ⨯的一个子空间； …………………（5分）（2）当A 为主对角元两两互异的对角矩阵时，与A 可换的矩阵也一定是对角矩阵，即W 是由所有对角矩阵作成的子空间，因此W 的一组基可取为1122,,,nn E E E ，故dim W n =．…………………（10分）八、证明（1）若W γ∈，则有1122s s k k k γααα=+++，于是1122(,)(,)s s k k k γγγααα=+++11(,)(,)0s s k k γαγα=++=，则0γ=；…………………（5分）（2）设ξ∀∈W ⊥，则(,)0i αξ=，从而i V ξ∈，即i WV ⊥⊂，1,2,,i s =，因此有12s W V V V ⊥⊂⋂⋂⋂． …………………（2分）设β∀∈12s V V V ⋂⋂⋂，则(,)0i αβ=，对w W ∀∈，设1122s s w l l l ααα=+++，则(,)0w β=，于是有W β⊥∈，即12s V V V W ⊥⋂⋂⋂⊂．故12s W V V V ⊥=⋂⋂⋂．…………………（5分）试题八一、（共12分）叙述下列概念或命题： （1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.答：（1）向量组12,,,s ααα称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα+++=.注 对如下定义也视为正确：如果向量组12,,,s ααα（1s >）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组12,,,s ααα称为线性相关的.（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.注 对如下定义也视为正确：向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,t i i i ααα称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ）12,,,t i i i ααα线性无关；（ⅱ）12,,,s ααα可由12,,,t i i i ααα线性表出.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注 用公式写出按行（或列）展开定理亦可.二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分） 1．1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++． （×）2．若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合． （×）3．在全部n （1n >）级排列中，奇排列的个数为!2n ． （√） 4．若排列abcd 为奇排列，则排列badc 为偶排列． （×） 5．若矩阵A 的秩是r ，则A 的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零． （√） 6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例． （×） 7．当线性方程组无解时，它的导出组也无解． （×） 8．对n 个未知量n 个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解． （×） 9．等价向量组的秩相等． （√） 10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的解． （√） 三、（共18分）计算行列式（1）1827641491612341111解 原式33322222233311111234123412341234123412341111==12=．注 用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）1111222a b c bc ac a b b c c a a b+++ 解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式0=． 注 本题也可以从第4行提取公因子12，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式0=．（3）11212212nn n n a x a a a a x a a a a x +++ （120n x x x ≠）．解 原式11231213100nna x a a a x x x x x x +-=--123123(1)00000000ni n i inax a a a x x x x =+=∑121(1)nin i ia x x x x ==+∑． 注 本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：112112122122121112120nn n n n n n nna x a a a x a a a x a a a x D a x x x x D a a a a a x --++++=+=+，答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分．另外对按第一行（或列）展开者类似给分．四、设向量组1(1,1,0,0)α=，2(1,2,1,1)α=-，3(0,1,1,1)α=-，4(1,3,2,1)α=，5(2,6,4,1)α=-．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．（10分）解11012121360112401111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭→10101011020001100000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭…………（5分）故向量组的秩为3，124,,ααα是一个极大线性无关组，并且 …………（8分）312ααα=-+，51242αααα=-++． …………（10分）注 本题关于极大线性无关组答案中，除123,,ααα不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分． 五、讨论λ取什么值时下列线性方程组有解，并求解．