点集拓扑学期末考试
一、单项选择题（每题1分）
1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③
2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T
答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T
答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T
③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T
答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d
答案：④
8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④
9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②
10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④
11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）
①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④
13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
18、设{,,}X abc =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①
20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ?是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④
21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①
22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ?是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②
23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③
24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）
① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③
25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④
26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ③
27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ①
28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()d A B A B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ (())()d d A A d A ?? 答案: ④
29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（
） ① ()d A φ= ② ()d A X A =-
③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①
30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（
）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-
③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④
31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =
③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①
32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ） ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}
③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①
33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=?∈?T 是X 的拓扑，则（ ）
是T 的基.
① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈
③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③
34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.
① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}
③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②
35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③
36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④
37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②
38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ）
①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③
39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①
40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④
41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④
43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④
44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )
①T , T X φ∈? ② T ,T X φ?∈
③当T T '?时,
T T U U '∈∈ ④ 当T T '?时,T T U U '∈∈ 答案：③
45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③
46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ?,且满足()d A B A ??,则B 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑
为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=
③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③
48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑
为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②
49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑
为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=
③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②
50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①
51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=
③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②
52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=
③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④
53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）
① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②
54、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
55、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
56、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
57、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
58、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
59、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ?是它们的积空间,1A X ?，2B X ?，则有（ ） ① A B A B ?≠? ② A B A B ?=? ③()A B A B ?≠? ④ ()()()A B A B ??=???答案：②
61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ??, 则Z 为( )
①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集
答案：②
65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是平庸空间
③ 平庸空间 ④ 不连通空间
答案：③
66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是离散空间
③ 平庸空间 ④ 连通空间
答案：①
67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是连通空间
③ 平庸空间 ④ 连通空间
答案：④
68、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对
答案：④
69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对
答案：③
70、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点
答案：④
71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的
（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
答案：②
二、填空题（每题1分）
1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=
2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ= ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质
4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R
5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ?-≠
6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X
7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X
8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X
9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X
10、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部
为 ;答案：{2}
11、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部
为 ;答案：{1}
12、设{1,2,3}X =,
X 的拓扑{,,{1},{2,T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案：{1}
13、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2,T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部
为 ;答案：φ
14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=
15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=
16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2T X φ=,
则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}
17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1T X φ=,则X 的子集{1,2}A =
的内部为 ;答案：{1}
18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入
19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射
20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射
21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射
22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；答案：不连通空间
23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；答案：不连通空间
24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 答案：不连通空间
25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；
答案：在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质
28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ??? 也具有性质P ，则性质P 称为 ;答案：有限可积性质
29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ?=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ?，都有
1)f A X -?（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.
2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ?； （２）对任意的∈B A ,T 1?T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈?B A T 1且∈?B A T 2，从而∈?B A T 1?T ２；
（３）对任意的21T T T ??'，则21,T T T T ?'?'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1?T ２；
综上有T 1?T ２也是X 的拓扑．
3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√ 理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.
4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√ 理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，
所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-= ，即()p d A ?,从而 ()d A φ=.
5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈?-,从而()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ?-=,所以有()d A X A φ=-≠.
6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.
7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=（ ）答案：√
理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ?=,显然
A B φ= ，并且这时有:
()()B B X B A B B B =?=???=
从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足
,A B A B X
φ?=?=. 8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ?=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.
五．简答题（每题4分）
1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ?.试说明()()d A d B ?. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ?-≠,由于A B ?，从而({})({})U B x U A x φ?-??-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ?.
2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z → 也是连续映射.
答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---= 是X 的开集，所以:g f X Z → 是连续映射.
3、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '?∈,则x A ?，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ?-=,因此U A φ?=，即U A '?,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.
4、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ?,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'?=,因此x A ?,从而A A ?,即有A A =，这说明A 是一个闭集.
5、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T .
答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T
6、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
7、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--
8、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--
9、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
10、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
11、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?
]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
六、证明题（每题8分）
1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =? …………………………………………… 3分
于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：
111111111(()())(()())
(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ
---------???????=???=
所以11(),()
f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X
----?=?==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分
2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.
证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的开集. 又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ??,中必有一个是空集. 若Φ=?Y B ,则A Y ?;若Φ=?Y A ,则B Y ?………………… 8分
3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.
