第六讲 整体代入与化简求值

《代数式》提升专题——整体思想求值一、方法总述要利用整体思想解题，需要从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何求证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．二、例题探索1．直接代入例1：已知a－b＝－3，求代数式(－a＋b)²－a＋6＋b的值．分析：本题中，我们无需求出a，b的值，将a－b作为一个整体直接代入，需要注意的是－a＋b是其相反数．解答：当a－b＝－3时，原式＝(－a＋b)²－a＋b＋6＝3²＋3＋6＝18变式1：若ab＝－3，a＋b＝－2，则ab－4a＋a－3b＝_______．分析：本题中，同样无需求出a，b的值，先将多项式化简，观察化简结果中的某几项，能否作为一个整体，与所给条件中的某个整体是对应的倍数关系，从而在求解时，将所给条件中的这个整体添上括号和系数，方便求值．解答：当ab＝－3，a＋b＝－2时，原式＝ab－3a－3b＝ab－3(a＋b)＝－3－3×(－2)＝32．部分代入例2：若代数式2a²－3a＋1的值为5，(1)求代数式8＋4a²－6a的值．(2)求代数式－6a²－4＋9a的值．分析：本题中，我们可以把所给条件中的部分项组成一个整体，代入到要求的多项式中，一般来说，要求的多项式中，必然也有部分项可看作整体，是所给条件中部分项整体的倍数关系，同样，求解时，别忘给所给条件的部分项添上括号和系数．解答：(1)由题意得，2a²－3a＝4原式＝8＋2(2a²－3a)＝8＋2×4＝16(2)原式＝－6a²＋9a－4＝－3(2a²－3a)－4＝－3×4－4＝－163．两次代入例3：分析：本题中，显然需要把－3代入这个代数式，但是仅代一次是不够的，我们只能得到关于m，n 的多项式作为整体，因此，需要把3再次代入，观察此时关于m，n的多项式的整体与之前的关系，并求值．解答：当x＝－3时，原式＝－27m－3n＋1＝－5∴－27m－3m＝－6当x＝3时，原式＝27m＋3n＋1＝6＋1＝74．特殊值代入例4：分析：本题中，我们需要思考，到底代哪个特殊值．(1)中，只有a0，则其他项为0，则x取0．(2)中，是求每项的系数的和，因此，x必须保证其任何次幂为1，则x取1．(3)中，x必须保证其奇次幂为－1，偶次幂为1，则x取－1．(4)中，不含奇数次的项，则这些项要设法消去，则(2)(3)式相加，除以2即可．(5)中，不含偶数次的项，则这些项要设法消去，则(2)(3)式相减，除以2即可．解答：三、高阶运用1．拆项重组代入例1：分析：这种类型的题目，显然是无法求出x，y具体的值，因此只能观察要求的代数式与所给的两个整体之间的联系，我们通常将中间同时含字母xy的项拆解，是其中一项与第一项合并后是所给第一个整体的倍数，另一项与最后一项合并后是所给第二个整体的倍数．(1)显然，2xy拆成xy＋xy．(2)显然，0＝xy－xy．(3)看到第一项为2x²，则有一项被拆成2xy，凑出第一个所给整体的2倍．(4)同上．解答：例2：分析：本题中，要求的代数式中含有三次项，而已知条件的多项式是二次的，因此，要降次，我们可以把三次项拆成一次项乘二次项，而把已知条件中除二次项以外的多项式看作是这个二次项的相反项，用来代替要求式子中拆出来的二次项，则整个所求的三次项就达到了降次的目的．解答：思考题。

化简求值的方法化简求值是数学中常用的一种方法，可以将复杂的表达式或方程简化为更简单的形式，并求得其数值。

这种方法在数学计算、物理问题求解和工程应用中都有广泛的应用。

化简求值的方法有很多种，下面我将介绍几种常见的方法。

一、代入法代入法是一种常用的化简求值方法，它的基本思想是将变量用具体的数值代入表达式或方程中，然后进行计算得到结果。

通过代入不同的数值，我们可以得到不同的结果，从而对原表达式或方程进行评估。

例如，我们要求表达式f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的值，可以将x代入表达式中计算得到f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 11。

