诱导公式的化简与求值20题教学内容

诱导公式一．教学目标1.理解四组诱导公式及其探究思路2.学会利用四组诱导公式求解任意角的三角函数值，会进行简单 的化简与证明。

二．知识梳理（一）诱导公式诱导公式一: απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+kαπαtan )2tan(=+k （其中Z ∈k ）诱导公式二： αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-）（其中Z ∈k ）诱导公式三: ααπsin sin(=-）ααπ-cos cos(=-） ααπtan tan(-=-）（其中Z ∈k ）诱导公式四：ααπ-sin sin(=+） ααπ-cos cos(=+）ααπtan tan(=+）（其中Z ∈k ）作用：实现正弦（切）函数和余弦（切）函数的互化。

口决：奇变偶不变，符号看象限．)(2由象限决定数的符号符号指的是前面三角函的奇偶性；中奇偶指的是k kπ三．例题讲解类型一：利用诱导公式求值例1 (直接应用) 求下列各三角函数值（1）16sin()3π-； （2）o cos(945)-. 解：（1）原式16443sinsin(4)sin sin()sin 33333πππππππ=-=-+=-=-+==. （2）原式oooooocos945cos(2360225)cos225cos(18045)==⨯+==+=ocos45-22=-.点评：对于负角的三角函数求值，可先用诱导公式化为正角的三角函数.若转化得到的正角大于o 360，则再利用诱导公式化为o o (0,360)范围内的角的三角函数；若这时的角是o o (90,360)范围内的角，再利用有关的诱导公式化为o o(0,90)范围内的角的三角函数.口诀：负化正，大化小，化到锐角再求值.练习：求oooosin10sin(260)cos100cos(170)---的值. （答案：1sin cos αα）例2 (变式应用) 求o o o o osin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-+--+的值思路：负角三角函数→正角三角函数→o 0～o360角三角函数→锐角三角函数→求值. 解：原式点评：解决这类问题要注意观察角的特点，然后把角化为o360k α⋅+，o180α±，o360α-等形式，最后再利用诱导公式求解.练习：求35463755tan()sin()cos tan6366ππππ---. （答案：0） 提示：按口诀：“负化正，大化小，化到锐角再求值”进行求值即可.例3 (综合应用) 已知o1cos(75)3α-=-，且α为第四象限角，求osin(105)α+的值.导思：（1）角o 75α-与角o105α+有什么关系？ （2）osin(105)α+与osin(75)α-有什么关系？（3）已知ocos(75)α-如何求osin(75)α-？应注意什么问题？解：由题意知o75α-为第三象限角，故osin(75)α-==3=-，故o o o osin(105)sin[180(75)]sin(75)3ααα+=+-=--=. 点评：本题主要考查诱导公式的灵活运用和同角三角函数的基本关系.本题的易错点是开平方运算中的符号问题，即o75α-的范围的确定，应注意到已知条件o1cos(75)3α-=-中的隐含信息.练习：若o1cos(75)3α+=，且α为第三象限角，求o ocos(15)sin(15)αα-+-的值. （答案：13--类型二：利用诱导公式化简三角函数式例3(直接应用) 化简cos()2sin()cos(2)5sin()2παπαπαπα-⋅-⋅-+. 解：原式2cos()sin 2sin cos sin cos sin cos sin()2παααααααπαα-=⋅⋅=⋅⋅=+.练习：化简：sin(6)cos(10)tan()cos()sin(8)tan(5)παπααπαππαπα-+---+-； （答案：1）例4 (变式应用) 求值24sin(2)cos()(Z)33n n n ππππ+⋅+∈. 解：当n 为奇数时，原式24sin (cos )sin()[(cos()]sin cos 333333ππππππππ=-=--+=1224=⋅=. 当n 为偶数时，原式24sincos sin()cos()sin (cos )333333ππππππππ==-+=-1()224=⋅-=- 点评：因为诱导公式对于α加π的奇数倍和偶数倍是不同的，故用诱导公式求值时，若遇到π的整数倍，必须对整数分奇数和偶数进行讨论.例5 (综合应用) 已知α为第三象限角，且sin()cos(2)tan()()sin()tan()f παπααπαπααπ----=--+.（1）化简()f α； （2）若31cos()25πα-=，求()f α的值； （3）若o1860α=-，求()f α的值.导思：（1）负角的三角函数如何化简？（2）与π、2π有关的三角函数名称变不变？符号又该如何确定？解：（1）由题意sin()cos(2)tan()sin cos (tan )()cos sin()tan()(sin )tan f παπααπαααααπααπαα-----===---+--.（2）用诱导公式化简3cos()2πα-，得3cos()sin 2παα-=-，故由题意得1sin 5α=-，故cos α=()f α=. （3）因o o o1860219030-=-⨯+，故ooo(1860)cos(1860)cos(2190f -=--=--⨯o30)+o1sin 302=-=-. 四．课堂练习一、选择题1．已知sin(α－π3)＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α的值为( )A ．13B ．－13C ．233D ．－233[答案] B[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13 ∴cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝－13， 故选B.2．已知sin110°＝a ，则cos20°的值为( ) A ．a B ．－a C ．1－a 2 D ．－1－a 2[答案] A[解析] sin110°＝sin(90°＋20°)＝cos20°＝a .3．已知点P (sin(π＋θ)，sin(3π2－θ))在第三象限，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] A[解析] sin(π＋θ)＝－sin θ， sin(3π2－θ)＝sin[π＋(π2－θ)]＝－sin(π2－θ)＝－cos θ，∵点P 在第三象限，∴－sin θ<0，－cos θ<0，∴sin θ>0，cos θ>0， ∴θ是第一象限角．4．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2－θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．23[答案] B[解析] 原式＝cos θ＋cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ∵tan θ＝2，∴原式＝21－2＝－2，故选B.5．化简sin (θ－5π)tan (3π－θ)·cot ⎝⎛⎭⎫π2－θtan ⎝⎛⎭⎫θ－32π·cos (8π－θ)sin (－θ－4π)＋sin(－θ)的结果为( )A ．0B ．1C ．2D ．32[答案] A[解析] 原式＝－sin θ－tan θ·tan θ－cot θ·cos θ－sin θ－sin θ＝cos θ·(－tan 2θ)(－cot θ)－sin θ＝sin θ－sin θ＝0. 6．计算sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4的值是( )A ．－34B ．34C ．－34D ．34 [答案] A[解析] sin 4π3·cos 25π6·tan 5π4＝sin(π＋π3)·cos(4π＋π6)·tan(π＋π4)＝－sin π3·cos π6·tan π4＝－32×32×1＝－34. 二、填空题7．化简tan1°·tan2°·tan3°·…·tan89°＝________. [答案] 1[解析] ∵tan k °·tan(90°－k °)＝tan k °·cot k °＝1，∴tan1°·tan2°…tan89°＝(tan1°·tan89°)(tan2°·tan88°)…(tan44°·tan46°)·tan45°＝1. 8．设φ(x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫π2－x ＋cos 2⎝⎛⎭⎫x －π2＋cot(19π－x )，则φ⎝⎛⎭⎫π3＝________. [答案] 1－33[解析] ∵φ(x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋cot(－x )＝1－cot x ， ∴φ⎝⎛⎭⎫π3＝1－cot π3＝1－33. 三、解答题9．已知角α终边上一点P (－4,3)， 求cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)的值．[解析] cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝cos (π2＋α)sin[－(π＋α)]cos[5π＋(π2－α)]sin[4π＋(π2＋α)]＝－cos (π2＋α)sin (π＋α)－cos (π2－α)sin (π2＋α)＝－(－sin α)(－sin α)－sin αcos α＝tan α，由题意得tan α＝－34.∴cos (π2＋α)sin (－π－α)cos (11π2－α)sin (9π2＋α)＝－34.五．课后作业基础巩固一、选择题1．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)sin600°＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32[答案] C[解析] sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32. 2．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35[答案] B[解析] 由题意，知cos θ＝x r ＝45，∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.3．