证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的闭集. 又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分 由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ??,中必有一个是空集. 若Φ=?Y B ,则A Y ?;若Φ=?Y A ,则B Y ?………………… 8分
4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个连通子集. 证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =?.因此
Y A B ?? ………………………………… 3分
由于Y 是连通的，所以Y A ?或者Y B ?,如果Y A ?，由于Z Y A ??，所以Z B A B φ???=，因此 B Z B φ=?=,同理可证如果Y B ?，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分
5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果Y γγφ∈Γ≠ ,则Y γγ∈Γ 是X 的一个连通子集.
证明：若Y γγ∈Γ 是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=? ………………………………………… 4分
任意选取x Y γγ∈Γ∈ ,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y A γγ∈Γ? 及B φ=,矛盾，
所以Y γγ∈Γ 是连通的. ………………………………………… 8分
6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ?≠,则A B ?.
证明：若B X =,则结论显然成立.
下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ?是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分
由于A B φ?≠及A 连通，所以A B A ?=，故A B ?.………… 8分
7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ?≠.
证明：若()A φ?=,由于()A A A --'?=?,从而
()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=?=???=???,
故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分 因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ?≠. ……………………………………………… 8分
点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：
练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T 1、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
一、单项选择题（将题目答案写在答题纸上，每题3分，共60分） 1、下列关于Linux操作系统的描述错误的是（D） A、GNU/Linux是Linux的全称 B、Linux是能够达到主机可靠性要求的少数操作系统之一，许多Linux主机和服务器 在国内和国外大中型企业中每天24小时，每年365天不间断地运行。这是Microsoft Windows Server等操作系统所不能比拟的。 C、Linux系统是世界上唯一能够在嵌入式设备、个人计算机、服务器、小型机直到大 型机上运行的操作系统，没有其他操作系统能够做到这一点。 D、Linux的创始人是就叫Linux 注：linux是一个多任务的多用户的多平台的在保护模式下的遵守POSIX标准的遵守SYSV和BSD扩展的遵守GPL许可的32位(也有64位)的类UNIX的开放源代码的免费操作系统。 Linux最早是Linus Torvalds在1991年开始设计开发的。 2、Linux内核主要有（D） A、进程管理 B、内存管理 C、文件管理 D、以上都包括 注：进程调度－控制着进程对CPU的访问。 内存管理－允许多个进程安全地共享主内存区域 虚拟文件系统－隐藏各种不同硬件的具体细节，为所有设备提供统一的接口。 网络－提供了对各种网络标准协议的存取和各种网络硬件的支持。 进程间通信(IPC)－支持进程间各种通信机制，包括共享内存、消息队列及管道等。 3、下列说法正确的是（C）（或者考察存储器的价格容量速度关系等） A、并发指的是真正意义的同时执行 B、并行仅指宏观上同时执行，微观上每个时间片只有一个进程执行 C、MMU是在CPU中负责内存页面映射的部件单元 D、以上说法都是正确的 注：并行是指在同一时刻，有多条指令在多个处理器上同时执行。并发是指在同一时刻，只能有一条指令执行，但多个进程指令被快速轮换执行，使得在宏观上具有多个进程同时执行的效果
1．正弦定理和余弦定理 在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 2.S △ABC ＝2ab sin C ＝2bc sin A ＝2ac sin B ＝4R ＝2(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r . 1.在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ?cos A 《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划 Linux 期末复习题 一、选择题 1.在创建Linux分区时，一定要创建（ D ）两个分区 A. FAT/NTFS B. FAT/SWAP C. NTFS/SWAP D.SW AP/根分区 2.在RHEL5中，系统默认的（ A ）用户对整个系统拥有完全的控制权。 