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第六章动态规划与离散系统最优控制1009.

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最优控制6-1

最优控制6-1

(6-6) (6-7)
其工作特点是：最大限度地提高该阶段的收益，不考 虑回收问题。
17
若阶段数N=2，则第二阶段的工作方式与N=1时相同，即 不需考虑回收。 为使两个阶段的总收益最大，对第二阶段来说，不论在 第一阶段资源如何分配，即 y0 如何选取，要求其回收 量 ay0 b(x0 y0 ) 在第二阶段发挥最大效用 也就是说，第二阶段的最大收益应是：
解 由(6-3)式可以看出，这是一个求N元函数极值点的问 题。
1）若整体最大值位于(6-4)式限定的区域内部，即所有 yi 满足不等式 0 yi xi ，且g和h存在导数，则所有可通 过解下列方程组求出：
g( yN1) g( yN1) h(xN1 yN1)
13
希望通过合理选择使N个阶段的总收益最大，即：
max RN (x0 , y0 , y1,, yN1)
( y0 , y1,, yN 1 )
max g( y0 ) h(x0 y0 ) g( y1) ( y0 , y1,, yN 1 ) h(x1 y1) g( yN1) h(xN1 yN1)
6-1 所示。
5
站与站各地间凡有连线者，表示相应两地可铺设管 道，线间数字表示两地距离；凡无连线者，表示相应两 地不能铺设管道。现需选择一条由A0 到A6 的铺管线路， 使其总距离最短。
6
解 这一问题可用两种方法求解。 第一种：穷举法 即列出所有可能的组合方案，计算每 一方案的起迄距离，从中选出其总距离最短者，即得最 短铺管线路。
(6-1)
现设以y0与x0-y0投入生产A与B后，可以部分回收，其回 收率分别是 0 a 1 与 0 b 1 ，则经第一阶段生产 后回收的资源总共是：

第6章 最优控制的基本理论及应用

第6章 最优控制的基本理论及应用

2. 泛函的连续与线性泛函
(1)若对任给的 0 ，存在 0 ，使得当
x x* 时，就有
J[x(t)] - J[x* (t)]
(6-12)
则称泛函 J[x(t)]在函数x* (t)处是连续的。
(2)连续泛函 J[x]若满足以下条件
J[kx] kJ[x]
J[xα xβ ] J[xα ] J[xβ ]
J
t f
t0
dt
t
f
t0
式中, t0为起始时刻，t f 为终止时刻。要求时间最短，
即使性能指标J最小，这样求得的控制即为最优控制
u *(t)。
2. 搅拌槽问题
设有一盛放液体的连续 搅拌槽，如图6-2所示。槽内 装有不停转动着的搅拌器S， 使液体经常处于完全混合状 态，槽中原放0o C 的液体。 现需将其温度升高，为此在 入口处送进一定量的液体，
ε
ε0
(6-20)
【例6-1】求泛函
J
t f
t0
x2 (t)dt
的变分,其中,x(t)
为标量函数。
解 由式(6-20)得
J J[x(t) x(t)]
0
t f
t0
[
x(t
)
x(t
)]2
dt
0
t f
t0
[x(t) x(t)]2
dt
0
t f
t0
2[x(t)x(t)]x(t)dt0针对经典变分法的局限性,美国学者贝尔曼在 1953～1957年间创立了“动态规划”,发展了变分学 中的哈密顿-雅可比理论,解决了控制有闭集约束的 变分问题;而前苏联学者庞特里亚金等则在1956～ 1958年间创立了极小值原理, 也发展了经典变分原 理,成为处理控制有闭集约束的变分问题的强有力工 具。