设A 、B 、C 是一个三角形的三个内角，则在①sin(A ＋B )－sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③tan(A ＋B )＋tan C ；④cot(A ＋B )－cot C (C ≠π2)，这四个式子中值为常数的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] C[解析] ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C . ∴sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ， cot(A ＋B )＝cot(π－C )＝－cot C ，故选C. 原题四个式子中①②③式为常数． 4．下列各三角函数值： ①sin1 125°； ②tan 37π12·sin 37π12；③sin3tan3； ④sin1－cos1.其中为负值的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] B[解析] 1 125°＝1 080°＋45°，则1 125°是第一象限的角，所以sin1 125°>0；因37π12＝2π＋1312π，则3712π是第三象限角，所以tan 3712π>0，sin 3712π<0，故tan 3712π·sin 3712π<0；因3弧度的角在第二象限，则sin3>0.tan3<0，故sin3tan3<0；因π4<1<π2，则sin1－cos1>0.∴②③为负数．因此选B. 5．化简1＋2sin (π－3)cos (π＋3)的结果是( ) A ．sin3－cos3 B ．cos3－sin3 C ．±(sin3－cos3)D ．以上都不对[答案] A [解析]1＋2sin (π－3)cos (π＋3)＝1＋2sin3(－cos3)＝(cos3－sin3)2＝|cos3－sin3|. ∵π2<3<π，∴sin3>0>cos3. ∴原式＝sin3－cos3.6．记cos(－80°)＝k ，那么tan100°＝( ) A ．1－k 2kB ．－1－k 2kC ．k1－k2D ．－k1－k2[答案] B[解析] 解法一：∵cos(－80°)＝k ，∴cos80°＝k ，∴sin80°＝1－k 2， ∴tan80°＝1－k 2k ，∴tan100°＝－tan80°＝－1－k 2k .解法二：由cos(－80°)＝k ，得cos80°＝k >0，∴0<k <1. 又sin 280°＋cos 280°＝1，∴tan 280°＋1＝1cos 280°.∴tan 280°＝1k 2－1＝1－k 2k 2.∴tan80°＝1－k 2k. ∴tan100°＝－tan80°＝－1－k 2k .二、填空题7．已知cos(π＋α)＝－12，则tan(α－9π)＝________.[答案] ±3[解析] cos(π＋α)＝－cos α＝－12，cos α＝12，∴tan α＝±3，tan(α－9π)＝－tan(9π－α) ＝－tan(π－α)＝tan α＝±3.8．已知角α的终边上一点P (3a,4a )，a <0，则cos(540°－α)＝________. [答案] 35[解析] cos α＝3a 9a 2＋16a 2＝3a 5|a |＝－35，cos(540°－α)＝cos(180°－α)＝－cos α＝35.三、解答题9．求下列三角函数式的值：(1)sin(－840°)cos1 470°－cos(－420°)sin(－930°)； (2)sin(－60°)＋cos225°＋tan135°.[解析] (1)sin(－840°)·cos1470°－cos(－420°)sin(－930°) ＝－sin840°cos1 470°＋cos420°sin930°＝－sin(2×360°＋120°)cos(4×360°＋30°)＋cos(360°＋60°)sin(2×360°＋210°) ＝－sin120°cos30°＋cos60°sin210°＝－sin(180°－60°)cos30°＋cos60°sin(180°＋30°)＝－sin60°cos30°－cos60°sin30° ＝－32×32－12×12＝－1. (2)原式＝－sin60°＋cos(180°＋45°)＋tan(180°－45°) ＝－32－cos45°－tan45° ＝－32－22－1 ＝－2＋3＋22. 能力提升一、选择题1．已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于( ) A ．m 2－12B ．m 2＋12C ．1－m 22D ．－m 2＋12[答案] A[解析] sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m ， ∴sin α＋cos α＝m ， 而sin(180°＋α)·cos(180°－α) ＝(－sin α)·(－cos α)＝sin αcos α ＝(sin α＋cos α)2－12＝m 2－12.2．若tan(7π＋α)＝a ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A ．a －1a ＋1B ．a ＋1a －1C ．－1D ．1[答案] B[解析] tan(7π＋α)＝tan α＝a ， 原式＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝a ＋1a －1. 3．化简sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z )得到的结果是( )A ．0B ．－2sec αC ．2csc αD ．2sec α[答案] B[解析] 原式＝－sin α－sin αsin α·cos α＝－2sec α.4．已知sin(π－α)＝log 814，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－255B ．255C ．±255D ．52 [答案] B[解析] ∵log 814＝log 232－2＝－23，∴sin α＝－23，又∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎫－232＝53. ∴tan α＝－255，∴tan(2π－α)＝－tan α＝255.二、填空题5．sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋2sin 4π3＋3sin 2π3等于________． [答案] 0[解析] 原式＝－sin π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＋3sin ⎝⎛⎭⎫π－π3 ＝－sin π3－2sin π3＋3sin π3＝0.6．求值：tan (－150°)cos (－570°)cos (－1 140°)cot (－240°)sin (－690°)＝________.[答案]32[解析] 原式＝－tan150°·cos570°·cos1 140°cot240°·sin690°＝－tan (180°－30°)·cos (360°＋180°＋30°)·cos (3×360°＋60°)cot (180°＋60°)·sin (720°－30°)＝tan30°·(－cos30°)·cos60°cot60°·(－sin30°)＝33×⎝⎛⎭⎫－32×1233×⎝⎛⎭⎫－12＝32.三、解答题7．已知tan(π＋α)＝－12，求下列各式的值．(1)2cos (π－α)－3sin (π＋α)4cos (α－2π)＋sin (4π－α)； (2)sin(α－7π)·cos(α＋5π)．[解析] tan(π＋α)＝－12⇒tan α＝－12，(1)原式＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×⎝⎛⎭⎫－124－⎝⎛⎭⎫－12＝－79.(2)原式＝－sin α·(－cos α) ＝sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－12⎝⎛⎭⎫－122＋1＝－25.8．化简：cot α·cos (π＋α)·sin 2(3π＋α)tan α·cos 3(－π－α).[解析] 原式＝cot α·(－cos α)·sin 2(π＋α)tan α·cos 3(π＋α)＝cot α·(－cos α)·(－sin α)2tan α·(－cos α)3＝cot α·(－cos α)·sin 2αtan α·(－cos 3α)＝cos 2αsin 2α·sin 2αcos 2α＝1.9．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值．[解析] ∵cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)， ∵cos(75°＋α)＝13>0，又∵α为第三象限角，∴α＋75°为第四象限角， ∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α) ＝－1－⎝⎛⎭⎫132＝－223， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13. 备选题目：（2015年1月·密云期末·2）sin 240=A ．B ．12-C ．12D 答案：A（2015年1月·顺义期末·2）sin120的值等于A .12 B .12- C D .-答案：C（2015年1月·海淀期末·11）.已知(,)αππ∈-，且sin cos7πα=-，则α=A. 514π-或914π-B. 914π-或914πC. 514π或514π-D. 514π或914π答案：A（2015年1月·海淀期末·2） 7sin6π=A. B. C. 12D. 12-答案：D（2015年1月·丰台期末·4）已知135sin =α，α是第一象限角，则cos(π)α-的值为（ ） A ．513-B ．513C ．1213- D ． 1213答案：C（2015年1月·房山期末·13）已知3cos5=-α，且α为第二象限的角，则sin()α-= .答案：4 5 -（15年1月·东城期末·12）已知1tan(3)2απ-=-，则πcos()cos()2sin(π+)2cos(π)αααα++---的值是．答案：1 3。

