第四章第三课时 等腰三角形及

第三节等腰三角形与直角三角形,贵阳五年中考命题规律),贵阳五年中考真题及模拟)直角三角形的有关计算(3次)1．(2012贵阳8题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是( B )A．3 B．2 C. D．1(第1题图)(第2题图) 2．(2014贵阳15题4分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高．动点P从点A 出发，沿A →D 方向以 cm /s 的速度向点D 运动．设△ABP 的面积为S 1，矩形PDFE 的面积为S 2，运动时间为t s (0＜t ＜8)，则t ＝__6__ s 时，S 1＝2S 2.3．(2014贵阳24题12分)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD ，其中∠BAC ＝45°，∠ACD ＝30°，点E 为CD 边上的中点，连接AE ，将△ADE 沿AE 所在直线翻折得到△AD′E，D ′E 交AC 于F 点．若AB ＝6 cm .(1)AE 的长为__4__cm ；(2)试在线段AC 上确定一点P ，使得DP ＋EP 的值最小，并求出这个最小值； (3)求点D′到BC 的距离．解：∵Rt △ADC 中，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝60°.∵E 是CD 边上的中点，∴AE＝DE ，∴△ADE 是等边三角形．∵△ADE 沿着AE 所在直线翻折得到△AD′E，∴△AD′E 是等边三角形．∴∠AED′＝60°，∵∠EAC＝∠DAC －∠EAD ＝30°，∴∠EFA＝90°，即AC 所在直线垂直平分线段ED′，∴点E ，D′关于直线AC 对称．连接DD′交AC 与点P ，∴此时DP ＋EP 值最小，且DP ＋EP ＝DD′.∵△ADE 是等边三角形，AD ＝AE ＝4，∴DD′＝2×AD·cos 30°＝2×4×23＝12，即DP ＋EP 的最小值是12；(3)连接CD′，BD′，过D′作D′G⊥BC 于点G.∵AC 垂直平分ED′，∴AE ＝AD′，CE ＝CD′.∵AE ＝CE ，∴AD′＝CD′＝4.∵AB ＝BC ，BD′＝BD′，∴△ABD′≌△CBD′(SSS )，∴∠D′BG＝45°，∴D′G＝GB.设D′G＝x cm ，则CG ＝(6－x)cm ，∴x 2＋(6－x)2＝(4)2，解得x 1＝3－，x 2＝3＋(不合题意，舍去)．∴点D′到BC 的距离为(3－)cm .勾股定理(1次)4．(2013贵阳24题12分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC三边分别为6，8，9时，△ABC为__锐角__三角形；当△ABC三边分别为6，8，11时，△ABC为__钝角__三角形；(2)猜想，当a2＋b2__>__c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2__<__c2时，△ABC为钝角三角形；(3)判断当a＝2，b＝4时，△ABC的形状，并求出对应的c的取值范围．解：∵c为最长边，∴4≤c＜6，①a2＋b2＞c2，即c2＜20，0＜c＜2，∴当4≤c<2时，△ABC是锐角三角形；②a2＋b2＝c2，c2＝20，c＝2，∴当c＝2时，△ABC是直角三角形；③a2＋b2＜c2，c2＞20，c＞2，∴当2＜c＜6时，△ABC是钝角三角形．直角三角形的判定(1次)5．(2016贵阳18题10分)如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.(1)求证：△ABF≌△CBE；(2)判断△CEF的形状，并说明理由．证明：(1)略；(2)△CEF是直角三角形．理由：∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝135°.又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF是直角三角形．等腰三角形的性质(1次)6．(2012贵阳15题4分)如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得80°A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；……，按此做法进行下去，∠A n的度数为__2n－1 __．(第6题图)(第7题图)7．(2016贵阳适应性考试)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，CD为AB边上的高，点P 为射线CD上一动点，当点P运动到使△ABP为等腰三角形时，BP的长度为__4或6__．8．(2016贵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(2，4)或(3，4)或(8，4)__．,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定(高频考点) 1直角三角形的性质与判定(高频考点) 34.,中考重难点突破)等腰三角形的性质与判定【例1】(2016原创)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A＝________．【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.【学生解答】50°1．(2016贵阳模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( B ) A．30°B．36°C．40° D．45°,(第1题图)),(第2题图))2．(2016白银中考)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6 cm，则AC＝__6__cm.3．(2016遵义中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝__35__°.4．(2016襄阳中考)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. (1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝2，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)∵AD 平分∠BAC ，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵BD ＝CD ，∴Rt △BDE≌Rt △CDF，∴∠B＝∠C ，∴AB＝AC ；(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD⊥BC.在Rt △ADC 中，∵∠DAC＝30°，AD ＝2，∴AC＝cos30°AD＝4.直角三角形的相关计算【例2】(2016河南中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10.DE 垂直平分AC 交AB 于点E ，则DE 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】根据题意，DE 是AC 的垂直平分线．∵∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线．∵BC ＝＝6，∴DE ＝21BC ＝3.【学生解答】D5．(2016宁波中考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD∥AB，∠ACD＝40°，则∠B的度数为( B )A．40°B．50°C．60°D．70°,(第5题图)),(第6题图))6．(2016南充中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE 的长为( A )A．1 B．2 C. D．1＋7．(2016娄底中考)如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D沿BC自B向C运动(点D与点B、C不重合)，作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，则BE＋CF的值( C )A．不变B．增大C．减小D．先变大再变小,(第7题图)),(第8题图))8．(2015广东中考)如图，正方形ABCD的面积为1，则连接相邻两边中点EF，以EF为边的正方形EFGH的周长为( B )A. B．2 C.＋1 D．2＋19．(2016株洲中考)如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3图形个数有( D )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2015贵阳考试说明)已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，连接AD ，BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，交AC 于E.若△ABD 是等边三角形，求DE 的长．解：∵△ABD 为等边三角形，AB ＝10，∴∠ADB＝60°，AD ＝AB ＝10，∵DH⊥AB，∴AH＝21AB ＝5，∴DH＝5，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠AEH＝45°，∴EH＝AH ＝5，∴DE＝DH －EH ＝5－5.。

