10312数学归纳法与数列的极限(答案)
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第十二讲：数学归纳法与数列的极限知识小结：1,,,(1)(12,);()(2)(1,2,),1;()(3)(1)(2)*,.n n n k k n k n N ===≥=+∈、数学归纳法用于证明一些与正整数有关的命题即通过对有限个正整数证明命题成立推广到对一切正整数命题都成立的思想方法主要步骤为证明起始命题成立即或命题成立这是证明的基础假设时命题成立由假设条件推出当时命题成立这是递推的关键由、可知对于命题均成立注意数学归纳法的证明格式！数学归纳法的原理2(2),,1.3,.,,.n k n k ==+就像多米勒骨牌！、证题的关键在于用好归纳假设在一般的情况下，由假设时命题成立为出发点推出命题成立即可、数学归纳法在证明过程中要用到许多数学知识综合性较强有时在解决问题时需要先通过归纳得出结论再用数学归纳法证明那么要求能正确地归纳4.数列的极限：一般地，在无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的项无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或叫做数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞=。
注意点：1）只有无穷数列，当n 趋近于无穷大时，n a 无限趋近于某一常数；2）对于数列{}n a ，当n 无穷增大时，n a 无限趋近于某一定值时c ，是通过n a c -无限趋近于零来描述的。
这里n a c -无限趋近于零，是指不论取一个值多么小的正数（可以任意给定），总可以通过取n 充分大以后，使n a c -充分接近于零，如果这个任意小的正数用ε来表示，那么当n 充分大时，总有n a c ε-<。
3）极限值只有一个值，如趋近于两个值一定没有极限。
5.极限的运算性质性质：lim ,lim ,(1)lim()lim lim .(2)lim()lim lim .lim (3)lim (0,0).lim n n n x n n n n n n x n n n n n n x n n n n n nn x a A b B a b a b A B a b a b A B a a A B b b b B →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞==±=±=±⋅=⋅=⋅==≠≠1)如果则注意：我们只研究极限存在的运算。
2）几个重要极限：0lim ;lim 0;lim 1nn n n C C C q n →∞→∞→∞⎧⎪===⎨⎪⎩不存在 1111q q q q <=>=-或11101110lim 0k l k k k k l l n l l a b a n a n a n a b n b n b l b ---→∞-⎧⎪⎪++++⎪=⎨++++⎪⎪⎪⎩不存在 l k l k l k=>< 6.无穷等比数列各项和的和的概念：我们把1q <的无穷等比数列前n 项和n S ，当n 无穷增大时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用符号S 表示，即1(1)1a S q q=<- 注意点：1）只有当1q <且0q ≠时，才能代入上述公式；2）实际上可推出：lim n n S S →∞=；3）化循环小数为分数可分解成一个等比数列的各项和的形式，或者可直接化为分数：如90.919⋅==；121110.129090⋅-==； 111113(1),1,1224______.111111(1)(1)111111111111211123k k n n n n A B C k k k k k k k k k k k D n k n k k k k kk k ++>+++++-+++++++++++++++=++=+++++++++例题、选择题用数学归纳法证明不等式的过程中由推导时不等式左边增加了（）；（）；（）（）（）（）（）（）以上均错解：当时，不等式左边为；当时，不等式左边为11111111.11112"",1,______.()()()()()21()()21(n n k k k k k k B k k k k k n x y x y n A n k k N B n k k N C n k k N D n k ***+++++++++-++++++++==∈≤∈=+∈=-，那么不等式的左边增加了，故选（）（）（）用数学归纳法证明命题当为正奇数时，能被整除在验证正确后归纳假设应写成假设时命题成立 假设时命题成立假设时命题成立 假设):,1,21(),.(3),(),,1,,5,,______.()6()6()4()4k N n n n k k N D n n k k N n k n A n B n C n D n **∈∴==-∈=∈=+=====时命题成立解为正奇数在验证后归纳假设应写成时命题成立故选某个命题与正整数有关若当时该命题成立则可推出时该命题成立现已知当时该命题不成立那么当时该命题不成立 当时该命题成立当时该命题不成立 当时该命题成立n k n k 提示：逆否命题为“已知=+1不成立，推出=不成立”。
:,.C 解显然选否则不符合题设例2、求极限：111(1),______.2:,lim ;,lim ;21,lim ,1,(),(),,().n n n nnn n nn n nn n a b a b a b b a ba a ab a a b a a b a a a bb a b b a b a a b a b a b b a b ++→∞+→∞→∞→∞+=+⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭>=====⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭<==⎛⎫+ ⎪⎝⎭>⎧⎪==⎨⎪<⎩n 已知、均为正数那么lim 解当时原式当时原式当时原式当时故原式或当时当时||1,lim ||0.n n q q q →∞<=提示:则极限问题的解题思路，很多时候就是想方设法拼凑出值。
