第6章 连续系统的最优控制6.1 最优化问题6.2 最优控制的变分法求解6.3 线性系统二次型性能指标的最优控制1、线性系统有限时间最优状态调节系统 ◆二次型性能指标设受控系统对平衡点的增量方程为()()()()()x t A t x t B t u t ∆=∆+∆，00()x t x ∆=∆简记为()()()()()x t A t x t B t u t =+，00()x t x =最优状态调节是指：对上述系统，在时间区间0[,]f t t t ∈，寻求最优状态反馈控制，使初始状态偏差00()x t x =迅速衰减，且同时使二次型性能泛函11()()[()()()()]d 22ft t t tf f f x u t J x t Q x t x t Q x t u t Q u t t =++⎰*min f x u J J J J J =++→=式中 ()0f n n Q ⨯≥——终端加权矩阵。
()0x n n Q ⨯≥——状态加权矩阵。
()0u r r Q ⨯>——控制加权矩阵。
三个加权矩阵均为对称矩阵，为简单，一般取为对角矩阵。
●1()()2tf f f f J x t Q x t =表示对终端状态偏差即稳态控制精度的限制。
当1diag[]f f fn Q q q =，211()2n f fi i f i J q x t ==∑●01()()d 2ft tx xt J x t Q x t t =⎰表示对控制过程中状态偏差衰减速度的要求。
当1diag[]x x xn Q q q =，0211()d 2ft nx xi i i t J q x t t ==∑⎰●01()()d 2ft tu u t J u t Q u t t =⎰表示对控制过程中所消耗的能量的限制，以避免状态偏差过快衰减导致控制量超过允许数值。
当1diag[]u u ur Q q q =，0211()d 2ft ru ui i i t J q u t t ==∑⎰，2()i u t 可理解为功率。
实际上，在性能指标中，x J 已经对控制的稳态精度有所要求。
当对稳态精度有更高的要求时，才增加f J 项。
由上可知，上述二次型性能指标的物理意义是，在整个时间区间0[,]f t t t ∈，特别是终值时刻f t t =上状态变量尽量接近于0而又不消耗过大的控制能量。
◆f t 有限时的最优状态控制最优状态调节器问题是始端固定、终端自由的泛函极值问题，即0t 给定，00)x t x =（，f t 给定， )f t x （自由的泛函极值问题。
黎卡提（Riccati ）矩阵微分方程（一阶非线性矩阵微分方程）：1()()()()()()()()()ttux P t P t A t A t P t P t B t Q B t P t Q -++-+=0其终值条件为()f f P t Q =可以证明，当矩阵(),(),(),()u x A t B t Q t Q t 的各元素在0[,]f t t 上都是t 的连续函数时，黎卡提方程在0[,]f t t 上满足终值条件的解存在且唯一。
当()P t 解出后，便有最优控制为*1()()()()()()tuu t K t x t Q B t P t x t -==-式中，1()()()tuK t Q B t P t -=-为时变状态反馈矩阵。
最优性能指标为*0001()()()2tJ x t P t x t =闭环系统结构如图：⊗x◆()P t 的特征*()P t 的时变性：即使,,,u x A B Q Q 都是定常矩阵，此时黎卡提方程为定常系数矩阵微分方程，()P t 也是时变的。
*()P t 的对称性()P t 是对称矩阵，共含有(1)/2n n +个不同的元素。
*()P t 0[,]f t t t ∈的非负定性由于,,f u x Q Q Q 均为非负定矩阵，所以对任意的()u t 和相应的()x t ，总有0J ≥，*1()()()02tJ x t P t x t =≥，因()x t 是任意的，可知()0P t ≥。
*当f t t <<=∞，()P t 为常数矩阵在这种情况下，在动态过程的大多数时间内，()P t 为常数矩阵，从而最优控制的时变状态反馈简化为定常状态反馈。
说明后列。
例：系统状态方程为x x u =-+，0(0)x x =求最优控制，使1022211()()d min 22f J x t x u t =++→⎰解：1A =-，1B =，1f Q =，1x Q =，1u Q =，00t =，10f t = 矩阵黎卡提微分方程为2()()2()10P t P t P t -++=，()(10)1f f P t P Q ===对1f Q =，10f t =，解得))(21)1)(2()(2(2t t eP t e----+-++-=+--最优控制为*1()()()()()()tuu t Q B t P t x t P t x t -=-=-数值计算表明：(0)(1)(6)0.4140P P P ====，(7)0.4141P =，(8)0.4157P =(9)0.4430P =，(9.5)0.5372P =，(10)1f P Q ==1f Q =和0f Q =时的()P t 曲线如图所示。
t2、f t →∞时的线性定常系统最优状态调节器f t 有限时的最优状态调节器，由于()P t 是时变的。
若f t →∞，()P t 将趋于常数矩阵，最优状态反馈矩阵也将随之转化为常数矩阵。
