数列、极限、数学归纳法 归纳、猜想、证明 教案

数学归纳法及其应用举例(教案)章节一：数学归纳法的概念与步骤教学目标：1. 了解数学归纳法的定义与基本步骤。

2. 掌握数学归纳法的一般形式。

教学内容：1. 引入数学归纳法的概念。

2. 讲解数学归纳法的基本步骤。

3. 示例说明数学归纳法的应用。

教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的定义。

2. 通过具体例子讲解数学归纳法的步骤。

3. 让学生尝试使用数学归纳法解决简单问题。

作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的概念与步骤。

2. 选取一些简单的数学问题，尝试使用数学归纳法解决。

章节二：数学归纳法的证明步骤教学目标：1. 掌握数学归纳法的证明步骤。

2. 能够运用数学归纳法证明简单的不等式或定理。

教学内容：1. 讲解数学归纳法的证明步骤。

2. 示例说明数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。

教学活动：1. 引导学生理解数学归纳法的证明步骤。

2. 通过具体例子讲解数学归纳法在证明不等式和定理中的应用。

3. 让学生尝试使用数学归纳法证明简单的不等式或定理。

作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的证明步骤。

2. 选取一些简单的不等式或定理，尝试使用数学归纳法进行证明。

章节三：数学归纳法的扩展与应用教学目标：1. 了解数学归纳法的扩展形式。

2. 掌握数学归纳法在解决实际问题中的应用。

教学内容：1. 讲解数学归纳法的扩展形式。

2. 示例说明数学归纳法在解决实际问题中的应用。

教学活动：1. 引导学生思考数学归纳法的扩展形式。

2. 通过具体例子讲解数学归纳法在解决实际问题中的应用。

3. 让学生尝试使用数学归纳法解决实际问题。

作业与练习：1. 完成课后练习，巩固数学归纳法的扩展形式。

2. 选取一些实际问题，尝试使用数学归纳法解决。

章节四：数学归纳法的局限性与改进教学目标：1. 了解数学归纳法的局限性。

2. 学会改进数学归纳法的证明过程。

教学内容：1. 讲解数学归纳法的局限性。

2. 示例说明如何改进数学归纳法的证明过程。

数学归纳法教案（15min）一、教情分析数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。

人教课标版教科书把数学归纳法安排在选修2-2第二章推理与证明中，教学时间为2课时，本教案为数学归纳法的第一节课。

在此之前，学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。

但是，由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理，而由合情推理得出的结论未必正确。

因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。

二、教学目标1.知识与技能目标（1）了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一般结论未必正确。

（3）通过例题的学习，掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题．2.过程与方法目标（1）通过对数学归纳法的学习，让学生提高逻辑推理能力。

（2）通过“多米诺骨牌”的引入，让学生体会类比的思想。

3.情感态度价值观（1）通过数学归纳法的学习，使学生建立有限与无限的联系。

（2）通过多米诺骨牌的引入，提高学生对数学学习的兴趣。

三、教学重难点及教学设计1.重点理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法的两个步骤。

2.难点对数学归纳法原理的理解3.教学设计1、创设问题情境首先由费马数及费马的猜想引出不完全归纳不一定正确2、教学内容设计再引入数列通项的猜想与多米诺骨牌的类比，总结出数学归纳法的一般步骤3、教学方法多媒体辅助，采用类比教学法、自主探究、合作交流的教学模式，启发式教学四、教学过程1、创设问题情境引入新课（1）在1640年，法国数学家费马观察到：12342222215,2117,21257,2165537+=+=+=+= 都是质数，而由于第五个数实在太大了，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如122+n（n ∈*N ）的数都是质数，后来人们把这种数叫做费马数。

课题： 《数学归纳法》 执教者 王晓翠 班级 高二（2） 教学目标1.知识目标（1）使学生进一步了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一 般结论未必正确。

（2） 使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质．（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整 数有关的命题．2.能力目标（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

3.情感目标（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

（2努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学 生学习的兴趣和课堂效率．教学重难点：1.重 点（1）明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。

（2）初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。

2.难 点（1）对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。

（2）假设的利用，即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。

教学过程：一、创设问题情景已知数列的通项公式为a n =(n 2-5n+5)2,请计算它的前4项。

二、设置问题，引导探究问题1：有一台晚会，若知道晚会的第一个节目是唱歌，第二个节目是唱歌、第三个节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题2：有一台晚会，若知道唱歌的节目后面一定是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？问题3：有一台晚会，若知道第一个节目是唱歌，如果一个节目是唱歌则它后面的节目也是唱歌，能否断定整台晚会都是唱歌？引例：在数列{n a }中, 1a ＝1, nn n a a a +=+11(n ∈*N ),求出数列前4项,你能得到什么猜想？怎么证明？亭湖高级中学对外公开课教学案思考1：与正整数n 有关的数学命题能否通过一一验证的办法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n 有关,我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？三、理解升华 一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果（1）当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。

第四章 数列、极限、数学归纳法一、数列知识梳理：1、数列的概念： （1） 叫做数列， 叫做这个数列的项。

按一定次序排列的一列数 数列中的每一个数（2）数列的本质，数列可以看作 的函数f(n)，当自变量n 一个定义在正整数N 或它的有限子集{}1,2,,n 上从1开始一次去正整数时所对应的一列函数值f(1),f(2)，，f(n)，通常用n a 代替f(n)，于是数列的一般形式为12,,,,n a a a 简记{n a }，其中n a 是数列{n a }的第n 项。

（3）数列的分类：①按项数是有限还是无限分 有穷数列、无穷数列。

②按项与项之间的大小分 ， ， ， 。

递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列。

2、数列的通项公式：（1） 叫做数列的通项。

数列的第n 项n a如果通项 这个公式叫做数列的 n a 与项数n 之间的对应关系可以用一个公式来表示 通项公式，不是所有的数列都有通项公式。

注意n a 与{n a }的区别。

（2）数列通项公式求法：① 观察归纳法：先观察哪些因素随项为n 的变化而变化，哪些因素不变；分析符号、数字、与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳出公式，再取n 的特殊值进行检验是否正确。

② 公式法：利用等差等比的通项公式 ③ 逐差法； ④ 递推关系法；⑤ 利用n S 与n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩⑥ 归纳猜想。