离散时间最优控制——评论动态规划

离散时间最优控制——评论动态规划

离散时间最优控制——评论动态规划
吴受章
【期刊名称】《控制理论与应用》
【年(卷),期】2013(030)009
【摘要】阐述离散时间最优控制的特点.对比3种求解离散时间最优控制的解法,即:1)用非线性规划求解离散时间最优控制;2)用无约束优化求解离散时间最优控制;3)动态规划及其数值解.1)和2)都适用于多维静态优化,计算效率较高,是高级方法.在名义上,3)为动态优化.实际上,3)为一维分段无约束静态优化,计算效率较低,是初级方法.本文并用数字实例进一步阐明动态规划及其数值解在求解方面较差,故动态规划及其数值解已失去实用价值.在求解离散时间最优控制问题方面,无法与非线性规划求解相匹敌.
【总页数】5页(P1165-1169)
【作者】吴受章
【作者单位】西安交通大学,陕西西安710049
【正文语种】中文
【中图分类】TP13
【相关文献】
1.模型自由的离散时间系统的随机线性二次最优控制 [J], 么彩莲;王涛
2.离散时间平均场不定线性二次最优控制问题 [J], 于合谣;刘蕊蕊;冀鹏飞
3.一类离散时间非齐次马尔可夫跳跃系统最优控制 [J], 张高生;朱进;谢宛青;奚宏
生
4.离散时间平均场二次最优控制问题 [J], 冀鹏飞
5.基于离散时间最优控制的在线信誉评价模型 [J], 张超宁;张莹;徐应涛
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最优化方法在储运中的应用PPT-第6章 动态规划

最优化方法在储运中的应用PPT-第6章 动态规划
动态规划是解决多阶段决策过程最优化问题的一种数学方法，是 最优化的一个分支，它的中心思想是所谓的“最优化原理”，在此基 础上提出了一系列的求解方法。
基本概念和常用术语
许多工程技术或经济管理中的问题常常既可以用动 态规划方法解决，也可以用线性规划或非线性规划方法 解决，有时用动态规划方法往往更为简便，特别是对于 某些离散型的问题，近年来动态规划方法又广泛用于最 优控制问题。
Vk,n(xk)={xk,uk,xk+1, uk+1,…, xn+1, un+1} 研究整个问题的目的就是要找出效益函数为最优值时的总 策略，最优的效益函数可表示为：opt Vk,n(xk)，对于效益 函数opt为max，对于代价函数opt为min。
基本概念和常用术语
7、阶段效益：某一阶段所达到的效益或付出的代价称为阶 段效益或阶段指标，它决定于该阶段的状态变量和决策 变量。例如第k阶段的效益可表示为dk(uk,xk)。总的效益 或代价是各阶段效益的总和。
基本概念和常用术语
3、决策：决策就是在某阶段的状态变量给定后，从该状态 演变到下一阶段的某个状态所做的选择。 为了达到问题的最优解，在每一阶段都要选择一种 方案，或称一个决策，以达到下一阶段。如管道选线问 题中确定走哪条路线。用于表示这种决策的变量称为决 策变量。 显然第k阶段选择什么样的决策是与该阶段的起始 状态密切相关的，常用uk(xk)表示在第k阶段起始状态为 xk时的决策变量。 同样在某一阶段常有若干个可能的决策变量，其中 只有一个是最优的，这些可能的决策变量常被限制在某 一范围内，这些变量的集合称为允许决策集合，常用 Uk(xk)表示。
实际上很多问题中并没有时间因素，而是人为地分成逐 步向前推进的各个阶段，即人为地引入一个“时段”的概念， 以便使用动态规划的方法来求解。最典型的是最优路径问题， 后面将给大家详细介绍。

