新课程之＂螺旋式上升＂谢展红摘要：当前我国的基础教育新课程中，课程设计和教材编排都体现了＂螺旋式上升＂的原则，同时也＂螺旋式上升＂地呈现出数学的重要概念、定理与思想方法。
这些都体现在新教材的课程内容，例题及习题中．关键词：新课改螺旋式上升衔接正文：“螺旋式上升”的课程设计和教材编排兴起于“螺旋式课程”。
“螺旋式课程”(Spiral Curricu—lum)是美国著名教育家、心理学家布鲁纳(J．S．Bruner)在20世纪60年代提出的，意指根据某一学科知识的“概念结构”，以促进学生认知能力发展为目的的一种课程设计。
其基本假设是，任何教材都可以用某种合理的形式来教给任何发展阶段的儿童。
“螺旋式课程”提供了一套具有逻辑先后顺序的概念组合，让学生在一定的时间内学习、探索一套逐渐加深、拓宽的复杂概念体系。
具体来讲，一门课程在教学中反复回到一些基本概念和原理，并以这些基本概念和原理为基础，直到学生掌握与这些基本概念和原理相适应的整个体系。
就是说，在教学中，应该将比较高深的科学知识让学生从低年级起就开始接触，随着年级的升高反复多次学习，逐渐加深理解，最终做到真正的掌握。
但这并非就是在一开始就让低年级学生去学习艰深的公理、概念、公式，而是要用适合学生能力的方式来教学。
教什么知识，使用什么教学方法，都需要经过慎重的选择。
新课程在我省实施已经将近五年时间在课程内容的设计和安排上体现了“螺旋式上升”的原则，即一个模块的知识分散在不同的几本书上慢慢讲,“螺旋式上升”地呈现出数学的重要概念、定理与思想方法，这与以往教材有很大不同，以前的高中数学教材都是以知识块或者专题形式编写，属于一杆到底，独立成篇。
下面从几个方面谈谈对此的看法一、从课程内容的安排上理解＂螺旋式上升＂1、函数：在《数学1》（函数的概念与基本初等函数），《数学4》（三角函数），《数学5》（数列），《数学2-2》（导数及其应用）都分阶段，分层次逐步深入学习函数内容。
数学归纳法的应用(共11页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-数学归纳法的应用姓名甘国优指导教师赵慧炜中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力．关键词：数学归纳法；步骤;证明方法．Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application．Key words：Mathematical induction; Steps ; Proof.引言演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先我们要了解归纳法与数学归纳法的思想，由思想转换为思路来解决实际问题.当然我们在中学所学习的比较浅显，因此需要进行整理疏通总结，并学以致用其思想，在应用数学归纳法时所需的一些问题进行整理,了解数学归纳法在中学代数及几何问题方面的应用更深刻总结数学归纳法的重难点及解题技巧，选取典型例题来体现这一思想，抓住其最基本的步骤并掌握数学归纳法的证明方法．1 数学归纳法的概论数学常用证明方法数学是门极其注重学习方法的学科,数学恒等式的证明使这些方法体现的完美无缺，而常用的数学证明方法有以下几种；演绎推理由一般推理到特殊的推理方法称为演绎推理，又叫演绎法．归纳推理由特殊到一般的推理方法称为归纳推理法，又叫归纳法．其中归纳法又分为完全归纳法与不完全归纳法．完全归纳法探讨事物的全部特殊情况后得出一般结论的推理方法称为完全归纳法，又叫枚举法．不完全归纳法由某类事物中一部分事物所具有的某种属性，推出此类事物全部都具有这种属性的归纳推理方法称为不完全归纳法．数学归纳法数学归纳法证明是与自然数N有关的命题的一种特殊方法．（在高中数学中常用来证明不等式成立和数列通项公式成立）数学归纳法的定义数学归纳法定义: 是一种先得出首个例子的正确性,再通过递推的方式证明命题是否正确的一种方法．它是以考察特殊、个别的情况后作出的判断作为基础.再从这些个别情况的判断归纳出一般的结论,也可以说,它是从特殊到一般的推理方法.即当n=1正确时,若在n=k正确的情况下,n=k+l也是正确的,便可递推下去.虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证,但事实上,这种递推就已经把所有自然数都验证了,这种方法就是数学归纳法.2 数学归纳法的背景与原理背景数学归纳法最早的痕迹可以在古希腊时代和印度的著作中找到丝缕痕迹，如欧几里德素数无限的证明中和印度婆什迦罗的“循环方法”都可以找到这种痕迹．有资料和数据表明，在中世纪伊斯兰数学中就已经比较清晰、广泛地使用了数学归纳法中归纳推理．而数学归纳法真正明确使用的是意大利数学家、天文学家和工程师莫洛里科斯，而他也尚未对数学归纳法证明中的归纳奠基和归纳推理两个步骤进行清楚的阐述．真正清楚数学归纳法证明这两步的应是17世纪的数学家帕斯卡，最早是他将数学归纳法的证明用两步确定下来.而“数学归纳法”名称是英国数学家提出的, 并由英国教科书作者普遍使用并推广．数学归纳法的严格建立，是对无穷概念有较深刻的认识和数的理论充分发展后才得以完成．十七世纪后，数学归纳法有了明晰的框架，后来发展出了最小数原理、第一和第二数学归纳法、递减归纳法、螺旋归纳法、倒推纳法、跳跃归纳法、双重甚至多重归纳法等多种形式的数学归纳法．至1889年意大利数学家皮亚诺发表《算术原理新方法》，给出自然数的公理体系，使数学归纳法有了一个合理、准确的理论基础．归纳法的逻辑是指从有限的特殊事例推出一般性结论的推理方法，从肯定全体对象中的有限的个别事物到肯定全体对象．但数学归纳法并不具备这些特性．演绎法是由一般到具体结论的推理方法，演绎推进的前提必然蕴涵结论。
数学归纳法数学上证明与自然数N有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
基本步骤（一）第一数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n)，有如下步骤：（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。
n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。
（二）第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题P(n)，（1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设n0≤n<=k时P(n)成立，并在此基础上，推出P(k+1)成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立。
（三）倒推归纳法（反向归纳法）：（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n)成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；（2）假设P(k+1)（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k)成立，综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n)都成立；（四）螺旋式归纳法对两个与自然数有关的命题P(n)，Q(n)，（1）验证n=n0时P(n)成立；（2）假设P(k)（k>n0）成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立；综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n)，Q(n)都成立。
应用（1）确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他的形式在一个无穷序列是成立的。
（2）数理逻辑和计算机科学广义的形式的观点指出能被求出值的表达式是等价表达式。
（3）证明数列前n项和与通项公式的成立。
（4）证明和自然数有关的不等式。
数学归纳法的变体在应用，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。
下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