诱导公式的化简与求值1．已知角α终边上一点P（﹣，1）（1）求的值（2）写出角α的集合S．考点：任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：先求出点P（﹣，1）到原点的距离，再由定义求出角α的三角函数值，（1）先用诱导公式化简，再代入角α的三角函数值求值；（2）写出角α的集合S，由于本题中的角是一个特殊角，故可以用终边相同的角将它表示出来．解答：解：点P（﹣，1）到原点的距离是2，由定义sinα=，cosα=﹣（1）==﹣==﹣（2）由sinα=，cosα=﹣知角α的终边与角的终边相同，故α=2kπ+，k∈z故S={α|α=2kπ+，k∈z}2．已知角α的终边经过点P（，﹣）．（1）求sinα的值．（2）求式﹣的值考点：任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：（1）求出|OP|，利用三角函数的定义，直接求出sinα的值．（2）利用诱导公式化简表达式，根据角的终边所在象限，求出cosα=，可得结果．解答：解：（1）∵|OP|=，∴点P在单位圆上．（2分）由正弦函数的定义得sinα=﹣（5分）（2）原式=（9分）=..（10分）由余弦的定义可知，cosα=（11分）即所求式的值为（12分）3．已知角α终边上一点A的坐标为，（1）求角α的集合（6分）（2）化简下列式子并求其值：（6分）考点：三角函数的化简求值；终边相同的角；同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．专题：计算题．分析：（1）根据角的终边过一个定点，根据三角函数的定义做出角的正弦值，根据角的终边在第四象限，写出与角终边相同的所有的角的集合．（2）首先用诱导公式进行整理，再把正割与余割变化成正弦与余弦的形式，约分整理出最简形式，得到结果．解答：解：（1）点P到原点的距离为r=根据三角函数的定义，得…．（2分）∵点P在第四象限，也就是角α在第四象限…．（4分）∴α的集合是…（6分）（2）原式=…．（8分）==﹣sinα=4．（1）已知tanα=2，求的值（2）已知cos（75°+α）=，其中﹣180°＜α＜﹣90°，求sin（105°﹣α）+cos（375°﹣α）的值．考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：（1）利用诱导公式化简表达式，应用tanα=2求出，代入化简后的表达式即可求出原式的值．（2）利用诱导公式化简sin（105°﹣α）+cos（375°﹣α），为2sin（75°+α），利用求出2sin（75°+α）即可．。

第7课时 诱导公式一、二、三、四1.2诱导公式：公式一：sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α，tan(2k π＋α)＝tan α；公式二：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α，tan(π＋α)＝tan α；公式三：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α，tan(－α)＝－tan α；公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α，tan(π－α)＝－tan α；一、选择题1．sin2 015°＝( )A ．sin35°B ．－sin35°C ．sin58°D ．－sin58°答案：B解析：sin2 015°＝sin(5×360°＋215°)＝sin215°＝sin(180°＋35°)＝－sin35°.故选B.2．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为( )A ．1B ．2sin 2αC ．0D ．2答案：D解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2.3．计算：cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos179°＋cos180°＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．以上均不对答案：C解析：cos1°＋cos179°＝0，cos2°＋cos178°＝0，…，cos89°＋cos91°＝0，原式＝cos90°＋cos180°＝－1.4．在△ABC 中，cos(A ＋B )的值等于( )A ．cos CB ．－cos CC ．sin CD ．－sin C答案：B解析：cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C5．tan(π＋α)＝－2，则sin (－α)－cos (π＋α)sin (π－α)＋cos (－α)的值为( ) A ．3 B ．－3C ．2D ．－2答案：B解析：sin (－α)－cos (π＋α)sin (π－α)＋cos (－α)＝－sin α＋cos αsin α＋cos α＝－tan α＋1tan α＋1又tan(π＋α)＝－2，tan α＝－2，∴原式＝3－1＝－3. 6．已知f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)的值为( )A.12 B ．－12C.32 D ．－32答案：D解析：f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝－32.二、填空题7.cos 2600°＝________.答案：12解析：cos 2600°＝|cos120°|＝|－cos60°|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＝12. 8．化简函数式sin 2500°＋sin 2770°－cos 2(1620°－x )的结果是________________．(其中x ∈(π，2π))．答案：－sin x解析： 原式＝sin 2140°＋sin 250°－cos 2(1620°－x )＝sin 240°＋cos 240°－cos 2x ＝1－cos 2x ＝sin 2x＝－sin x .9．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是________．答案：{－2,2}解析：当k 为偶数时，由诱导公式得A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α＝sin αsin α＋cos αcos α＝2当k 为奇数时，则有A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝－2.三、解答题10．求下列三角函数值：(1)sin(－1320°)；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π； (3)tan 176π.解：(1)sin(－1320°)＝sin(－1440°＋120°)＝sin120°＝32.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8π－23π＝cos 23π＝－cos π3＝－12. (3)tan 176π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋56π＝tan 56π＝－tan π6＝－33. 11．化简下列各式：(1)sin (2π－α)·cos (π＋α)cos (π－α)·sin (3π－α)·sin (－π－α)； (2)cos (α－π)sin (π－α)·sin(α－2π)·cos(2π－α)； (3)cos 2(－α)－tan (360°＋α)sin (－α). 解：(1)原式＝(－sin α)·(－cos α)(－cos α)·sin α·sin α＝－1sin α； (2)原式＝－cos αsin α·(sin α)·cos α＝－cos 2α；(3)原式＝cos 2α＋tan αsin α＝cos 2α＋1cos α.12．若k ∈Z ，则sin (k π－α)cos (k π＋α)sin[(k ＋1)π＋α]cos[(k ＋1)π－α]＝________ 答案：－1 解析：若k 为偶数，则左边＝sin (－α)cos αsin (π＋α)cos (π－α)＝－sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝－1；若k 为奇数，则 左边＝sin (π－α)cos (π＋α)sin αcos (－α)＝sin α(－cos α)sin αcos α＝－1. 13．已知1＋tan α1－tan α＝3＋22，求cos 2(π－α)＋sin(π＋α)cos(π－α)＋2sin 2(α－π)的值． 解：∵1＋tan α1－tan α＝3＋2 2，∴tan α＝2＋2 24＋2 2＝22.∴cos 2(π－α)＋sin(π＋α)cos(π－α)＋2sin 2(α－π)＝cos 2α＋sin αcos α＋2sin 2α＝cos 2α(1＋tan α＋2tan 2α)＝cos 2αcos 2α＋sin 2α(1＋tan α＋2tan 2α)＝1＋tan α＋2tan 2α1＋tan 2α＝1＋22＋11＋12＝4＋23.。

三角函数的诱导公式说课完整版PPT课件•课程介绍与目标•三角函数基本概念回顾•诱导公式推导与理解目录•典型例题分析与解答•学生自主练习与互动环节•课程总结与拓展延伸课程介绍与目标说课内容01020304知识与技能过程与方法情感态度与价值观030201教学目标教学方法与手段教学方法教学手段三角函数基本概念回顾三角函数定义及性质三角函数值的范围三角函数的定义正弦、余弦函数值在正切函数值在全体实数范围内。

三角函数的周期性三角函数在各象限的符号规律正弦、余弦、正切函数均为正值。

正弦函数为正值，余弦、正切函数为负值。

正弦、余弦函数为负值，正切函数为正值。

余弦函数为正值，正弦、正切函数为负值。

第一象限第二象限第三象限第四象限三角函数线及其应用三角函数线的定义三角函数线的性质三角函数线的应用诱导公式推导与理解角度制与弧度制转换关系角度制与弧度制的定义及关系角度与弧度的互化方法特殊角的弧度表示诱导公式推导过程口诀记忆法通过编口诀或顺口溜等方式帮助记忆规律记忆法根据公式间的内在联系和规律进行记忆图像记忆法结合三角函数图像进行记忆和理解诱导公式记忆方法典型例题分析与解答例题1例题2分析解答解答分析利用诱导公式求三角函数值例题3例题4分析解答解答分析判断三角函数符号问题学生自主练习与互动环节学生自主完成练习题练习题一01练习题二02练习题三03小组内成员相互激励和讨论，共同探究解题方法和思路。

