第四章 土的弹性模型

第四章土的弹性模型4.1引言除渗流问题外，土力学问题可分为两大类，变形问题和稳定问题。

经典土力学在变形计算中本构模型采用线性弹性模型，即广义虎克定律，在稳定分析中采用刚塑性模型。

计算机，计算方法和土工测试技术的发展，为运用较复杂的应力应变关系分析工程问题提供了可能性。

在工程实践的推动下，土的本构理论研究近二十余年来得到了迅速的发展。

实际工程中土的应力-应变关系是很复杂的，具有非线性，弹塑性，粘塑性，剪胀性，各向异性等性状，同时应力路径，强度发挥度以及土的组成、结构、状态和温度等均对其有影响。

事实上，没有任何一种模型能考虑所有这些影响因素，也没有任何一种模型能够适用于所有土类和加载情况。

土的本构理论研究目前有两种倾向，一种是为了建立用于解决实际工程问题的实用模型，另一种是为了进一步揭示土体某些应力应变特性的内在规律比较精细的理论模型。

众所周知，在测定土的参数的室内外试验中，取土和运输过程中对土样的扰动，试验边界条件和实际工程中的差异，以及取样的代表性等造成的误差使得通过试验难以测定精细模型的所需测定的参数。

另外，应用精细模型的计算方法还有待进一步研究。

鉴于上述两方面原因，比较实用的方法是结合具体工程选用既能考虑影响应力应变关系的主要因素，又能在参数的确定和计算方法的处理上均不太复杂的简化模型。

对不同类别的土，对不同类型的岩土工程问题，分别建立不同的工程实用模型。

土的本构模型大体上可分为弹性模型、弹塑性模型、粘弹塑性模型、内时塑性模型以及损伤模型等几类。

本章简要介绍弹性模型，其它类型的本构模型在以后几章中陆续加以介绍。

弹性模型中最简单的是线性弹性模型。

为了考虑土体变形性状的非线性、各向异性以及非均质性，人们采用拟合试验曲线法，例如用双曲线函数、样条函数等拟合实验曲线，应用变模量的概念对线性模型进行修正。

提出的各种弹性模型相互间关系如图4-1所示。

非线性弹性模型也可以分为三类；Cauchy弹性模型、超弹性模型（hy-perelastic model）和次弹性模型（hypoelastic model）。

图4-1近年来，各国学者提出了许多土的弹性模型，这里只介绍理想弹性体模型，横观各向同性弹性体模型，Duncan 等E-B 非线性弹性模型、一组同时考虑各向异性和非线性的弹性参数实用方程式和一个考虑球张量和偏张量交叉影响的非线性弹性模型。

另外还介绍了非线性弹性模型理论，包括Cauchy 弹性模型、超弹性模型和次弹性模型的基本概念。

4.2 理想弹性体模型各向同性的理想弹性体模型是最简单的力学本构模型，相应的本构方程就是广义虎克定律。

其表达式为：1ij ij kk ij E Eννεσσδ+=- （4.2.1） 或()()1112ij ij kk ij E Eνσεεδννν=+++- （4.2.2）式中 E ——杨氏模量；ν——泊桑比。

把应力张量和应变张量分解成球张量和偏张量，则本构方程式为：21ij ij ij ES e Ge ν==+ ()13312kk kk kk Ep K K νσεεεν====-（4.2.3）式中 K ——体积变形模量，与杨氏模量和泊桑比的关系为： ()312EK ν=-；G ——剪切模量，()21EG ν=+；εν——体积应变。

