非参数统计第二章 单样本检验(1)

Wilco‎xon秩和‎检验

Wilco‎xon符号‎秩检验是由‎威尔科克森‎（F·Wilco‎xon）于1945‎年提出的。该方法是在‎成

对观测数‎据的符号检验基础上发展‎起来的，比传统的单‎独用正负号的检验更加‎有效。1947年

‎，Mann和‎Whitn‎ey对Wi‎lcoxo‎n秩和检验‎进行补充，得到Wil‎coxon‎-Mann-Whitn‎ey检验，由

后续的M‎ann-Whitn‎ey检验又‎继而得到M‎ann-Whitn‎ey-U检验。

一、 两样本的W‎ilcox‎on秩和检‎验

由Mann‎，Whitn‎ey和Wi‎lcoxo‎n三人共同‎设计的一种‎检验，有时也称为‎Wilco‎xon秩和‎检

验，用来决定两‎个独立样本‎是否来自相‎同的或相等‎的总体。如果这两个‎独立样本来‎自正态

分布‎和具有相同‎方差时，我们可以采‎用t检验比‎较均值。但当这两个‎条件都不能‎确定时，

我们常替换‎t检验法为‎Wilco‎xon秩和‎检验。

Wilco‎xon秩和‎检验是基于‎样本数据秩‎和。先将两样本‎看成是单一‎样本（混合样本）然

后由小到‎大排列观察‎值统一编秩‎。如果原假设‎两个独立样‎本来自相同‎的总体为真‎，那么秩

将大‎约均匀分布‎在两个样本‎中，即小的、中等的、大的秩值应‎该大约均匀‎被分在两个‎样本

中。如果备选假‎设两个独立‎样本来自不‎相同的总体‎为真，那么其中一‎个样本将会‎有更多的

小‎秩值，这样就会得‎到一个较小‎的秩和；另一个样本‎将会有更多‎的大秩值，因此就会得‎到

一个较大‎的秩和。

设两个独立‎样本为：第一个的样‎x本容量为1n，第二个样本‎y容量为2n，在容量为的‎

21nnn混合样本（第一个和第‎二个）中，x样本的秩和‎为xW，y样本的秩和‎为yW，且

有

2)1(21nnnWWyx (1)

我们定义

2)1(111nnWWx (2)

2)1(222nnWWy (3)

7.5 非参数检验(补充)

1

非参数检验介绍1 关于非参数的一些常识•经典统计的多数检验都假定了总体的背景分布。•但在总体未知时，如果假定的总体和真实总体不符，那么就不适宜用通常的检验。•这时如果利用传统的假定分布已知的检验，就会产生错误甚至灾难。

•无需假定总体分布的具体形式，仅仅依赖于数据观测值的相对大小(秩)或零假设下等可能的概率等和数据本身的具体总体分布无关的性质进行的检验都称为非参数检验(nonparametric testing)。1 关于非参数的一些常识•这些非参数检验在总体分布未知时有很大的优越性。它总是比传统检验安全。•在总体分布形式已知时，非参数检验不如传统方法效率高。这是因为非参数方法利用的信息要少些。往往在传统方法可以拒绝零假设的情况，非参数检验无法拒绝。•但非参数统计在总体未知时效率要比传统方法要高，有时要高很多。是否用非参数统计方法，要根据对总体分布的了解程度来确定。

•这里介绍一些非参数检验。•关于非参数方法的确切定义并不很明确。我们就其最广泛的意义来理解。•在计算中，诸如列联表分析中的许多问题都有精确方法，Monte Carlo抽样方法和用于大样本的渐近方法等选择。精确方法比较费时间，后两种要粗糙一些，但要快些。秩（rank）•非参数检验中秩是最常使用的概念。什么是一个数据的秩呢？一般来说，秩就是该数据按照升幂排列之后，每个观测值的位置。例如我们有下面数据Xi159183178513719Ri75918426310这下面一行（记为Ri）就是上面一行数据Xi的秩。7.5 非参数检验(补充)

2秩（rank）•利用秩的大小进行推断就避免了不知道背景分布的困难。这也是非参数检验的优点。•多数非参数检验明显地或隐含地利用了秩的性质；但也有一些非参数方法没有涉及秩的性质。2 单样本检验2.1单样本中位数(α-分位数)符号检验•我们知道某点为中位数(α-分位数)意味着一个数小于该点的概率应该为0.5(α).•因此，一个观测值小于该点（或与该点之差的符号为负号）的概率为0.5(α)。•这就是符号检验名称的来源，并与二项分布有关。

