2012年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（文史类）第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上.2、本部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{,}A a b =，{,,}B b c d =，则A B = （ ）A.{}bB.{,,}b c dC.{,,}a c dD.{,,,}a b c d【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】直接给出集合，用列举法求出集合的并集.【参考答案】D【试题解析】集合A 中包含a ,b 两个元素，集合B 中包含b ,c ,d 三个元素，共有a ,b ,c ,d 四个元素，所以}{d c b a B A 、、、=2、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A.21B.28C.35D.42【测量目标】二项式展开式.【考查方式】给出二项式，通过展开式的通项公式求其某一项的系数.【参考答案】A【试题解析】二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =C 1k n k k n x -，令k =2，则2237C T x = ∴2x 的系数为27C =21 3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）A.101B.808C.1212D.2012【测量目标】分层抽样问题.【考查方式】给出甲社区的驾驶员，根据按比例抽样求出总人数.【参考答案】B【试题解析】N =80812964312962512962196=⨯+⨯+⨯+ 4、函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ ）A B C D【测量目标】函数的图象和性质.【考查方式】给出函数，利用特殊验证方法得到函数的大致图象.【参考答案】C【试题解析】采用特殊值验证法. 函数(0,1)xy a a a a=->≠恒过（1,0），只有C选项符合.5、如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE=，连接EC、ED则sin CED∠=（）【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】利用三角函数解三角形，进而求出角的正弦值.【参考答案】B【试题解析】222111cos2sinAE EDECCDED EC CDCEDED ECCED=∴=====+-∴∠==∠==，正方形的边长也为6、下列命题正确的是（）A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【测量目标】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质.【考查方式】给出已知条件（线面关系或面面关系），判断结论是否正确.【参考答案】C【试题解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确.7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使=a b 成立的充分条件是（ ）A 、=a b 且a bB 、=-a bC 、a bD 、2=a b【测量目标】充分条件，平面向量的基本定理.【考查方式】由模相等且方向相同的条件判断=a b 是否成立.【参考答案】D 【试题解析】若使=a b a b成立，则与方向相同，a b 选项中只有D 能保证，故选D. 8、若变量,x y 满足约束条件3,212,21200x y x y x y x y --⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩……………，则34z x y =+的最大值是（ ）A.12B.26C.28D.33【测量目标】线性规划的含义，可行域的范围，目标函数的最值.【参考方式】通过“一列，二画，三作，四求”的步骤求出目标函数的最大值.【参考答案】C【试题解析】目标函数34z x y =+可以变形为443z x y +-=，做函数x y 43-=的平行线， 当其经过点B （4,4）时截距最大时，即z 有最大值为34z x y =+=284443=⨯+⨯.9、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ）A. B. C.4 D.【测量目标】抛物线的定义、性质，两点间的距离.【考查方式】由抛物线的方程和相关性质确定点M 坐标，进而由距离公式求出线段长度.【参考答案】B【试题解析】设抛物线方程为y 2=2px (p>0),则焦点坐标为（,02p ），准线方程为x =2p -, M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离（步骤1），即3=解得：01,p y ==2）∴点M （，根据两点距离公式有：||OM ∴==3）10、如图，半径为R 的半球O 的底面圆O 在平面α内，过点O 作平面α的垂线交半球面于点A ，过圆O 的直径CD 作平面α成45角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为B ，该交线上的一点P 满足60BOP ∠=，则A 、P 两点间的球面距离为（ ）A.arccos 4R B.π4R C.R D.