基于多尺度小波变换的图像边缘检测

第24卷第2期 阜阳师范学院学报(自然科学版) V o l.24,N o.2　2007年6月 Journal of Fuyang T eachers Co llege(N atural Science) Jun.2007基于小波变换的多尺度图像边缘检测郦丹芸1,2,陶　亮1,詹小四2(1.安徽大学计算机科学与技术学院,安徽合肥　230039;2.阜阳师范学院计算机系,安徽阜阳　236041)摘　要:边缘作为图像的最主要特征,成为图像信息获取的重要内容.而小波变换具有检测局域突变的能力,而且可以结合多尺度信息进行检测,因此成为图像信息边缘检测的优良工具.文章首先构造了高斯多尺度边界检测算子,然后根据信号边界与噪声边界的小波变换模值跨尺度传递的不同特性,讨论了不同尺度的检测算子检测的边缘所具有的特点,在此基础上提出由边缘传递、继承和生长构成的多尺度边缘关联融合算法.实验结果说明这种特征提取方法不仅有效地降低了噪声,而且融合的边界比较完整,定位准确.关键词:图像处理;边缘检测;多尺度小波分析;小波中图分类号:T P391 文献标识码:A 文章编号:100424329(2007)022******* 在图像中,边缘是指其周围像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的像素的集合.边缘是图像的基本特征之一,.因此,边缘提取与检测在图像处理中占有很重要的地位.传统的边缘检测方法基于空间运算,借助空域微分算子进行,通过将算子模板与图像进行卷积合成,根据模板的大小和元素值的不同有不同的微分算子,如Robert算子、Sobel算子、P rew itt算子、LO G 算子、Canny算子等,这些算子虽然易于实现、具有较好的实时性,但由于边缘检测问题固有的复杂性,使这些方法在抗噪性能和边缘定位方面往往得不到满意的效果,这主要是因为边缘和噪声都是高频信号,很难在噪声和边缘中作取舍[1].1983年W itk in提出尺度空间的思想,对边缘检测中的多尺度多分辨的思想进行了深入、直接的研究.1992年M allat提出小波变换多尺度边缘检测方法,并将小波边缘检测方法与LO G算子及Canny 最优检测算子在小波意义下统一起来,更加明确地表达了多尺度的思想在边缘检测中的重要意义[2].然而,边缘检测的不确定性指出边缘检测算子的抑噪能力和定位精度是一对矛盾,小尺度算子有利于边缘定位,但对噪声极为敏感;大尺度算子抑噪能力强,但边缘定位精度差,甚至会丢失某些局部细节.因此,固定尺度的边缘检测算子难以兼顾良好的边界定位,噪声抑制和弱边界检测等性能指标. M arr[3]从神经生理学和心理物理学出发,指出人的视觉前期处理中有多个分辨率的边缘算子在对图像作卷积,各边缘检测算子输出的组合能提高定位精度,减少噪声干扰.由于小波变换具有良好的时频局域化特性及多尺度分析能力,本文根据多尺度分析构造多尺度边缘检测算子,通过多尺度边缘融合,实现图像边缘的检测.1　多尺度图像边缘提取算法在文献[4]中,Young R.A从人类视觉的生理特性和数学形式上分析,指出一个高斯平滑函数叠加一个高斯函数的二阶导数能够更加精确的模拟人类的视觉特性,即能更好地强化边缘并准确定位.1.1　设计多尺度离散掩模算子高斯函数的一阶导数满足允许小波函数的定义[5],利用高斯函数构造小波边缘检测算子.设Η(x, y)为均值为0,方差Ρ2的高斯函数,Ηs(x,y)= 1s2Η(xs,ys)为Η(x,y)的尺度变换函数,s为伸缩因子,则71s(x,y)=s5Ηs5x,72s(x,y)=s5Ηs5y为尺度上s收稿日期:2007204208基金项目:安徽省高校青年教师“资助计划”项目(2007jql145)作者简介:郦丹芸(1976-),女,硕士研究生,讲师.