通过交流和比较，发现自身在解题过程中的不足和错误，并及时进行纠正和改进。

小组代表向全班汇报讨论结果和解题思路，促进全班同学的共同进步。

小组讨论与交流解题思路教师点评与总结教师针对学生在自主练习和小组讨论中的表现进行点评，肯定学生的优点和进步，指出需要改进的地方。

教师总结本节课的重点和难点，强调诱导公式在三角函数求解中的重要性和应用广泛性。

教师引导学生对本节课所学内容进行回顾和反思，帮助学生加深对知识点的理解和记忆。

课程总结与拓展延伸本节课重点内容回顾三角函数的定义及基本性质三角函数的诱导公式推导与记忆方法诱导公式在三角函数计算中的应用举例三角函数在其他领域的应用举例物理学中的应用振动、波动等物理现象中，三角函数可描述周期性变化。

专题5.3诱导公式一、单选题1．函数3()3x f x a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，点A 在角θ终边上，则3cos π2θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】C【解析】3()3x f x a -=+（0a >，且1a ≠）恒过点()3,4A ，因为点A 在角θ终边上，所以4sin 5θ=，则34cos πsin 25θθ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选：C2．若4π5cos 513α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则7πsin 10α⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A ．513-B ．1213-C ．513D ．1213【答案】C【解析】7π7π4π3π4π5sin sin sin cos 101052513αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C3．若1sin ,63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭则2cos 3a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-【答案】B【解析】：因为1sin 63a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以21cos cos sin 32663ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B.4．已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()sin 2021απ+=（）A B ．14C ．34-D ．【答案】A【解析】解：因为22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，所以()()tan 4sin tan sin 0αααα-+=，因为,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以tan 0α<且sin 0α<，所以tan 4sin 0αα-=，即sin 4sin cos ααα=，所以1cos 4α=，所以sin 4α==-，所以()()()sin 2021sin 10102sin sin 4απαππαπα+=++⨯=+=-=；故选：A5．已知3cos 34πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．34D ．34-【答案】C【解析】因为362πππαα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以632πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，所以3sin sincos 63234ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：C 6．已知()cos ,1,1,,2k k πααπ⎛⎫=∈-∈ ⎪⎝⎭，则()sin πα+=（）A．BC．D ．1k-【答案】A【解析】解：因为()cos ,1,1,,2k k πααπ⎛⎫=∈-∈ ⎪⎝⎭，所以sin α==所以()sin sin παα+=-=A7．已知()()()sin cos 5sin sin 22αππαπαπα++-=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．34B ．43C ．32-D ．32【答案】D【解析】()()()sin cos sin cos 5cos sin sin sin 22αππαααπαααπα++---==-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，可得()sin cos 5cos sin αααα--=-，即4sin 6cos αα=，故3tan 2α=.故选：D.8．已知71sin 123πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5sin 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．13-B．3-C ．13D．3【答案】C【解析】由题意，5571sin sin sin 1212123πππαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：C.9．已知角α终边上一点P 的坐标为4sin ,cos55ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则角α的一个可能值为（）A ．5πB ．310π-C ．5π-D ．45π【答案】B 【解析】πsin 05>，4πcos 05<，因此α是第四象限角，2222π4πππsin cos sin cos 15555+=+=，因此πππ3π3πcos sin cos()cos cos()5251010α==-==-，所以3π2π,10k k Z α=±∈，只有B 符合．故选：B ．10）A ．sin 4cos4-B ．sin 4cos4--C ．cos 4sin 4-D ．sin 4cos4+【答案】C【解析】=，cos 4sin 4=-，故选：C11．若33sin 25πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且α是第三象限角，则2021cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35B ．35-C ．45D ．45-【答案】C【解析】33sin cos 25παα⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，3cos 5α∴=-，又α是第三象限角，4sin 5α∴==-，20214cos sin 25παα⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭.故选：C.12．若()sin cos 12232sin sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，则22sin sin cos 3cos αααα--=（）A ．110B ．310C ．910D ．32【答案】C【解析】解：()sin cos cos sin 1tan 1223sin cos tan 12sin sin 2ππαααααπαααπαα⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，解得tan 3α=-,则222222sin sin cos 3cos sin sin cos 3cos sin cos αααααααααα----=+22tan tan 39339tan 19110ααα--+-===++.故选：C.13．已知角α终边上点A 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()3cos cos 2ππαα⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭（）A ．75B ．75-C ．65-D ．15-【答案】D【解析】∵角α终边上点A 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，35x ∴=-，45y =，1r OA ==．4sin 5α∴==y r ，cos 53x r α==-，()3341cos cos cos sin 2555ππαααα⎛⎫⎛⎫∴-+-+=--=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：D14．已知角,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，则()cos 2021απ+=（）A ．14-B．4-C ．14D．4【答案】A【解析】因为22tan 3tan sin 4sin 0αααα--=，所以()()tan 4sin tan sin 0αααα-+=，因为,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以tan 0<α且sin 0α<，所以tan 4sin 0αα-=，即sin 4sin cos ααα=，所以1cos 4α=，所以()()()1cos 2021cos 10102cos cos 4+=++⨯=+=-=-απαππαπα；故选：A15．若()tan π3α-=，则sin 2cos sin cos αααα-=+（）A ．52B ．52-C ．14-D ．14【答案】D 【解析】由()tan π3α-=可得，tan 3α=，故sin 2cos tan 2321sin cos tan 1314αααααα---===+++，故选:D二、填空题16．已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么2cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭______．【答案】12-或0.5-【解析】：因为2362πππαα⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2326πππαα⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以21cos cos sin 32662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=--=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故答案为：12-17__________．【答案】1【解析】原式＝sin 20cos 201cos 20sin160sin 20cos 20+==++．故答案为：1．18．若sin θcos(π)cos(2π)3ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+--++-+的值_______【答案】6【解析】原式=cos cos (cos 1)θθθ---+cos cos cos cos θθθθ-⋅+11cos 11cos θθ=++-1cos 1cos (1cos )(1cos )θθθθ-++=+-221cos θ=-22sin θ=，因为sin θ=，所以22261sin 3θ==.所以cos(π)cos(2π)63ππ3πcos [sin()1]cos(π)sin()sin()222θθθθθθθ--+=--++-+.故答案为：6.19．若角α的终边落在直线y x =上，则co 3si 22n s παπα⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-_____．或【解析】因为角α的终边落在直线y x =上，所以角α为第一或第三象限角，3sin cos cos sin 22ππαααα⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-++=--⎝⎭⎝⎭，当角α为第一象限角时，cos sin 2αα==，cos sin 22αα--=--=当角α为第三象限角时，cos sin 2αα==，cos sin 22αα--=+=20．已知π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】32或1.5【解析】因为π3cos 64α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5ππcos sin 63αα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 626ππππαα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦cos cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭332cos 2642πα⎛⎫⎛⎫=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：32三、解答题21．已知()()()()sin cos 2sin cos 2f πθπθθπθπθ--=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(1)化简()f θ，并求83f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若()3f θ=，求22sin 3sin cos θθθ-的值．【答案】(1)()tan f θθ=，83f π⎛⎫=⎪⎝⎭(2)910【解析】(1)()()()()sin cos 2sin()cos 2f πθπθθπθπθ--=-+sin cos()sin (cos )2θθπθθ-=⎛⎫--- ⎪⎝⎭sin cos cos (cos )θθθθ=--tan θ=则83f π⎛⎫⎪⎝⎭8tan 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭2tan 3π⎛⎫= ⎪⎝⎭tan 3π⎛⎫=- ⎪⎝⎭=(2)由（1）知，tan 3θ=．则22sin 3sin cos θθθ-2222sin 3sin cos sin cos θθθθθ-=+222222sin 3sin cos cos sin cos cos θθθθθθθ-=+222tan 3tan tan 1θθθ-=+22233331⨯-⨯=+9.10=22．（1）若α是第二象限角，且π1cos 23α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求tan α的值；（2）已知()()()()()3πsin 3πcos 2πsin 2cos πsin πf αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=---，化简()f α，在（1）的条件下，求()f α的值.【答案】（1）4-（2）3-【解析】（1）π1cos sin 23αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，1sin 3α=，α是第二象限角，cos 3α∴==-，则sin 2tan cos 4ααα==-.（2）()()()()()()()3πsin 3πcos 2πsin sin cos cos 2cos cos πsin πcos sin f αααααααααααα⎛⎫--- ⎪-⎝⎭===----，由（1）知：cos 3α=-，则()cos 3f αα==-.23．已知函数()()3sin sin 2cos 3tan x x f x x x ππ⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=--⋅．(1)求353f π⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)若()1332f f πθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求2cos 2sin 10sin 2cos sin θθθθθ++-的值．【答案】(1)12-(2)2【解析】(1)()()3sin sin sin cos 2cos cos 3tan cos tan x x x x f x x x x x x ππ⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭===---⋅-⋅，35351cos cos 3332f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(2)由()1332f f πθθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭得1cos sin 3θθ=，tan 3θ=，所以222cos 2sin 12tan 10tan 10sin 7922cos sin 2tan 1tan θθθθθθθθθ+++=+=-+=--+．24．已知cos sin 22333sin()sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭．(1)求tan()πα+的值；(2)求2sin cos cos ααα+的值．【答案】(1)12(2)65【解析】(1)由cos sin 22333sin()sin 2ππααππαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，可得sin cos 33sin cos αααα+=-，所以8sin 4cos αα=，解得1tan 2α=，所以1tan()tan 2παα+==．(2)由（1）知1tan 2α=，所以22222sin cos cos tan 16sin cos cos sin cos tan 15αααααααααα+++===++．。