π3R 【测量目标】坐标的建立、向量的表示及计算，两点间的距离.【考查方式】通过在立体几何中建立坐标，用向量求出三角函数，利用公式求出两点间的距离.考察了学生数形结合能力和空间思维能力.【参考答案】A【试题解析】以O 为原点，分别以OB 、OC 、和与OA 成45角所在直线为x 、y 、z 则A )0,23,21(),22,0,22(R R P R R (步骤1)2cos 4AO PO AOP R ∴∠==arccos 4AOP ∴∠=（步骤2）arccos 4AP R ∴= （步骤3）11、方程22ay b x c =+中的,,{2,0,1,2,3}a b c ∈-，且,,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A.28条B.32条C.36条D.48条【测量目标】排列组合公式的计算及运用.【考查方式】运用列举法求排列组合，进而求出不同抛物线的数量【参考答案】B【试题解析】方程22ay b x c =+变形得222bc y b a x -=，若表示抛物线，则0,0≠≠b a 所以，分b =-2,1,2,3四种情况（1）若b =-2，⎪⎩⎪⎨⎧======2,1,033,1,0,23,2,0c ,1或或，或或或或c a c a a （步骤1）（2）若b =2, ⎪⎩⎪⎨⎧-==-===-=1,0,233,0,2c ,13,1,0,2或或，或或或或c a a c a （步骤2）以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；（步骤3）同理 若b =1，共有9条（步骤4）；若b =3时，共有9条.综上，共有14+9+9=32种（步骤5）12、设函数3()(3)1f x x x =-+-，{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则=++721a a a （ ）A.0B.7C.14D.21【测量目标】函数的性质，等差数列性质的应用.【考查方式】通过函数与等差数列的结合求出前7项数列的和，本题主要考查观察能力以及计算能力.【参考答案】D【试题解析】∵{}n a 是公差不为0的等差数列，且127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=∴14]1)3[(]1)3[(]1)3[(737232131=-+-++-+-+-+-a a a a a a∴147)(721=-++a a a∴21721=++a a a第二部分 （非选择题 共90分）注意事项：（1）必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚.答在试题卷上无效.（2）本部分共10个小题，共90分.二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题纸的相应位置上.）13、函数()f x =的定义域是____________.（用区间表示） 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】直接给出函数，求使式子有意义的x 的取值范围.【参考答案】（12-∞，） 【试题解析】由分母部分的1-2x >0，得到x ∈(12-∞，）.14、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成的角的大小是____________.【测量目标】异面直线的夹角大小运算.【考查方式】方法一：把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形解决问题；方法二：建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.【参考答案】90º【试题解析】方法一：连接D 1M ,易得DN ⊥A 1D 1 ,DN ⊥D 1M ,（步骤1）所以，DN ⊥平面A 1MD 1，（步骤2）又A 1M ⊂平面A 1MD 1，所以，DN ⊥A 1D 1，故夹角为90º （步骤3）方法二：以D 为原点，分别以DA , DC , DD 1为x , y , z 轴，建立空间直角坐标（步骤1）D —xyz .设正方体边长为2，则D （0,0,0），N （0,2,1），M （0,1,0）A 1（2,0,2（步骤2） 故，），（），（2,121,2,01-==MA （步骤3） 所以，cos ∠111||||DN MA DN MA DN MA 〈〉= ， = 0,故DN ⊥D 1M ，所以夹角为90º（步骤4）15、椭圆2221(5x y a a +=为定值，且a >的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，FAB △的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______.【测量目标】椭圆的定义、方程的应用，离心率的计算.【考查方式】由三角形周长求出a ，进而求出离心率的大小.【参考答案】32 【试题解析】根据椭圆定义知：4a =12, 得a =3 , 又522=-c a32,2==∴=∴a c e c 16、设,a b 为正实数，现有下列命题：①若221a b -=，则1a b -<； ②若111b a-=，则1a b -<；③若1=，则||1a b -<；④若33||1a b -=，则||1a b -<.其中的真命题有____________.（写出所有真命题的编号）【测量目标】不等式的判断.【考查方式】限定条件下，判断不等式的正确性，主要考查考生的数学基础能力.