（10分）123123123111x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解 方程组的增广矩阵为111111111λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，系数行列式为21111(2)(1)11λλλλλ=+- ……（2分）（1） 当1λ≠且2λ≠-时，方程有唯一解，此时 …………（3分）1112223111111111111λλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33111111221111010211110012λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+⎪- ⎪→→- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭ ⎪+⎝⎭311111002211010010221100100122λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故得解为12312x x x λ===+； …………（5分） （2）当2λ=-时，增广矩阵211121111211121111210003--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，无解；…………（7分）（3）当1λ=时，增广矩阵111111111111000011110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有无穷多组解，通解为1231x x x =--（23,x x 为自由未知量），或表成12(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)k k ξ=+-+-． ……（10分）注 本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分． 六、证明题：（每小题10分，共30分）1．证明：如果向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,r αααβ线性相关，则向量β可以由12,,,r ααα线性表示，且表示法唯一．（10分）．证明 （1）由12,,,,r αααβ线性相关，存在不全为零的数121,,,,r r k k k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++= …………（2分）又由12,,,r ααα线性无关，得10r k +≠（否则，12,,,r ααα线性相关，矛盾）…………（4分）于是，1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----； …………（5分）（2）设1122r r c c c βααα=+++，1122r r l l l βααα=+++，则11221122r r r r c c c l l l αααααα+++=+++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =）． …………（10分）2．证明：若向量,,αβγ线性无关，则,,αββγγα+++也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．证明 设123()()()0k k k αββγγα+++++=，即131223()())()0k k k k k k αβγ+++++=，…………（2分）由于,,αβγ线性无关，故有13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得，1230k k k === …………（5分）故,,αββγγα+++也线性无关． …………（6分）对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量1234,,,αααα线性无关，并不能得到向量12233441,,,αααααααα++++线性无关的结论．注1 由12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=知，12233441,,,αααααααα++++是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；注2 如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论: 若4个向量1234,,,αααα线性无关，则向量234134124123,,,αααααααααααα++++++++也线性无关．该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．3．设12,,n a a a 是数域P 中个互不相同的数，12,,,n b b b 是数域P 中任一组给定的数．求证：（1）存在唯一的数域P 上的次数不超过1n -的多项式01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，使()i i f a b =，1,2,,i n =；（2）特别的，求出使1()n i i f a a -=，1,2,,i n =成立的1n -次的多项式()f x ．证明 （1）将()i i f a b =，1,2,,i n =，代入01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，得21011121112102122212210121n n n n n n n n n n n n n n n nc a c a c a c b c a c a c a c b c a c a c a c b ------------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ …………（2分）由于系数行列式1111221111n n n nn a a a a a a ---1()0j i i j na a ≤<≤=-≠∏， …………（4分）故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域P 上的次数不超过1n -的多项式01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，使()i i f a b =，1,2,,i n =； …………（5分）（2）由克莱姆定理110D x D ==，，110n n D x D --==，111n n D Dx D D--===，故使1()n i i f a a -=，1,2,,i n =成立的1n -次的多项式为1()n f x x -=． …………（10分）注 对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出1()n f x x-=的也给满分．