点集拓扑学练习题参考答案（第7章）
一、单项选择题
1、若拓扑空间X的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个（）
① lindeloff空间②正则空间③紧致空间④可分空间
答案：③
2、紧致空间中的每一个闭子集都是（）
①非紧致子集②开集③紧致子集④以上都不对
答案：③
3、Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是（）
①即开又闭子集②开集③闭集④以上都不对
答案：③
4、拓扑空间X的任何一个有限子集都是（）
①闭集②紧致子集③非紧致子集④开集
答案：②
5、实数空间R的子集{1,2,3,4}
A 是（）
①闭集②紧致子集③开集④非紧致子集
答案：①②
6、如果拓扑空间X的每个紧致子集都是闭集，则X是（）
①
T空间②紧致空间③可数补空间④非紧致空间
2
答案：①
7、设X是拓扑空间，A是X的子集，则下列不正确的命题是 ( )
①. 若A是序列紧致的，则A是可数紧致的
②. A是列紧的当且仅当A是序列紧致的
③. 若A是可数紧致的，则A是列紧的
④. 若A是紧致的，则A是列紧的
答案：②
二、填空题（每题1分）
1、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 .
答案：紧致空间
2、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间， 则称Y 是拓扑空间X 的一个 .
答案：紧致子集
3、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个 可数紧致空间
4、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一 个 .
答案：列紧空间
5、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空
间X 是一个 .
答案：序列紧致空间
6. 当X 为___________________________空间，则X 的闭集是紧致子集；
X 为___________________________空间，则X 的紧致子集是闭集；
7. X 为__________________________________, 且为序列紧空间时, X 为可数紧空间. 8.Y f →]1,0[:为连续的满射，则Y 是 。
（填Y 具有哪些具体的紧致性、可数性、分离性等性质，写3个）
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ⋃是一个紧致子集.( )
答案：√
理由：设 A 是一个由X 中的开集构成的A B ⋃的覆盖，由于A 和B 都是X 的紧致
子集，从而存在A 的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖，故12⋃A A 是A 的有限子族且覆盖A B ⋃，所以A B ⋃是紧致子集.
2、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )
答案：√
理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ∉，则
易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.
四．简答题（每题4分）
1、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.
答案：如果X 的无穷子集的A 没有凝聚点，则对于任意x X ∈，有开邻域x U ，使得
(){}x U A x φ⋂-=，于是X 的开覆盖{|}x U x X ∈没有有限子覆盖，从而X 不是紧致空间，矛盾.故紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.
2、如果X Y ⨯是紧致空间，则X 是紧致空间.
答案：考虑投射1:P X Y X ⨯→，由于1:P X Y X ⨯→是一个连续的满射，
从而由X Y ⨯紧致知X 是一个紧致空间.
3、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.
答案：如果A 是Y 的任意一个由X 中的开集构成的覆盖，则{}Y '⋃B =A 是X 的一个开覆盖.设1 B 是B 的一个有限子族并且覆盖X .则1{}Y '- B 便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，从而Y 是紧致子集.
五、证明题（每题8分）
1、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个连续映射.如果A 是X 的一个紧致子集，
证明()f A 是Y 的一个紧致子集.
证明：设C 是()f A 的一个由Y 中的开集构成的覆盖.对于任意C ∈C ，1()f C -是X 中的一个开集，由于()c C f A ∈⊃C ,从而有：
111()(
)(())C C f C f C f f A A ---∈∈=⊃⊃C C
所以A 1()|f C C -∈A={C}是一个由X 中的开集构成的A 的覆盖.
由于A 是X 的一个紧致子集，所以A 有一个有限子族，设为111{(),,()}n f C f C --覆
盖A .
因为11111()()()n n f C f C f C C A ---⋃
⋃=⋃⋃⊃，从而1()n C C f A ⋃⋃⊃， 即1{,,}n C C 是C 的一个子族并且覆盖()f A ，因此()f A 是Y 的一个紧致子集.
2、设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，X Y ⊂.证明：如果A Y A ⊃⊃,则
Y 也是X 的一个紧致子集.
证明：设A 是任意一个由X 中的开集构成的Y 的覆盖，因此A 也是A 的一个覆盖，由于A 是X 的紧致子集，从而A 有有限个成员n A A ,,1 使得 n
i i A A 1=⊃.
由于A 是正则空间的紧致子集，从而A 有一个开邻域U ，使得 n
i i A U 1=⊂,
从而有 Y A A n
i i ⊃⊃= 1, 从而A 有有限子族},,{1n A A 覆盖Y ，
因此Y 是X 的一个紧致子集.
3、设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集.证明：A 也是X 的一个紧致子集.
证明：设A 是任意一个由X 中的开集构成的A 的覆盖，因此A 也是A 的一个覆盖，由于A 是X 的紧致子集，从而A 有有限个成员n A A ,,1 使得 n
i i A A 1=⊃.
由于A 是正则空间的紧致子集，从而A 有一个开邻域U ，使得 n
i i A U 1=⊂, 从而有A A n
i i ⊃= 1,从而A 有有限子族},,{1n A A 覆盖A ， 因此A 是X 的一个紧致子集.
4、设X 是一个Hausdorff 空间，A 是它的一个非空集族，由X 的紧致子集构成，证明：
A A ∈A 是X 的一个紧致子集.
证明：对于任意A ∈A ，易知A 是X 的一个闭集，