4、数列的递推公式：（1） 这种表示数列的式子叫数列的 给出数列第一项(或前几项)并给出每一项与它前一项(或前若干项)关系式 递推公式,由递推公式给出的数列叫递推数列。

（2）等差数列的递推公式 ； 1a a =，1n n a a d +=+ (n N ∈)等比数列的递推公式 ；1(0)a b b =≠，1n n a a q += (0,q n N ≠∈)（3）几类简单递推数列通项公式的求法：①1()n n a a f n +=+型，累加法； 1()n n a a g n +=⋅型，累乘法； ②1(0,1)n n a pa q p q p p +=+≠≠、为常数，且型，待定系数法；③21n n n a pa qa ++=+（p 、q 为常数，且p+q=1）以p=1-q 代入构造新数列11n n n b a a ++=-；④11n n n n a a ba a -+=+，倒数法； ⑤归纳法。

一、复习策略本章内容是中学数学的重点之一，它既具有相对的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，也是初等数学与高等数学的一个重要的衔接点，因而历来是高考的重点.高考对本章考查比较全面，等差、等比数列，数列的极限的考查几乎每年都不会遗漏．就近五年高考试卷平均计算，本章内容在文史类中分数占13％，理工类卷中分数占11％，由此可以看出数列这一章的重要性.本章在高考中常见的试题类型及命题趋势：(1)数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系．关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是：“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，近几年命题严格按照《考试说明》，不要求较复杂由递推公式求通项问题．(2)探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明．探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求．(3)等差、等比数列的基本知识必考．这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题．(4)求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.(5)将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所占的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查．通过上述分析，在学习中应着眼于教材的基本知识和方法，不要盲目扩大，应着重做好以下几方面：理解概念，熟练运算巧用性质，灵活自如二、典例剖析考点一：数列的通项与它的前n项和例1、只能被1和它本身整除的自然数(不包括1)叫做质数．41，43，47，53，61，71，83，97是一个由8个质数组成的数列，小王正确地写出了它的一个通项公式，并根据通项公式得出数列的后几项，发现它们也是质数．试写出一个数P满足小王得出的通项公式，但它不是质数，则P=__________．解析：，．显然当时有因数41，此时．答案：1681点评：本题主要考查了根据数列的前n项写数列的通项的能力．体现了根据数列的前n项写通项只能是满足前n项但不一定满足其所有的性质的特点．例2、已知等差数列中，，前10项之和是15，又记.(1)求的通项公式；(2)求；(3)求的最大值．(参考数据：ln2=0.6931)解析：(1)由，得，．(2)．(3)法一：，，由ln2=0.6931，计算>0，<0，所以极大值点满足，但，所以只需比较与的大小：，．法二：数列的通项，令，．点评：求时，也可先求出，这要正确理解“”，其中应处在的表达式中的位置．例3、已知数列的首项，前项和为，且．(1)证明数列是等比数列；(2)令，求函数在点处的导数，并比较与的大小．解析：(1)由已知时，．两式相减，得，即，从而．当时，．又．从而．故总有．又．从而．即是以为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，．当n=1时，(*)式=0，；当n=2时，(*)式=－12<0，；当n≥3时，n－1>0．又，，即(*)式>0，从而．考点二：等差数列与等比数列例4、有n2(n≥4)个正数，排成n×n矩阵(n行n列的数表，如下图)．其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：a24=1，a42=，a43=，(1)求公比q；(2)用k表示a4k；(3)求a11＋a22＋a33＋…＋a nn的值.分析：解答本题的关键首先是阅读理解，熟悉矩阵的排列规律，其次是灵活应用等差、等比数列的相关知识求解．解：(1)∵每一行的数列成等差数列，∴a42，a43，a44成等差数列，∴2a43= a42＋a44，a44=;又每一列的数成等比数列，a44=a24·q2，a24=1，∴q2=，且a n>0，∴q=.(2)a4k= a42＋(k－2)d=＋(k－2)( a43－a42)=.(3)∵第k列的数成等比数列，∴a kk= a4k·q k－4=·()k－4= k·()k (k=1，2，…，n).记a11＋a22＋a33＋…＋a nn=S n，则S n=＋2·()2＋3·()2＋…＋n·()n，S n=()2＋2·()3＋…＋(n－1) ()n＋n()n＋1，两式相减，得S n=＋()2＋…＋()n－n()n＋1=1－，∴S n=2－，即a11＋a22＋a33＋…＋a nn=2－．例5、已知分别是轴，轴方向上的单位向量，且(n=2，3，4，…)，在射线上从下到上依次有点，且=(n=2，3，4，…)．(1)求；(2)求；(3)求四边形面积的最大值．解析：(1)由已知，得，(2)由(1)知，．且均在射线上，．．(3)四边形的面积为．又的底边上的高为．又到直线的距离为．，而，．点评：本题将向量、解析几何与等差、等比数列有机的结合，体现了在知识交汇点设题的命题原则．其中割补法是解决四边形面积的常用方法．考点三：数列的极限例6、给定抛物线，过原点作斜率为1的直线交抛物线于点，其次过作斜率为的直线与抛物线交于．过作斜率为的直线与抛物线交于，由此方法确定：一般地说，过作斜率为的直线与抛物线交于点．设的坐标为，试求，再试问：点，…向哪一点无限接近？解析：∵、都位于抛物线上，从而它们的坐标分别为，∴直线的斜率为，于是，即，．因此，数列是首项为，公比的等比数列．又，，因此点列向点无限接近．点评：本例考查极限的计算在几何图形变化中的应用，求解问题的关键是要利用图形的变化发现点运动的规律，从而便于求出极限值来．例7、已知点满足：对任意的，．又已知．(1)求过点的直线的方程；(2)证明点在直线上；(3)求点的极限位置．解析：(1)，，则．化简得，即直线的方程为．(2)已知在直线上，假设在直线上，则有，此时，也在直线上．∴点在直线上．(3)，即构成等差数列，公差，首项，，故．．．故的极限位置为(0，1)．考点四：数学归纳法例8、设是满足不等式的自然数的个数．(1)求的解析式；(2)设，求的解析式；(3)，试比较与的大小．解析：先由条件解关于的不等式，从而求出．(1)即得．(2)．(3)．n=1时，21－12>0；=2时，22－22=0；n=3时，23－32<0；n=4时，24－42=0；n=5时，25－52>0；n=6时，26－62>0．猜想：n≥5时，，下面对n≥5时2n>n2用数学归纳法证明：(i)当n=5时，已证25>52．(ii)假设时，，那么．．，即当时不等式也成立．根据(i)和(ii)时，对，n≥5，2n>n2，即．综上，n=1或n≥5时，n=2或n=4时时．点评：这是一道较好的难度不太大的题，它考查了对数、不等式的解法，数列求和及数学归纳法等知识．对培养学生综合分析问题的能力有一定作用．例9、已知数列中，，．(1)求的通项公式；(2)若数列中，，，证明：，．解：(1)由题设：，．所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，即的通项公式为，．(2)用数学归纳法证明．(ⅰ)当时，因，，所以，结论成立．(ⅱ)假设当时，结论成立，即，也即．当时，，又，所以．也就是说，当时，结论成立．根据(ⅰ)和(ⅱ)知，．考点五：数列的应用例10、李先生因病到医院求医，医生给他开了处方药(片剂)，要求每12小时服一片，已知该药片每片220毫克，他的肾脏每12小时排出这种药的60%，并且如果这种药在体内残留量超过386毫克，将会产生副作用，请问：李先生第一天上午8时第一次服药，则第二天早上8时服完药时，药在他体内的残留量是多少毫克？如果李先生坚持长期服用此药，会不会产生副作用？为什么？解：(1)设第次服药后，药在他体内残留量为毫克，依题意，故第二天早上8时第三次服完药时，药在他体内的残留量是343.2毫克.(2)由，，．故长期服用此药不会产生副作用．例11、(07安徽高考)某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，……，以T n表示到第n年末所累计的储备金总额。