1.2.4诱导公式（二）一、学习目标1．通过本节内容的教学，使学生掌握α+π1)k +2(，α2π+角的正弦、余弦和正切的诱导公式及其探求思路，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2．通过公式的应用，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力；二、教学重点、难点重点：四组诱导公式及这四组诱导公式的综合运用.难点：公式(四)的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 三、教学方法先由学生自己看书，在此基础上，可以通过讲授再现概念，通过练习理解概念，完成教学.+-=-=x x9017)cos(9017)sin17 480︒)+cos(-330︒)5.3.2同角三角比的关系（2）诱导公式【教学目标】1．通过本节课的教学，使学生掌握五组诱导公式的推导方法和记忆方法．2．在理解、记忆五组诱导公式的基础上，会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3．加深理解化归思想，培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．【教学重点】五组诱导公式的记忆、理解、运用。

【教学难点】五组诱导公式的推导教学过程：【情景引入】与6π终边相同角α的集合如何表示？αsin 与6sin π具有怎样的数量关系？与β终边相同角α的集合如何表示？αsin 与βsin 具有怎样的数量关系？βα,其它的五个三角比数量关系又如何呢？【问题探究】诱导公式一：文字叙述：终边相同的角的同一个三角函数的值相等．sin(k·360°＋α)=sinα，cos(k·360°＋α)=cosα， tan(k·360°＋α)=tanα，cot(k·360°＋α)=cotα．(k ∈Z )试求出sin 2016°的值．由公式一：sin 2016°=sin(5×360°×216°)＝sin 216° 问题二：如何求出进一步sin 216°的值诱导公式二：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°＋α角所在象限(第三象限)角的原三角函数值的符号相同． sin(180°＋α)=－sinα， cos(180°＋α)=－cosα，tan(180°＋α)=tanα， cot(180°＋α)=cot α．诱导公式三：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα， tan(－α)＝tanα， cot(－α)＝－cotα．诱导公式四：sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-． t sin(180)sin αα-=；cos(180)cos αα-=-（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。