【参考答案】 ①④【试题解析】若a ,b 都小于1，则a -b <1若a ,b 中至少有一个大于等于1， 则a +b >1,由a 2-b 2=(a +b )(a -b )=1 ，所以，a -b <1 故①正确.对于|a 3-b 3|=|(a -b )(a 2+ab +b 2)|=1，若a ,b 中至少一个有大于等于1，则a 2+ab +b 2>1,则|a -b|<1若a ,b 都小于1，则|a -b |<1，所以④正确.综上，真命题有 ① ④ .三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17、(本小题满分12分) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p . （Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值； （Ⅱ）求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率. 【测量目标】相互独立事件，独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算.【考查方式】通过给定的两个相互独立事件，运用概率知识与方法解决实际问题.【试题解析】（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么1-P （C ）=1-101P =5049 ，解得P =51（步骤1） （2）设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D ,那么P (D )=23C 2502431000972)1011()1011(10132==-+-⨯答：检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为250243（步骤2） 18、(本小题满分12分) 已知函数21()cossin cos 2222x x x f x =--. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若()10f α=sin2α的值. 【测量目标】三角函数的性质、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识.【考查方式】通过三角函数的化简求出最小正在周期和值域，利用二倍角公式求解问题，考察化归与转化思想.【试题解析】（1）由已知，f （x ）=21cos sin cos 2222x x x -- 1111cos sin 222x x =+--（）π4x =+（） 所以f （x ）的最小正周期为2π，值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22，（步骤1） （2）由（1）知，f （α）=πcos 2410α+=（） 所以cos （π3()45α+=.（步骤2） 所以ππsin2cos 2cos224ααα=-+=-+（）（） 2π18712cos 142525α=-+=-=（）（步骤3）19、(本小题满分12分) 如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠= ，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上.（Ⅰ）求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小.【测量目标】线面的位置关系，二面角的基础概念及求解.【考查方式】通过“一找，二作，三求”基本步骤求解二面角的大小，考察空间能力和思维想象能力.【试题解析】（1）连接OC . 由已知，∠OPC 为直线PC 与平面ABC 所成的角设AB 的中点为D ，连接PD 、CD .因为AB =BC =CA ,所以CD ⊥AB .（步骤1）因为9060APB PAB PAD ∠=︒∠=︒，，所以△为等边三角形（步骤2），不妨设P A =2，则OD =1，OP =3, AB =4.所以CD =23，OC =1312122=+=+CD OD （步骤3）.在Rt OCP △中，tan 1339133===∠OC OP OPC （步骤4） （2）过D 作DE AP ⊥于E ，连接CE .由已知可得，CD ⊥平面P AB .（步骤5）据三垂线定理可知，CE ⊥P A ，所以，的平面角——为二面角C AP B CED ∠.（步骤6）由（1）知，DE =3在Rt △CDE 中，tan 2332===∠DE CD CED 故arctan2B AP C 二面角——的大小为 （步骤7）20、(本小题满分12分) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，常数0λ>，且11n n a a S S λ=+对一切正整数n 都成立.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设10a >，100λ=，当n 为何值时，数列1{lg }na 的前n 项和最大？ 【测量目标】数列通项公式的求解，对数函数的性质，以及前n 项和最值求解.【考查方式】本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一，知识层面：考查等差数列、等比数列、对数等基础知识；第二，能力层面：考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力；第三，数学思想：考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.