相似三角形中添加辅助线问题

类似三角形中几种罕有的帮助线作法在添加帮助线时,所添加的帮助线往往可以或许结构出一组或多组类似三角形,或得到成比例的线段或出等角,等边,从而为证实三角形类似或进行相干的盘算找到等量关系.重要的帮助线有以下几种：一.添加平行线结构“A ”“X ”型例1：如图,D 是△ABC 的BC 边上的点,BD ：DC=2：1,E是AD 的中点,求：BE ：EF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P,则 ∴PE=EFBP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1.解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q,∴BE ：EF=5：1.解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S,解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T,∵BD=2DC ∴∴BE ：EF=5：1. 变式：如图,D 是△ABC 的BC 边上的点,BD ：DC=2：1,E 是AD 的中点,贯穿连接BE 并延伸交AC 于F,求AF ：CF 的值.解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P,解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q,解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S,解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T,例2：如图,在△ABC 的AB 边和AC 边上各取一点D 和E,；TC BT EF BE =，DC BT 25=且使AD ＝AE,DE 延伸线与BC 延伸线订交于F,求证：（证实：过点C 作CG//FD 交AB 于G ）例3：如图,△ABC 中,AB<AC,在AB.AC 上分离截取BD=CE,DE,BC 的延伸线订交于点F,证实：AB ·DF=AC ·EF.剖析：证实等积式问题经常化为比例式,再经由过程类似三角形对应边成比例来证实.不类似,因而要经由过程两组三角形类似,应用中央比代换得到,为结构类似三角形,需添加平行线..办法一：过E 作EM//AB,交BC 于点M,则△EMC ∽△ABC （两角对应相等,两三角形类似）.办法二：过D 作DN//EC 交BC 于N.例4：在△ABC 中,D 为AC 上的一点,E 为CB 延伸线上的一点,BE=AD,DE 交AB 于F.求证：EF ×BC=AC ×DF证实：过D 作DG ∥BC 交AB 于G,则△DFG 和△EFB 类似, ∴∵BE ＝AD,∴ 由DG ∥BC 可得△ADG 和△ACB 类似,∴ 即∴EF ×BC ＝AC ×DF.例5：已知点D 是BC 的中点,过D 点的直线交AC 于E,交BA 的延伸线于F,DG DF BE EF =DG DF AD EF=求证：剖析：应用比例式够造平行线,经由过程中央比得结论 .（或应用中点”倍长中线”的思惟平移线段EC,使得所得四条线段分离组成两个三角形.）例6：已知：在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD是高,求证：BC2=2AC·CD剖析：本题的重点在于若何解决“2”倍的问题;让它归属一条线段,找到这一线段2倍是哪一线段.例7:如图,△ABC中,AD是BC边上中线,E是AC上一点,衔接ED且交AB的延伸线于F点.求证：AE：EC=AF：BF.剖析：应用前两题的思惟办法,借助中点结构中位线,应用平行与2倍关系的结论,证实所得结论.找到后以比例式地点三角形与哪个三角形类似.例8：在∆ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延伸BP交AC于E,交CF于F,求证：BP²=PE·PF剖析：在统一向线上的三条线段成比例,可以经由过程中央比转化,也可以经由过程线段相等,把共线的线段转化为两个三角形中的线段,经由过程类似证实.别的在证实等积式时要先转化为比例式不雅察类似关系,有利于证实.二.作垂线结构类似直角三角形例9：如图从 ABCD极点C向AB和AD的延伸线引垂2⋅+⋅AB=ACAFADAE线CE 和CF,垂足分离为E.F,求证：证实：过B 作BM ⊥AC 于M,过D 作DN ⊥AC 于N ∴AM ：AE=AB ：AC （1）（1）+（2）得例10：∆ABC 中,AC=BC,P 是AB 上一点,Q 是PC 上一点（不是中点）,MN 过Q 且MN ⊥CP,交AC.BC 于M.N,求证：证实：过P 作PE ⊥AC 于E,PF ⊥CB 于F,则CEPF 为矩形∴ PF EC ∵∠A ＝∠B=45°∴Rt ΔAEP=Rt ΔPFB∴∵ EC=PF ∴（1） 在ΔECP 和ΔCNM 中CP ⊥MN 于Q∴∠QCN+∠QNC=90°又∵∠QCN+∠QCM=90°∴∠MCQ=∠CNQ∴Rt ΔPEC ∽Rt ΔMCN ∴ 即 （2）由（1）（2）得 三.作延伸线结构类似三角形例11. 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC,若∠BCD 的等分线CH ⊥AB 于点H,BH=3AH,且四边形AHCD 的面积为21,求△HBC 的面积.剖析：因为问题涉及四边形AHCD,所以可结构类似三角形.把问题转化为类似三角形的面积比而加以解决.解：延伸BA.CD 交于点P ∵CH ⊥AB,CD 等分∠BCDAMAC AE AB ⋅=⋅=//ECPE PF PE PB PA ==CN EC CM EP =CNCM EC EP =CN CM PB PA =∴CB=CP,且BH=PH ∵BH=3AH ∴PA ：AB=1：2 ∴PA ：PB=1：3∵AD ∥BC ∴△PAD ∽△PBC 例12. 如图,RtABC 中,CD 为斜边AB 上的高,E 为CD 的中点,AE 的延伸线交BC 于F,FG 交AB 于G,求证：FG=CF ·BF剖析：欲证式即 由“三点定形”,ΔBFG 与ΔCFG 会类似吗？显然不成能. （因为ΔBFG 为Rt Δ）,但由E 为CD 的中点,∴可设法结构一个与ΔBFG 类似的三角形来求解.无妨延伸GF 与AC 的延伸线交于H,则又ED=EC ∴FG=FH 又易证Rt ΔCFH ∽Rt ΔGFB∴FG ·FH=CF ·BF ∵FG=FH ∴FG2=CF ·BF四.应用中线的性质结构类似三角形例13：如图,中,AB ⊥AC,AE ⊥BC 于E,D 在AC 边上,若BD=DC=EC=1,求AC. 解：取BC 的中点M,连AM ∵AB ⊥AC ∴ AM=CM ∴∠1=∠C 又 BD=DC ∴∠DBC=∠DCB ∴∠CAM=∠C=∠DBC ∴ΔMAC ∽ΔDBC∴ 又 DC=1 MC= BC ∴（1） 又Rt ΔAEC ∽Rt ΔBAC 又∵ EC=1 ∴（2）由（1）（2）得, ∴ 小结：应用等腰三角形有公共底角,则这两个三角形类似,取BC 中点M,结构ΔMAC ∽ΔDBC 是解题症结 91：：∴△△=PBC PAD S S EC FH ED FG AE AF ==EC FH ED FG =BF FH FG CF =BC AC DC MC =21221BC DC BC MC AC =⋅=BCBC CE AC =⋅=2421AC AC =32=AC。