◆无限时间（f t →∞）状态调节器问题 若线性定常系统x Ax Bu =+，00()x t x =能控，u 不受限制，二次型性能泛函为1[]d 2t tx u t J x Q x u Q u t ∞=+⎰式中 ()0x n n Q ⨯≥——状态加权对称常矩阵；()0u r r Q ⨯>——控制加权对称常矩阵。
当0x Q >或0x Q ≥但{,}A H 能观（其中tx H H Q =），则最优状态反馈控制存在且唯一：*1()()()tuu t Kx t Q B Px t -==-式中 1()tn n uK Q B P -⨯=-为最优定常状态反馈矩阵()n n P ⨯是满足满足下列黎卡提矩阵代数方程的正定对称常数矩阵：1ttux PA A P PBQ B P Q -+-+=0最优轨线*()x t 是下列奇次状态方程的解：()x A BK x =+ , 00()x t x =性能泛函的最小值为*001()()2tJ x t Px t =说明：*表面上u 不受限制，但由于性能泛函中含有1()()d 2tu t u t Q u t t ∞⎰，通过u Q 的选择，可把i u 控制在允许范围内。
* f t →∞最优调节闭环系统是定常系统。
结构图为⊗x*由于f t →∞，要求线性定常系统能控，否则不可控模态将使()x ∞→∞。
*无限时间最优调节系统必是大范围渐近稳定的。
证明：由前知，0P >.故标量函数()0tV x x Px =>。
而()[()]()tttt V x x Px x Px A BK x Px x P A BK x =+=+++11()()tt t ttuux A BQ B P Px x P A BQ B P x --=-+-11()tut tutA P PBQB P x PB x A Q P P B --=-+- 1()ttux x PBQ B Q P x -=+-由于0x Q >，0u Q >，故()0V x <。
此外，当x →∞，()V x →∞。
根据李亚普诺夫稳定性定理，无限时间最优调节系统是大范围渐近稳定的。
*无限时间最优调节系统是渐近稳定的，当f t →∞，*()0f e x t x ==。
故在性能泛函中，终端泛函1()()2tf f f x t Q x t 失去意义，予以取消，或认为f Q =0。
例：简化的同步发电机—无穷大系统机电模型如图。
模型数据为：10s M =，0.5T =，377rad/s N ω=。
二次型性能泛函权矩阵diag[0.251]x Q =，1u Q =。
求最优状态控制。
解：系统状态方程x Ax Bu =+为0/01/N u T MM ωδδωω∆⎡⎤∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 对于所给数据37700.0500.1u δδωω∆⎡⎤∆⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-∆∆⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 展开黎卡提方程1ttux PA A P PBQ B P Q -+-+=0得1112111212221222037700.050.0503770p p p p p p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112111212221222000.2500000.010100p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 由于111212221222[00.1]0.1[]tp p B P p p p p ⎡⎤==⨯⎢⎥⎣⎦，因此，只需求出12p 和22p 。
将黎卡提方程展开，有212p +1012p -25=0，2220.01p +75422p +1=0解得12 2.071,12.07p =-；22p =满足0P >的解为12 2.071p =，22395.3p ==最优状态反馈矩阵为11222[]0.1[][0.207139.53]tuK k k Q B P p p δω-==-=-⨯=--闭环系统结构无控制时，特征方程和特征值分别为37700.05s sI A s--==，1,2j4.342rad/s λ=±系统临界稳定。
施加最优控制后377()00.0707 3.953s sI A bK s ---==+1,2 1.9765j4.769rad/s λ=-±系统渐近稳定，且阻尼良好。
阻尼比为Re /0.383ζλλ==3、f t →∞时的线性定常系统最优输出调节器若线性定常系统x Ax Bu =+，00()x t x =y C x =能控且能观，u 不受限制，二次型性能泛函为1[]d 2t ty u t J y Q y u Q u t ∞=+⎰式中 ()0y m m Q ⨯≥——输出加权对称常矩阵；()0u r r Q ⨯>——控制加权对称常数矩阵。
求最优控制*()u t ，使min J J →。
参照最优状态调节器的结果，最优输出调节器的最优控制为*1()()()tuu t Kx t Q B Px t -==-式中 1()tn n uK Q B P -⨯=-为最优定常状态反馈矩阵()n n P ⨯是满足满足下列黎卡提矩阵代数方程的正定对称常数矩阵：1uty ttPA A P PBQ B P C Q C -+-+=0注意：因黎卡提矩阵代数方程不同，此处所得P 阵与最优状态调节器时的不同，从而最优控制也不同。