研究方向:图像处理.的小波函数.在尺度s上,函数f(x,y)∈L2(R2)的W T(小波变换)定义为W1s f(x,y) W2s f(x,y)≡f371s(x,y)f372s(x,y)=s (f3Ηs)(x,y)(1)因此,f(x,y)关于71和72的W T的两个分量为f(x,y)的竖直和水平边缘增强图,记为n1(x,y)和n2(x,y).令I(x,y)=n21+n22,A(x,y)= arctg(n2 n1)分别为边缘幅度图和梯度方向图.在实际应用中,由于图像都为离散化的,因此需要对71s和72s进行采样,获得多尺度离散掩模算子. f(x,y)的W T的离散化形式为:W1s f(x,y)=6x+(L-1) 2m=x-(L-1) 26x+(L-1) 2 n=y-(L-1) 2 f(m,n)71s(x-m,y-n)(2)W2s f(x,y)=6x+(L-1) 2m=x-(L-1) 26x+(L-1) 2 n=y-(L-1) 2 f(m,n)72s(x-m,y-n)(3)其中L为掩模算子的宽度.在实际情况下L不可能为无限长,由于71s,72s具有负指数的衰减形式,因此可以取其波峰和波谷之间距离的两倍作为的长度.可得71s和71s的宽度均为 L=(in t)4sΡ(4)若L为偶数,则L=L+1.若已知L及s,则可通过Ρ=L (in t)4s求出标准差Ρ的值.令最小尺度为s= 1,该尺度对应的掩模算子宽度L=3,可以求出Ρ=0.75.同理可以求出s为任何整数时的掩模算子.1.2　基于多尺度小波算子的边缘检测方法1.2.1　检测边缘候选点对图像进行有限尺度的小波分解,形成噪声逐渐减少的多尺度边缘增强图像.在选定的最大尺度和最小尺度之间设定尺度的跨度,产生一系列尺度空间.首先,两个空间的尺度越相近,则两个尺度下检测出的边缘位置也越相近,两个空间的尺度跨度较大,那么检测出的边缘的位置也会有较大的差异.尺度越小,检测的边缘越接近真实边缘,如果在最小尺度下的噪声边缘淹没了图像边缘,则认为该尺度为无效尺度,重新选择;在最大尺度空间,噪声得到抑制,图像边缘信息在局部模极大值中占主导地位,但要防止边缘失真,如果边缘严重失真,这样的大尺度也视为无效.因此,边缘关联应该在相近的尺度范围内进行,而不应该跨越较大尺度范围,否则边缘信息在相邻尺度空间的相关性将降低.本文选择个相邻的整数尺度,把s=m,m+1,…,m+n-1,m∈Z+作为分解尺度,分别得到各尺度的掩模算子.图像与掩模算子进行卷积,局部模极大值点即为检测出的图像的候选边缘.为边缘幅度设定阈值T s,幅度大于T s的候选点作为边缘点.还为每个边缘的长度设定阈值L s,将连续长度小于阈值L s的边缘删去,使得检测出来的边缘可信度较高,L s一般取20.最小尺度m和最大尺度m+n-1根据具体情况选定,要保证最小尺度下边缘信息比较准确,没有被噪声边缘淹没;最大尺度空间边缘失真较小.对于不同的尺度空间,选择不同的阈值,在最大尺度空间,选择的阈值较高,以减少噪声的影响;而在其他尺度空间,阈值比较小,使得边缘信息尽量完整.因此在最大尺度空间,边缘可能是不完整的.1.2.2　图像的多尺度融合多尺度边缘的融合并不等于将不同尺度下的边缘简单相加,因为不同尺度的边缘检测算子对同一边缘的响应并不相同,因此在不同尺度的边缘增强图像中的位置也不相同,边缘相加必然会造成边缘冗余,同时噪声也没有得到抑制.本文利用多尺度边缘在位置、强度和方向上的联系,提出边缘传递、继承和生长3种处理方法来实现多尺度边缘的融合.尺度s+1上的3×3邻域中的像素是尺度s上局部模极大值点(i,j)的关联域,定义为F s,s+1(i,j).通过下面的判断式来确定尺度s上点(i,j)是否与尺度s+1关联.