《数 学 归 纳 法》教案阮晓锋【三维目标】知识与技能： 理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证明的步骤.过程与方法： 通过多米诺骨牌游戏引出数学归纳法的原理，培养学生探索发现、提出问题的意识以及分析解决问题和数学交流的能力.情感态度价值观：通过让学生亲历知识的构建过程，感悟数学的内在美，激发其 学习热情，使学生喜欢数学，并初步形成严谨务实的科学态 度和勇于探索的治学精神.【教学重点】借助具体事例理解数学归纳法的原理，掌握数学归纳法证明的步骤，并能运用它证明一些与正整数有关的数学命题.【教学难点】不易理解数学归纳法的递推实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不理解第二步证明为何一定要用到归纳假设.【教学方法】 本节课采用类比启发、合作探究式教学方法.【教学过程】一、创设问题情景问题情景：对于数列{}n a ,已知111,1n n n a a a a +==+, 通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想其通项公式为1n a n= 。

这个猜想是否正确，如何证明？ 一般来说，与正整数n 有关的命题，当n 比较小时可以逐个验证，但当n 较大时，验证就很麻烦。

特别是n 可取所有正整数时逐一验证是不可能的。

因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立。

二、探索新知1、动画演示多米诺骨牌游戏，思考使这些骨牌全部倒下的条件及其作用。

多米诺骨牌游戏是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。

只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下又可以导致第三块骨牌倒下，……，最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

