经典易错题总汇编极限与数学归纳法
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经典易错题会诊与试题预测（十四）考点14 极限►数学归纳法 ►数列的极限 ►函数的极限 ►函数的连续性►数学归纳法在数列中的应用 ►数列的极限 ►函数的极限 ►函数的连续性 经典易错题会诊 命题角度 1 数学归纳法1．（典型例题）已知a>0,数列{a n }满足a 1=a,a n+1=a+na 1,n=1,2,…. (Ⅰ)已知数列{a n }极限存在且大于零，求A=n n a ∞→lim (将A 用a 表示)；(Ⅱ)设b n =a n -A,n=1,2…,证明：bn+1=-;)(A b A b n n+(Ⅲ)若|bn|≤n21, 对n=1,2…都成立，求a 的取值范围。
[考场错解] (Ⅰ)由n n a ∞→lim ，存在，且A=n n a ∞→lim （A>0）,对a a+1=a+n a 1两边取极限得，A=a+A1. 解得A=.242+±a a 又A>0, ∴A=.242++a a(Ⅱ)由a n +b n +A,a n+1=a+n a 1得b n+1+A=a+Ab n +1. ∴.)(1111A b A b A b A A b A a b n nn n n +-=++-=++-=+ 即)(1A b A b b n nn +-=+对n=1,2…都成立。
(Ⅲ)∵对n=1,2,…|bn|≤n21，则取n=1时，21||1≤b ,得.21|4(21|2≤++-a a a ∴14.21|)4(21|22≤-+∴≤-+a a a a ,解得23≥a 。
[专家把脉] 第Ⅲ问中以特值代替一般，而且不知{b n }数列的增减性，更不能以b 1取代b n . [对症下药] (Ⅰ) (Ⅱ)同上。
(Ⅲ)令|b 1|≤21,得.21|)4(21|2≤++-a a a ∴.21|421|2≤-+a a ∴.23,142≥≤-+a a a 解得 现证明当23≥a 时，n nb 21||≤对n=1,2,…都成立。
(i)当n=1时结论成立（已验证）。
(ii)假设当n=k(k ≥1)时结论成立，即kk b 21||≤，那么.21||1|)(|||||1k k k k k A b A A b A b b ⨯+≤+=+故只须证明21||1≤+A b A k ，即证A|bk+A|≥2对a ≥23成立由于,422422aa a a A -+=++=而当a ≥23时，而当a ≥23时，.2,142≥∴≤-+A a a ∴,1212||||≥-≥-≥+k k k b A A b 即A|b k +A|≥2. 故当a ≥23时，.212121||11++=⨯≤k kk b即n=k+1时结论成立。
根据(i)和(ii)，可知结论对一切正整数都成立。
故|bn|≤n21对n=1,2,…都成立的a 的取值范围为[+∞,23]2．(典型例题)已知数列{a n }中,a 1=3,前n 项和S n 满足条件S n =6-2a n+1.计算a 2、a 3、a 4,然后猜想a n 的表达式。
并证明你的结论。
[考场错解] 当n ≥2时，a n =S n -S n-1=6-2a n+1-(6-2a n )=2a n -2a n+1,即a n+1=21a n .因为a 1=3,所以a 2=21a 1=23,a 3=21a 2=43,a 4=21a 3=.83由此猜想a n =)(23*1N n n ∈-① 当n=1时，a 1=1123-=3,结论成立；② 假设当n=k(k ≥1)时结论成立，即a k =123-k 成立，则当n=k+1时，因为a k+1=21a k ，所以,211=+k k a a 又a 1=3,所以{an}是首项为3公比为21的等比数列。
由此得a k+1=3·（21）k+1-1=1123-+k ,这表明，当n=k+1时结论也成立。
由①、②可知，猜想对任意n ∈N*都成立。
[专家把脉] ①应由a 1=S 1=6-2a 2,求得a 2=23,再由a n+1=21an(n ≥2)求得a 3=43,a 4=83,进而由此猜想an=123-n (n ∈E*).②用数学归纳法证明猜想时，没有利用归纳假设123-=k k a ，而是根据等比列的通项公式求得a k+1=1123-+k .这种证明不属于数学归纳法。
[对症下药] 由a 1=S 1=6-2a 2,a 1=3,得a 2=.23当n ≥2时，a n =S n -S n -1=6-2a n+1-(6-2a n )=2a n -2a n+1,即a n+1=21a n .将a 2=23代入得a 3=21a 2=43,a 4=21a 3=83,由此猜想a n =*).(231N n n ∈-下面用数学归纳法证明猜想成立。
①当n=1时，a 1=3311=-a,猜想成立；②假设当n=k(k ≥1)时结论成立，即a k =123-k 成立，则当n=k+1时，因为a k+1=21a k ，所以a k+1=21·123-k =112323-+=k k 这表明，当n=k+1时结论也成立。
由①，②可知，猜想对n ∈N*都成立。
3．（典型例题）已知不等式21+31+…+n 1>21[log 2n],其中n 为大于2的整数，[log 2n]表示不超过log 2n 的最大整数。