通过代入不同的数值，我们可以得到不同的f(x)值，从而对其进行评估。

二、分解法分解法是将复杂的表达式或方程分解为更简单的形式，然后进行求值的方法。

通过将表达式或方程分解为若干个部分，可以更容易地对其进行计算，并得到最终结果。

例如，我们要求表达式g(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2的值，可以将其分解为g(x) = x(x^2 + 2x - 1) - 2，然后分别计算x、x^2和x^3的值，再进行加减运算得到最终结果。

三、化简公式法化简公式法是利用数学中的一些常见公式或性质对表达式或方程进行化简的方法。

通过运用公式或性质，可以将复杂的表达式或方程简化为更简单的形式，并得到其数值。

例如，我们要求表达式h(x) = sin^2(x) + cos^2(x)的值，可以利用三角函数的平方和公式sin^2(x) + cos^2(x) = 1，将表达式化简为h(x) = 1，从而得到其值为1。

四、化简推导法化简推导法是通过逐步推导和变换，将复杂的表达式或方程化简为更简单的形式，并最终求得其数值的方法。

通过逐步的代数变换和运算，可以将原表达式或方程化为更简单的形式，然后进行计算得到结果。

例如，我们要求方程2x + 3 = 7的解，可以通过逐步变换将其化简为x = 2，从而得到方程的解为x = 2。

专题10代数式化简求值压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【类型一整体代入求值】 (1)【类型二特殊值法代入求值】 (2)【类型三降幂思想运算求值】 (5)【类型四整式的加减中的化简求值】 (6)【类型五整式加减的应用化简求值】 (7)【过关检测】 (10)【典型例题】【类型一整体代入求值】例题：（2023秋·河北张家口·七年级统考期末）若21x y -=-，则842x y -+的值是（）A ．6B ．10C ．9D ．7【答案】B【分析】对代数式作变形，用已知的代数式表示，代入求值．【详解】解：84282(2)82(1)10x y x y -+=--=-⨯-=；故选：B ．【点睛】本题考查求代数式，对代数式作恒等变形，用已知的代数式表示是解题的关键．【变式训练】【类型二特殊值法代入求值】例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）已知关于x 的多项式4323ax bx cx dx e ++++，其中a ，b ，c ，d 为互不相等的整数．(1)若4abcd =，求+++a b c d 的值；(2)在（1）的条件下，当1x =时，这个多项式的值为27，求e 的值；(3)在（1）、（2）条件下，若=1x -时，这个多项式4323ax bx cx dx e ++++的值是14，求a c +的值．【答案】(1)0(2)3e =(3) 6.5-【分析】（1）由a b c d 、、、是互不相等的整数，4abcd =可得这四个数由1-，1，2-，2组成，再进行计算即可得到答案；（2）把1x =代入432327ax bx cx dx e ++++=，即可求出e 的值；（3）把=1x -代入432314ax bx cx dx e ++++=，再根据0a b c d +++=，即可求出a c +的值．【详解】（1）解：4abcd = ，且a b c d 、、、是互不相等的整数，∴a b c d 、、、为1-，1，2-，2，0a b c d ∴+++=；（2）解：当1x =时，4323ax bx cx dx e ++++43231111a b c d e =⨯+⨯+⨯+⨯+3a b c d e =++++30e =+27=，3e ∴=；（3）解：当=1x -时，4323ax bx cx dx e ++++()()()()43231111a b c d e=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+3a b c d e =-+-+14=，13a b c d ∴-+-=-，0a b c d +++= ，6.5a c ∴+=-．【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是得出a b c d 、、、这四个数以及a b c d 、、、之间的关系．【变式训练】1.若()665432654321021x a x a x a x a x a x a x a -=++++++，则5310a a a a ++-=______．【答案】365-【详解】解：令x =0，代入等式中得到：()601-=a ，∴0=1a ，令x =1，代入等式中得到：65432101①=++++++ a a a a a a a ，令x =-1，代入等式中得到：66543210(3)②----=+++ a a a a a a a ，将①式减去②式，得到：65311(3)2()--+=+a a a ，2.特殊值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：432432106a x a x a x a x a x ++++=，则（1）取0x =时，直接可以得到00a =；（2）取1x =时，可以得到432106a a a a a ++++=；（3）取1x =-时，可以得到432106a a a a a -+-+=-；（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到4222a a +020+=a ，结合（1）00a =的结论，从而得出420a a +=．