定义尺度s上局部模极大值点的集合为M,用C s,s+1(i,j)来表示s空间点(i,j)与s+1空间的相关性.则C s,s+1(i,j)=1　ϖ(m,n)∈F s,s+1(i,j)&(m,n)∈M s+1,st. Υs(i,j)-Υs+1(m,n) ≤Αo r Υs(i,j)-Υs+1(m,n)≥360°-Α0　else(5)其中Υs(i,j)和Υs+1(i,j)为尺度s,s+1上极大值点(i,j)的梯度方向,Α是为方向差设定的阈值.如果C s,s+1(i,j)=1,则说明尺度s上极大值点(i,j)是与尺度s+1上极大值点相关联的,否则不关联.(a)边缘传递如果尺度s上的极值点(i,j)不与尺度s+1关联,说明尺度s+1上的边缘信息传递不到(i,j).如果尺度s上的极值点(i,j)与尺度s+1关联,则认为尺度s上的极值点(i,j)是由尺度s+1中的某个边缘点(m,n)传递而来,在不同尺度空间反映图像中的同一边缘.经边缘传递后边缘点集合为B1s,s+1,其组成为 B1s,s+1={(i,j)∈M s C s,s+1(i,j)=1}(6)75第2期 郦丹芸等:基于小波变换的多尺度图像边缘检测(b)边缘继承尺度空间s+1上存在某些边缘点不与尺度上的任何边缘点关联,尺度s+1上这部分边缘信息需要保留,用B2s,s+1表示,其组成为B2s,s+1={(m,n)∈M s+1 Π(i,j)∈ M s,C s,s+1(i,j,m,n)=0} (7)其中C s,s+1(i,j,m,n)表示尺度s上点(i,j)与尺度s +1上点(m,n)的相关性.B1s,s+1表示从尺度s+1传递到尺度s的边缘,而B2s,s+1表示从尺度s+1空间继承下的边缘.引入I s,s+1和Υs,s+1来分别代表合成边缘模值和合成梯度方向,它们表示跨尺度融合后的边缘增强图和梯度方向图. I s,s+1(i,j)=I s+1(i,j),(i,j)∈B2s,s+1I s(i,j),　else(8) Υs,s+1(i,j)=Υs+1(i,j),(i,j)∈B2s,s+1Υs(i,j),　else(9)(c)边缘生长为了获得完整的边缘,不仅需要边缘的传递、继承,还需要边缘生长.在大尺度空间,为边缘选取较高的阈值T s,以减少噪声的干扰,这也导致了检测出的边缘的不完整性.在小尺度空间,降低阈值T s,虽然噪声的影响较大,但图像的边缘比大尺度空间完整,因此小尺度空间包含了比大尺度空间更多的边缘信息,也包含了更多的噪声边界.由于前面介绍的边缘传递仅在3×3的小窗口内进行,使得边缘信息无法传递到较远的地方.可以增大窗口的尺寸,但是在这种情况下相邻尺度有相关性的局部模极大值可能并不对应于同一边缘.因此本文利用小窗口迭代来实现边缘生长.将从尺度s+1和尺度s通过传递和继承获得的局部模极大值点集合B s,s+1另记为B0s,s+1,Υs,s+1另记为Υ0s,s+1,以此为基础,使得B0s,s+1在M s中迭代扩展.设第k次迭代之后的边缘点集合为B k s,s+1,k≥1.将M s中的像素(i,j)与B k-1s,s+1中的像素的相关性用D k-1s (i,j)表示.如果D k-1s(i,j)=1,表示M s中的像素(i,j)与B k-1s,s+1中的像素相关联;否则不关联.如果点(i,j)在B0s,s+1中是一个边缘的端点,而在M s中位于某个边缘的中间,B k s,s+1通过上述迭代,就会扩展到整个的边缘,完成边缘生长.多尺度边缘融合从最大尺度开始,先进行边缘传递;无法传递的大尺度边缘得到保留;然后在小尺度空间进行边缘的生长扩展.由于扩展只是在像素的8邻域范围内逐步进行,并且有方向的限制,因此可以克服噪声边缘的干扰.