在上述理想弹性体模型中，独立的弹性参数只有两个，E 和ν，或G 和K ，或E 和K 等。

它们相互之间换算关系如表4-1所示。

弹性参数间换算关系表4-14.3 横观各向同性弹性体模型有关粘土结构的研究表明，大多数粘土矿物是片状的，薄片厚度与其宽度和长度相比较小。

对薄片颗粒来说，其性能主要受各种表面力的影响。

在沉积过程中，粘土颗粒相互碰撞，形成大的颗粒集合体。

集合体中粘土颗粒相互之间的连接形式主要有面面接触、点面接触和边面接触三种形式。

面面接触的颗粒相互间大致平行地重迭在一块，形成的结构成为分散结构。

点面接触和边面形成的结构成为絮凝结构。

粘土颗粒在沉积过程中，相互碰撞形成颗粒集合体——组构单元，其定向是任意的。

但是，在固结过程中，不等向固结应力的作用会促使较多粘土颗粒和组构单元沿一定方向排列。

同时，在较大压力下，一些絮凝结构会逐渐的被破坏，连接方式变成里面面接触，颗粒排列的方向将和力的方向相垂直。

有上述分析可知，粘土颗粒和其组构单元在排列上的方向性既与它们本身的结构有关，也与在固结过程中非等向应力的作用有关。

粘土颗粒和组构单元在排列上的方向性造成了结构各向异性，它是土体强度和刚度各向异性的一个重要原因。

此外，在沉积过程中，往往会形成层状结构的粘土层，相互交错的薄层其矿石成份及物理力学性质互不相同。

粉砂和粘土相互交错的通常称为“千层糕”式纹状粘土就是典型的层状结构粘土。

它不仅受薄层土本身的结构各向异性的影响，而且还受薄层之间的物理力学性质的差异的影响。

根据以上分析可以看出天然地基土体一般具有各向异性，在水平方向，材料的性质可以认为是相同的，在竖向是不相同的。

这种在平行于某一平面的所有各个方向，即所谓“横向”都具有相同弹性的物体，通常称为横观各向同性弹性体。

根据广义虎克定律，可以用36个弹性系数来表达均质连续各向异性弹性体的应力-应变关系，即{}[]{}D σε= （4.3.1）式中 {}ε——应变矢量，Tx y z yz zx xy εεεγγγ⎡⎤⎣⎦；{}σ——应力矢量，Tx y z yz zx xy σσστττ⎡⎤⎣⎦[]D ——弹性矩阵，D mn ，m=1，2， (6)根据能量守恒定律与对形变位能的考察，弹性矩阵是对称的，即Dmn=Dnm 。

于是，36个弹性系数中只有21个是独立的。

对于三向正交各向异性体，9个弹性系数就可以完全描述其应力应变关系。

横观各向同性体是正交各向异性体的一种特殊情况。

横观各向同性弹性体只需要5个弹性系数就可完全描述其应力-应变关系。

其弹性矩阵可表示成下列形式：[]()1HH E D ννα=+()21VH n n ν- ()2HH VHn n νν+ ()1H H H H n νν+0 0 0()2HH VH n n νν+ ()21VH n n ν- ()1H H H H n νν+0 0 0()1HH HH n νν+ ()1H H H H n νν+()21VH ν- 0 0 00 0 0 ()1HH m αν+ 0 0 0 0 0 0 ()1HH m αν+ 0 0 0 0 0 0 0.5nβ（4.3.2）式中 212HH VH n ανν=--212HH HVn βνν=-- HV E n E =VVG m E =E H ——水平向杨氏模量； E V ——竖直向杨氏模量； G V ——竖直面上的剪切模量；νHH ——水平向应力引起正交水平向应变的泊桑比； νVH ——竖直向应力引起水平向应变的泊桑比；νHV ——水平向应力引起竖直向应变的泊桑比。

E H 、E V 、νHV和νVH四个弹性系数之间有以下关系：VHHVVHE E νν=（4.3.3）通过坐标转换，可以得到与水平向成θ角的方向上的杨氏模量E θ的表达式：2422021cos sin 1cos sin VHH V V V E E E G E νθθθθ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（4.3.4）从上式可以看到，各向同性体不仅需要满足条件：H V E E E == （4.3.5）HH HV VH νννν=== （4.3.6）而且还需要满足下面的条件，即()21V EG ν=+ （4.3.7）用横观各向同性体竖直向（纵向）和水平向（横向）的试样做压缩（或伸长）试验，可以测定它的竖直向和水平向的杨氏模量（E ν和E H ），以及泊桑比νHH 和νHV。

通过斜方向试样的试验，可以测定斜方向的杨氏模量E θ。

然后应用式4.3.7可以得到竖直面上的剪切模量G ν。

4.4 非线性弹性模量理论非线性弹性模型理论上分为三类：Cauchy 弹性模量，超弹性（Hyperelastic ）模型（或称Green 超弹性模型）和次弹性（Hypoelastic ）模型。