A. root B. guest C. administrator D.supervistor. 3. 哪个目录存放用户密码信息( B ) A. /boot B. /etc C. /var D. /dev 4. 默认情况下管理员创建了一个用户，就会在( B )目录下创建一个用户主目录。 A. /usr B. /home C. /root D. /etc 5. 当使用mount进行设备或者文件系统挂载的时候，需要用到的设备名称位于( D )目录。 A. /home B. /bin C. /etc D. /dev 6. 如果要列出一个目录下的所有文件需要使用命令行( C )。 A. ls –l B. ls C. ls –a D. ls –d 7. 哪个命令可以将普通用户转换成超级用户( D) A. super B. passwd C. tar D. su 8. 除非特别指定，cp假定要拷贝的文件在下面哪个目录下( D) A. 用户目录 B. home目录 C. root目录 D. 当前目录 9. 在vi编辑器里，命令"dd"用来删除当前的( A) A. 行 B. 变量 C. 字 D. 字符 10. 当运行在多用户模式下时，用Ctrl+ALT+F*可以切换多少虚拟用户终端( B) A. 3 B. 6 C. 1 D. 12 11. Linux启动的第一个进程init启动的第一个脚本程序是( B)。 A./etc/rc.d/init.d B./etc/rc.d/rc.sysinit C./etc/rc.d/rc5.d D./etc/rc.d/rc3.d 12. 按下( A)键能终止当前运行的命令 A. Ctrl-C B. Ctrl-F C. Ctrl-B D. Ctrl-D 13. 下面哪个命令用来启动X Window ( B) A. runx B. Startx C. startX D. xwin 14. 用"rm -i",系统会提示什么来让你确认( B) A. 命令行的每个选项 B. 是否真的删除 C. 是否有写的权限 D. 文件的位置 15. 以下哪个命令可以终止一个用户的所有进程( D) A. skillall B. skill C. kill D. killall 16. vi中哪条命令是不保存强制退出( C) A. :wq B. :wq! C. :q! D. :quit 二、填空题 1 在Linux系统中，以＿文件＿＿方式访问设备。 2. Linux内核引导时，从文件＿/etc/fstad＿＿＿中读取要加载的文件系统。 3. 某文件的权限为：d-rw-_r--_r--，用数值形式表示该权限,该文件属性是___目录_____。 4. 安装Linux系统对硬盘分区时，必须有两种分区类型：__文件系统分区_______ 和__交换分区_________。 1. 解：cos cos cos ,sin cos sin cos sin cos a A b B c C A A B B C C +=+= sin 2sin 2sin 2,2sin()cos()2sin cos A B C A B A B C C +=+-= cos()cos(),2cos cos 0A B A B A B -=-+= cos 0A =或cos 0B =，得2A π=或2B π= 所以△ABC 是直角三角形。 2. 证明：将ac b c a B 2cos 222-+=，bc a c b A 2cos 2 22-+=代入右边 得右边22222222 22()222a c b b c a a b c abc abc ab +-+--=-= 22a b a b ab b a -==-=左边， ∴)cos cos (a A b B c a b b a -=- 3．证明：∵△AB C 是锐角三角形，∴,2A B π+>即022A B ππ>>-> ∴sin sin()2 A B π >-，即sin cos A B >；同理sin cos B C >；sin cos C A > ∴C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++ 4.解：∵2,a c b +=∴sin sin 2sin A C B +=，即2sin cos 4sin cos 2222 A C A C B B +-=， ∴1sin cos 222B A C -==0,22 B π<<∴cos 2B = ∴sin 2sin cos 22244B B B ==?=839 5解：22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B ++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A B π===+=或2 ∴等腰或直角三角形 6解：2sin sin 2sin sin )sin ,R A A R C C b B ?-?=- 222sin sin )sin ,,a A c C b B a c b -=--=- 下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。 反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。 2、欧式直线1E 是紧致空间。 答：这个说法是错误的。 反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路 连通空间。 答：这个说法是正确的。 证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。 答：这个说法是正确的。 下面用反证法证明，反设I 与1S 同胚，则 ? ???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ? ?????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。 反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分） 1、规定[)111,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。 