非参数统计中的秩和检验方法详解

统计学是一门研究数据收集、分析、解释和展示的学科，它在各个领域都有着广泛的应用。而在统计学中，参数统计和非参数统计是两种常见的方法。参数统计是根据总体的参数进行推断，而非参数统计则是不对总体参数做出假设的一种统计方法。在非参数统计中，秩和检验方法是一种常用且重要的方法。本文将详细介绍非参数统计中的秩和检验方法。

一、秩和检验简介

秩和检验是一种基于秩次的非参数检验方法，它主要用于对两个独立样本或多个相关样本的总体分布进行比较。这种方法的优势在于对数据的分布形状没有要求，适用于各种类型的数据。

在进行秩和检验时，首先需要将样本数据进行排序，然后根据排序后的秩次进行计算。接下来，通过比较秩和的大小来进行假设检验，从而得出结论。

二、秩和检验的应用场景

秩和检验方法可以应用于诸多实际场景中。比如，在医学研究中，可以用秩和检验方法来比较两种不同治疗方法的疗效；在工程领域，可以用秩和检验方法来比较不同生产工艺的产品质量；在市场营销中，可以用秩和检验方法来比较不同促销策略的效果等等。总之，秩和检验方法在实际问题的解决中有着广泛的应用。

三、秩和检验的类型 秩和检验包括了许多不同类型，其中最常见的包括Mann-Whitney U检验、Wilcoxon秩和检验和Kruskal-Wallis H检验。下面将分别对这些检验进行详细介绍。

1. Mann-Whitney U检验

Mann-Whitney U检验是一种用于比较两个独立样本的非参数检验方法。它基于两组数据的秩次进行比较，通过计算秩和来判断两组数据是否来自同一总体分布。Mann-Whitney U检验的原假设是两组样本来自同一总体分布，备择假设是两组样本来自不同总体分布。通过计算U统计量和p值来进行假设检验，从而得出结论。

2. Wilcoxon秩和检验

Wilcoxon秩和检验是一种用于比较两个相关样本的非参数检验方法。它与Mann-Whitney U检验类似，同样是基于秩次进行比较。Wilcoxon秩和检验的原假设是两组相关样本来自同一总体分布，备择假设是两组相关样本来自不同总体分布。通过计算秩和来进行假设检验，从而得出结论。

非参数统计方法

非参数统计方法是一种统计学中的重要概念，它不依赖于总体的具体分布形式，而是利用样本数据进行推断和分析。与参数统计方法相比，非参数统计方法更加灵活和广泛适用，并且不需要对总体进行特定的假设。本文将介绍非参数统计方法的原理、常用的方法和应用领域。

一、非参数统计方法的原理

非参数统计方法的核心思想是基于样本数据来进行推断，而不需要对总体的分布形式做出先验假设。非参数统计方法主要利用统计排序和秩次来进行推断分析，因此非参数统计方法也常被称为秩次统计方法或分布自由方法。

非参数统计方法的基本原理包括以下几个方面：

1. 统计排序：对样本数据进行排序，将每个观测值按照大小进行排列，得到一系列秩次。

2. 秩次：将每个观测值与排序后的位置相对应，得到每个观测值的秩次。

3. 检验统计量：通过计算秩次之间的差异来判断总体分布是否存在差异。

4. 非参数假设检验：通过计算检验统计量的概率分布，判断总体分布是否符合我们的假设。 二、常用的非参数统计方法

1. 秩和检验（Mann-Whitney U检验）：用于比较两个独立样本是否来自同一总体。

2. 秩和差检验（Wilcoxon符号秩检验）：用于比较两个相关样本是否来自同一总体。

3. 克鲁斯卡尔-瓦里斯检验：用于比较三个或更多独立样本是否来自同一总体。

4. 费希尔精确检验：用于比较两个分类变量之间的关联性。

5. 秩和相关检验（Spearman等级相关系数）：用于比较两个变量之间的相关性。

三、非参数统计方法的应用领域

非参数统计方法在各个领域都有广泛的应用，以下列举几个常见的应用领域：

1. 医学研究：非参数统计方法可以用于比较两种治疗方法的效果，判断是否存在显著差异。

2. 经济学研究：非参数统计方法可以用于分析收入差距、失业率等经济指标的差异。

3. 生态学研究：非参数统计方法可以用于比较不同区域的生物多样性指标，评估生态系统的稳定性。 4. 社会科学研究：非参数统计方法可以用于分析社会调查数据，比较不同群体的行为差异。