七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量,,αβγ两两线性无关，则,,αβγ线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．（10分）解 本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面． ………（5分） 很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面． ………（10分）注 否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)αβγ===等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．试题十及答案一、判断题：（每小题2分，共30分，在括号里打“√”或“×”）1． 零多项式的次数为零． （×） 2． 零多项式与()f x 的最大公因式为()f x ． （√） 3． 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈且(),()[]u x v x P x ∃∈，使得 ()()()d x u x f x =+()()v x g x ，则()d x 为()f x 与()g x 的一个最大公因式． （×）４．零次多项式能整除任一多项式． （√） 5．若()()h x f x ，但()h x 不整除()g x ，则()h x 不整除()()f x g x +． （√） 6．设()()()h x f x g x ，但()h x ()g x ，则()()h x f x ． （×） ７．若α是()f x 的导数()f x '的k 重根，则α为()f x 的1k +重根． （×） ８．设P P ⊆，P 、P 为数域，如果在[]P x 中()f x 与()g x 互素，则在[]P x 中()f x 与()g x 也互素． （√） ９．若12((),())1f x f x =，且23((),())1f x f x =，则13((),())1f x f x =． （×） 10．若()p x 在数域P 上不可约，则()p x 在P 上没有根． （×） 11．设()[]f x Q x ∈，如果()f x 无有理根，则()f x 在Q 上不可约． （×） 12．若()()()f x g x h x ，则()()f x g x 或()()f x h x ． （×） 13．设()p x 是不可约多项式，如果()()()p x f x g x =，则()f x 与()g x 有且仅有一个为零次多项 式． （√） 14．设()[]f x P x ∈，且(1)(1)0f f -==，则21()x f x -． （√） 15．n 次实系数多项式的实根个数的奇偶性与n 的奇偶性相同． （√） 二、填空题：（每小题2分，共10分）１．若3642(1)x x ax bx c -+++，则a = -3 ，b = 3 ，c = -1 ．２．若()p x ，()q x 均为P 上的不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则()p x 与()q x 的关系是()(),0p x cq x c P =≠∈．３．若1-是52()1f x x ax ax =--+的重根，则a = -5 ． ４．用()23g x x =+除3()89f x x =+所得的余数r = -18 ．5．已知12i +为32()375f x x x x =-+-的一个根，那么()f x 的其余根是 1，1-2i ． 三、计算题： １．（8分）求543211113()372222f x x x x x x =+----的根和标准分解式． 解 54321()(614113)2f x x x x x x =+----41(1)(3)2x x =+- 2．（10分）λ为何值时，32()31f x x x x λ=-+-有重根．解 因为2'()36f x x x λ=-+，作辗转相除法，要使()f x 有重根，则必须('(),())1f x f x ≠，3()(1)'()(3)(21)f x x f x x λ=-+-+，若3λ=，则('(),())1f x f x ≠；3λ≠，由于2'()f x =1515(3)(21)222x x λ-+++，当15202λ+=，即154λ=-时('(),())1f x f x ≠． 故当3λ=或154λ=-时，()f x 有重根．3．（12分）设432()352f x x x x x =+---，32()22g x x x x =+--．（1）用辗转相除法求((),())f x g x ．（2）求()u x ，()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+． 答案 （1）((),())1f x g x x =+；（2）回代得：222(2)()(21)()x x f x x x g x +=-+-++，故取1()(2)2u x x =-， 21()(21)2v x x x =-++，使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+．四、证明题：（每小题10分，共30分）1．设5()54f x x x =++，证明：（1）()f x 在Q 上不可约；（2）()f x 至少有一个实根，但不是有理根．证明 （1）令1x y =+，则5(1)(1)5(1)4f y y y +=++++5432510101010y y y y y =+++++， 取5p =，由Eisenstein 判别法知，(1)f y +在Q 上不可约，从而()f x 在Q 上不可约；注 也可利用反证法证之：若可约，则()f x 能分解成两个次数低的整系数多项式之积，或为1次与4次多项式之积，或为2次与3次多项式之积，都能推出矛盾，这里从略．（2）因为()f x 是奇次的，则()f x 必有一个实根，此根若是有理根，则()f x 在Q 上可约，矛盾． 注 奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得，或将()f x 在实数域上作标准分解，由于实数域上的不可约因式只有一次因式与二次不可约因式，故奇次多项式()f x 一定有一次因式，因此()f x 必有一个实根．另外，对()f x 没有有理根的结论，可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知．