12．(2020·台州)如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点．分别过点 E，F 沿着平行于 BA，CA 方向各剪一刀，则剪 下的△DEF 的周长是__6__.
13．★(2021·齐齐哈尔)直角三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个直 角三角形斜边上的高为 或152或3 4 7 .
30°，则∠D 的度数为
( B)
A．85° B．75° C．65° D．30°
3．(2021·福建)如图，点 F 在正五边形 ABCDE 的内部，△ABF 为等边三
角形，则∠AFC 等于
( C)
A．108° B．120° C．126° D．132°
4．(2020·南充)如图，在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A＝36°，

AB＝AC＝a，BC＝b，则 CD＝
( C)
A.a＋2 b
B.a－2 b
C．a－b
D．b－a
5．(2020·荆州)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的斜边 OA 在第一
象限，并与 x 轴的正半轴夹角为 30°，C 为 OA 的中点，BC＝1，则点 A
的坐标为
( B)
A．( 3， 3) B．( 3，1) C．(2，1) D．(2， 3)
10．(2021·娄底)如图，△ABC 中，AB＝AC＝2，P 是 BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，若 S△ABC＝1，则 PE＋PF＝ 1 1.
11．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点 P 是 Rt △ABC 的重心，则点 P 到 AB 所在直线的距离等于 1 1.
14．(2020·衡阳)如图，在△ABC 中，∠B＝∠C，过 BC 的中点 D 作 DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点 E，F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠BDE＝40°，求∠BAC 的度数．

等腰三角形的性质定理及其证明课件一、教学内容本节课的教学内容来自于小学数学教材第六册第四章“几何图形”的相关内容。

具体章节为第1节“等腰三角形的性质定理及其证明”。

本节课的主要内容包括：等腰三角形的定义、性质定理及其证明，以及等腰三角形的应用。

二、教学目标1. 让学生掌握等腰三角形的定义和性质定理，能够运用性质定理解决相关问题。

2. 培养学生观察、思考、交流、合作的能力，提高学生的几何思维水平。

3. 通过对等腰三角形的探究，培养学生对数学的兴趣和自信心。

三、教学难点与重点重点：等腰三角形的性质定理及其证明。

难点：理解并证明等腰三角形的性质定理。

四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、课件、几何模型。

学具：笔记本、尺子、三角板、剪刀。

五、教学过程1. 实践情景引入：让学生观察教室里的等腰三角形物品，如三角板、剪刀等，引导学生发现等腰三角形的特征。

3. 证明等腰三角形的性质定理：引导学生利用几何模型，通过剪切、拼接等方法，证明等腰三角形的性质定理。

4. 例题讲解：出示相关例题，如“已知一个等腰三角形，求其底角的度数”，让学生运用性质定理解决问题。

5. 随堂练习：出示一些关于等腰三角形的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

六、板书设计板书内容主要包括等腰三角形的定义、性质定理及其证明过程。

板书设计要简洁明了，突出重点，便于学生理解和记忆。

七、作业设计1. 作业题目：已知一个等腰三角形，求其底角的度数。

答案：底角的度数= (180° 顶角的度数) ÷ 2。

2. 作业题目：判断下列三角形是否为等腰三角形，并说明理由。

答案：判断三角形是否为等腰三角形，只需判断两腰是否相等。

如果两腰相等，则为等腰三角形。

八、课后反思及拓展延伸课后反思：本节课的教学内容较为抽象，学生可能在理解上存在一定困难。

教师应关注学生的学习情况，针对性地进行辅导，帮助学生克服困难。

拓展延伸：让学生观察生活中的等腰三角形物品，尝试解释其原理。

B组 2015—202X年全国中考题组
考点一 等腰三角形
1.(202X内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
答案
A
由根与系数的关系可得
a b ab
m
12, 2,
当a=4时,b=8;
当b=4时,a=8.
这两种情况都不能构成三角形,
∴a=b=6,∴m=34,故选A.
易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形.
2.(202X吉林,5,2分)如图,在△ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若∠B=40°, ∠C=36°,则∠DAC的度数是 ( )
中考数学
（安徽专用）
第四章 图形的认识
§ 4.(202X安徽,10,4分)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠ PBC.则线段CP长的最小值为 ( )
A. 3
2
C. 8 13
13
B.2 D.12 13
13
答案 B ∵∠PAB=∠PBC,∠PBC+∠ABP=90°,∴∠PAB+∠ABP=90°,∴∠P=90°.取AB的中点O,则P在以
AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,
∵OB= 1 AB=3,BC=4,∴OC= 32 42 =5,又OP= 1 AB=3,∴线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.
A.70° B.44° C.34° D.24° 答案 C 由作图知BA=BD,∴∠BAD=∠BDA=70°,∵∠BDA=∠C+∠DAC,∴∠DAC=∠BDA-∠C=34°,故 选C.