以上步骤逐层向下进行,最后得到多尺度融合的边缘.2　实验结果分析下图1中(a)是一幅SA R图像,对图像进行小波变换,图1(b)2(f)是经过5级小波变换后获得的高于给定门限局部模极大值点位置图,即各尺度下的边缘图,尺度分别为s=2,3,4,5,6.从边缘图可以看出,随着尺度的增大,噪声逐渐减少,边缘逐渐平滑.在尺度2时,噪声的影响非常大,边界比较破碎;尺度s=6为最大尺度,提取的边缘体现了原图中的主要边缘,基本不受噪声的影响,但是边缘失真比较严重,且提取的边缘不完整,对于某些连续的边缘,只检测出其中的一段,但是在小尺度空间可以较完整地检测出来.因此需要利用最大尺度空间提供的位置信息,融合各尺度的信息,合成精确的边缘.运用本文提出的多尺度融合算法,结果如图1(g)2(j)所示.通过逐层融合,原来断裂的边缘连接起来,而且边缘位置越来越贴近实际边缘位置.对于本文所选取的小波函数,各尺度下的极值点检测相当于图像的Canny边缘检测.与尺度2、3、4、5下的边界相比,多尺度融合获得的边界有效地抑制了噪声干扰;与尺度6下的边界相比,多尺度融图1　各尺度下边缘检测结果85 阜阳师范学院学报(自然科学版) 第24卷图2　传统的边缘检测算子检测结果合获得的边界定位更准确,边界更完整.图2中(l )为Canny 算子,(m )Sobel 算子,(n )为LO G 算子检测出的边界,通过比较可以看出:对于受强烈噪声污染的SA R 图像,用Canny 算子检测出的边缘较模糊,去噪效果差,在定位精度、精确检测等方面都不如本文采用的方法.与其他边缘检测算子的比较可以获得相似结果.参考文献[8、9]给出了其他基于小波变换的图像边缘检测方法.文献[8]利用多尺度分解获得LL 空间的细节图,然后对细节图进行中值滤波抑制噪声的干扰,对滤波后图像二值化后利用Sobel 算子检测边缘.该方法实际仅利用某一尺度下的细节图进行边缘检测,没有考虑到不同尺度边缘的关联.文献[9]在对相邻尺度的边缘进行信息融合时,仅对链的端点进行处理,没有考虑到不同尺度下,提取的边缘定位的不同.仅利用端点进行融合减少计算量,但是获得的融合边缘定位会有误差,并且这种方法边缘的补充有限.本文方法通过边缘生长可以充分实现不同尺度的边缘互补.因此从机理上说,本文的方法更优越.3　结论本文根据信号边界与噪声边界的小波变换模值跨尺度传递的不同特性,讨论了不同尺度的检测算子检测的边缘所具有的特点,在此基础上提出由边缘传递、继承和生长构成的多尺度边缘关联融合算法.(1)由于小波变换有多尺度的特点,可以利用多尺度特性,通过细节和粗节进行逼近,强于其他经典算法.(2)在边缘和噪声的取舍中,由于二者均为高频信号,很难用频带划分.使用小波变换的方法,使得可在大尺度下抑制噪声,小尺度下,得到边缘的真实位置;而传统的和经典的边缘检测算法则在此问题上不能提供有效的解决办法.不论选用怎样的小波函数,都可以利用上述算法进行多尺度边缘融合.实验表明该方法可以有效抑制噪声的干扰,同时保证融合边界的完整性和定位的准确性.参考文献[1]　刘贵忠,邸双亮.小波分析及其应用[M ].西安:西安电子科技大学出版社,1995:1742289.[2]　王　涛.模糊多尺度边缘检测算法的研究[J ].微计算机信息,2006,22(1023):3042306.[3]　M arr .视觉计算理论[M ].姚国正,刘　磊,汪云九,译.北京:科学出版社,1988:2562260.[4]　Young R A .Si m ulati on of H um an R etinal Functi on w ith the Gaussian D erivative M odel [J ].IEEE the Computer SocietyConference on Computer V isi on and Pattern R ecogniti on .M ich igan U SA ,1988,8(6):5642569.