请类比上例，解决下面的问题：已知654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=．求：(1)0a 的值；(2)6543210++++++a a a a a a a 的值；(3)642a a a ++的值．【答案】(1)4；(2)8；(3)0【解析】(1)解：当1x =时，∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=，∴0414a =⨯=；(2)解：当2x =时，∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=，∴65432108a a a a a a a +++++=+；(3)解：当2x =时，∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=，∴65432108a a a a a a a +++++=+①；当0x =时，∵654326543210(1)(1)(1)(1)(1)(1)4a x a x a x a x a x a x a x -+-+-+-+-+-+=，∴65432100+-++=--a a a a a a a ②；用①+②得：406282222++=+a a a a ，∴642040a a a a ++=-=．【类型三降幂思想运算求值】【变式训练】故答案为：2022．【点睛】本题考查了因式分解的应用，将3x 降次为2x x -+是解题关键．2.已知21x x +=，求43222023x x x x +--+的值．【答案】2022【分析】把所求式子变形成含已知的代数式，结合整体代入的思想解答即可．【详解】解：∵21x x +=，∴43222023x x x x +--+()22222023x x x x x =+--+2222023x x x =--+22023x x =--+()22023x x =-++12023=-+2022=．【点睛】本题考查了代数式求值和整式的乘法，正确变形，灵活应用整体思想是解题的关键．【类型四整式的加减中的化简求值】【变式训练】【类型五整式加减的应用化简求值】例题：（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，四边形ABCD是一个长方形．(1)根据图中数据，用含x的代数式表示阴影部分的面积S；【变式训练】(1)分别用代数式表示草地和广场空地的面积．(2)若长方形的长为300【答案】(1)草地：1 4⨯(1)木地板和地砖分别需要多少平方米(2)如果地砖的价格为每平方米40元，木地板价格为每平方米少钱【答案】(1)木地板和地砖分别需要10【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值．解题的关键在于根据题意正确的列代数式．【过关检测】一、单选题∴32x y -+=-，∴264x y -+=-，∴()526541x y -+=+-=，故选A ．【点睛】本题主要考查了代数式求值，正确得到264x y -+=-是解题的关键．3．（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）已知(3)2x x -=，那么多项式2269x x -++的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】把所求的多项式进行整理，再代入相应的值运算即可．【详解】解：∵(3)2x x -=，2269x x ∴-++2(3)9x x =--+229=-⨯+49=-+5.=故选：B ．【点睛】本题主要考查单项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．4．（2023·广东阳江·统考二模）已知()22x x -=，则代数式2365x x -+的值为（）A ．6B ．-1C ．11D ．7【答案】C【分析】将原代数式变形后，将()2222x x x x -=-=整体代入计算即可．【详解】解：∵()2222x x x x -=-=，∴()2236532532511x x x x -+=-+=⨯+=，故选：C ．【点睛】本题考查代数式求值，用“整体代入法”求代数式的值是解决这类问题的关键．5．（2023春·重庆江北·七年级校考期中）如图所示，大正方形边长为a ，小正方形边长为b ，已知2216a b +=，2ab =，则阴影部分的面积为（）．A．6二、填空题三、解答题11．（2023秋·湖南娄底·七年级统考期末）先化简，再求值：()()2543237xy x xy xy ---+，其中1x =-，2y =．【答案】24214x xy -+-；22-【分析】根据整式加减运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．【详解】解：()()2543237xy x xy xy ---+(1)求剪掉两个扇形1S 与2S 的面积（结果保留(2)如果a ，b 满足关系式8a b -+【点睛】本题考查列代数式解决实际问题．