2．设(),()f x g x 不全为零，证明((),()())((),()())f x f x g x g x g x f x +=-．证明 设1((),()())()f x f x g x d x +=，2((),()())()g x g x f x d x -=，由11()(),()()()d x f x d x f x g x +1()(()())()()d x f x g x f x g x ⇒+-=1()()()d x g x f x ⇒-， 又2()d x 为()g x 与()()g x f x -的最大公因式，故12()()d x d x ；反之，由2()()d x g x ，2()()()d x g x f x -2()()(()())()d x g x g x f x f x ⇒--=2()()()d x f x g x ⇒+，又1()d x 为()f x 与()()f x g x +的最大公因式，故21()()d x d x ．又1()d x 、2()d x 均为首1多项式，从而12()()d x d x =． 3．若整系数多项式()f x 有根pq，这里(,)1p q =，则()(1)q p f -，()(1)q p f +-． 证明 因p q为()f x 的根，则()()()pf x xg x q =-，()g x 为整系数多项式．由(1)(1)(1)pf g q=-，即(1)()(1)qf q p g =-，()(1)q p qf -，又(,)1q p q -=，故有()(1)q p f -； 由(1)(1)(1)pf g q-=---，得(1)()(1)qf q p g --=+-，同理可得()(1)q p f +-． 注 可以由()()px f x q-，得()()qx p f x -，()()()f x qx p h x =-，由于qx p -是本原多项式，故()h x 为整系数多项式， (1)()(1)f q p h =-，(1)()(1)f q p h -=-+-，因此有()(1)q p f -，()(1)q p f +-．试题十一及答案一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）１．若向量组12,,,s ααα与向量组12,,,t βββ都线性无关，则12,,,s ααα,12,,,t βββ也线性无关； （×）2．n 维线性空间V 中任何n 个线性无关的向量都是V 的一组基； （√）3．对n 维线性空间V 中任何非零向量α，在V 中一定存在1n -个向量121,,,n βββ-，使得1121,,,,n αβββ-作成V 的一组基； （√）4．三个子空间123,,V V V 的和123V V V ++为直和的充要条件是{}1230V V V ⋂⋂=； （×） 5．把复数域看成实数域R 上的线性空间，它与2R 是同构的； （√） 6．线性空间V 的两组基12,,,n ααα到12,,,n βββ的过渡矩阵是可逆的； （√）7．V 的任意两个子空间的交12V V ⋂与并12V V ⋃都是V 的子空间； （×） 8．集合{},0n nW A A PA ⨯=∈=作成n n P ⨯的子空间； （×）9．实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负； （×） 10．设n 元实二次型的正负惯性指数分别为,s t ，则必有s t n +≤． （√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂=123m m m +-． 2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是12dim dim V V =． 3．两个复对称矩阵合同的充分必要条件是 它们的秩相等 ．4．设实二次型的秩为r ，负惯性指数为q ，符号差为m ，则r 、q 、m 的关系是2r m q =+． 5．22⨯级实对称矩阵的所有可能的规范型是：001010101010,,,,000000010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 6．设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是A ，而基12,,,n βββ到基12,,,n γγγ的过渡矩阵是B ，则12,,,n γγγ到12,,,n ααα的过渡矩阵是11B A --．7．已知,,αβγ为线性空间V 的三个线性无关的向量，则子空间(,)(,)L L αββγ+的维数为 3 ． 8．若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ⋂={}0．9．设三维线性空间V 的基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，向量η在基123,,βββ下的坐标为(1,2,3)，在η在基123,,ααα下的坐标为(4,2,0)． 10．n 元实二次型2221212(,,,)(1)(2)()n n f x x x a x a x a n x =-+-++-正定的充分必要条件是常数a 满足a n >．三、简述下列定义（共12分）1．n 级矩阵A 、B 合同：如果存在可逆矩阵C ，使得'B C AC = 2．子空间的和12V V +={}12,1,2i i V i ααα+∈=3．生成子空间123(,,)L ααα={}112233,1,2,3i k k k k P i ααα++∀∈=4．子空间的直和：12V V +中每个向量α的分解式12ααα=+（,1,2i i V i α∈=）是唯一的．四、（10分）设β可由12,,,r ααα线性表出，但不能由121,,,r ααα-线性表出，证明：121121(,,,,)(,,,,)r r r L L αααααααβ--=．证明 只需证明向量组{}121,,,,r r αααα-与{}121,,,,r αααβ-等价：易知{}121,,,,r αααβ-可由与{}121,,,,r r αααα-线性表示，另一方面，由于β可由12,,,r ααα线性表出，故有1122r r k k k βααα=+++，且0r k ≠，（否则β可121,,,r ααα-线性表出，矛盾），于是11111r r r rr rk k k k k αααβ--=----+，因而{}121,,,,r r αααα-可由{}121,,,,r αααβ-线性表出，故向量组{}121,,,,r r αααα-与{}121,,,,r αααβ-等价，最后不难得到结论．五、（1）讨论：λ取什么值时，二次型2222123123()()x x x x x x λ++-++是正定的．（2）证明当3λ=时，上述二次型是半正定的．（共14分）解 （1）二次型可化为222123121323(1)(1)(1)222x x x x x x x x x λλλ-+-+----，它对应的矩阵是111111111λλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭。