运筹学课件 第六章 动态规划

运筹学课件 第六章 动态规划

求解规划问题可从最终阶段逐步推至最初阶段或从 最初阶段逐步推至最终阶段，我们称前者为逆序解 法，称后者为顺序解法。
动态规划的基本方程（逆序法）：
fk (sk) = opt { wk(sk,uk )⊙ f k+1(sk+1) }
fn+1(sn+1) = φ(sn+1) f k ( sk) — 从第k阶段状态sk到终点的最优效益值
fk (sk+1)=max { vk(xk ) + f k-1(sk) }
f0(x1)=0
0
0
0
0
0
17 14
1
0
3
14
4
01
5
15
01
8
12
7
11
4
8
5
0 10 2 0
20
29
4
4
7
13
7
5
11
8
6
16 3 0
4
30
5
3
0 18
40
40
4
连续型动态规划问题的求解
例:某公司有资金10万元，若投资于项目i的投资额 为xi（i = 1 , 2 , 3)时，其收益分别为 g 1(x1)=2 x12, g 2 ( x 2 ) = 9 x2 , g 3 ( x 3 ) = 4 x3, 问应如何分配投资
第六章 动态规划
6.1 引言 6.2 最优化原理及基本概念 6.3 应用举例
例 6.1
多阶段决策过程最优化
多阶段决策过程，是指一类特殊的过程，它们可以按 时间顺序分解成若干个相互联系的阶段，称为“时段”， 在每个时段都要做决策，全部过程的决策是一个决策序列。 多阶段决策问题也称为序贯决策问题。

动态规划原理与最优控制

动态规划原理与最优控制

J *[x(2)] min {x2 (2) u2 (2) J *[x(3)]} u(2) min {x2 (2) u2 (2) [x(2) u(2)]2} u(2)
上述最优化问题的解为
u *(2) 1 x(2) 2
最优目标函数为
J *[x(2)] x2 (2) [ 1 x(2)]2 [x(2) 1 x(2)]2 3 x2 (2)

min L[x(k),u(k),k] J *[x(k 1),k 1] u(k)
J *[x(N), N] min {L[x(N),u(N), N]} u(k) 23
例1
设离散系统的状态方程为
x(k 1) x(k) u(k) k 0,1,, N 1
已知 x(0) x0
5
2
5
5
27
K=0时
J *[x(0)] min {x2 (0) u2 (0) J *[x(1)]} u(0)
min
{x2 (0) u2 (0) 8 [x(0) u(0)]2}
u(0)
5
求解可得
u *(0) 8 x(0) 13
最优目标函数为
J *[x(0)] x2 (0) [ 8 x(0)]2 8 [x(0) 8 x(0)]2 21 x2 (0)
使目标泛函
N 1
J L[x(k), u(k), k] k 0
取极小值
17
动态规划的目的
使 J 最小
即 min J
将以 x( j)为初态的 N-j(=k) 级最优决策
N
J *[x(k), k)] min{ L[x( j), u( j), j]} jk

最优控制第六章极小值原理


以 w u，w * u*代入上式，便得
H x*, *,u,t H x*, *,u*,t
(35)
上式表明，如果哈密尔顿函数H看成 utU 的
函数，那么最优轨迹上与最优控制u*(t)相对应的
H将取绝对极小值(即最小值)。这是极小值原理的
一个重要结论。
定理 设系统状态方程为
(45)
u u
3) H函数在最优轨迹终点处的值决定于
H

Φ
T
N

0
(46)
t f
t f tt f
4) 协态终值满足横截条件
t f
Φ


x
t
f
N T
x t f


tt f
(47)
5) 满足边界条件

g T w




0
(25)
d T z 0
(26)
dt
2) 横截条件
Φ

N T

H
0
(27)
t f t f
tt f
Φ N T

x

x


tt f
0
(28)
H

w

g T w


uU
此外，协态方程也略有改变，仅当g函数中不包 括x时，方程才与前面一致。
第三个条件，即式(46)，描述了H函数终值 H tt f
与tf的关系，可用于确定tf的值。在定理推导过程中 看出，该条件是由于tf变动而产生的，因此当终端时 刻固定时，该条件将不复存在。
第四个、五个条件，即式(47)～式(48)，将为正则 方程式(41)～式(43)提供数量足够(2n个)的边值条件。