其中条件（1）是一种特殊情况，起归纳奠基作用。

提问：你认为条件（2）的作用及实质是什么？可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

数列、极限、数学归纳法(二)教学目标1．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律．深化数学思想方法在解题实践中的指导作用．2．准确理解数列极限的定义，熟练应用数列极限的运算法则求极限并能解决有关问题．3．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．重点难点培养学生整体把握问题的能力，透过给定信息的表象，揭示问题的本质，明确解题方向，化难为易，化繁为简，有针对性地解除学生解综合题的思想障碍．教学过程一、等差数列和等比数列的综合题等差数列和等比数列是根据数列中任意相邻两项之间的特殊关系定义的，因此等差数列和等比数列的性质反映了它们中特定项之间的关系．在解决这类综合题时．要全面考察题目中数列里项之间的下标的关系，抓住下标的变化给解题带来的影响，深化对递推关系的认识．例1 若正数a，b，c成等比数列，x，y，z成等差数列，则(y-z)lg a+(z-x)lg b+(x-y)lg c的值为 [ ] A．0B．1C．2D．-1分析由题意可得b2=a·c，设等差数列的公差为d，于是y-z=-d，z-x=2d，x-y=-d．故选择A．(题设中的数列对一般的等差数列、等比数列命题都成立．对于特殊的等差数列与等比数列也成立)设x=y=z=0，显然原式为零．若设a=b=c=1，显然原式为零．(灵活地运用特殊和一般的关系，使解题过程得到简化)tan B与1的等差中项为n，则m·n的等比中项为____．分析找到条件与结论间的内在联系，即tan A·tan B+tan A+tan B与tan(A+B)的关系．tan(A+B)=1，得tan A+tan B+tan A·tan B=1．例3 公差不为零的等差数列的第4，7，16项恰是某等比数列的第4，6，8项，则该等比数列的公比等于____．解法一设等差数列的首项为a1，公差为d，则(a1+6d)2=(a1+3d)解法二设等比数列的公比为q，等差数列的公差为d，第4项为a，则评述由于选择的基本量不同，解法就不同，解法二根据方程的思想和给定项的特征巧设参数，巧解方程组，优化了解题过程．例4 在7个数组成的数列中，奇数项的数组成等差数列，偶数项的数组成等比数列，首末两项与中间项的和等于27，奇数项的和减去偶数项的积之差等于42．试求中间项的值．分析题设中凡有等差数列特定项的和与等比数列特定项的积，注意相关项设法的技巧，一般都从中间向两端发展，发挥定义与公差、公比的作用．想清楚项与项的关系再设．解法一设d是等差数列的公差，q是等比数列的公比，中间项为y．依题意，得因为y2+2y+6=0无实根，所以中间项为y=2．(注意积累“未知数只设不解”的经验)解法二设数列中的第一项为a1，中间项为a4，最后一项为a7．依题意，得由①得 a1+a7=27-a4．④评述解法二较解法一设得简洁，解的漂亮，巧妙地利用了题设的条件和等差数列与等比数列的性质，事半功倍．教学中要不断引导学生善于发掘题目里更深层的联系．例5 数列{a n}是等差数列，公差d≠0，{a n}中的部分项组成的数列ak1，ak2，…，ak n…恰为等比数列，其中k1=1，k2=5，k3=17．(1)求k n；(2)证明：k1+k2+…+k n=3n-n-1．分析等比数列{ak n}是等差数列{a n}的一个子数列，抓住ak n既是等差数列{a n}的第k n项又是等比数列{ak n}的第n项，就能建立k n与n的联系．即(a1+4d)2=a1(a1+16d)，又d≠0，解得a1=2d，故a1≠0．因此等比数列的公比一方面，ak n=a1+(k n-1)d，另一方面，ak n=a1·q n-1=a1·3n-1，得a1+(k n-1)d=a1·3n-1，解得k n=2·3n-1-1．数列{k n+1}是以k1+1=2为首项，公比是3的等比数列，所以k n+1=2·3n-1．故k n=2·3n-1．(2)证明(本题是求数列{k n}的前n项和的问题，根据kn的构成，转化为分别求等差数列与等比数列的前n 项和的问题．)k1+k2+…+k n=(2·30-1)+(2·3-1)+…+(2·3n-1-1)＝2(1+3+…+3n-1)-n=3n-n-1．解法一设等差数列{a n}的首项a1=a，公差为d，则其通项为根据等比数列的定义知S5≠0，由此可得一步加工，有下面的解法)解法二依题意，得例7 在数列{a n}中，S n+1=4a n+2(n∈N)，a1=1．(1)设b n=a n+1-2a n(n∈N)，求证数列{b n}是等比数列，并求出它的通项公式；公式；(3)求数列{a n}的通项公式及前n项和公式．分析由于{b n}和{c n}中的项都和{a n}中的项有关，{a n}中又有S n+1=4a n+2，可由S n+2-S n+1作切入点探索解题的途径．解 (1)由S n+1=4a n+2，S n+2=4a n+1+2，两式相减，得S n+2-S n+1=4(a n+1-a n)，即a n+2=4a n+1-4a n．(根据b n的构造，如何把该式表示成b n+1与b n的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a n+2-2a n+1=2(a n+1-2a n)，又b n=a n+1-2a n，所以b n+1=2b n ①已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ②由①和②得，数列{b n}是首项为3，公比为2的等比数列，故b n=3·2n-1．当n≥2时，S n=4a n-1+2=2n-1(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．综上可知，所求的求和公式为S n=2n-1(3n-4)+2．评述解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．例8 设数列{a n}的首项a1=1，前n项和S n满足关系式3tS n-(2t+3)S n-1=3t．(t＞0，n=2，3，…)(1)求证数列{a n}是等比数列；(n=2，3，…)．求b n；(3)求和：b1·b2-b2·b3+…+b2n-1b2n-b2n·b2n+1．解 (1)由S1=a1=1，S2=a1+a2=1+a2，3t(1+a2)-(2t+3)·1=3t．得又3t·S n-(2t+3)S n-1=3t，3tS n-1-(2t+3)S n-2=3t．(n=3，4…)，两式相减，得3t(S n-S n-1)-(2t+3)(S n-1-S n-2)=0，即3ta n-(2t+3)a n-1=0，t＞0，(3)(观察所求和中的项的特征，将{b n}分成两个数列{b2n-1}和{b2n}后，问题转化为等差数列求和．)b1·b2-b2·b3+b3·b4-b4·b5+…+b2n-1·b2n-b2n·b2n+1=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)评述对于数列与函数等知识的综合题，注意层层剖析问题的内在联系，步步紧扣所求的结论，通盘考虑解析式中数列下标间的特征，作为解题的突破口．二、数列的极限数列的极限完美地统一了数列形式上的有限性和实质上的无限性的矛盾．数列的极限是极其重要的数学概念．因此必须正确理解数列极限的定义，准确地把握数列极限的四则运算法则应用的条件，以及C=C(其中C是常数)．q n=0(|q|＜1)与求无穷等比数列各项的和公式，并能熟练准确地运用它们求数列的极限．S n等于[ ]C．2D．-2解法二由等比数列的性质知，S5，S10-S5，S15-S10组成公比为项a1的取值范围是[ ]故选择D．注意积累“利用逆向排除”的方法解选择题的经验．)例11 在数列{a n}中，若(2n-1)a n=1，则(na n)的值等于 [ ]A．0C．1D．2分析逆用数列极限的运算法则时．要保证各局部的数列极限必须例12 设正数数列{a n}为一等比数列，且a2=4，a4=16．评述这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．a n)，…是公差为-1的等差数列，又2a2-a1，2a3-a2，…，2a n+1-a n，…(1)求数列{a n}的通项公式；(2)计算(a1+a2+…+a n)．分析由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{a n}的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于a n的方程组．解 (1)设b n=log2(3a n+1-a n)，因为{b n}是等差数列，d=-1．b1=log23a n+1-a n＝2-n①设c n=2a n+1-a n，{c n}是等比数列，公比为q，|q|＜1，c1=2a2-a1=例14 已知数列{a n}是首项为1，公差为d的等差数列，其前n项和为A n，数列{b n}是首项为1，公比为q(|q|＜1)的等比数列，其前n项S n=B1+B2+…+B n(正确的分离常量和变量，根据待定系数法构造关于d和q的方程组．)评述本题形式新颖，解法典型，三基检查全面，强调字母运算能力；指导学生解题后的反思，回味化归思想，待定系数法所起的作用．例15 数列{a n}满足条件，a1=1，a2=r，(r＞0)且{a n·a n+1}是公比为q(q＞0)的等比数列，设b n=a2n-1+a2n(n∈N)．(1)求使不等式a n·a n+1+a n+1·a n+2＞a n+2·a n+3(n∈N)成立的q的取值范围；分析揭示{b n}与{a n·a n+1}的内在联系，探寻{b n}的属性；注意求极限时由q的取值范围所带来的影响．=q，代入a n·a n+1+a n+1·a n+2＞a n+2·a n+3，得a n·a n+1+q·(a n·a n+1)＞q2(a n·a n+1)．因为a1=1，a2=r(r＞0)，q＞0，得a n·a n+1＞0，所以1+q＞q2，即q2-q-1＜0，(考查{b n}的属性，由以往的经验，首先考查是否为等比数列，若不是再另行判定．)比为q的等比数列．所以小结 1．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．2．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．3．通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力．能力训练1．若等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，则D．12．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为零的等差数列的对应项相加得到的，则该数列的前10项和为[ ]A．467B．557C．978D．10683．数列{a n}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，那么a1，a3，a5是[ ]A．等差数列B．等比数列C．倒数成等差数列D．以上答案都不对4．在△ABC中，tan A是以4为第三项，4为第七项的等差数列三角形是[ ]A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．非等腰的直角三角形5．已知{a n}是等比数列，a1+a2+a3=18，a2+a3+a4=-9，它的前n项和为S n，则S n等于 [ ]A．48B．32C．16D．86．等比数列{a n}的前n项和为S n，首项为1，公比为q，设T n=S n∶(S n+1)，如果A．|q|≥1B．|q|＜1且q≠0C．-1＜q＜0或0＜q≤1D．q≥-1或q＜-1P n的值等于[ ]A．0B．1C．2那么a1的取值范围是[ ]A．(1，+∞)B．(1，4)C．(1，2)9．设首项为3，公比为2的等比数列{a n}的前n项和为S n，首项[]D．0A．|a|＞1B．a∈R且a≠-1C．-1＜a≤1D．a=0或a=1．11．设公比的绝对值小于1的无穷等比数列，x(1-x)，x2(1-x)2，…，x n-1(1-x)n-1，…的各项和S＞1，则实数x的取值范围是____．14．已知无穷等比数列的公比的绝对值小于1，它的所有奇数项的和比所有偶数项的和多27，若去掉这个数列的前两项后，剩下的所有各项之和为60，则其首项a1=____，公比q=____．15．设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，已知{a n}的公差为b1，{b n}的公比为a1，且{a n}的前10项和等于155，{b n}的前2项和等于9，求这两个数列的通项公式．16．设两个数列{a n}和{b n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=(1+2+…+n)b n，其中{b n}是公差为d(d是不为零的常数)的等差数列．(1)证明数列{a n}是等差数列；17．S n是无穷等比数列{a n}的前n项和，公比q≠1，已知1是(1)求S2和S3的值；(2)求此数列的通项公式；(3)求此数列各项的和．(1)证明{a n}是等比数列；19．已知数列{a n}和{b n}满足a1=-9，a n+1=10a n-9，b n=(1)求证{a n}的通项公式为a n=1-10n(n∈N)；20．已知等比数列{a n}中，a1=1，公比为x(x＞0)，其前n项和为S n．(1)写出数列{a n}的通项公式及前n项和S n的公式；(3)判断数列{b n}的增减性；(4)求b n的值．答案提示1．A2．C3．B4．B5．C6．C7．C8．D9．B10．B11．0＜x＜1原式=-1(2)当|p|＜1且p≠0时，原式=1；当|p|＞1时，原式=0．设计说明1．本节课的例题和能力训练题选自近年来的高考试题和模拟试题，以数列极限为主线融汇函数、方程、不等式和三角函数而成，力求方法典型，重要数学思想方法贯穿其中，有利于提高学生解综合题的能力．2．综合题并非无本之木，无源之水，追根寻源，即解决好整体与局部的关系、综合与基础的关系是本节课复习的主旨．3．教师要自始至终引导学生积极主动地参与到解决问题的过程中来，以提高阅读理解能力为突破口，有意识地用数学思想方法分析问题，探索解决问题的途径，达到用活用好通性通法，触类旁通的目的．4．培养学生良好的解题习惯，力求做到步骤完整，推导论证言必有据，计算准确迅速，格式规范，书写清晰，避免无谓失分．。

