人教A版高中数学必修2《三章 直线与方程 3.2直线的方程 习题3.2》教案_2

3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二 线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三 直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0； 条件：A ，B 不同时为零； 简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。

直线的参数方程教学设计知识与技能：1. 联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系．教学过程：一、复习回顾：1．直线的方向向量的概念．2.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？3.已知一条直线的倾斜角和所过的一个定点，请写出直线的方程．4.如何建立直线的参数方程？二、师生互动，新课讲解1．引出直线单位方向向量为数轴的单位方向向量，方向与数轴的正方向一致，且；当与方向一致时（即的方向与数轴正方向一致时），；当与方向相反时（即的方向与数轴正方向相反时），；当M与O重合时，；【设计意图】通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备直线平行且方向向上(的倾斜角不为0时)或向右（的倾斜角为0时）的单位向量确定直线的正方向，同时在直线上确定进行度量的单位长度，这时直线就变成了数轴．于是，直线上的点就有了两种坐标（一维坐标和二维坐标）．在规定数轴的单位长度和方向时，与平面直角坐标系的单位长度和方向保持一致，有利于建立两种坐标之间的联系．【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．3. 等价转化，深入探究问题：如果点,M的坐标分别为，怎样用参数表示？教师启发学生回顾向量的坐标表示，待学生通过独立思考并写出参数方程后再全班交流．过程如下：因为，（），，，所以存在实数，使得，即．于是，，即，．因此，经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）．教师提出如下问题让学生加强认识：直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？参数的取值范围是什么？参数的几何意义是什么？总结如下：，是常量，是变量；；由于，且，得到，因此表示直线上的动点M到定点的距离．当的方向与数轴（直线）正方向相同时，；当的方向与数轴（直线）正方向相反时，；当时，点M 与点重合．【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．三、运用知识，培养能力例直线 (t为参数)的倾斜角是( )A．20° B．70° C．110°D．160°例(课本P36例1) 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点到A,B两点的距离之积．先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解，学生可能有以下解法：解法一：由，得．设，,由韦达定理得：．．由（*）解得，．所以．则．解法二、因为直线过定点M，且的倾斜角为，所以它的参数方程是（为参数），即（为参数）．把它代入抛物线的方程，得，解得，．由参数的几何意义得：，．在学生解决完后，教师投影展示学生的解答过程，予以纠正、完善．然后进行比较：在解决直线上线段长度问题时多了一种解决方法．【设计意图】通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关线段长度问题，培养学生从不同角度分析问题和解决问题能力以及动手能力．三、课堂小结，巩固反思：（1）直线参数方程求法；（2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。

研讨课:直线的参数方程(1)教学目标:1.掌握直线的参数方程的结构特点,掌握直线参数方程中参数t 的几何意义.2.用参数t 的几何意义解题是直线参数方程的重点题型, 理解参数t 的几何意义,应用直线的参数方程和参数t 的几何意义解决问题.教学重难点:重点:掌握直线参数方程和参数t 的几何意义.难点:理解参数t 的几何意义,应用直线的参数方程和参数t 的几何意义解决问题.教学过程: [温故知新]1.角α正余弦的定义:设角α顶点在 ,始边在 ,点P 是角α终边上异于原点的点,那么cos α= ,sin α=2.已知直线l 上两点),(000y x M ,),(y x M ,平移直线l ,若把M 0),(00y x 平移至点'0M ),(00n y m x ++时,点),(y x M 平移至点'M ( ),若点M 0),(00y x 恰平移至原点(0,0)时, m= ,n= . 此时点'M 的坐标为( ). 0MM M O ='[合作探究]探究1.直线的参数方程及参数t 的几何意义已知直线经过点),(000y x M ,且倾斜角为α,直线上任取一点),(y x M ①当点M 在M 0上方或右方时, 是以M O '为终边的角,由角的正余弦定义可知⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos 整理得⎩⎨⎧==y x②当点M 在M 0下方(或左方)时, 是以M O '为终边的角,由角的正余弦定义可知⎪⎩⎪⎨⎧sin cos== 整理得⎩⎨⎧==y x③当点M 与M 0重合时, ⎩⎨⎧==y x综上: (1)经过点),(000y x M ,倾斜角为α的直线的参数方程为:(2)参数t 的几何意义: 当点M 在M 0的上(右)方时, ( ) 当点M 在M 0的下(左)方时, ( ) 当点M 与M 0重合时, (3)标准形式的直线参数方程的结构特点(1) 参数t 的两个系数 . (2) 在)(t f x =中,t 的系数的范围 , 在)(t g y =中, t 的系数的范围 ,试一试(一):1. ①已知直线l 过点P (2,3),倾斜角为3π,直线l 的参数方程为 ,②已知直线l 过点P (2,3),倾斜角为32π,直线l 的参数方程为 ,2. ①直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=t 231y ,t 211x (t 为参数)过点M 0( , ),直线倾斜角为 .t=1时对应的直线上的点为M,则点M 在M 0的 ,|MM 0|= .②直线⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=t t x 221y ,221(t 为参数)过点M 0( , ), 直线倾斜角为 .t=1时对应的直线上的点为M,则点M 在M 0的 ,|MM 0|= .③⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=t y t x 211231过点M 0( , ), 直线倾斜角为 . t=1时对应的直线上的点为M,则点M 在M 0的 ,|MM 0|= .④⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=t y t x 211231过点M 0( , ), 直线倾斜角为 .t=1时对应的直线上的点为M,则点M 在M 0的 ,|MM 0|= . t 1=-1, t 2=1对应的两点间的距离是 .探究二:直线参数方程的一般形式问题:①直线参数方程为⎩⎨⎧+-=+=my mx 4131(m 为参数) 过点M 0( , ), M 是直线上异于M 0的点,参数m=|MM 0|或-|MM 0|吗? 若不是, |MM 0|= .②⎩⎨⎧--=+=m y m x 4131(m 为参数) 过点M 0( , ), M 是直线上异于M 0的点,|MM 0|=③直线⎩⎨⎧+-=+=t 41y ,t 31x (t 为参数)过点M 0( , ), t=1时对应的直线上的点为M, 则点M 在M 0的 ,此时|MM 0|= ; 若t=-1时对应的直线上的点为M, 则点M 在M 0的 ,此时|MM 0|= ; ④直线⎩⎨⎧--=+=t 41y ,t 31x (t 为参数)过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ;|M 1M 2|= ;试一试(二):①直线⎩⎨⎧+-==ty t x 31(t 为参数)过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ; |M 1M 2|= ;②直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=t t x 23y ,211(t 为参数) 过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ;|M 1M 2|= ; ③直线⎩⎨⎧+-=-=ty tx 1(t 为参数)过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ; |M 1M 2|= ; ④直线⎩⎨⎧--=+=ty t x 3231(t 为参数)过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ; |M 1M 2|= ;[课堂小结][当堂检测]1.直线⎩⎨⎧+==tt x 2y ,3 (t 为参数) 过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ; |M 1M 2|= ; 2.直线⎩⎨⎧-=+-=tt x 4y ,31(t 为参数) 过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ; |M 1M 2|= ;3. 直线⎩⎨⎧-=-=t y tx 3331 (t 为参数) 过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ;|M 1M 2|= ; 4. 直线⎩⎨⎧=+=t y tx 1251 (t 为参数) 过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ;|M 1M 2|= ; 5. 直线⎩⎨⎧--=+=ty tx 8162 (t 为参数) 过点M 0( , ), 若t 1=1时对应的直线上的点为M 1, 则点M 1在M 0的 ,此时|M 1M 0|= ; 若t 2=-1时对应的直线上的点为M 2 , 则点M 2在M 0的 ,|M 2M 0|= ; |M 1M 2|= ; 6.直线⎩⎨⎧+-=+=tt x 1y ,32(t 为参数)上与t 1=0, t 2=1对应的两点间的距离是 .7.直线⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=6cos 2y ,6sin 1ππt t x （t 为参数）,则直线l 的倾斜角α为 .8.直线⎩⎨⎧--=+=20sin 4y ,20cos 2t t x o （t 为参数）,则直线l 的倾斜角α为 .9..过点(5,-4)倾斜角α满足54tan -=α的直线l 的参数方程可以是( )A. ⎩⎨⎧--=+=t t x 94y ,55B.⎩⎨⎧+-=-=t t x 44y ,55 C. ⎩⎨⎧+-=+=t t x 44y ,55 D. ⎩⎨⎧--=-=t t x 44y ,55。

3.2.3 直线的一般式方程[课时作业][A 组 基础巩固]1．过点(－3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为( )A ．4x ＋3y ＋12＝0B ．4x ＋3y －12＝0C ．4x －3y ＋12＝0D ．4x －3y －12＝0解析：由已知得方程为x －3＋y 4＝1， 即4x －3y ＋12＝0.答案：C2．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A ．a ＝2，b ＝5B ．a ＝2，b ＝－5C ．a ＝－2，b ＝5D ．a ＝－2，b ＝－5 解析：直线5x －2y －10＝0可以化为截距式方程x 2＋y －5＝1，所以a ＝2，b ＝－5. 答案：B3．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限解析： y ＝－a b x ＋c b ，∵k ＝－a b >0，c b<0，∴该直线过第一、三、四象限． 答案：C4．过点M (2,1)的直线与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点．若M 为线段PQ 的中点，则这条直线方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：设y －1＝k (x －2)，令x ＝0得y ＝1－2k ，则0＋－2＝1，解得k ＝－12， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.答案：C5．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0上后反射，则反射光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －6＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋2y －9＝0解析：取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点B (a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝5，所以B (3,5)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4，所以直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)．