诱导公式的化简求值1．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则9πsin sin(8π)25πsin sin(7π)2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭______．【答案】7【详解】因为3sin 5α=，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==，所以sin 3tan cos 4ααα==．所以9πsin sin(8π)25πsin sin(7π)2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫+++ ⎪⎝⎭31cos sin 1tan 473cos sin 1tan 14αααααα+++====---．故答案为：7.2．若π2cos 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2πsin 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】19-【详解】2ππππsin 2sin 2cos 2312212ααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦22π212cos 1211239α⎛⎫⎛⎫=+-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：19-.3．计算7π5πcos sin 644πtan 3的结果为__________．【答案】4【详解】因为7πππcoscos πcos 666⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭5πππsin sin πsin 444⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭4πππtan tan πtan 333⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以7π5πcos sin 22644πtan 3⎛⎫⎛⎫-⨯ ⎪ ⎪=故答案为：4.4．点()3,4A 在角θ的终边上，则sin(π)2cos πcos()cos 2θθθθ++=--__________．【答案】2【详解】因为点()3,4A 在角θ的终边上，则4tan 3θ=，所以42sin(π)2cos sin 2cos tan 232π4sin cos tan 1cos()cos 123θθθθθθθθθθ-+++-+-+===-----.故答案为：25．若1sin 3α=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________.【答案】13-【详解】π1cos sin 23αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：13-6．已知角α终边上一点()2,3P -，则()()πcos sin π23πcos πcot 2αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭________．【答案】【详解】由诱导公式知，()()πcos sin πsin sin 2sin 3πcos (tan )cos πcot 2ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭===--⋅-⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为角α终边上一点()2,3P -，所以sin α所以原式sin 13α=-=-.故答案为：7．23πtan 3⎛⎫-= ⎪⎝⎭____.【详解】23π23π2π2ππtan(tan tan(7π)tan tan 33333-=-=-+=-=8．cos660︒=________.【答案】12/0.5【详解】()()1cos660cos 236060cos 60cos602︒=⨯︒-︒=-︒=︒=故答案为：129．化简:()()()()sin 2πcos 6πcos πsin 5πθθθθ---=-+_____.【答案】1-【详解】原式=()()()()()()()sin cos sin cos 1cos πsin πcos sin θθθθθθθθ-⋅--⋅==-+⋅+-⋅-.故答案为：1-.10．若()sin π3α-=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【答案】【详解】因为()sin sin παα-=所以πcos sin 2αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：11．()()cos πππsin cos sin π22αααα-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=____________【答案】2cos α-【详解】原式()()()2cos cos sin cos sin ααααα-=⋅⋅-=--故答案为：2cos α-.12．已知()1cos π2α+=-，3π2π2α<<，则()sin 3πα+=_________．【答案】2【详解】()1cos π2α+=- ，1cos 2α∴-=-，即1cos 2α=，3π2π2α<<，sin 2α∴==()sin 3πsin αα∴+=-=13．()()()()tan 2πsin 2πcos 6πcos π3ππsin cos 22x x x x x x -----=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭__________【答案】sin x【详解】()()()tan 2πtan ,sin 2πsin sin x x x x x -=---=-=-，()()()cos 6πcos cos ,cos πcos x x x x x -=-=-=-，3ππsin cos ,cos sin 22x x x x ⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，原式()()()()tan sin cos cos tan cos sin cos sin x x x x x x x x x-⨯-⨯⨯-==⨯=-⨯，故答案为：sin x .14．若α的终边过点()1,2-，则()()sin ππsin cos π2ααα-=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭______.【答案】1-【详解】因为α的终边过点(1,2)-，由三角函数的定义可得2tan 21α==--，所以()()sin πsin 11tan (2)1πcos cos 22sin cos π2ααααααα-===⨯-=-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭.故答案为：1-15．已知()1sin π3α+=，则πcos()2α+=_________________.【答案】13【详解】由已知1sin(π)sin 3αα+=-=，1sin 3α=-，所以π1cos()sin 23αα+=-=．故答案为：13．16．若角α的终边过点()1,2-，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.【答案】【详解】角α的终边过点(1,2)-，由三角函数的定义得cos α=由诱导公式得ππsin sin cos 225ααα⎛⎫⎛⎫-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：17．1717cos πsin π44⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【详解】17π17π17π17πππcos sin cos sin cos 4πsin 4π444444⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=+=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππcos sin 4422=+=；.18．7πsin 3的值为__________【答案】2【详解】7πππsinsin 2πsin 3332⎛⎫=+== ⎪⎝⎭.19．已知5sin 13α=，则πcos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】513-【详解】由π5cos sin 213αα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：513-20．已知tan 3α=，求sin(4)3cos()92sin()sin(7)2παπαπαπα-+--=-+-+_________【答案】-6【详解】原式=sin 3cos tan 33362cos sin 2tan 23αααααα------===--+-+-+.故答案为：-6.21．已知角x 在第二象限，且π4cos ,25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭则tan 2x =______．【答案】247/337【详解】π4cos 25x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即4sin 5x -=-，则4sin 5x =， 角x在第二象限，则3cos 5x ==-，则4tan 3x =-，22tan 24tan 21tan 7x x x ∴==-.故答案为：247.22．若()1sin π2A +=-，则3πcos 2A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭____________．【答案】12-/-0.5【详解】因为()2π3π5π2A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭+-，所以3πcos 2A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()()()()5πππ1cos πcos πcos πsin π2222A A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-=+-=-+=+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故答案为：12-23．化简：()()tan cos 3ππ2co i πt 2πs n 2αααα⎛⎫- ⎪-⎝⎭⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭_________．【答案】1【详解】()()tan cos 3πcos cot 21cot 2πcos cot πi 2πs n αααααααα⎛⎫- ⎪---⎝⎭⋅=⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：124．已知α是第二象限角，1sin 3α=，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．【答案】3-/【详解】因为α是第二象限角，1sin 3α=，所以πsin cos 2αα⎛⎫+==-- ⎪⎝⎭故答案为：25．已知1tan 2α=，则()cos ππcos 2αα-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭__________．【答案】2【详解】因为1tan 2α=，所以()cos πcos 12πsin tan cos 2ααααα--===-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故答案为：2.26．已知1cos 2α=，3π2π2α<<，则()sin 2πα-=______.【答案】2【详解】因为13πcos ,2π22αα=<<，所以sin2α==-，所以sin(2)sinπαα-=-=.故答案为：2.27．化简：()()()π11πcosπcos cos229πcosπsinπsin2αααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫---+⎪⎝⎭______．【答案】tanα【详解】()()()π11πcosπcos cos229πcosπsinπsin2αααααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫---+⎪⎝⎭()()cos sin sin tancos sin cosααααααα-⋅--==-.故答案为：tanα.28．化简πsin(5π)cos()cos(8π)23πsin()sin(4π)2θθθθθ---=---__．【答案】sinθ【详解】πsin(5π)cos()cos(8π)(sin)sin cos2sin3πcos(sin)sin()sin(4π)2θθθθθθθθθθθ----==----．故答案为：sinθ.29．化简222sin(π)cos(π)cos(2π)3π3π1cos cos sin222παααααα+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为______.【答案】1tanα【详解】222sin(π)cos(π)cos(2π)3π3π1cos cos sin222παααααα+-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222(sin)(cos)cosππ1cos cos cosπ22παααααα--+=⎛⎫⎛⎫+-++-⎪⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎪⎝⎭⎝⎭⎥⎣⎦⎣⎦22222sin cos cos 2sin cos cos 1sin sin cos ππ1cos cos cos 22αααααααααααα++==++-⎡⎤⎛⎫⎛⎫+---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦22sin cos cos (2sin 1)cos cos 12sin sin (2sin 1)sin sin tan αααααααααααα++====++.故答案为：1tan α.30．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()()8,60P m m m -->．(1)求sin θ，cos θ的值；(2)求()()()()()()3πsin sin 3πcos πcos 25πsin 2πcos 3πsin sin π2θθθθθθθθ⎛⎫-⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)3sin 5θ=-，4cos 5θ=-；(2)34-【详解】（1）由题意知，10r m ==，∴63sin 105y m r m θ-===-，84cos 105x m r m θ-===-；（2）原式()()()()()()()322sin sin cos sin sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθθθθθ-⋅-⋅-⋅-⋅==--⋅-⋅⋅-⋅tan θ=-，由（1）知，sin 3tan cos 4θθθ==，∴()()()()()()3πsin sin 3πcos πcos 325π4sin 2πcos 3πsin sin π2θθθθθθθθ⎛⎫-⋅-⋅+⋅- ⎪⎝⎭=-⎛⎫-⋅-⋅-⋅- ⎪⎝⎭．31．已知角θ的始边为x 轴非负半轴,终边过点(A -.(1)3ππcos sin 22θθ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪.(2)已知角α的始边为x 轴非负半轴,角θ和α的终边关于y 轴对称,求πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)2-(2)6【详解】（1）由题可知OA =则sin ,cos ,tan 33θθθ===3ππcos 222θθ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪=-.（2）因为角θ和α的终边关于y 轴对称,所以sin αcos α所以π1sin sin cos 6226ααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.32．已知()()ππsin cos 223πcos πsin 2f ααααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.(1)若角α的终边经过点(),2m m ，0m ≠，求()f α的值；(2)若()2f α=，求sin cos sin cos αααα+-的值.【答案】(1)2(2)3【详解】（1）()()()()ππsin cos cos sin 22tan 3πcos cos cos πsin 2f αααααααααα⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⋅-⎝⎭⎝⎭===-⋅-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为角α的终边经过点(),2m m ，0m ≠，所以()2tan 2m f mαα===.（2）由（1）知()tan 2f αα==，所以sin cos tan 1213sin cos tan 121αααααα+++===---.33．