事实上，现在在工程上应用的非线性弹性模型很难全部严格分类归属于上述三种类型。

不少工程上应用的非线性弹性模量对加载和卸载两种情况作了不同的规定，已超出理论上弹性的严格定义。

在这一节先对Cauchy 弹性模型和次弹性形模型作一简要介绍，然后在以后几节分别介绍几个土的非线性弹性模型，供读者参考。

4.4.1 Cauchy 弹性模型Cauchy 弹性模型一般表达式可用下式表示，()ij ij kl F σε= （4.4.1）式4.4.1表示应力是应变的函数，应力-应变关系关系是可逆的，与应力路径无关。

下面举一例加以说明。

材料八面体正应力与八面体应变和八面体剪应力与八面体剪应变关系曲线分别如图4.2（a ）和（b ）所示。

材料的本构方程可用下式表示：2m s kkij s ijK S G e σε==（4.4.2）式中 K S ——割线体积变形模量； G S ——割线剪切变形模量。

式4.4.2也可改写为2ij s ij s kk ij G e K σεδ=+ （4.4.3）或()8232ij s ij s s ij G e K G σεδ=+- （4.4.4）采用割线模量表示增量形式的应力-应变关系推导过程如下： Ks 和Gs 分别是八面体应变ε8和γ8的函数， 即()()88s s s s K K G G εγ== （4.4.5）图4.2 八面体应力-应变关系由图4.2可知，88883s s G K τγσε== （4.4.6）对式4.4.6微分，得888888883s s s s dG G d dK K d τγγγσεεε⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （4.4.7）式4.4.7可改写成下列形式，88883t t G K τγσε== （4.4.8） 式中 K t ——切线体积变形模量； G t ——切线剪切变形模量。

8888s t s s t s dK K K d dG G G d εεγγ=+=+ （4.4.9）应力应变关系可用矩阵形式表示：{}[]{}t d D d σε= （4.4.9）式中 []t D ——材料切线刚度矩阵。

应力张量增量ij σ可分解为应力球张量增量和应力偏张量增量两部分： 8ij ijij S σσδ=+ （4.4.11） 将式4.4.8代入上式，得83ij ij t ij S K σεδ=+（4.4.12） 八面体正应变增量可表示为81133kk kl kl εεδε== （4.4.13）结合式4.4.8和式4.4.13，可得8t kl kl K σδε= （4.4.14） 结合式4.4.2和4.4.5，可得882s ij ij s ij dG S e G e d γγ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（4.4.15）由式4.4.9，得88s t sdG G G d γγ-=（4.4.16） 微分关系式2843rs rs e e γ=，得 8843rsrs e e γγ=（4.4.17） 将式4.4.16和式4.4.17代入式4.4.15，得28423t sij s ir js ij rs rs G G S G e e e δδγ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（4.4.18） 应变偏量增量可用下式表示13rs rk sl rs kl kl e δδδδε⎛⎫=- ⎪⎝⎭（4.4.19）将式4.4.19代入式4.4.18，并注意到e kk =0，则有23s ij s ik jlij kl ij kl kl G S G e e δδδδηε⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（4.4.20） 式中2843t sG G ηγ-=（4.4.21）将式 4.4.14和式 4.4.20代入式 4.4.11，可得增量形式的应力应变关系（Murray ，1979）如下：222t s ij ij kl s ik jl ij kl kl K G G e e σδδδδηε⎡⎤⎛⎫=-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（4.4.22） 式4.4.22也可表示成矩阵形式，即{}[]{}d D d σε= （4.4.23）式中{}d σ——应力增量矢量，Tx y z yz zx xy d d d d d d σσστττ⎡⎤⎣⎦；{}d ε——应变增量矢量，Tx y z yz zx xy d d d d d d εεεγγγ⎡⎤⎣⎦；[]D ——模量矩阵，可用下式表示[][][]D A B =+（4.4.24） 其中α β β 0 0 0β α β 0 0 0 β β α 0 0 0[]A = 0 0 0 G S 0 0 （4.4.25）0 0 0 0 G S 0 0 0 0 0 0 G S[]{}{}2TB e e η= （4.4.26）式中 43t s K G α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；23t s K G β⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2843t sG G ηγ-={}Tx y z yz zx xy e e e e e e e ⎡⎤=⎣⎦。