所以反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0.答案：B6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为____________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝07．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，(1)若l 2与l 1关于y 轴对称，则l 2的方程为________；(2)若l 3与l 1关于x 轴对称，则l 3的方程为________．解析：(1)由题设可知，l 2与l 1的斜率互为相反数，且过点(0,3)，∴l 2的方程为：y ＝－2x ＋3(2)由题设可知，l 1与l 3的斜率互为相反数，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，∴l 3的方程为：y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－2x －3.答案：(1)y ＝－2x ＋3 (2)y ＝－2x －38．已知A (0,1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．解析：AB ⊥l 1时，AB 最短，所以AB 斜率为k ＝1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝09．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程．解析：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线方程的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线方程的斜率是－13. ∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)， 即x ＋3 y ＋8＝0.10．直线方程Ax ＋By ＋C ＝0的系数A ，B ，C 满足什么条件时，这条直线具有如下性质？(1)与x 轴垂直；(2)与y 轴垂直；(3)与x 轴和y 轴都相交；(4)过原点．(AB 不全为0) 解析：(1)∵与x 轴垂直的直线方程为x ＝a ，即x －a ＝0，它缺少y 的一次项，∴B ＝0.故当B ＝0且A ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0与x 轴垂直．(2)类似于(1)可知：当A ＝0且B ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0与y 轴垂直．(3)要使直线与x ，y 轴都相交，则它与两轴都不垂直，由(1)(2)可知：当A ≠0且B ≠0，即AB ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0与x 轴和y 轴都相交．(4)将x ＝0，y ＝0代入Ax ＋By ＋C ＝0，得C ＝0.故当C ＝0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0过原点．[B 组 能力提升]1．三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≠±1 B．a ≠1，a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠±1，a ≠2解析：直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都经过原点，而无论a 为何值，直线x ＋ay ＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x ＋ay ＝3与另两条直线不平行．∴a ≠±1. 答案：A2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－45D.45解析：若两直线垂直，则2(a －2)＋3a ＝0，解得a ＝45. 答案：D3．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．24解析：由直线互相垂直可得－a 4·25＝－1， ∴a ＝10，所以直线方程为5x ＋2y －1＝0，又垂足(1，c )在直线上，所以代入得c ＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b ＝－12，所以a ＋b ＋c ＝－4.故选A.答案：A4．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．解析：∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，也在a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0①2a 2＋b 2＋1＝0②①－②得2(a 1－a 2)＝－(b 1－b 2)≠0∴b1－b2a1－a2＝－2 ∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为：y ＝－2(x －a 1)＋b 1＝－2x ＋2a 1＋b 1＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.答案：2x ＋y ＋1＝05．若方程x ＋y －6x ＋y ＋3m ＝0表示两条不重合的直线，求实数m 的取值范围． 解析：设x ＋y ＝t ，t ≥0，由已知方程x ＋y －6x ＋y ＋3m ＝0表示两条不重合的直线，即关于t 的方程t 2－6t ＋3m ＝0有两个不相等的非负实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝36－12m ＞0，3m≥0，6＞0，解得0≤m ＜3.所以实数m 的取值范围是[0,3)．6．已知定直线l ：y ＝4x 和定点P (6,4)，点Q 为第一象限内的点且在直线l 上，直线PQ 交x 轴正半轴于M ，求当△OMQ 的面积最小时Q 点的坐标．解析：如图，因为Q 点在y ＝4x 上，故可设Q 点坐标为(t,4t )，于是PQ 所在直线方程为 y －4＝4t －4t －6·(x －6)． 可求得点M 的坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5t t －1，0， 则△OMQ 的面积为S (t )＝12·5t t －1·4t ＝10t2t －1. 去分母得10t 2－St ＋S ＝0.∵t ∈R ，∴Δ＝S 2－4·10S ≥0， ∴S ≥40，S min ＝40，此时t ＝2,4t ＝8， 所以当△OMQ 的面积最小时， Q 点的坐标为Q (2,8)．。