[5]　程正兴.小波分析算法与应用[M ].西安:西安交通大学出版社,1998:1682257.[6]　陈　虹.基于小波变换的多尺度图像边缘检测[J ].首都师范大学学报(自然科学版),2004,25(12):326.[7]　施成湘.扩展的多尺度模糊边缘检测计算机工程与应用2006,7:65268[8]　赵志钦,王建国.SA R 图像的边沿检测方法研究电子科技大学学报,2000,29(3):2252228.[9]　刘宏兵,杨万海.图像小波边缘提取中阈值选取的一种自适应方法[J ].西安电子科技大学学报,2000,27(3):2942296.I mage Edge D etection Ba sed On M ultisca le W avelet Tran sformL I D an 2yun1,2,TAO L iang 1,ZHAN X iao 2si 2(1.S chool of Co m p u ter S ience ,A nhu i U niversity of Ch ina ,H ef ei A nhu i ,230039,Ch ina ;2.D ep art m ent of Co m p u ter ,F uy ang T eachers Colleg e ,F uy ang A nhu i ,236041,Ch ina )Abstract :T he edge ,as the mo st basic characteristic of i m ages ,is an i m po rtant content of obtaining info r m ati on of ap icture .T he w avelet transfo r m can detect part m utati on ,and can do it com bining m ultiscale info r m ati on ,so w avelet has be 2com e a good too l of detecting info r m ati on of edge i m ages .In th is paper ,a m ultiscale Gaussian edge detecto r is constructed .A cco rding to transfer p roperties acro ss scales of the w avelet modules of the signal edge and the no ise edge ,w e com bine the p roperties of edges in different scales and p ropo se a m ulti 2scale edge fusi on algo rithm consisting of edge transfer ,edge inherit and edge grow th .T he result of experi m ents show s that th is algo rithm can get rid of the affect of no ise and the edges fused have p recise po siti on and intact contour .Key words :i m age p rocess ;edge detecti on ;m ultiscale w avelet transfo r m ;w avelet95第2期 郦丹芸等:基于小波变换的多尺度图像边缘检测。