证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引 理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集， 但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。 Linux 期末考试试题(一) 一、选择题 (每小题2分，共50分) 1.在创建Linux分区时，一定要创建（ D ）两个分区 A. FAT/NTFS B. FAT/SWAP C. NTFS/SWAP D.SWAP/根分区 2.在Red Hat Linux 9中，系统默认的（A）用户对整个系统拥有完全的控制权。 A. root B. guest C. administrator D.supervistor. 3. 当登录Linux时，一个具有唯一进程ID号的shell将被调用，这个ID是什么( B ) A. NID B. PID C. UID D. CID 4. 下面哪个命令是用来定义shell的全局变量( D ) A. exportfs B. alias C. exports D. export 5. 哪个目录存放用户密码信息( B ) A. /boot B. /etc C. /var D. /dev 6. 默认情况下管理员创建了一个用户，就会在( B )目录下创建一个用户主目录。 A. /usr B. /home C. /root D. /etc 7. . 当使用mount进行设备或者文件系统挂载的时候，需要用到的设备名称位于( D )目录。 A. /home B. /bin C. /etc D. /dev 8. 如果要列出一个目录下的所有文件需要使用命令行( C )。 A. ls –l B. ls C. ls –a(所有) D. ls –d 9. 哪个命令可以将普通用户转换成超级用户(D ) A. super B. passwd C. tar D. su 10. 除非特别指定，cp假定要拷贝的文件在下面哪个目录下( D ) A. 用户目录 B. home目录 C. root目录 D. 当前目录 一、知识梳理 1．内角和定理：在ABC ?中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 面积公式: 111 sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?= == 在三角形中大边对大角，反之亦然. 2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二： ?? ? ??===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 形式三：::sin :sin :sin a b c A B C = 形式四： sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == 3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 2 2 2 2cos b c a ca B =+- 222 2cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具) 形式二： 222cos 2b c a A bc +-= 222cos 2a c b B ac +-= 222 cos 2a b c C ab +-= 二、方法归纳 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A +B +C =π及sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求b 、c . (2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2 -2b c cosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C . (3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C . (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C =π-(A +B )，求出c ，再由sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况 a = b sinA 有一解 b >a >b sinA 有两解 a ≥b 有一解 a >b 有一解 三、课堂精讲例题 问题一：利用正弦定理解三角形 L i n u x期末考试复习题 --completedonNov17,2013bylvlv 一、选择题 1．下列关于Linux说法中，不正确的是(B) A.Linux操作系统具有虚拟内存的能力 B.Linux操作系统不是UNIX系统的变种，因此Linux上程序不适合UNIX平台上运行 C.Linux操作系统不限制应用程序可用内存的大小 D.Linux操作系统支持多用户，在同一时间可以有多个用户使用主机 解析：与传统的网络操作系统相比，Linux操作系统主要有以下几个特点：不限制应用程序可用内存的大小；具有虚拟内存的能力，可以利用硬盘来扩展内存：允许在同一时间内，运行多个应用程序；支持多用户，在同一时间内可以有多个用户使用主机；具有先进的网络能力，可以通过TCP/IP协议与其他计算机连接，通过网络进行分布式处理；符合Unix标准，可以将Linux上完成的程序移植到Unix主机上去运行；Linux操作系统是免费软件，并且开放源代码，这是其与其他网络操作系统最大的区别。 2．Linux交换分区的作用是(C)。 A．保存系统软件B．保存访问过的网页文件 C．虚拟内存空间D．作为用户的主目录 3.如果执行命令#chmod746file.txt，那么该文件的权限是（A）。 A.rwxr--rw- B.rw-r--r-- C.--xr—rwx D.rwxr--r— 4.Linux有三个查看文件的命令，若希望在查看文件内容过程中可以用光标上下移动来查看文件内容，应使用命令（C） A．catB.moreC.less???D.menu 解析： less具有more相同的功能，同时支持方向键和前翻页，后翻页滚屏。 more只能用空格键下翻，不小心翻多了就没法反回看。 