高等数学历年试题集及答案(2005-2016)2005年广东省普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1、下列等式中，不成立．．．的是A 、1)sin(limx =--→πππx x B 、11sin lim x =∞→x xC 、01sin lim 0x =→x x D 、1sin 20x lim =→x x 2、设)(x f 是在（+∞∞-,）上的连续函数，且⎰+=c e dx x f x 2)(，则⎰dx xx f )(=A 、22x e -B 、c e x +2C 、C e x +-221D 、C e x +213、设x x f cos )(=，则=--→ax a f x f ax )()(limA 、-x sinB 、x cosC 、-a sinD 、x sin4、下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔中值定理条件的是A 、|)(=x f x |B 、2)(-=x x f C 、21)(x x f -=D 、3)(x x f =5、已知x xy u )(=，则yu ∂∂= A 、12)(-x xy x B 、)ln(2xy x C 、1)(-x xy x D 、)ln(2xy y 二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分） 6、极限)1(1lim -∞→xx e x =。

7、定积分211sin x e xdx --⎰=。

8、设函数xxx f +-=22ln)(，则(1)f ''=。

9、若函数1(1),0,()(12),0.x a x x f x x x +≤⎧⎪=⎨⎪+>⎩在x=0处连续，则a=。

10、微分方程222x xe xy dydx-=+的通解是。

三、计算题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 11、求极限1(22n lim +-+∞→n n n )。

12、求极限202x 0ln (1)limxt dt x →+⎰。

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题1.B z=1+i,z=1-i,z·z-z-1=2-(1+i)-1=-i,故选B.错因分析:z·z=|z|2,公式用错是失分的主要原因.本题主要考查复数的运算法则,属容易题.2.B y=2x(x≥0)得y≥0,反解得x=y2,所以y=2x的反函数为4(x≥0).故选B.y=x24错因分析:忽视反函数的定义域而错选A.本题主要考查反函数的定义,属容易题.3.A A项:若a>b+1,则必有a>b,反之,当a=2,b=1时,满足a>b,但不能推出a>b+1,故a>b+1是a>b成立的充分而不必要条件;B项:当a=b=1时,满足a>b-1,反之,由a>b-1不能推出a>b;C项:当a=-2,b=1时,满足a2>b2,但a>b不成立;D项:a>b是a3>b3的充要条件,综上所述答案选A.错因分析:审题不清易错选B或D,或对不等式性质掌握不牢而易错选C.本题主要考查充要条件的概念及不等式的性质,属容易题.4.D∵{a n}是等差数列,a1=1,d=2,∴a n=2n-1.由已知得S k+2-S k=a k+2+a k+1=2(k+2)+2(k+1)-2=4k+4=24,所以k=5,故选D.错因分析:计算错误是本题失分的主要原因.本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和,熟练掌握公式是解题的关键,属容易题.5.C将y=f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到y=cos ωx-π3,所得图象与原图象重合,所以cosωx-π3ω=cos ωx,则-π3ω=2kπ,得ω=-6k(k∈Z).又ω>0,所以ω的最小值为6,故选C.错因分析:y=cos ωx的图象向右平移π3个单位长度后为y=cos ωx-π3,变换时仅对x而言,这一点易错误理解而写为y=cosωx-π3是造成失分的主要原因.本题主要考查三角函数图象变换,熟练掌握图象变换是解题关键,属中等难度.6.C∵AB=AC+CD+DB,∴|AB|2=|AC|2+|CD|2+|DB|2,∴|CD|2=2.在Rt△BDC中,BC=3.∵面ABC⊥面BCD,过D作DH⊥BC于H,则DH⊥面ABC,∴DH的长即为D到平面ABC的距离,∴DH=DB·DCBC =23=63.故选C.错因分析:没有掌握引垂线的方法,找不到点到平面的距离.若用三棱锥的体积计算,运算量较大,易错选A.本题主要考查点面距离和空间想象能力.熟练掌握引垂线的方法是解题关键,属中等难度.7.B分两种情况:①选2本画册,2本集邮册送给4位朋友有C42=6种方法;②选1本画册,3本集邮册送给4位朋友有C41=4种方法,所以不同的赠送方法共有6+4=10(种),故选B.错因分析:相同物体的分配理解为不同物体的分配是本题解错的主要原因.本题主要考查组合问题,准确分类是解题的关键,属中等难度.8.A y'=-2e-2x,曲线在点(0,2)处的切线斜率k=-2,∴切线方程为y=-2x+2,该直线与直线y=0和y=x围成的三角形如图所示,其中直线y=-2x+2与y=x的交点A23,23,所以三角形面积S=12×1×23=13,故选A.错因分析:对复合函数y=e -2x +1的求导错误是失分的主要原因.本题主要考查导数的几何意义及求导数的运算,熟练掌握基础知识是解题关键,属中等难度.9.A 因为f(x)是周期为2的奇函数,所以f -52=-f52=-f12=-12,故选A.错因分析:不能灵活运用函数的周期性及奇偶性将所求的值迁移到已知区间[0,1]是失分的主要原因.本题主要考查函数的奇偶性和周期性,灵活运用函数的性质是解题关键,属中等难度. 10.D 由 y 2=4x,y =2x -4得x 2-5x+4=0,∴x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),则|FA |=5,|FB |=2,FA ·FB =(3,4)·(0,-2)=-8, ∴cos∠AFB=FA ·FB |FA|·|FB|=-85×2=-45.故选D.错因分析:没有掌握向量的夹角公式或者计算失误,易错选C.