基于小波变换的图像边缘检测算法仿真实现学生姓名：XX指导教师：xxx专业班级：电子信息学号：00000000000学院：计算机与信息工程学院二〇一五年五月二十日摘要数字图像边缘检测是图像分割、目标区域识别和区域形态提取等图像分析领域中十分重要的基础，是图像识别中提取图像特征一个重要方法。

目前在边缘检测领域已经提出许多算法，但是提出的相关理论和算法仍然存在很多不足之处，在某些情况下仍然无法很有效地检测出目标物的边缘。

由于小波变换在时域和频域都具有很好的局部化特征，并且具有多尺度特征，因此，利用多尺度小波进行边缘检测既能得到良好的抑制噪声的能力，又能够保持边缘的完备。

本文就是利用此方法在MATLAB环境下来对数字图像进行边缘的检测。

关键词：小波变换；多尺度；边缘检测AbstractThe boundary detection of digital image is not only the important foundation in the field of image segmentation and target area identification and area shape extraction, but also an important method which extract image feature in image recognition.Right now, there are a lot of algorithms in the field of edge detection, but these algorithms also have a lot of shotucuts, sometimes, they are not very effective to check the boundary of the digital image. Wavelet transform has a good localization characteristic in the time domain and frequency domain and multi-scale features, So, the boundary detection of digital image by using multi-scale wavelet can not only get a good ability to suppress noise, but also to maintain the completeness of the edge.This article is to use this method in the environment of MATLAB to detect the boundary of the digital image.Keywords: wavelet transform; multi-scale; boundary detection.目录摘要 .................................................................................................................................... I Abstract ................................................................................................................................. II 1 绪论 . (1)1.1 研究背景 (1)1.2 图像边缘检测概述 (2)1.3 边缘检测的现状 (2)2传统的边缘检测方法 (6)2.1 Roberts 算子 (6)2.2 Sobel 算子 (6)2.3 Prewitt 算子 (7)2.4 Kirsch 算子 (7)2.5 Laplace 算子 (8)2.6 LOG 算子 (8)2.7 Canny 算子 (9)2.8 算法实现和结果分析 (10)3基于小波变换的图像边缘检测 (13)3.1 小波变换基础理论 (13)3.1.1连续小波变换 (13)3.1.2二维小波变换 (13)3.1.3多分辨分析及双尺度方程 (14)3.2 选取小波基的一般原则 (15)3.3 小波变换算法实现 (16)4 在MATLAB环境下的算法仿真实现和结果分析 (17)4.1 MATLAB简介 (13)4.1.1 MATLAB软件简介 (13)4.1.2 MATLA的应用 (13)4.2 算法仿真实现和结果分析 (13)结论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)附录 (24)1 绪论本章节重点阐述了图像边缘检测技术的探究状况与其历史,解释了基于小波变换的边缘检测技术的探究目的。

第一章图像边缘的定义引言在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。

图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。

由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。

根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。

经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。

这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。

由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。

于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。

小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。

小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。

小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。

利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。

常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。

§1.1信号边缘特征人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。

人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。

基于小波变换的多尺度图像边缘检测matlab源代码基于小波变换的多尺度图像边缘检测matlab源代码(在Matlab7.0下运行) clear all;load wbarb;I = ind2gray(X,map);imshow(I);I1 = imadjust(I,stretchlim(I),[0,1]);figure;imshow(I1);[N,M] = size(I);h = [0.125,0.375,0.375,0.125];g = [0.5,-0.5];delta = [1,0,0];J = 3;a(1:N,1:M,1,1:J+1) = 0;dx(1:N,1:M,1,1:J+1) = 0;dy(1:N,1:M,1,1:J+1) = 0;d(1:N,1:M,1,1:J+1) = 0;a(:,:,1,1) = conv2(h,h,I,'same');dx(:,:,1,1) = conv2(delta,g,I,'same');dy(:,:,1,1) = conv2(g,delta,I,'same');x = dx(:,:,1,1);y = dy(:,:,1,1);d(:,:,1,1) = sqrt(x.^2+y.^2);I1 = imadjust(d(:,:,1,1),stretchlim(d(:,:,1,1)),[0 1]);figure;imshow(I1);lh = length(h);lg = length(g);for j = 1:J+1lhj = 2^j*(lh-1)+1;lgj = 2^j*(lg-1)+1;hj(1:lhj)=0;gj(1:lgj)=0;for n = 1:lhhj(2^j*(n-1)+1)=h(n);endfor n = 1:lggj(2^j*(n-1)+1)=g(n);enda(:,:,1,j+1) = conv2(hj,hj,a(:,:,1,j),'same');dx(:,:,1,j+1) = conv2(delta,gj,a(:,:,1,j),'same');dy(:,:,1,j+1) = conv2(gj,delta,a(:,:,1,j),'same');x = dx(:,:,1,j+1);y = dy(:,:,1,j+1);dj(:,:,1,j+1) = sqrt(x.^2+y.^2);I1 = imadjust(dj(:,:,1,j+1),stretchlim(dj(:,:,1,j+1)),[0 1]);figure;imshow(I1); End边缘提取的简介：边缘检测一种定位二维或三维图像中的对象的边缘的系统。