5.若一台计算机的内存为8GB，则交换分区的大小通常是（C） A．64GBB.128GBC.16GB???D.32GB 解析:交换分区的大小一般为内存的两倍. 6.在使用mkdir命令创建新的目录时，在其父目录不存在时先创建父目录的选项是（B） A．-mB.-pC.-f???D.-d 7.为了能够把新建立的文件系统mount到系统目录中，我们还需要指定该文件系统的在整个目录结构中的位置，或称为（B）。 A.子目录 B.挂载点 C.新分区 D.目录树 8.文件exer1的访问权限为rw-r--r--，现要增加所有用户的执行权限和同组用户的写权限，下列命令正确的是（A） A．chmoda+x,g+wexer1B．chmod765exer1 C．chmodo+xexer1D．chmodg+wexer1 9.关闭linux系统（不重新启动）可使用-命令（C） A．ctrl+alt+del?B．shutdown-r?C．haltD．reboot 解析：ctrl+alt+del：A是退出系统会话 10.(C)命令可实现重新启动Linux操作系统。 A．init0B．haltC．shutdown-rD．shutdown-h 解析： init是所有进程的祖先，其进程号始终为1。init用于切换系统的运行级别，切换的工作是立即完成的。init0命令用于立即将系统运行级别切换为0，即关机；init6命令用于将系统运行级别切换为6，即重新启动。 解三角形的必备知识和典型例题及习题一、知识必备： 1．直角三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 2 2 2 （1）三边之间的关系： a ＋ b ＝c 。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 2．斜三角形中各元素间的关系： 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 a sin A b sin B c sin C 2R （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ＝ b ＋ c －2bc cos A； b ＝c ＋a －2ca cos B； c ＝a ＋b －2ab cos C。 3 ．三角形的面积公式： （1）S ＝1 2 ah a＝ 1 2 bh b＝ 1 2 ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）； （2）S ＝1 2 ab sin C＝ 1 2 bc sin A＝ 1 2 ac sin B； 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题： 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题： 第1、已知三边求三角. 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 点集拓扑学~非同凡响畅想系列 注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 第一节：关系与映射 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,,Λc b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 Linuxreg;在此扮演着极为重要的角色。探索云计算，了解其中的奥秘。 Linux期末考试试题(一) 一、选择题(每小题2分，共50分) 1.在创建Linux分区时，一定要创建（D）两个分区 A.FAT/NTFS B.FAT/SWAP C.NTFS/SWAP D.SWAP/根分区 2.在RedHatLinux9中，系统默认的（A）用户对整个系统拥有完全的控制权。 A.root B.guest C.administrator D.supervistor. 3.当登录Linux时，一个具有唯一进程ID号的shell将被调用，这个ID是什么( B) A.NID B.PID C.UID D.CID 4.下面哪个命令是用来定义shell的全局变量( D ) A.exportfs B.alias C.exports D.export 5.哪个目录存放用户密码信息( B) A./boot B./etc C./var D./dev 6.默认情况下管理员创建了一个用户，就会在(B )目录下创建一个用户主目录。 A./usr B./home C./root D./etc 7..当使用mount进行设备或者文件系统挂载的时候，需要用到的设备名称位于(D)目录。 A./home B./bin C./etc D./dev 8.如果要列出一个目录下的所有文件需要使用命令行( C )。 A.ls–l B.ls C.ls–a(所有) D.ls–d 9.哪个命令可以将普通用户转换成超级用户(D ) A.super B.passwd C.tar D.su 10.除非特别指定，cp假定要拷贝的文件在下面哪个目录下( D) A.用户目录 B.home目录 C.root目录 D.当前目录 11.在vi编辑器里，命令"dd"用来删除当前的(A ) A.行 B.变量 C.字 D.字符 12.当运行在多用户模式下时，用Ctrl+ALT+F*可以切换多少虚拟用户终端(B ) 解三角形三类经典类型 类型一 判断三角形形状 类型二 求范围与最值 类型三 求值专题 类型一 判断三角形形状 例1：已知△ABC 中,bsinB=csinC,且C B A 2 22sin sin sin +=,试判断三角形的形状． 解：∵bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2B=sin 2 C ，∴ sinB=sinC ∴ B=C 由 C B A 222sin sin sin += 得 2 22c b a += ∴三角形为等腰直角三角形． 例２：在△ABC 中，若Ｂ=ο 60，２b=a+c,试判断△ABC 的形状. 解:∵２b=a+c, 由正弦定理得2sinB=sinA+sinC,由B=ο 60得sinA+sinC=3 由三角形内角和定理知sinA+sin(A -ο 120)=3,整理得 sin(A+ο30)=1 ∴A+ο ο ο 60,9030==A 即,所以三角形为等边三角形. 