22222221321(2)lim .11113(21)1:lim limlim 1.1111n n n nn n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞-⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭+++-====+++求解原式 注意：和的极限要转化成极限和，和式的项数必须是有限的。
2(3)lim(21,______.3244n n k k k n n →∞=--==→则的值等于解；， lim 2,1444n k kn k →∞∴===即得， 提示：分子有理化。
1131lim ,.3(1)33111:lim lim ,1 1.3(1)33133,4 2.n n n n nnn n n n a a a a a a +→∞+→∞→∞=+++==∴-<<+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭-<<(4)已知求的取值范围解解不等式得{}12121212123.,(1),,lim .11:1,,lim .(2)22(1)111,.(1)11nn n n nn n n n n n n n nn S a a q q n S S S S a n q S a n S a q S qq a q S qq→∞→∞≠-===∴=--≠==-+-例已知等比数列的首项为公比为前项和为求解当时当时2211,0,lim lim 1.1111,lim lim lim 0111n nn n nnn n n n n n nS q q S q q S q S q q →∞→∞→∞→∞→∞∴<≠==+⎛⎫⎪⎝⎭>===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭当时当时 2.1,(1);2,lim 1,(1,0);0,(1).n n n q Sq q S q →∞⎧=⎪⎪=<≠⎨⎪>⎪⎩当时综上所述当时当时1 1.1,1, 1.n q q q q q q q =≠<=>关键点：（1）等比数列中的一定要分情况讨论，或（2）求含有的极限，也要分三种情况讨论:例4、定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列.已知无穷等比数列{}n a 的首项、公比均为12. （1）试求无穷等比子数列{}31k a -（*N k ∈）各项的和；（2）是否存在数列{}n a 的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为17？若存在，求出所有满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；解：（1）依条件得：*31311(N )2k k a k --=∈ 则无穷等比数列31{}k a -各项的和为： 223122177128a ==-； （2）解法一：设此子数列的首项为1a ，公比为q ，由条件得：102q <≤，则1112q ≤-<，即 1121q<≤- 1111(1)[,)7147a q ∴=-∈ 而 *11(N )2m a m =∈ 则 111,88a q ==.所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为18，其通项公式为18nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈.解法二：由条件，可设此子数列的首项为1a ，公比为12m q =*(N )m ∈.由*N m ∈⇒10112m<-<⇒1111712m a a <=-………… ① 又若1116a ≤，则对每一*N m ∈都有11111161611187111222m m a ≤≤=<---………… ②从①、②得111167a <<⇒118a =； 则11181171122m m a ==--⇒1711288m q ==-=； 因而满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，此子数列是首项、公比均为18无穷等比子数列，通项公式为18nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，*N n ∈.例5：（1）（03年上海数学高考）已知)0,24(2,0(2,0(nC n B n A +-其中n 为正整数，设n S 表示ABC ∆外接圆的面积，则=∞→n n S lim 。
解：此题一般地考虑方法是先求出ABC ∆的外接圆的方程，然后得出圆的面积，最后求得n n S ∞→lim 的结果，但整个过程的计算比较烦琐，很容易导致计算出错。
但如果从极限的思想出发，首先考虑的是当∞→n 时这三个点的变化的位置，B A ,趋于原点，C 点趋于)0,4(C 然后看得圆的半径为2，从而所求圆的面积为π4。
（2）（07年上海数学高考卷（文）第12题）如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB ．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与 线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．解：当两圆半径r →∞时，点C 趋向直线AB 。
0.S ∴→当两圆相外切时， 1.r = 2114S π∴=⨯扇形，222.42S ππ∴=-⨯=- 0,22S π⎛⎤∴∈- ⎥⎝⎦例6、（09上海高考题）已知}{n a 是公差为d 的等差数列，}{n b 是公比为q 的等比数列。