已知()()()()()πsin sin tan π2tan 2πsin π+f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-(1)化简()f α．(2)若α为第三象限角，且3π1cos 25⎛⎫-= ⎪⎝⎭α，求()f α的值．【答案】(1)()f αcos α=(2)()f α=【详解】（1）()()()()()πsin sin tan π2tan sin πf αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=-+()()()cos sin tan tan sin ααααα⋅-⋅-=-⋅-cos α=．（2）∵α为第三象限角，且3π1cos sin 25⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭αα，∴1sin 5α=-，()cos f αα===．34．已知()()()3πsin 2πsin 2πsin cos π2f ααααα⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭=⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭．(1)化简()f α；(2)若()2f α=，求2222sin 1sin 2cos ααα-+的值【答案】(1)()tan f αα=-(2)12【详解】（1）()()()()()3πsin 2πsin sin cos 2tan cos cos sin cos π2πf αααααααααα⎛⎫-⋅- ⎪-⋅-⎝⎭===-⋅-⎛⎫+⋅- ⎪⎝⎭；（2）由（1）得tan 2α-=，tan 2α∴=-，()2222222222222sin sin cos 2sin 1sin cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos αααααααααααα-+--∴==+++221tan ta 1412422n αα--===++.35．（1）化简：3πtan(π)cos(2π)sin()2cos(π)sin(π)ααααα---+----；（2）已知π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求2sin 22sin 1tan x xx --的值．【答案】（1）1-；（2）725【详解】（1）3πtan(π)cos(2π)sin()2cos(π)sin(π)ααααα---+----＝sin cos (tan )cos (cos )cos 1(cos )sin sin ααααααααα⋅-⋅⋅-=-=--⋅；（2）2sin 22sin 2sin (cos sin )2sin cos sin 1tan 1cos x x x x x x xx x x--==--，()2π331818cos cos sin cos sin 12sin cos 4552525x x x x x x x ⎛⎫+==⇒-=⇒-=⎪⎝⎭72sin cos 25x x ⇒=，因此2sin 22sin 71tan 25x x x -=-.36．已知()()()()π3πcos tan πsin 22cos πtan 3πf αααααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++.(1)若()0,2πα∈，且()12f α=-，求α的值；(2)若()3π125f f αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，求tan α的值.【答案】(1)7π6α=或11π6α=(2)4tan 3α=-【详解】（1）()()()()()()π3πcos tan πsin sin tan cos 22sin cos πtan 3πcos tan f αααααααααααα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭===++-，()0,2πα∈，且()1sin 2f αα==-，则7π6α=或11π6α=.（2）()3π3π1sin sin sin cos 225f f αααααα⎛⎫⎛⎫-+=-+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1sin cos 5αα=-，所以22221cos sin cos cos 15αααα⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，解得4cos 5α=或3cos 5α=-，由π3π,22⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则3cos 5α=-，得4sin 5α=，所以4sin 45tan 3cos 35ααα===--37．已知tan 3α=，求()()πsin 3sin π23πcos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值．【答案】4【详解】因为()πsin cos ,sin πsin 2αααα⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，()()3πcos sin ,cos 5πcos πcos 2ααααα⎛⎫-=-+=+=- ⎪⎝⎭，所以()()πsin 3sin πcos 3sin 13tan 23πsin cos tan 1cos cos 5π2αααααααααα⎛⎫+++ ⎪--⎝⎭==-+-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，又tan 3α=，所以()()πsin 3sin π133243π31cos cos 5π2αααα⎛⎫+++ ⎪-⨯⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.故答案为：4.38．已知()()5πsin πsin 23π2sin sin π2αααα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.(1)求tan α的值；(2)求24sin cos 2cos ααα+的值.【答案】(1)7tan 4α=-(2)1613-【详解】（1）依题意得，()()5πsin πsin sin cos 2π2cos sin 2sin sin π2αααααααα⎛⎫-++ ⎪+⎝⎭=--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭tan 132tan αα+==--，解得7tan 4α=-（2）22224sin cos 2cos 4sin cos 2cos sin cos αααααααα++=+24tan 2tan 1αα+=+1613=-.39．已知角α终边上一点(4,3),P -求()πcos()sin π211π9πcos()sin()22a a a α+----++的值．【答案】67【详解】角α终边上一点(4,3),P -3tan ,4y x α∴==-则原式32()sin sin 2tan 64.3sin cos tan 1714αααααα-⨯----====-+-++故答案为：6740．设()322π2cos sin 2cos π222cos 7πcos f θθθθθθ⎛⎫++--- ⎪⎝⎭=+++-（）（）（），求2023π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】12.【详解】因为()322π2cos sin 2cos π222cos 7πcos f θθθθθθ⎛⎫++--- ⎪⎝⎭=+++-（）（）（）=322222cos cos 2cos cos 2cos cos 2cos 22cos cos 22cos cos θθθθθθθθθθθ++++==++++（），所以2023π2023πππ1cos cos 3372πcos 33332f ⎛⎫⎛⎫==⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭41．已知1tan 2θ=-，求下列各式的值：(1)22cos 12sin cos θθθ-；(2)tan(π)sin(π)3πππsin cos cos 222θθθθθ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】(1)34-(2)54【详解】（1）原式()222222cos sin cos cos sin 2sin cos 2sin cos θθθθθθθθθ-+-==22111tan 3212tan 422θθ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．（2）原式tan sin (cos )sin (sin )θθθθθ=--22221sin cos cos cos θθθθ+==22151tan 124θ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭．42．已知()()()()()3sin 3πcos 2πsin π2cos πsin πf αααααα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪⎝⎭=--⋅-+．(1)化简()f α；(2)若31π3α=-，()f α．【答案】(1)cos α(2)12【详解】（1）由题意可得：()()()()()()()()()3sin 3πcos 2πsin πsin πcos cos 2cos cos πsin πcos sin πf αααααααααααα⎛⎫-⋅-⋅-+ ⎪-+⋅⋅-⎝⎭===--⋅-+-⋅-+，故()cos f αα=.（2）∵31π3α=-，则()3131πππ1πcos πcos 10πcos cos 333332f f α⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴()12f α=.43．已知3πsin(3π)cos(2π)sin()2()cos(π)sin(π)f αααααα---+=----.(1)化简()f a ；(2)若α是第三象限角，且3π1co (s 52α-=，求π(6f α+的值；【答案】(1)()f α=cos α-；(2)110【详解】（1）3πsin(3π)cos(2π)sin()2()cos(π)sin(π)f αααααα---+=----(sin )cos (cos )cos (cos )sin αααααα-⋅⋅-==--.（2）因为3π1co (s 52α-=，又3ππcos(cos()sin 22ααα-=+=-，所以1sin 5α=-，又α是第三象限的角，所以cos α=-所以ππππ(cos()cos cos sin sin6666f αααα+=-+=-+111(()5210-=-⨯-⨯=.44．sin(2π)sin(π)cos(π)sin(3π)cos(π)ααααα-+----.【答案】sin α【详解】因为sin(2π)sin()sin ,sin(π)sin ,ααααα-=-=-+=-cos(π)cos(π)cos ααα--=+=-，sin(3π)sin(π)sin ,cos(π)cos ,ααααα-=-=-=-所以原式sin (sin )(cos )sin sin (cos )αααααα-⋅-⋅-==⋅-.45．（1）化简：()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭（2）求值：cos21cos24sin159sin 204︒⋅︒+︒⋅︒．【答案】（1）tan α-；（2）2．【详解】（1）()()()()()()π11πsin 2πcos πcos cos 229πcos πsin 3πsin πsin 2f ααααααααα⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫----+ ⎪⎝⎭()()()()()()πsin cos sin cos 6π2πcos sin πsin πsin 4π2αααααααα⎡⎤⎛⎫----+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()()()πsin cos sin cos 2πcos sin sin sin 2αααααααα⎡⎤⎛⎫----+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()()()2222sin cos cos sin cos sin sin 2tan cos sin cos cos sin cos cos πααααααααααααααα⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭===-=---（2）cos 21cos 24sin159sin 204cos 21cos 24sin 21sin 24︒⋅︒+︒⋅︒=︒⋅︒-︒︒()cos 2124cos 452=︒+︒=︒46．.化简下列各式：(1)π2912sin cos 6ππtan 54⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭；(2)3tan(π)cos(2π)sin(π)2cos(3π)sin(π)ααααα+⋅+⋅---⋅--.【答案】(1)12-(2)1-【详解】（1）原式52sin cos 0π6π5=-+⨯2π1sin6=-=-（2）原式tan cos cos 1cos sin ααααα⋅⋅==--⋅47．已知()()()()()5πsin 2πcos πcos 29πcos πsin πsin 2x x x f x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭．(1)化简()f x ；(2)已知()2f α=，求sin2α的值．【答案】(1)tan x -(2)45-【详解】（1）由题意得()()()()()5πsin 2πcos πcos 29πcos πsin πsin 2x x x f x x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫---+ ⎪⎝⎭(sin )(cos )sin sin tan (cos )sin cos cos x x x xx x x x x--==-=--.（2）由()2f α=，可得tan 2,tan 2αα-=∴=-，则2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++.48．（1）已知()2tan π3α-=-，求cos 3sin cos 9sin α-αα+α的值；（2）化简()()()()3πsin πsin tan 2π2πsin tan πcos 2θθθθθθ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎝⎭.【答案】（1）17-；（2）tan θ.【详解】（1）因为()2tan πtan 3αα-=-=-，可得2tan 3α=，所以213cos 3sin 13tan 132cos 9sin 19tan 7193αααααα-⨯--===-+++⨯；（2）()()()()()()23πsin πsin tan 2πsin cos tan 2tan πcos tan sin tan πcos 2θθθθθθθθθθθθ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭==⎛⎫-+- ⎪⎝⎭.49．已知sin 2cos αα=，求：(1)化简()()πcos 2sin 2πcos 2π5πsin 2αααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)求2sin2sin sin cos cos21ααααα+--的值.【答案】(1)45(2)1【详解】（1）因为sin 2cos αα=，22sin cos 1αα+=，所以22sin sin 12αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即24sin 5α=，()()2πcos sin 42sin 2πcos 2πsin cos sin 5πcos 5sin 2ααααααααα⎛⎫- ⎪⎝⎭--===⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）sin tan 2cos ααα== ，2sin2sin sin cos cos21ααααα∴+--()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+---222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-222tan tan tan 2221222ααα=+-⨯==+-.50．化简以下式子：()()()()()7πsin cos πtan 3π2sin 2πtan πcos 9παααααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭--+-【答案】1tan α-【详解】()()()()()7πsin cos πtan 3π2sin 2πtan πcos 9παααααα⎛⎫++- ⎪⎝⎭--+-()()()()3πsin cos tan 2sin tan cos παααααα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=--()()()()()cos cos tan sin tan cos αααααα---=--cos 1sin tan ααα=-=-.。