本题主要考查直线与抛物线的关系及向量的夹角公式.正确求出A 、B 两点坐标是得分关键,属中等难度.11.D 由圆M 的面积知圆M 的半径为2,|OM|= 42-22=2 .|ON|=|OM|sin 30°= 从而圆N 的半径r= 42-3= 13,所以圆N 的面积S=πr 2=13π.故选D. 错因分析:空间想象能力较差,找错二面角的平面角导致错解.本题主要考查球、二面角和空间想象能力.正确作出二面角的平面角是得分关键,属偏难题.12.A由a·b=-12得<a,b>=120°,设OA=a,OB=b,OC=c,则∠AOB=120°,CA=a-c,CB=b-c,∵<a-c,b-c>=60°,∴∠ACB=60°,∴O、A、C、B四点共圆.|c|的最大值应为圆的直径2R,在△AOB中,OA=OB=1,∠AOB=120°,所以AB=3,由正弦定理得2R=ABsin∠AOB=2.故选A.错因分析:不能灵活进行向量的减法运算,不能把|c|的最大值转化为圆的直径.或者利用正弦定理时出错,易错选D.本题主要考查向量的基本运算和数形结合的方法.利用O、A、C、B四点共圆是解题关键,属难题.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题13.0(1-x)20的二项展开式的通项公式T r+1=C20r(-x)r=C20r·(-1)r·x r2,令r2=1,∴x的系数为C202(-1)2=190.令r2=9,∴x9的系数为C2018(-1)18=C202=190,故x的系数与x9的系数之差为0. 失分警示:不能正确写出二项展开式的通项公式是失分的主要原因.本题主要考查二项展开式,熟练掌握通项公式是解题关键,属容易题.14.-43∵α∈π2,π,sin α=55,∴cosα=-255,得tan α=-12,∴tan 2α=2tan α1-ta n 2α=-43.失分警示:基础知识掌握不牢或运算失误是导致该题失分的主要原因.本题主要考查同角三角函数公式及倍角公式,熟练掌握公式并能灵活运用是解题关键,属中等难度. 15.6由题意,知F 1(-6,0)、F 2(6,0),|F 1M|=8>4=|F 2M|.由角平分线性质得|F 1A||F 2A|=|F 1M||F 2M|=2,所以点A在双曲线的右支上.由双曲线的定义得|F 1A|-|F 2A|=6,所以|AF 2|=6.失分警示:不熟悉角平分线的性质,找不到|AF 1|与|AF 2|的等量关系,导致解题失败. 本题主要考查双曲线的定义、方程和角平分线的性质.正确利用双曲线的定义和确定点A 在双曲线的右支上是得分关键,本题属偏难题. 16.23延长FE 、CB 相交于点G,连结AG,设正方体的棱长为3,则GB=BC=3,作BH ⊥AG 于H,连结EH,则∠EHB 为所求二面角的平面角.∵BH=3 22,EB=1,∴tan∠EHB=EB BH = 23.失分警示:没有掌握求二面角大小的基本方法或计算错误造成错解.本题主要考查二面角的求法和空间想象能力.正确找到二面角的平面角是得分关键.本题也可用射影公式:cos θ=S 'S 或空间向量解答,属偏难题. 三、解答题17.由a+c=2b及正弦定理可得sin A+sin C=2sin B.(3分)又由于A-C=90°,B=180°-(A+C),故cos C+sin C=2sin(A+C)=2sin(90°+2C)=2cos 2C.(7分)2 2cos C+22sin C=cos 2C,cos (45°-C)=cos 2C.因为0°<C<90°,所以2C=45°-C,C=15°.(10分)失分警示:(1)在解三角形中,注意利用正、余、弦定理进行边角互化是解题的突破点,否则将会无从下手.(2)三角形解的个数是一个很容易忽视的问题.本题中A-C=90,A>90°,即有B+C<90°若忽视这一点,就容易造成失分.本题考查正弦定理及有关三角形问题,考查“三基”及学生的分析和解决问题能力. 18.记A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.(Ⅰ)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B,(3分)P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.(6分)(Ⅱ)D=X~B(100,0.2),即X服从二项分布,(10分)所以期望EX=100×0.2=20.(12分)失分警示:(1)缺少必要的文字说明,只写出算式和计算结果,解答过程不规范.(2)解答第(Ⅰ)问时易错解为P(C)=1-P(A·B)=1-0.5×0.7=0.65,错解原因是误认为该车言购买乙种保险为事件B概率P(B)=0.3.本题主要考查独立事件的概率及二项分布问题,考查学生阅读理解能力及分析和解决问题能力,正确理解题意是解题关键,属中等难度.19.解法一:(Ⅰ)取AB中点E,连结DE,则四边形BCDE为矩形,DE=CB=2,连结SE,则SE⊥AB,SE=3.又SD=1,故ED2=SE2+SD2,所以∠DSE为直角,(3分)由AB⊥DE,AB⊥SE,DE∩SE=E,得AB⊥平面SDE,所以AB⊥SD.SD与两条相交直线AB、SE都垂直.所以SD⊥平面SAB.(Ⅱ)由AB⊥平面SDE知,平面ABCD⊥平面SDE.作SF⊥DE,垂足为F,则SF⊥平面ABCD,SF=SD×SEDE =3 2,作FG⊥BC,垂足为G,则FG=DC=1,连结SG,则SG⊥BC.又BC⊥FG,SG∩FG=G,故BC⊥平面SFG,平面SBC⊥平面SFG.(9分) 作FH⊥SG,H为垂足,则FH⊥平面SBC.FH=SF×FGSG =37,即F到平面SBC的距离为217.由于ED∥BC,所以ED∥平面SBC,E到平面SBC的距离d也为217. 设AB与平面SBC所成的角为α,则sin α=dEB =217,α=arcsin217.(12分)解法二:以C为坐标原点,射线CD为x轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0).又设S(x,y,z),则x>0,y>0,z>0.(Ⅰ)AS=(x-2,y-2,z),BS=(x,y-2,z),DS=(x-1,y,z),由|AS|=|BS|得(x-2)2+(y-2)2+z2=x2+(y-2)2+z2,故x=1.由|DS|=1得y2+z2=1,又由|BS|=2得x2+(y-2)2+z2=4,即y2+z2-4y+1=0,故y=12,z=32.(3分)于是S1,12,32,AS=-1,-32,32,BS=1,-32,32,DS=0,12,32,DS·AS=0,DS·BS=0,故DS⊥AS,DS⊥BS,又AS∩BS=S,所以SD⊥平面SAB.