最优控制与最优化问题中的动态规划方法

最优控制与最优化问题中的动态规划方法动态规划方法是一种在最优控制和最优化问题中常用的方法。

它通过将问题分解为子问题，并利用子问题的最优解来求解整体问题的最优解。

本文将介绍动态规划方法的基本原理和应用，以及其在最优控制和最优化问题中的具体应用案例。

一、动态规划方法的基本原理动态规划方法的基本原理是将原问题分解为若干个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解整体问题的最优解。

具体来说，动态规划方法有以下几个基本步骤：1. 定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。

2. 确定状态转移方程：根据问题的特点和约束条件，确定状态之间的转移关系。

3. 确定边界条件：确定问题的边界条件，即最简单的情况下的解。

4. 递推求解：利用状态转移方程和边界条件，递推求解问题的最优解。

二、动态规划方法在最优控制中的应用动态规划方法在最优控制中有广泛的应用。

最优控制问题的目标是找到一种控制策略，使得系统在给定的约束条件下达到最优性能。

动态规划方法可以用来求解最优控制问题的控制策略。

以倒立摆控制为例，倒立摆是一种常见的控制系统，其目标是使摆杆保持竖直位置。

动态规划方法可以将倒立摆控制问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的控制动作。

通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个控制过程的最优策略。

三、动态规划方法在最优化问题中的应用动态规划方法在最优化问题中也有广泛的应用。

最优化问题的目标是找到一组变量的最优取值，使得目标函数达到最小或最大值。

动态规划方法可以用来求解最优化问题的最优解。

以旅行商问题为例，旅行商问题是一个经典的最优化问题，其目标是找到一条路径，使得旅行商能够经过所有城市并且总路程最短。

动态规划方法可以将旅行商问题分解为一系列子问题，每个子问题都是在给定状态下选择最优的下一个城市。

通过递推求解子问题的最优解，最终可以得到整个旅行路径的最优解。

四、动态规划方法的优缺点动态规划方法有以下几个优点：1. 可以求解复杂的最优控制和最优化问题，具有较高的求解效率。

第6章：动态规划《运筹学》


fk
sk 1
min
uk Dk (sk )
d (sk , sk1)
fk1(sk )
(k 1,2,3,4)
k=0时，f0(s1)= f0(s)=0，这是边界条件。
k=1时，S2={A1，A2，A3} f1( A1) 8
A1
8
f1( A2 ) 6 f1( A3 ) 4 k=2时，S3={B1，B2，B3}
发，采取某种策略到第n阶段的终止状态时的效益，它与所选 取的策略有关，因此常记作：
Vk,n (sk ,uk , sk 1,, sn ,un ) (k 1,2,, n) 常用的指标函数的形式有各阶段指标函数的和的形式和积的 形式两种。
①和的形式
n
Vk,n (sk ,uk , sk 1,,un ) v j (s j ,u j ) vk (sk , uk ) Vk1,n (sk1 , uk1 ,, un )
uskk
Sk
sk
Dk
sk
k 1,2,,n
建立实际问题的动态规划模型一般可遵循以下步骤：
第一，按时间或空间顺序将多阶段决策问题划分为适当的 阶段；
第二，恰当选择状态变量sk，使它既能确切地描述过程的演 变，又满足过程的无后效性；
第三，确定决策变量uk 及每阶段的容许决策集Dk(sk)。状态 变量和决策变量可以是连续的，也可以是离散的；
在例6-4中，第一阶段有一个状态s，则S1={s}；第二阶段的 状态有A1、A2、A3三个，则S2={A1,A2,A3}；第三阶段的状态 也有B1、B2和B3三个，则S3={B1,B2,B3}；第四阶段的状态有两 个，C1和C2，记为则S4={C1,C2}。
3.决策和策略 当各阶段的状态确