相似三角形添加辅助线的方法举例例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设B C E ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AEBE的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BDAC AB =．相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证BCACCD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ，∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ．∴BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ，BCBCE B C∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， ∴∠E=∠DBC ， ∴△EBC ∽△BDC ∴BC CE CD BC =即BC AC CD BC 2= ∴BC 2＝2CD ·AC ．证法三（构造BC 21） ：如图，取BC 的中点E ，连结AE ，则EC=BC 21．又∵AB=AC ， ∴AE ⊥BC ，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE ∽△BCD ．∴BC AC CD CE =即BC AC CD BC=21． ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法四（构造BC 21）：如图，取BC 中点E ，连结DE ，则CE=BC 21∵BD ⊥AC ，∴BE=EC=EB ，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∴△ABC ∽△EDC ． ∴EC AC CD BC =J 即BC AC CDBC 21=． ∴BC 2＝2CD ·AC ．说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AEBE的值（1）设k AE =，则k BE 3=解法1 如图，延长BA 、CD 交于点FBC AD //，AD BC 3=， ∴AF BF 3= ∴k AF 2=，E 为BF 的中点 又BF CE ⊥ CF BC =，又BF CF = ∴BCF ∆为等边三角形 故︒=∠60B 解法2 如图作AB DF //分别交CE 、CB 于点G 、F 则DF CE ⊥，得平行四边形ABFD 同解法1可证得CDF ∆为等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法3 如图B C B作EC AF //交CD 于G ，交BC 的延长线于F 作AB GI //，分别交CE 、BC 于点H 、I 则GI CE ⊥，得矩形AEHGCE AF // ∴3==AEBECF BC ， 又AD BC 3= ∴AD CF =，故G 为CD 、AF 的中点 以下同解法1可得CGI ∆是等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法4 如图，作CD AF //，交BC 于F ，作CE FG //，交AB 于G ，得平行四边形AFCD ，且AB FG ⊥ 读者可自行证得ABF ∆是等边三角形，故︒=∠60B 解法5 如图延长CE 、DA 交于点F ，作CD AG //，分别交BC 、CE 于点G 、H ，得平行四边形AGCD 可证得A 为FD 的中点，则k AH 2=，故︒=∠601 得ABG ∆为等边三角形，故︒=∠60B 解法6 如图（补形法），读者可自行证明CDF ∆是等边三角形， 得︒=∠=∠60F B（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等） （2）设S S BCE 3=∆，则S S AECD 2=四边形解法1（补形法）如图补成平行四边形ABCF ，连结AC ，则AD DF 2= 设x S ACD =∆，则x S S ACE -=∆2，x S CDF 2=∆ 由ACF ABC S S ∆∆=得， x x x s s 223+=-+，∴s x 45=解法2 （补形法）如图，延长BA 、CD 交于点F ，91=∆∆ABC FAD S S ∴s S FAD 85=∆，s s s S FEC 821285=+=∆，又s S EBC 3=∆ 设m 8=BE ，则m 7=EF ，m 15=BF ，m 5=AF∴m 2=AE ，∴4==AEBE解法3（补形法）如图连结AC ，作AC DF //交BA 延长线于点F 连结FC则FAD ∆∽ABC ∆，故AF AB 3=（1）ACF ACD S S ∆∆=，FEC AECD S S ∆=四边形故AF AE AF AE EF BE 33)(332+=+==（2） 由（1）、（2）两式得AE BE 4= 即4=AEBE解法4（割补法）如图连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ，如图，过E 、A 分别作高1h 、2h ，则AD CG =且AECG AECD S S 四边形四边形=，∴s S S ABCD ABG 5==∆梯形∴21212153h BG h BC S S ABGEBC ⋅⋅⋅⋅==∆∆，又43=BG BC ∴5421=h h ，∴54=AB BE ，故4=AEBE 说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值．