高中数学归纳推理教案
一、教学目标：使学生了解数学归纳法的基本原理和应用方法，能运用数学归纳法解决相
关问题。

二、教学重点：数学归纳法的基本原理和应用方法。

三、教学难点：对于一些较为复杂的问题，如何运用数学归纳法进行证明。

四、教学内容：
1. 数学归纳法的基本原理
2. 数学归纳法的应用方法
3. 实际问题中的数学归纳应用
五、教学过程：
1. 引入：通过一个简单的例子引入数学归纳法的概念，让学生了解数学归纳法的重要性和
应用价值。

2. 讲解：讲解数学归纳法的基本原理和应用方法，包括归纳起点的选择、归纳假设的建立、归纳步骤的进行等内容。

3. 练习：设计一些简单的练习题，让学生掌握数学归纳法的基本操作方法。

4. 拓展：引导学生思考一些实际问题，并尝试运用数学归纳法进行解决。

5. 总结：对数学归纳法的基本原理和应用方法进行总结，强化学生对此内容的理解和应用
能力。

六、作业布置：布置一些相关的练习题，要求学生独立完成，并对实际问题进行数学归纳
法的应用。

七、教学反思：及时总结教学过程中的不足之处，不断优化教学方法，提高教学效果。

以上是一份高中数学归纳推理教案范本，希望能对您有所帮助。

如果有其他需要，或者有
任何问题，请随时联系我。

数列、极限、数学归纳法——等差、等比数列综合问题教案教学目标：1. 理解等差数列和等比数列的定义及其性质。

2. 掌握数列的极限概念，并能应用于等差、等比数列。

3. 学会使用数学归纳法解决数列相关问题。

4. 能够综合运用等差、等比数列的知识解决实际问题。

教学内容：第一章：数列概念与等差数列1.1 数列的定义与表示方法1.2 等差数列的定义与性质1.3 等差数列的通项公式1.4 等差数列的前n项和公式第二章：等差数列的极限2.1 极限概念引入2.2 等差数列极限的定义2.3 等差数列极限的性质2.4 等差数列极限的应用第三章：等比数列的概念与性质3.1 等比数列的定义3.2 等比数列的性质3.3 等比数列的通项公式3.4 等比数列的前n项和公式第四章：等比数列的极限4.1 等比数列极限的定义4.2 等比数列极限的性质4.3 等比数列极限的应用4.4 无穷等比数列的极限第五章：数学归纳法与数列5.1 数学归纳法的基本概念5.2 数学归纳法证明等差数列性质5.3 数学归纳法证明等比数列性质5.4 数学归纳法解决数列综合问题教学方法：1. 采用讲授法讲解数列、极限、数学归纳法的基本概念和理论。