现代控制理论 第6章 最优控制(校内讲稿)1


2）终端型性能指标（ 梅耶问题）
J x( t f )或J x( N )
3）综合型性能指标（ 鲍尔扎问题）
J x ( t f ) Lx t ,ut ,t dt
终端指标


t
f
或J x( N )
N 1 k k 0
t0
L [ x( k ),u( k ),k ]
2.拉格朗日乘子法 设目标函数：
n维
x( tk 1 ) f [ x( tk ),u( tk ),tk ] n N倍
N 1 L k 0
J x( N ) 约束条件为：
x( k ), u( k ), k
( k 0 ,1, N 1 )
f [ x( k ), u( k ), k ] x( k 1 ) 0
6.9
Bang-Bang控制
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教学要求： 1. 学习泛函变分法，理解最优控制的一般概念 2. 掌握利用变分法求最优控制方法 3.掌握状态调节器，极小值原理
重点内容： •最优控制的一般问题及类型，泛函与变分，欧拉 方程，横截条件。 •变分法求有约束和无约束的最优控制。 •连续系统的极小值原理。 •有限和无限时间状态调节器方法，Riccati方程求 解。
爬山法 梯度法
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6.3 静态最优化问题的解
6.3.1 一元函数的极值
设： f ( u ) a , b 上的单值连续可微函数 J 则1) u为极小值点的充要条件
f ( u ) |u u 0
f ( u ) |u u 0
f ( u ) |u u 0
H f ( g )T 0 x x x H f ( g )T 0 u u u H g ( x ,u )0
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内容为
最优性原理与离散系统的动态规划法
线性离散系统的二次型最优控制
最优性原理与离散系统的动态规划法(1/3)
6.1 最优性原理与离散系统的动态规划法
基于对多阶段决策过程的研究结果, 贝尔曼在20世纪50年代 首先提出了求解离散多阶段决策优化问题的动态规划法。 多阶段决策优化问题方法在许多领域得到应用和发展, 如在生产计划、资源配置、信息处理、模式识别等方面 都有成功的应用。 本节介绍将动态规划优化方法应用于动态系统的最优控 制问题, 构成最优控制的两种主要求解方法之一的最优 控制动态规划法。
分为4段。中间可能经过的各站及站间的行车时间均已标记 在图上。 试求最短行车时间的行车 路线。
图10 某行车路线图
多阶段决策问题(2/12)
由S站出发至终点F站可有多种不同 的行车路线 , 沿各种行车路线所耗 费的时间不同。
为使总的行车时间最短,司机在 路程的前3段要作出3次决策。 首先，一开始司机要在经过x1(1)站还是x2(1)站两种情况 中作出决策。 到x1(1)站或x2(1)后, 又面临下一站是经过x1(2)站还是x2(2) 站的第2次决策。 同样,在后续的每个阶段都要作出类似的决策。
如许多现代工业控制领域的实际计算机控制问题。
2) 有些实际控制问题本身即为离散系统, 如某些经济计划系统、人口系统的时间坐标只能以 小时、天或月等标记; 再如机床加工中心的时间坐标是以一个事件(如零 件加工活动)的发生或结束为标志的。
动态规划与离散系统最优控制(3/3)
本节将介绍解决离散系统最优控制的有效工具—贝尔曼动态 规划, 以及线性离散系统的二次最优控制问题。
多阶段决策问题(5/12)
为便于今后求解过程的应 用 , 可将从 x1(3) 站和 x2(3) 站 到终点的最短时间 J[x1(3)] 和 J[x2(3)] 的数值标记于代 表该站的小圆圈内, 如图11 所示。
其他站的情况依此类推。
图11 最优行车路线图
多阶段决策问题(6/12)
由此向后倒推,继续考察倒数第2段, 计算x1(2)站和x2(2)站到 终点F的最短时间, 并分别记为J[x1(2)]和J[x2(2)]。 由图10可知,从x1(2)站到达终点F的路线中下一站只能是 x1(3)站和x2(3)站中之一。 由于从x1(3)站和x2(3)站分别前往终点的最短时间已经计算 出, 因此, 从x1(2)站和x2(2)到终点的最短时间分别为， J[x1(2)]=min{1+J[x1(3)],1+J[x2(3)]}=4 J[x2(2)]=min{2+J[x1(3)],2+J[x2(3)]}=5 其相应的最短时间行车路线{x1(2),x2(3),F}和{x2(2),x2(3), F}。
最优性原理与离散系统的动态规划法(2/3)
动态规划的核心是贝尔曼最优性原理
这个原理归结为一个基本的递推公式。求解多阶段决策 问题时, 要从末端开始, 逆向递推, 直至始端。
动态规划的离散基本形式受到问题的维数的限制, 应用 有一定的局限性。但对于求解决线性离散系统的二次型 性能指标的最优控制问题特别有效。 至于连续系统的最优控制问题的动态规划法, 不仅是一 种可供选择的有充分性的最优控制求解法 , 它还揭示了 动态规划与变分法、极大值原理之间的关系, 具有重要 的理论价值。
随着计算机技术及其计算机控制技术的发展 , 离散系统的 最优控制问题也必然成为最优控制中需深入探讨的控制问 题, 而且成为现代控制技术更为关注的问题。
动态规划与离散系统最优控制(2/3)
离散系统的控制问题为人们所重视的原因有二,
1) 连续系统在实现控制时，在应用计算机控制技术、数字 控制技术时, 须经采样后成为离散化系统, 再加以控制
多阶段决策问题(3/12)