解法1： 延长FE 交CB 的延长线于H ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴BCAD //，∴ ∠H=∠AFE ，∠DAB=∠HBE又AE=EB ，∴ △AEF ≌△BEH ，即AF=BH ， ∵AD AF 31=，∴ BC AF 31=，即CH AF 41=．∵ AD ∥CH ，∠AGF=∠CGH ，∠AFG=∠BHE ，∴ △AFG ∽△CGH ．∴ AG ：GC=AF ：CH ，∴ AG ：GC=1：4，∴ AG ：AC=1：5．解法2： 如图4—2，延长EF 与CD 的延长线交于M ，由平行四边形ABCD 可知，DCAB //，即AB ∥MC ，∴ AF ：FD=AE ：MD ，AG ：GC=AE ：MC ． ∵ AD AF 31=，∴ AF ：FD=1：2，∴ AE ：MD=1：2． ∵DC AB AE 2121==．∴ AE ：MC=1：4，即AG ：GC=1：4，∴ AG ：AC=1：5例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 解析：取CF 的中点G ，连接BG ．∵ B 为AC 的中点， ∴ BG ：AF=1：2，且BG ∥AF ，又E 为BD 的中点， ∴ F 为DG 的中点． ∴ EF ：BG=1：2．故EF ：AF=1：4，∴ AF ：AE=4：3．例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 解法1： 过O 点作OM ∥CB 交AB 于M ， ∵ O 是AC 中点，OM ∥CB ， ∴ M 是AB 的中点，即a MB 21=，∴ OM 是△ABC 的中位线，b BC OM 2121==，且OM ∥BC ，∠EFB=∠EOM ，∠EBF=∠EMO ．∴ △BEF ∽△MOE ，∴EM BE OM BF =，即cacb BF +=221，∴c a bc BF 2+=. 解法2： 如图4-8，延长EO 与AD 交于点G ，则可得△AOG ≌△COF ，∴ AG=FC=b-BF ，∵ BF ∥AG ，∴AE BE AG BF =．即c a cBF b BF +=-， ∵ c a c bBF 2+= ∴ c a bcBF 2+=. 解法3： 延长EO 与CD 的延长线相交于N ，则△BEF 与△CNF 的对应边成比例，即CN BECF BF =．解得c a bcBF 2+=.例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BDAC AB =．分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD 为△ABC 内角A 的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决．证法1： 如图4—9，过C 点作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E ．在△BCE 中，∵ DA ∥CE ，∴AE BADC BD = ① 又∵ CE ∥AD ，∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且AD 平分∠BAC ，∵ ∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴ AC=AE ．代入②式得AC ABDC BD =． 分析2 由于BD 、CD 是点D 分BC 而得，故可过分点D 作平行线．证法2： 如图4—10，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，则∠2=∠3． ∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3． 于是EA=ED ．又∵DC BD EA BE =，∴ EA BE ED BE AC AB ==，∴CD BDAC AB =. 分析3 欲证式子左边为AB ：AC ，而AB 、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置．证法3： 如图4—11，过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E ，则∠2=∠E ． ∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠E ，AB=BE ．又∵AC BE DC BD =，∴CD BDAC AB =. 分析4 由于AD 是∠BAC 的平分线，故可过D 分别作AB 、AC 的平行线，构造相似三角形求证．证法4 如图4—12，过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ． 易证四边形AEDF 是菱形．则 DE=DF ．由△BDE ∽△DFC ，得DE BEDF BE DC BD ==． 又∵ AC AB DE BE =，∴ DC BDAC AB =.。