诱导公式（第一课时）定兴三中 李志国教学目标1.通过本节课的教学，使学生掌握诱导公式的推导方法和记忆方法．2．会运用这些公式求解任意角的三角函数的值，并会进行一般的三角关系式的化简和证明．3.培养学生观察问题、解决问题、抽象概括问题的能力，并注意完善学生的基本数学思想和数学意识．教学重点与难点重点：用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化为已知问题的方法.难点：如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中发现问题，提出研究方法. 教学过程设计新课引入我们前面学习过诱导公式一，找学生说出诱导公式一及其文字叙述．它在转化任意角的三角函数中所起的作用是什么？文字叙述：终边相同的角的同名三角函数的值相等．它在转化任意角的三角函数中所起的作用是：把求任意角的三角函数值的问题，转化为求0°～360°(或0～2π)之间角的三角函数值的问题．练习：试求出sin 2016°的值．分析：由公式一，sin 2016°=sin(5×360°+216°)＝sin 216°．(至此，绝大多数同学已无法再演算下去了．)(以旧知识的复习，导出新的问题，使学生新的求知欲得到激发，渴望得到回答，以达到以旧带新，以旧拓新的目的．)能否导出一些新的公式来解决这类问题？可先看这道具体问题如何求解．我们知道0°～90°之间的角的三角函数值可以通过查表求得．那么，能否借助一个工具，在0°～90°之间找到一个角α，把求sin 216°的值的问题转化为求α角的三角函数值问题？(进一步诱导，激发学生求知欲．)投影：展示新课教学目标，重点、难点.一、公式推导探讨1 形如180°+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系.已知任意角α的终边与这个圆相交于点p(x,y ），由于角 180°+α 的终边就是角α的终边的反向延长线，角180°+α的终边与单位圆的交于点p'(-x,-y)，又因单位圆的半径 r=1，由正弦函数和余弦函数的定义得到：从而得到 公式二:sin(2)sin ();cos(2)cos ();tan(2)tan ()k k Z k k Z k k Z απααπααπα+=∈+=∈+=∈.sin ,cos ,tan ;y y x x ααα===sin(180),cos(180),tan(180)y y x x ααα︒+=-︒+=-︒+=这样便把求sin 216°的值的问题，转化为可查表的36°角的三角函数求值问题．sin 216°=sin(180°＋36°)=－sin36°．探讨2 形如-α，180°-α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系.任意角的三角函数值问题，可以由公式一化为0°～360°之间角的三角函数值问题；180°～270°之间角的三角函数值，又可通过诱导公式二化为0°～90°之间角的三角函数值，从而得出函数值；那么90°～180°、270°～360°之间的角的三角函数值问题，能否转化为0°～90°之间角的三角函数值来求出解答？(横向联想，公式二的归纳过程，会对学生的思维产生正向的影响．)教师引导学生完成右图及下面公式公式三：(及时评价、反馈．)观察其结构特征：①同名函数关系；②符号规律是：右边符号与－α所在的第四象限角的原三角函数值的符号相同．公式四：(及时评价、反馈．)观察其结构特征：①同名函数关系；②符号规律：右边符号与180°－α所在的第二象限角的原三角函数值的符号相同．由于 角与 角的终边相同，它们的同名三角函数值相等，所以有目前，连同公式一，我们一共得到了五组诱导公式，利用它们，可以求出任意角的三角函数值．为使公式更具一般性，不妨大胆猜测：若公式中的角α为任意角，公式是否仍能成立？(推广到一般性．)我们可先以公式二为例，(投影结合板书)sin(π)sin ;cos(π)cos ;tan(π)tan .αααααα+=-+=-+=sin(180)sin ;cos(180)cos ;tan(180)tan .αααααα︒+=-︒+=-︒+=sin()sin ;cos()cos ;tan()tan .αααααα-=--=-=-sin(2)sin()sin ;cos(2)cos()cos ;tan(2)tan()tan .παααπαααπααα-=-=--=-=-=-=-2πα-α-sin(180)sin ;cos(180)cos ;tan(180)tan .αααααα︒-=︒-=-︒-=-可先由三角函数线或由三角函数定义，推出sin(180°＋α)与sin α，cos(180°＋α)与cos α的数量关系，再用同角三角函数的基本关系式推出 sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα︒+-︒+===︒+- 由此可见，α为任意角时，公式二仍然成立．类似于公式二的推证方法，可以证明公式三也成立．而180°－α可以写成180°＋(－α)，360°－α又与－α角终边相同，容易推出，对任意角α，公式三、四、也都成立．验证过程由同学们在课下完成．(给学生留有细心体验发现的空间．)本节课推得的公式较多，如何记忆这些公式呢？(机械记忆显然不可行．)由推证公式的过程可知，其结构具有一定的规律性：①等号两边的函数名称相同；②符号规律：把α看作锐角时，等号右边的符号与k ·360°＋α(k ∈Z )(第一象限角)、－α(第四象限角)、180°＋α(第三象限角)、180°－α(第二象限角)、360°－α(第四象限角)所在象限的原三角函数值的符号相同．综上所述，这些公式可以概括如下：k ·360°＋α(k ∈Z)，－α，180°±α，360°－α的三角函数值，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．由于把α看作锐角时，k ·360°＋α，180°±α，－α，360°－α均可看作由x 轴出发加或减α得到的，所以这五组诱导公式又可称为“水平诱导”公式．按如下方法记忆：函数名不变；符号看象限．二、公式应用用诱导公式都可以解决哪些问题？(自问自答)作用1：求值．一般可按如下步骤进行：以上步骤可简化为：负化正；大化小；化为锐角可查表．例1 求下列各三角函数值．41(1)sin()3π-(2)tan(2025)︒(3)cos(519)-︒说明：（分别与解题步骤同步同时）尽管413π较大，仍将它看成锐角α，则α-为 第四象限角。