设数列{a n }的各项为正，且满足a 1=b(b>0),a n ≤11-+-n n a n na ,n=2,3,4,….(Ⅰ)证明：a n ≤][log 222n b b+，n=2,3,4,5,…;(Ⅱ)猜测数列{a n }是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当n>N 时，对任意b>0,都有a n <51. [考场错解] （1）利用数学归纳法证明不等式：.)(1bn f ba n •+≤1）当a=3时，b f ba a a a a a n •+=++≤+=+≤)3(112231333311222知不等式成立。
2）假设n=k(k ≤3)时，ak ≤,)(1b k f b +则.)1(1111)1()1(1bk f ba k k a k a k a kk k k •++≤+++=+++≤+即n=k+1时，不等式成立。
(Ⅱ)有极限，且.0=∞→n n n a lina(Ⅲ).51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令Θ解得n>10=1024.取N=1024,有a n <51.[专家把脉] （1）在运用数学归纳证明时，第n-k+1步时，一定要运用归纳假设进行不等式放缩与转化，不能去拼凑。
[对症下药] （Ⅰ）证法1：∵当n ≥2时，0<a n ≤,11-+-n n a n ma ∴na a n a na a n a n n n n n n 1111,111111≥--+-=--+≥即,于是有n a a a a a a n n 1111,,3111,21112312≥--≥-≥-Λ，所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥-Λ 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵a1<b,∴.2][log 2][log 211122bn b n b a n +=+>∴an<.][log 222n b b+证法2：设f(n)=n 13121+++Λ,首先利用数学归纳法证不等式,)(1bn f ba n +≤n=3,4,5,….(i)当n=3时，由.)3(1122313333112223b f ba a a a a a +=++≤+=+≤知不等式成立。
(ii)假设当n=k(k ≥3)时，不等式成立，即a k ≤,)(1bk f b+则a k+1≤,)1(1]11)([1)()1()1()1(1)(1)1(1111)1()1(b k f bb k k f b b b k f k k b k b b k f k k a k k a k a k k k k ++=+++=+++++=++•++≤+++=+++即当n=k+1时，不等式也成立。
由（i ）、（ii ）知，a n ≤bn f b)(1+n=3,4,5,….又由已知不等式得,][22][log 21122n bog b bb n b a n +=+<n=3,4,5,….(Ⅱ)有极限，且0lim =∞→n n a ,(Ⅲ) ∵51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令，则有log 2n ≥[log 2n]>10,⇒n>210=1024,故取N=1024，可使当n>N 时 ,都有a n <51专家会诊1．一般与自然数相关的命题，或有关代数恒等式的证明，三角恒等式、三角不等式、整除性、与数列有关的问题和有关几何问题都可用数学归纳法。
2．运用数学归纳法证明时，第二步是关键、必须用到归纳假设，否则就不是数学归纳法的证明。
考场思维训练1 用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ·1·3· 5…(2n-1)(n ∈N +)”时，从n=k 到n=k+1,给等式的左边需要增乘的代数式是 （ ）132.1)22)(12(.112.12.++++++++k k D k k k C k k B k A 答案： C 解析：略2 曲线C ：xy=1(x>0)与直线l:y=x 相交于A 1,作A 1B 1⊥l 交x 轴于B 1,作B 1A 2∥l 交曲线C 于A 2…依此类推。
（1）求点A 1、A 2、A 3和B 1、B 2、B 3的坐标；答案： A 1(1,1)、A 2（2+1, 2-1）、A 3（3+2,3-2）、B 1（2,0）、B 2（22,0）、B 3（23,0） （2）猜想A n 的坐标，并加以证明； 答案： A n ()1,1---+n n n n ,证明略. （3）.||lim11nn n n n B B B B -+∞→答案：设A n ().0,(),,1n n n nb B a a 由题图：A 1（1，1），B1（2，0） ∵a 1=1,b 1=2且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+=-)(1111上在直线n n n nn nn b x y A bn a a a a b Θ ∴11lim22lim |1||1|lim1---+==-+∞→+∞→∞→n n nn a a B B B B n n n n n n n n n ，分子分母乘以（)1)(1-+++n n n n ） 及∞→n lim1111111lim11=++-+=++-+∞→nnnn n n n3 设数列a1,a2,…，an,…的前n 项的和Sn 和an 的关系是Sn=1-ban-,)1(1nb +其中b 是与n 无关的常数，且b ≠-1。