正确的识图，用代数式表示出图形的面积，是解题的关键．15．（2023秋·七年级课时练习）【阅读理解问题】数学中，运用整体思想的方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知221a a +=，则代数式()222442242146a a a a ++=++=⨯+=．请你根据以上材料解答以下问题：(1)若232x x -=，求213x x +-的值；(2)当1x =时，代数式31px qx ++的值是5，求当=1x -时，代数式31px qx ++的值；(3)当2023x =时，代数式535ax bx cx ++-的值为m ，求当2023x =-时，代数式535ax bx cx ++-的值．【答案】(1)1-(2)3-(3)10m --【分析】（1）对代数式213x x +-适当变形将232x x -=整体代入即可；（2）将1x =代入代数式求得4p q +=，再将=1x -代入，对所得代数式1p q --+进行变形，整体代入即可；（3）将2023x =代入代数式求得532023202320235a b c m ⋅+⋅+⋅=+，再将2023x =-代入，对所得代数式()532023202320235a b c -⋅+⋅+⋅-适当变形，整体代入即可．【详解】（1）解：22131(3)121x x x x +-=--=-=-；（2）解：将1x =代入31px qx ++得311115p q p q ⋅+⋅+=++=，化简得4p q +=．将=1x -代入31px qx ++得3(1)(1)11()1p q p q p q ⋅-+⋅-+=--+=-++将4p q +=代入得31px qx ++=()1413p q -++=-+=-；（3）解：当2023x =时，535ax bx cx m ++-=，即532023202320235a b c m ⋅+⋅+⋅-=，所以532023202320235a b c m ⋅+⋅+⋅=+．当2023x =-时，535ax bx cx ++-()532023202320235a b c =-⋅+⋅+⋅-()55m =-+-10m =--．【点睛】本题考查代数式求值——整体代入法．在求代数式的值时，一般先化简，再把各字母的取值代入求值．有时题目并未给出各个字母的取值，而是给出几个式子的值，这时可以把这几个式子看作一个整体，把多项式化为含这几个式子的代数式，再将式子看成一个整体代入求值．运用整体代换，往往使问题得到简化．16．（2023春·广东梅州·七年级校考开学考试）数学家欧拉最先把关于x 的多项式用记号()f x 来表示．例如：2()1f x x x =+-，当x a =时．多项式的值用()f a 来表示，即()21f a a a =+-．当3x =时，()2333111f =+-=．(1)已知2()23=-+f x x x ，求()1f 的值．(2)已知2()2f x mx x m =--，当(3)1f m -=-时，求m 的值．(3)已知2()(f x kx ax bk a =--．b 为常数），对于任意有理数k ，总有(2)2f -=-，求a ，b 的值．【答案】(1)2(2)1m =-(3)1a =-，4b =【分析】（1）将1x =代入2()23=-+f x x x 中进行计算即可；（2）将3x =-代入2()2f x mx x m =--中，根据(3)1f m -=-列方程计算即可；（3）根据题意将2x =-代入2()f x kx ax bk =--中，可知k 的倍数40b -=，从而可解答此题．【详解】（1）解：当1x =时，()11232f =-+=；（2）解：当3x =-时，()3961f m m m -=+-=-，1m ∴=-；（3）解：当2x =-时，()2422f k a bk -=+-=-，(4)22b k a ∴-+=-，k 为任意有理数，40b ∴-=，22a =-，1a ∴=-，4b =．【点睛】本题主要考查的是求代数式的值，读懂记号()f x 的运算方法是解题的关键．。

生可能会感到困惑，不知从何入手。
-举例：化简整式(2x^2 + 3x - 1)(x^2 - 2x + 1)。
在教学中，教师应针对这些难点和重点，采用适当的例题、图表、动画等教学辅助手段，帮助学生直观理解并逐步突破难点，确保学生对核心知识点的理解透彻。同时，通过反复练习和变式训练，巩固学生对重点内容的掌握。
第二章整式的化简求值及整式中的整体思想（教案）
一、教学内容
第二章整式的化简求值及整式中的整体思想：
1.章节内容：本章节主要围绕整式的化简求值和整体思想进行讲解。
a.整式的化简：包括合并同类项、去括号、整式的乘法与除法。
b.整式的求值：运用代入法、整体代入法求解整式的值。
c.整式中的整体思想：通过具体实例，引导学生理解整体思想在整式化简和求值中的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了整式的化简求值的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对整式化简求值及整体思想的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“整式的化简求值在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）