2. 利用案例分析法分析等差、等比数列的实际应用问题。

3. 组织小组讨论法，让学生探讨数列问题的解题策略。

4. 运用练习法巩固所学知识，提高解题能力。

教学评估：1. 课堂问答：检查学生对数列、极限、数学归纳法的基本概念理解程度。

2. 课后作业：布置相关练习题，检验学生掌握知识点的情况。

3. 小组讨论报告：评估学生在探讨数列问题时的分析能力和团队协作能力。

4. 期末考试：全面测试学生对本门课程知识的掌握程度。

教学资源：1. 教材：《高等数学》、《数学分析》等。

2. 课件：制作数列、极限、数学归纳法等相关课件。

3. 练习题库：搜集各种数列、极限、数学归纳法的练习题。

4. 案例素材：搜集等差、等比数列在实际应用中的案例。

教学进度安排：1. 第一章：2课时2. 第二章：3课时3. 第三章：2课时4. 第四章：3课时5. 第五章：4课时数列、极限、数学归纳法——等差、等比数列综合问题教案（续）第六章：等差、等比数列的图像与性质6.1 等差数列的图像特点6.2 等比数列的图像特点6.3 等差、等比数列的性质对比6.4 等差、等比数列的特殊情况分析第七章：数列的极限与无穷数列7.1 无穷数列的概念7.2 无穷数列的极限概念7.3 无穷等差数列与无穷等比数列的极限7.4 无穷数列极限的应用第八章：数学归纳法解决数列问题实例8.1 数学归纳法证明等差数列的性质8.2 数学归纳法证明等比数列的性质8.3 数学归纳法解决数列问题实例分析8.4 数学归纳法在数列研究中的应用第九章：等差、等比数列的实际应用9.1 等差数列在经济学中的应用9.2 等比数列在金融学中的应用9.3 等差、等比数列在其他领域的应用9.4 实际应用案例分析第十章：数列、极限、数学归纳法的综合练习10.1 等差、等比数列的综合练习题10.2 极限概念的综合练习题10.3 数学归纳法的综合练习题10.4 综合练习题解答与分析教学方法：1. 采用讲授法讲解等差、等比数列的图像与性质。

数列、极限、数学归纳法——等差、等比数列综合问题教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解等差数列和等比数列的定义及其性质；（2）掌握数列的极限概念，并能应用于等差、等比数列；（3）学会运用数学归纳法解决数列相关问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例分析，培养学生的观察、思考能力；（2）借助数列极限的概念，培养学生解决问题的能力；（3）运用数学归纳法，培养学生逻辑推理能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性；（2）培养学生团队合作精神，提高学生沟通与协作能力。

二、教学内容1. 等差数列的定义及其性质2. 等比数列的定义及其性质3. 数列的极限概念4. 等差、等比数列的极限问题5. 数学归纳法的基本概念及应用三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）等差数列和等比数列的定义及其性质；（2）数列极限的概念及其应用；（3）数学归纳法的原理及其在数列问题中的应用。

2. 教学难点：（1）数列极限的证明；（2）数学归纳法的证明步骤及技巧。

四、教学过程1. 导入新课：通过生活实例，引导学生思考数列的规律，激发学生学习兴趣。

2. 讲解等差数列和等比数列的定义及其性质：利用具体例子，解释等差数列和等比数列的定义，引导学生发现它们的性质。

3. 引入数列极限的概念：通过实际问题，引导学生理解数列极限的概念，并学会运用极限解决数列问题。

4. 讲解等差、等比数列的极限问题：结合实例，讲解等差、等比数列的极限问题，引导学生掌握解题方法。

5. 介绍数学归纳法的基本概念及应用：讲解数学归纳法的原理，并通过数列问题引导学生学会运用数学归纳法。

五、课后作业1. 复习等差数列和等比数列的定义及其性质；2. 练习数列极限的问题；3. 运用数学归纳法解决一个数列问题。

教学反思：本节课通过实例引入等差数列和等比数列的概念，注重培养学生的观察、思考能力。

在讲解数列极限时，注意引导学生理解极限的实质，提高学生解决问题的能力。

⾼考复习指导讲义第四章数列极限数学归纳法⾼考复习指导讲义第四章数列、极限、数学归纳法⼀、考纲要求 1.掌握：①掌握等差数列、等⽐数列的概念、通项公式、前n 项和公式；②能够运⽤这些知识解决⼀些实际问题；③掌握极限的四则运算法则. 2.理解：①数列的有关概念；②能根据递推公式算出数列的前⼏项；③会求公⽐的绝对值⼩1的⽆穷等⽐数列前n 项的极限. 3.了解：①了解递推公式是给出数列的⼀种⽅法；②了解数列极限的意义；③了解数学归纳法的原理，并能⽤数学归纳法证明⼀些简单问题. ⼆、知识结构(⼀)数列的⼀般概念数列可以看作以⾃然数集(或它的⼦集)为其定义域的函数，因此可⽤函数的观点认识数列，⽤研究函数的⽅法来研究数列。

数列表⽰法有：列表法、图像法、解析法、递推法等。

列表法：就是把数列写成a 1,a 2,a ……a n ……或简写成｛a n ｝，其中a n 表⽰数列第n 项的数值，n 就是它的项数，即a n 是n 的函数。

解析法：如果数列的第n 项能⽤项数n 的函数式表⽰为a n =f(n)这种表⽰法就是解析法，这个解析式叫做数列的通项公式。

图像法：在直⾓坐标系中，数列可以⽤⼀群分散的孤⽴的点来表⽰，其中每⼀个点(n,a n )的横坐标n 表⽰项数，纵坐标a n 表⽰该项的值。

⽤图像法可以直观的把数列a n 与n 的函数关系表⽰出来。

递推法：数列可以⽤两个条件结合起来的⽅法来表⽰：①给出数列的⼀项或⼏项。

②给出数列中后⾯的项⽤前⾯的项表⽰的公式，这是数列的⼜⼀种解析法表⽰称为递推法。

例如：数列2，4，5，529，145941…递推法表⽰为 a 1=2 其中a n+1=a n +na 4⼜称该数列 a n+1=an+na 4(n ∈N) 的递推公式。