【试题解析】（1）取n =1,得21111122,(2)0a s a a a λλ==-=若a 1=0,则s 1=0, 当n 120,0n n n n a s s a -=-==时，所以…（步骤1）若a 1λ201=≠a ，则, 当n 222,n n a s λ=+时， (112)2,n n a s λ--=+（步骤2）上述两个式子相减得：a n =2a n -1,所以数列{a n }是等比数列（步骤3）综上，若a 1 = 0, 0n a =则若a 120nn a λ≠=，则（2）当a 1>0,且2lg 2,1lg 100n b a b n nn -===所以，时，令λ 所以，{b n }单调递减的等差数列（公差为-lg2）则 b 1>b 2>b 3>…>b 6=01lg 64100lg 2100lg6=>=（步骤4） 当n ≥7时，b n ≤b 7=01lg 128100lg 2100lg 7=<= 故数列{lg na 1}的前6项的和最大.（步骤5） 21、(本小题满分12分) 如图，动点M 与两定点(1,0)A -、(1,0)B 构成MAB △，且直线MA MB 、的斜率之积为4，设动点M 的轨迹为C .（Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）设直线(0)y x m m =+>与y 轴交于点P ，与轨迹C 相交于点Q R 、，且||||PQ PR <，求||||PR PQ 的取值范围. 【测量目标】直线、双曲线、轨迹方程的求法【考查方式】用已知点的坐标以及直线之间的关系求出轨迹方程，并且通过直线与方程的联立、化简、分类与整合求出取值范围【试题解析】（1）设M 的坐标为（x ,y ），当x =-1时，直线MA 的斜率不存在；当x =1时，直线MB 的斜率不存在.（步骤1）于是x ≠1且x ≠-1时，MA 的斜率为1y x +，MB 的斜率为1-x y . 由题意，有1y x +·1-x y =4 化简可得，4x 2-y 2-4=0 故动点M 的轨迹C 的方程为4x 2-y 2-4=0（x ≠1且x ≠-1）（步骤2）（2）由⎩⎨⎧=--+=04422y x m x y 消去y ，可得3x 2-2mx -m 2-4=0. (﹡)（步骤3） 对于方程(﹡)，其判别式∆=（-2m )2－4×3（-m 2-4）=16m 2+48>0而当1或-1为方程（*）的根时，m 的值为-1或1.结合题设（m >0）可知，m >0，且m ≠1（步骤4）设Q 、R 的坐标分别为（X Q ,Y Q ）,(X R ,Y R ),则为方程（*）的两根. 因为PR PQ <,所以Q R X X <，33P Q m m X X -+==所以1P R X PR PQ X ===+.（步骤5）1,2 >所以5113,13<<+≠且所以513,3P PR RPR PRX XPQ X PQ X<=<=≠且综上所述，551333PRPQ的取值范围是（，）（，）（步骤6）22、(本小题满分14分) 已知a为正实数，n为自然数，抛物线22nay x=-+与x轴正半轴相交于点A，设()f n为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.（Ⅰ）用a和n表示()f n；（Ⅱ）求对所有n都有()1()11f n nf n n-++…成立的a的最小值；（Ⅲ）当01a<<时，比较111(1)(2)(2)(4)()(2)f f f f f n f n++⋅⋅⋅+---与(1)(1)6(0)(1)f f nf f-+⨯-的大小，并说明理由.【测量目标】导数的应用、不等式、数列等基础知识.【考查方式】考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力；且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.【试题解析】（1）由已知得，交点A的坐标为⎫⎪⎪⎭，对2122ny x a y x'=-+=-求导得则抛物线在点A处的切线方程为：.()n ny x y a f n a==+=即则（步骤1）（2）由（1）知f(n)=n a,则()121()11nf n na nf n n-+++成立的充要条件是厖即知，21na n+ (21)na n+…对于所有的n成立，特别地，当n=1时，得到a≥3当a=3，n≥1时，13(12)1221Cn n nna n==+=++⋯+…（步骤2）当n=0时，n a=2n+1.故a=3时()1()11f n nf n n-++…对所有自然数n均成立.所以满足条件的a 的最小值为3（步骤3） （3）由（1）知f (k )=ka 下面证明：111(1)(1)6(1)(2)(2)(4)()(2)(0)(1)f f n f f f f f n f n f f -+++⋯+>---- 首先证明0<x <1时，216x x x >-（步骤4）设函数g (x )=6x (x 2-x )+1,0<x <1, 则)32(18)('-=x x x g . 当320<<x 时,g'(x )<0;当0)('132><<x g x 时， 故g （x ）在区间（0，1）上的最小值min 21()()039g x g ==>（步骤5） 所以，当0<x <1时，g （x ）>0,即得216x x x>- 由0<a <1知*2101(),6,k k k ka k a a a <<∈>-因此从而N 22242111(1)(2)(2)(4)()(2)1116()n n n f f f f f n f n a a a a a a a a a++⋯+---=++⋯>++⋯+--- 1(1)(1)661(0)(1)n a a f f n n f f +--+=⨯=⨯--（步骤 6）24AO PO R =。