相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。

主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1. 如图，∆ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE，DE延长线与BC延长线相交于F，求证：BFCFBDCE=BDA CFE证明：过点C作CG//FD交AB于GF小结：本题关键在于AD＝AE这个条件怎样使用。

由这道题还可以增加一种证明线段相等的方法：相似、成比例。

例2. 如图，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分别截取BD=CE，DE，BC的延长线相交于点F，证明：AB·DF=AC·EF。

分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。

欲证，需证，而这四条线段所在的两个三角形显然AB DF AC EFABACEFDF⋅=⋅=不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形，需添加平行线。

方法一：过E 作EM//AB ，交BC 于点M ，则△EMC ∽△ABC （两角对应相等，两三角形相似）。

∴=⋅=⋅EM AB EC AC EM AC AB EC 即，∴=AB AC EMEC同理可得∆∆EMF DBF ~ ∴=EF DF EMBD， 又， BD EC EM EC EM BD =∴=（为中间比），EMBD∴=AB AC EFDF， ∴⋅=⋅AB D F AC EF 方法二：如图，过D 作DN//EC 交BC 于N则有，，∆∆BDN BAC ~∴=⋅=⋅BD AB DNAC BD AC AB DN ，即（比例的基本性质） ∴=AB AC BDDN同理，∆∆ECF DNF ~∴==EC DN EFDF BD EC ，而（已知） ∴=BD DN EC DN ECDN （为中间比）， ∴=∴⋅=⋅AB AC EFDFAB DF AC EF ，又 BCM ADN ∆≅∆ ∴ AN=CM∴ 2)(AC CM AM AC AF AD AE AB =+=⋅+⋅三、作延长线例5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠BCD 的平分线CH ⊥AB 于点H ，BH=3AH ，且四边形AHCD 的面积为21，求△HBC 的面积。

三角形全等添加辅助线口诀人说几何很困难点就在辅助线，辅助线，如何添加？把握定理和概念，还要刻苦加钻研，找出规律凭经验，图中有角平分线，可向两边引垂线，也可将图对折看，对称以后关系现，角平分线平行线，等腰三角形来添，角平分线加垂线，三线合一试试看，线段垂直平分线，常向两边把线连，要证线段倍与半，延长缩短可试验，三角形中两中点，连接则成中位线，三角形中有中线，延长中线等中线。

几何，不谈战术谈战略学而思中考研究中心施佳辰作为和代数并列为初中数学两大知识点的几何，常常因为图形变化多端，方法多种多样而被称为数学中的变形金刚。

话虽如此，变形金刚也不是无敌的，最终仍旧是人类的智慧更胜一筹。

实际上，每一道几何题目背后都有着一定的法则和规律，每一类题都有着相似的解题思想，这种思想的集中体现，便是模型（变形金刚的原力所在）对于几何，我们不仅仅要在战术上坚定执行，在战略层面上也要对几何在初中三年的整体学习有一个明确的了解。

得模型者得几何，而模型思想的建立又并非一朝一夕，是需要同学们在大量的实战做题和不断总结方法中培养出来的。

对于模型的理解和认识，分为很多层面，最浅的是基本的形似，看到图形相仿或相似的题目，能够有意识的联想以前学过的题型并加以运用，套用，这是最简单的模型思想。

高一些的是神似，看到一些关键点，关键线段或是题目所给条件的相似便能够联想到所学知识点，通过推理和演绎逐步取得正确的解法，记住的是一些具体模型，这，是第二种层次。

最高的境界是，心中只有很少几种基本模型，这些模型就像种子，看到一道题目就会发芽，开花结果，随着对于题目的深入理解，不断地寻找适合的花朵，每一朵花上面都有着一种具体的模型，而每种模型之间，都会有树枝相连，相互间并不是孤立的，而是借由其他条件贯穿连接的。

达到这样的理解才能算是包罗万象，驾轻就熟。

我们对于模型的把控能不应当仅限于会用于具有明显模型特征的题目，对于一些特征并不明显的题目，我们要有能力添加辅助线去挖掘图形当中的隐藏属性。