因此,计算8种不同的行车路线所耗费的总行车时间,取最 小者即可求出最短时间行车路线。 若行车问题需作决策的阶段数 n较大,每次决策中可供选 择的方案较多时 , 用上述的穷（枚）举法来解决最短行 车时间问题计算量非常大。 一般说来,用穷举法计算时间与作决策的阶段数n和每次 决策中可供选择的方案数成指数关系, 即通常所称的指 数爆炸、维数灾难。
多阶段决策问题(7/12)
类似于前面过程 , 其他各站到终 点的最短时间和相应的行车路 线如图11所示.
从图 11得到各站到终点站 F的最短时间行车路线和所耗 费的行车时间, 从起点站S到终点站F的最短时间行车路 线和所耗费的行车时间。
多阶段决策问题(8/Байду номын сангаас2)
上述最短行车时间路线问题及其求解方法可以推广为多阶段 决策优化问题, 如建筑安装工期计划、经济发展计划、资源 合理配置等, 其相应的最优性指标可以为所耗费的时间最短, 也可以为所耗费的能源最小、所得到的效益最好等。
最优性原理与离散系统的动态规划法(3/3)
下面分别介绍
多阶段决策问题 最优性原理一般问题的问题描述 离散系统的动态规划法
多阶段决策问题(1/12)
1. 多阶段决策问题
在讨论动态规划法之前 , 先考察一个简单的最短时间行车问 题,简称行车问题。
例 如图10所示, 某交通工具从S站出发, 终点为 F 站, 全程可
动态规划与离散系统最优控制(1/3)
第6章 动态规划与离散系统最优控制
前面讨论了连续系统最优控制问题的基于经典变分法和庞特 里亚金的极大值原理的两种求解方法。 所谓连续系统 , 即系统方程是用线性或非线性微分方程 描述的动态系统。
该类系统的控制问题是与传统的控制系统和控制元件的 模拟形式实现相对应, 如模拟运算放大器件、模拟自动 化运算仪表、模拟液压放大元件等。
多阶段决策问题(4/12)
通过分析发现 , 另一种求最短时间 行车路线方法的是:
从最后一阶段开始,先分别算出 x1(3)站和x2(3)站到终点F的最短 时间（成本）,并分别记为 J[x1(3)]和J[x2(3)]。 实际上, 最后一阶段没有选择的余地。
因此,由图10可求得 J[x1(3)]=4, J[x2(3)]=3