例3：在△ABC 中，已知2 2 tan tan b a B A =，试判断△ABC 的形状． 解：法1：由题意得 B A A B B A 2 2sin sin cos sin cos sin =，化简整理得sinAcosA=sinBcosB 即sin2A=sin2B ∴2A=2B 或2A+2B=π ∴A=B 或2 π = +B A ，∴三角形的形状为等腰三角形或直角三角形． 法2：由已知得22cos sin cos sin b a A B B A =结合正、余弦定理得2 222222222b a bc a c b b a c b c a a =-+? -+? ， 整理得0))((2 2 2 2 2 =-+-c b a b a ∴ 2 2222c b a b a =+=或 即三角形为等腰三角形或直角三角形 例4：在△ABC 中，（1）已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； （2）已知sinA= C B C B cos cos sin sin ++，试判断三角形的形状． 解：(1)由三角形内角和定理得 sin(B+C)=2cosBsinC 整理得sinBcosC －cosBsinC=0即sin(B －C)=0 ∴ B=C 即三角形为等腰三角形. (2)由已知得 sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC ，结合正、余弦定理得 §5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集． 定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T. Linux 期末复习题(一) 一、选择题 (每小题2分，共50分) 2.在Ubuntu Linux中，系统默认的（A）用户对整个系统拥有完全的控制权。 A. root B. guest C. administrator D.supervistor. 3. 当登录Linux时，一个具有唯一进程ID号的shell将被调用，这个ID是什么( B ) A. NID B. PID C. UID D. CID 4. 下面哪个命令是用来定义shell的全局变量( D ) A. exportfs B. alias C. exports D. export 5. 哪个目录存放用户密码信息( B ) A. /boot B. /etc C. /var D. /dev 6. 默认情况下管理员创建了一个用户，就会在( B )目录下创建一个用户主目录。 A. /usr B. /home C. /root D. /etc 7. . 当使用mount进行设备或者文件系统挂载的时候，需要用到的设备名称位于( D )目录。 A. /home B. /bin C. /etc D. /dev 8. 如果要列出一个目录下的所有文件需要使用命令行( C )。 A. ls –l B. ls C. ls –a(所有) D. ls –d 9. 哪个命令可以将普通用户转换成超级用户(D ) A. super B. passwd C. tar D. su 10. 除非特别指定，cp假定要拷贝的文件在下面哪个目录下( D ) A. 用户目录 B. home目录 C. root目录 D. 当前目录 11. 在vi编辑器里，命令"dd"用来删除当前的( A ) A. 行 B. 变量 C. 字 D. 字符 14. 按下(A )键能终止当前运行的命令 A. Ctrl-C B. Ctrl-F C. Ctrl-B D. Ctrl-D 17. 用"rm -i",系统会提示什么来让你确认( B ) A. 命令行的每个选项 B. 是否真的删除 C. 是否有写的权限 D. 文件的位置 18. 以下哪个命令可以终止一个用户的所有进程( D ) A. skillall B. skill C. kill D. killall 19.在Ubuntu Linux中，一般用（D ）命令来查看网络接口的状态 A. ping B. ipconfig C. winipcfg D ifconfig 20. vi中哪条命令是不保存强制退出( C )（第五章） A. :wq B. :wq! C. :q! D. :quit 22.在下列分区中，Linux默认的分区是（B ） A. FAT32 B. EXT3 C FAT .D NTFS 24.如果用户想对某一命令详细的了解，可用（C） A. ls B. help （内部） C. man（列举的信息多） D dir 二、填空题 (每空1分，共10分) 26. 在Linux系统中，以＿文件的＿方式访问设备。 29. 某文件的权限为：d-rw-_r--_r--，用数值形式表示该权限644,该文件属性是目录。 30. 静态路由设定后，若网络拓扑结构发生变化，需由__系统管理员___修改路由的设置。 33. 编写的Shell程序运行前必须赋予该脚本文件__执行___权限。 《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B =tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4cos =?==B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2 在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 133330tan =?=?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ． 分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： ∴ 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解． 解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有， 则有 说明还可以这样求：点集拓扑学教学大纲
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