基于小波变换多尺度边缘检测分析解读小波变换是一种时频分析方法，具有多尺度分析的特点。

在图像处理领域中，小波变换被广泛应用于边缘检测。

在这篇文章中，我们将通过分析小波变换多尺度边缘检测的原理和方法，来解读其应用和优势。

首先，我们需要了解小波变换的基本原理。

小波变换可以将信号在时间域和频率域上进行分析，通过选择不同的小波函数（母小波），可以实现不同尺度的信号分析。

小波变换将信号分解成不同频率的子信号，这些子信号可以对应图像的不同特征。

在边缘检测中，我们希望能够提取出图像中明显的边缘特征。

传统的边缘检测算法，如Sobel算子、Canny边缘检测等，只能提取出单一尺度的边缘特征。

而小波变换可以通过选择不同的小波函数，实现多尺度的特征提取。

多尺度边缘检测算法的基本思想是，在不同尺度下，对图像进行小波变换，并提取出具有边缘特征的子信号。

然后将这些子信号进行重构，得到多尺度边缘图像。

具体而言，多尺度边缘检测算法包括以下几个步骤：第一步，选择合适的小波函数。

小波函数的选择会影响边缘检测的效果。

常用的小波函数有Haar小波、Daubechies小波等。

第二步，对图像进行小波变换。

通过选择不同尺度的小波函数，对图像进行小波变换，得到不同频率的子信号。

第三步，提取具有边缘特征的子信号。

根据不同尺度下的边缘特征，选择适当的阈值，将边缘信号从其他噪声信号中分离出来。

第四步，将提取出的边缘信号进行重构。

通过将不同尺度的边缘信号进行重构，得到多尺度的边缘图像。

多尺度边缘检测的优势在于它可以提取出不同尺度的边缘特征。

在实际应用中，图像中的边缘通常具有不同的宽度和强度。

传统的边缘检测算法往往只能提取出其中一特定尺度的边缘特征，而多尺度边缘检测能够提取出多个尺度的边缘特征，从而更全面地描述图像中的边缘结构。

此外，多尺度边缘检测还可以在一定程度上消除图像中的噪声。

由于不同频率的子信号对应着不同尺度的特征，对较高频率的子信号进行阈值处理，可以去除图像中的高频噪声。

小波多尺度方法用于边缘检测Keita Alp ha 彭嘉雄 华中科技大学图像识别与人工智能研究所 图像信息处理与智能控制教育部重点实验室摘要 : 小波极大值表达式给出了重构图像信息的一种新方法 ,它能从图像边缘的属性上扩展解决图像处理问 题的方法. 由此提出小波多尺度方法对边缘进行检测和重构. 实验结果表明图像近似值可以从小波模极大值 点中重构 ,而视觉效果却不受影响. 关 键 词 : 图像处理 ;小波变换 ;边缘检测 中图分类号 : TP75文献标识码 : A文章编号 : 100028616 (2001) 0620074203边缘可以定义为图像上灰度发生强烈变化的 点. 但有时图像纹理也会发生强烈的灰度变化 ,但 是却不被看作边缘. 相对于纹理辨别 ,边缘检测要 依靠尺度分析 ,这促使计算机图形研究人员检测 不同尺度下的强图像变化1 ,2 . 它等同于在二维二进小波变换中3,边缘点的 Lip schitz 正则性从 各尺度下小波模极大值点的衰变中获得. 它还显 示图像近似值可以从这些小波模极大值点中重 构 ,而视觉效果却不受影响.1 . 1 多尺度边缘检测这个边缘检测器的某个多尺度形式是通过用一个可伸缩的卷积核θ, 对表面进行平滑而实现 的. 这可以用两个θ的偏导数的小波计算出来 :Ψ1 Ψ2 = - 5θ/ 5 x ; = - 5θ/ 5 y . ( 2) 尺度沿着二进序列{ 2 j} j ∈z 变化 , 限制着计算量和存储量. 