由数列项数的有限和⽆限来分数列是有穷数列和⽆穷数列。

由数列项与项之间的⼤⼩关系来分数列是递增数列、递减数列、摆动数列以及常数列。

由数列各项绝对值的取值范围来分数列是有界数列和⽆界数列、通项公式是研究数列的⼀个关键，归纳通项公式是求数列通项公式的最基本⽅法，给出数列的前n 项，求这个数列的通项公式并不是唯⼀的，也并⾮所有的数列都能写出通项公式。

【教学目标】知识与技能目标 1.了解归纳法的含义，能区分完全归纳法和不完全归纳法，理解数学归纳法的原理和实质。

2.掌握数学归纳法证明命题的两个步骤，会用数学归纳法证明简单与自然数有关的命题． 过程与方法目标1.经历观察、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发现的能力；2.经历数学归纳法解题步骤的获得和用“数学归纳法”证明简单恒等式的过程，初步理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法和利用反例否定命题的数学方法。

情感、态度与价值观通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实学习态度和严谨的数学思维品质，努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习数学的兴趣和课堂效率,学习科学家探索的精神。

【教学重点】归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析及归纳法的简单应用【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】一．设置情景，引出课题：（投影问题）(1)大球中装有若干个小球,以下是某人的试验过程和推理,其结论是否正确?试验一、从大球中取出5个小球,发现全是绿色的.推理:大球中全是绿色的球.试验二、从大球中取出所有的小球,发现全是绿色的.(穷举法)推理:大球中全是绿色的球归纳法 ⎧⎨⎩点评:这虽然是一则笑话，可财主的儿子怎么会得出“第四天、第五天、……那一定是四横、五横……”的结论呢？这里用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的罢了。

不完全归纳法:考察部分对象,得到一般的结论的方法.(不一定正确) 完全归纳法:考察全部对象,得到一般的结论的方法.(一定正确)点评：有的同学说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！归纳法:由特殊到一般的思维过程，从有限的特殊事例中得出一般的结论。

教师提问：既然有的事例归纳出的结论不一定可靠，就必须想办法所得结论进行证明。

数学归纳法（第一课时）说课稿一、教材分析1、本节教材的地位和作用：数学归纳法是人教版高中数学选修2—2第二章第三节的内容，它是高中数学一个重要方法，又是高考测试重要内容。

⑴它是掌握数列后，进一步对由归纳、猜想得出一些与正整数有关命题加以证明，可以使学生对有关知识掌握深化一步；⑵既可以开阔学生视野，又可以使他们受到“观察、猜想、归纳、证明”的推理训练，提高他们逻辑思维能力，培养科学创新精神；⑶掌握这种方法为今后进一步数学学习打下基础。

2、教学目标：根据大纲的要求，贯穿以创新精神为内核的素质教育为宗旨，本着教材特点和学生认知思维特征确定本目标：⑴知识目标：理解.归纳法和数学归纳法的含义和本质，掌握其证题原理，会用数学归纳法证明简单的恒等式。

⑵能力目标：培养由特殊到一般的思维能力，通过特殊事例探究、引导学生观察、归纳、猜想等推理方法，提高分析、综合、抽象概括的逻辑思维能力。

⑶.情感目标：既教猜想、又教证明，鼓励学生大胆参与探究、猜测，培养学生感悟数学内在美和良好的文化素养。

3、重、难点的确定重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握其证题2个步骤和一个结论（特别注意递推步骤中归纳假设运用和恒等变换的运用。

）难点：如何理解数学归纳法的递推性即从有限的步骤完成无限的命题的证明？递推步骤归纳假设如何充分利用？不突破以上难点，学生会怀疑数学归纳法的可靠性，只知形式上模仿而不会知其所以然，对进一步学习造成极大阻碍。

二、教法分析：根据本节课内容和学生认知水平，我主要采用启导法、感性体验法、计算机辅助教学。

“问题是数学的心脏”创设具有启发的问题情境，充分利用实验手段，设计系列问题，增加辅助环节，从具体到抽象、从特殊到一般，经历观察、`实验、猜测、推理、交流、反思等过程，使学生带着问题去主动探究、动手操作、交流合作，进而对知识内化、接受，完成整个知识的建构。

三、学法分析：“数学是思维的体操”，学生在学习过程中经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、反思建构思维的过程，初步掌握归纳与推理的能力、，培养学生大胆猜想、小心求证的思维品质，进一步掌握动手实践、自主学习、主动探索、合作交流的学习方式。

数列的极限、数学归纳法、知识要点 (一) 数列的极限列中找到一项 aN,使得当n>N 时，|an-A|< 恒成立，则称常数 A 为数列｛a n ｝的极限，记作lim a n A .n2.运算法则：若lim a n 、lim b n 存在，则有lim(a n b n )lim a n lim ；lim( a n b n ) lim a n lim b nnnnnn na lim a nlim —— , (lim b n 0)nb n lim b n nn(a1)3.两种基本类型的极限<1> S= lima nn1(a 1)不存在(a诚a<2>设f (n)、g(n)分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为 a p 、0 (p q)b p 且 g( n) 0(n N),则 limng(n )(二)数学归纳法①验证命题对于第一个自然数 n n 0成立。

②假设命题对 n=k(k > n o )时成立，证明n=k+1时命题也成立 则由①②，对于一切n > n o的自然数，命题都成立。

、例题(数学的极限)1.定义：对于无穷数列｛a n ｝，若存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数 ，都能在数 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：S「q E )无穷数列｛a n ｝的所有项和: a p- (p q) b q 不存在 (p q)S lim S n (当 lim S n 存在时)nn数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为:(4) lim( J-3Lnn 1 n 1(5) lim G. n 2 2n n)=;n例2 •将无限循环小数 0.12 ； 1.32 12 化为分数.『1例3•已知lim(an b) 1,求实数a, b 的值;nn 1例 4•数列{a n },{b n }满足 lim (2a n +b n )=1,lim (a n — 2tn)=1，试判断数列{a n },{b n }的极限是否nn存在，说明理由并求lim (a n b n )的值.n例5.设首项为a ，公差为d 的等差数列前-项的和为A,又首项为a,公比为r 的等比数列S例6.设首项为1,公比为q(q>0)的等比数列的前 -项之和为S n ,又设T n =— (n 1,2,L ),S- 1求 lim T n .n21 例7. ｛a n ｝的相邻两项a n ,a n+1是方程x —c -X +(—)n =0的两根，又a 1=2,求无穷等比C 1 ,c 2, (3)C n ,…的各项和.例8在半径为R 的圆内作内接正方形， 在这个正方形内作内切圆， 又在圆内作内接正方形,如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。