(6分)(Ⅱ)设平面SBC的法向量a=(m,n,p), 则a⊥BS,a⊥CB,a·BS=0,a·CB=0.又BS=1,-32,32,CB=(0,2,0),故 m -32n + 32p =0,2n =0.(9分)取p=2得a =(- 3,0,2).又AB =(-2,0,0), cos<AB ,a >=AB·a |AB |·|a |= 217. 故AB 与平面SBC 所成的角为arcsin217.(12分)失分警示:(1)不通过解△BSD 来证明DS ⊥SB,即不能把空间问题转化为平面问题解决. (2)不能灵活运用求线面角的方法,另外解题过程不规范也是失分的原因之一.本题主要考查线面垂直的判定、计算线面角的方法和空间想象能力.掌握空间的证明和计算的基本方法是解题的重点,通过“转化”的方法是解题的关键.属中等难度. 20.(Ⅰ)由题设11-an +1-11-a n=1,即11-a n 是公差为1的等差数列.又11-a 1=1,故11-a n=n.所以a n =1-1n .(5分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得b n =a n +1 n = n +1- n n +1· n = n - n +1,(8分)S n =∑k =1nb k =∑k =1nk -k +1=1-n +1<1.(12分)失分警示:(1)概念理解不透,不能发现11-a n是等差数列,是学生无从下手的主要原因.(2)不能正确选择合理方法求出{b n }的前n 项和S n ,导致不会证明S n <1.本题主要考查等差数列的定义及数列求和问题,考查了学生运算能力和推理论证能力,先求出11-a n的通项公式再求{a n }的通项公式是解题的关键,属中等难度.21.(Ⅰ)F(0,1),l 的方程为y=- 2x+1,代入x 2+y 22=1并化简得4x 2-2 2x-1=0.(2分)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 3,y 3), 则x 1=2- 64,x 2= 2+ 64, x 1+x 2= 22,y 1+y 2=- 2(x 1+x 2)+2=1,由题意得x3=-(x1+x2)=-22,y3=-(y1+y2)=-1.所以点P的坐标为-22,-1,经验证,点P的坐标-22,-1满足方程x2+y22=1,故点P在椭圆C上.(6分)(Ⅱ)由P-22,-1和题设知,Q22,1,PQ的垂直平分线l1的方程为y=-22x.①设AB的中点为M,则M24,12,AB的垂直平分线l2的方程为y=22x+14.②由①、②得l1、l2的交点为N-28,18.(9分)|NP|=2228) 218) 2=3118,|AB|=1+(-2)2·|x2-x1|=322,|AM|=324,|MN|=(2428) 2(1218) 2=338,|NA|=|AM|2+|MN|2=3118,故|NP|=|NA|.又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|,所以|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|,由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.(12分)失分警示:(1)不能熟练的利用定理进行整体运算,导致解题效果差.(2)对四点共圆的证明方法掌握不牢,致使解题目标不清楚,造成解题“半途而废”.本题主要考查直线和椭圆的位置关系、四点共圆和计算能力.通过证明|NA|=|NP|=|NB|=|NQ|得到A、P、B、Q在同一圆上是得分关键.正确的计算是解题的重点和难点.本题属难题.22.(Ⅰ)f '(x)=x2(x+1)(x+2)2.(2分)当x>0时, f '(x)>0,所以f(x)为增函数,又f(0)=0,因此当x>0时, f(x)>0.(5分)(Ⅱ)p=100×99×98×…×8110020,又99×81<902,98×82<902,…,91×89<902,所以p<91019.(9分)由(Ⅰ)知:当x>0时,ln(1+x)>2xx+2,因此1+2xln(1+x)>2,在上式中,令x=19,则19ln109>2,即10919>e2.所以p<91019<1e2.(12分)失分警示:(1)要证x>0时,f(x)>0,即证x>0时,[f(x)最小值]>0,不会等价转化导致失分.(2)不能合放缩,应用第(Ⅰ)问结论来让不等式是丢分的主要原因.本题主要考查函数、导数及不等式问题,是一道综合性很强的压轴题,考查了学生逻辑思维能力及分析问题和解决问题能力,属难题.。

试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考公式：柱体的体积公式V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高线性回归方程 y bxa =+ 中系数计算公式 其中,x y 表示样本均值。

N 是正整数，则()n n a b a b -=-12(n n a a b --++…21n n ab b --+） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设复数z 满足()12i z +=，其中i 为虚数单位，则z = A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i -2．已知集合(){,A x y = ∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =,x y 为实数，且}y x =，则A B ⋂的元素个数为Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)c a b ∙+=Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．04. 设函数()f x 和()g x 分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 Ａ．()()f x g x +是偶函数 Ｂ．()()f x g x -是奇函数 Ｃ．()()f x g x +是偶函数 Ｄ．()()f x g x -是奇函数5. 在平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定。