【考点梳理】一、 考试内容1•数列，等差数列及其通项公式，等差数列前 n 项和公式。

2•等比数列及其通项公式，等比数列前 n 项和公式。

3•数列的极限及其四则运算。

4•数学归纳法及其应用。

二、 考试要求1•理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出 数列的前n 项和。

2•理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3•理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能够运用这些知 识解决一些问题。

4•了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于 1的无穷等比数列前n 项和的极限。

5•了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、 考点简析 1•数列及相关知识关系表------------------------------------- - -----------2•作用地位 (1)数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集 {1,2,…,n}上的函数。

对于等差数列而言，可以把它看作自然数n 的“一次函数”，前n 项和是自然数n 的“二次函数”。

等比数列可看作自然数 n 的“指数函数”。

因此，学过数列后，一方面对函数概念加 深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和 解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

(2) 数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高 等数学作好准备。

另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的 全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这 部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法， 同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。

(3) 数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的 数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种 数学思数列扱限1——诫学归纳法想。

数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案教学目标1．对数学归纳法的认识不断深化．2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法．3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明．教学过程设计（一）复习引入师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？生：与连续自然数n有关的命题．师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？生：共有两个步骤：（1）证明当n取第一个值n0时结论正确；（2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确．师：这两个步骤的作用是什么？生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程．师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题．今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1．（二）归纳、猜想、证明1．问题的提出师：我们一起来看两位同学的解题过程．学生甲的计算结果正确，但没有猜出来．学生乙没有求出f（2），f（3），f（4）的值，但猜出了计算公式，并用数学归纳法给予了证明．题目要求求值，还是应写出结果的，说说你这么写的理由吧．生乙：其实一开始，我跟学生甲一样，先算出了f（2），f（3），f（4）的值，但从-lg 2，0，2lg 2，5lg 2我除发现了应是多少倍的lg2就再无收获了，这“多少倍的”从-1，0，2，5实在无法断定，于是我就往回找，从计算的过程中，我发现了规律，一高兴就忘了写结果了．师：你是怎么从计算的过程中发现规律的？生乙：我是看f（2），f（3），f（4）每一个的计算过程都是在前一个结果的基础上加上（n-1）lg 2，也就是从n=2，3，4，…分别代入递推关系式f（n）=f（n-1）+（n-1）lg 2的求值计算过程中得到的．这里算每一个时要用前一个的结果，写时也用它的计算过程来表示，这样就容易发现规律了．师：实际上，他是通过算式的结构特征作出归纳、推测的，这种归纳我们不妨称之为：“猜结构”，而例1那种归纳我们就叫它做“猜结果”吧．其实，我们在猜想时，往往是先看结果，从结果得不出猜想时，再看过程，从解题过程中的式子结构去思考．但不管怎么猜想，都离不开对题目特征的认识．学生乙在用数学归纳法证明猜想时，注意了两个步骤及归纳假设的使用，证明正确．这个问题解决得非常好．归纳、猜想、证明是一种科学的思维方法，重要的解题途径，它是我们认识数学的一把钥匙．（三）练习（四）小结（引导学生一起归纳小结）1．归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性．它引导我们在数学的领域中积极探索，大胆猜想，可以充分地发挥我们的数学想象力．同时又要求我们注意对所得的一般结论作严格的数学证明．2．归纳法是一种推理方法，数学归纳法是一种证明方法．归纳法帮助我们提出猜想，而数学归纳法的作用是证明猜想．在归纳、猜想、证明的过程中，猜想是关键．我们可以“猜结果”，也可以“猜过程”，只要抓住问题的本质特征、知识的内在联系，就不难得到猜想．在用数学归纳法证明时，有时还可以弥补猜想中的不足．（五）布置作业1．高级中学课本《代数》下册（必修）P129第35题．课堂教学设计说明利用“归纳、猜想、证明”这一思维方法解题，在课本中虽无这类例题，但复习参考题的最后一道却属此类．它对于学生认识数学、提高数学修养、发展数学能力的作用重大．在归纳、猜想、证明中，准确猜想是关键．因此我们把重点放在了如何猜想．它不仅能帮助学生使问题得以顺利解决，而且对于开发学生的想象力、培养学生的创新意识、培养新世纪人材都很有意义．在例题、习题、作业题的配备上，我们认为高中的学习特点是梯度陡、跨度大、思维能力要求高（较初中而言）．因此在题目的设置上，我们加大了思维的含量．让学生在处理每一个问题，操作每一步时都必须有所思考，使学生深切体会到：数学不能死记硬背，也不能生搬硬套．要用数学的思想方法观点学习数学、看待数学．本节安排的这道练习题．从题目本身看，学生得不到一个解题程序，似乎无从下手．但如果他已掌握了归纳、猜想、证明的思想而不只是方法的话，他就会有解题意识与思路．更可从中领略到发现、观察、归纳、猜想、证明这一数学研究的全过程，体会有限与无限、特殊与一般等辩证关系．至于课后思考题，其计算、猜想都不困难，使学生对此题轻松上手．但证明时的不顺利会引发他们的思考：照搬例习题的模式是不行的，它与例习题的区别何在？数学归纳法的本质特征是什么？……这些思考不仅有助于学生解出此题，更有助于学生从实质上理解数学归纳法，抓住其核心——递推．这节课的教学，我们始终以问题为主线，让学生的思维由问题开始，到问题深化．通过问题的研讨，帮助学生从认识上得到提高．逐步由特殊到一般，由具体到抽象，由表面到本质，把学生的思维步步引向深入．从而提高学生的思维层次与思维水平。