若(,)M x y 为D 上的动点，点A的坐标为，则z OM ON =的最大值为A． B． C ．4 D ．36.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为 A ．12B ．35C ．23D ．347. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A. 8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V∈，则下列结论恒成立的是A. ,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B. ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。

．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题(1)复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --=( ) （A ）2i - （B ）i - （C ）i （D ）2i 【答案】B【命题意图】本题主要考查复数的运算. 【解析】1zz z --=|z|21z --=2-(1+i)-1=i -.(2)函数0)y x =≥的反函数为( )（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数0)y x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.(3)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是( )（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(4)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k =( ) （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二:221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(5)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 （A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性及三角函数图像的平移变换. 【解析】由题意得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(6)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂 足．若2,1ABAC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)3(B)3 (C)3【答案】C【命题意图】本题主要考查空间点到平面距离的求法. 【解析】如图,过D 作DE BC ⊥,垂足为E ,因为l αβ--是直二面角AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,∴AC DE ⊥,BC DE ⊥,AC BC C =I ,∴DE ⊥平面ABC ,故DE 的长为点D到平面ABC 的距离.在Rt BCD∆中,由等面积法得3BD CD DE BC ⨯===.(7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】分两类:一是取出1本画册,3本集邮册,此时赠送方法有144C =种；二是取出2本画册,2本集邮册，此时赠送方法有246C =种.故赠送方法共有10种.(8)曲线21xy e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为(A)13 (B)12 (C)23(D)1 【答案】A【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程和三角形面积公式. 【解析】'22,xy e-=-∴曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线的斜率2,k =-故切线方程是22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图得围成的三角形的三个顶点分别为(0,0)、(1,0)、(23,23)，∴三角形的面积是1211233S =⨯⨯=.(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5(2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()(2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-.(10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45(B)35 (C)35- (D)45-【答案】D【命题意图】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,余弦定理的应用.【解析】联立2424y x y x ⎧=⎨=-⎩消去y 得2540x x -+=,解得1,4x x ==,不妨设A 点在x 轴的上方,于是A ，B 两点的坐标分别为(4,4),(1,2-),又(1,0)F ,可求得5,2AB AF BF ===.在ABF V 中,由余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯⨯.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M的距离OM =在Rt OMN ∆中,30OMN ︒∠=,∴12ON OM ==故圆N的半径r =∴圆N 的面积为213S r ππ==.(12)设向量a r ，b r ，c r 满足||||1a b ==r r ，12a b =-r r g，,60a c b c ︒<-->=r r r r ，则||c r 的最大值等于(A)21 【答案】A圆的条件及数形结合的思想.【解析】如图，设,,AB a AD b AC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，则120,60BAD BCD ︒︒∠=∠=，180BAD BCD ︒∠+∠=，∴,,,A B C D 四点共圆，当AC 为圆的直径时，||c r最大，最大值为2.绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修II)第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。