对于 1 ≤k ≤2 , 有Ψk i ( x , y ) = ( Ψk / 2 i ) ( x / 2 i , y/ 2 i ) ;2 Ψ¯ k i ( x , y ) = Ψk i( - x , - y ) .2 2指数在 1 ≤k ≤2 范围时 , f ∈L 2 ( R 2) 的二进小波 变换在两个方向上为图像的极大小波1 W k f ( u , v ,2 i ) =〈f ( x , y ) , Ψki ( x -2 C anny 边缘检测. 对于图像 f ( x , y ) , C annyu , y - v ) 〉= f Ψ¯ ki ( u , v ) .( 3)2 算法通过计算它的梯度向量 点 , 其中 ,f 来检测强变化的文献 [ 1 ] 给出了获得一个完全和稳定的表达式的必要和充分条件.进一步 , 定义 f = ( 5 f / 5 x , 5 f / 5 y ) T .( 1)在平面 ( x , y ) 上 , f 沿单位向量 n = ( a , b ) 方向 上的偏导数可通过与一个梯度向量作内积计算出 来 , 即θ i ( x , y) = (θ/ 2 i ) ( x / 2 i , y / 2 i) 2 θ¯ i ( x , y ) = θ i ( - x , - y) , 和2 2 双尺度小波可以重写为5 f5 f 5 f 1 i = f n = 5 x a + 5 yb .Ψ¯ 2 i = 2 ( 5θ¯2 i / 5 x) ; 5 nΨ¯ 2 i = 2 i ( 5θ¯ i / 5 y ) . 如果 n 与 f 共线 , 这个偏导数的绝对值最大. 这表明 f 与表面 f ( x , y) 的最大变化的方向平行. 如果 ( x , y ) 在一个平行于 f ( x 0 , y 0 ) 的 22 这样 , 从式 ( 3) 可以导出 , 小波变换分量与被 θ¯2 i平滑的 f 的梯度向量的坐标成比例 , 即1 i ) 2i ) ) T ( W f ( u , v , 2 , W f ( u , v , 2 =( x 0 , y 0 ) 的一维邻域内 , 同时 ( x 0 , y 0 ) 上局部最大 , 那么点 义为一个边缘点. 这意味着 f f ( x , y )( x 0 , y 0 ) 的模在就被定 ( 5/ 5 u ) ( f θ¯2 i ) ( u , v ) ( 5/ 5 v ) f θ¯2 i ) ( u , v) 2i=偏导数的幅度在2( f θ¯2 i ) ( u , v ) . i( x 0 , y 0 ) 达到一个局部最大 , 这些边缘点是 f 的反射点. ( 4)这个梯度向量的模与小波变换的模收稿日期 : 2000212215 .第6 期 Keit a Alp h a . 等 : 小波多尺度方法用于边缘检测75M | f ( u , v , 2 i ) | = | W 1 f ( u , v , 2 i ) | 2 +梯度向量点位于表面灰度极大变化的方向上 , 角度 A | f ( 2 i , u 0 , v 0 ) | 几乎与经过 ( u , v ) f θ¯2 i| W 2 f ( u , v , 2 i ) | 2 ]1/ 2的 ( 5)的边缘曲线的正切正交. 在离散计算中 , 如果联结这两个点的向量在这些点与 A | f ( 2 i , u 0 , v 0 ) | 方 向的角度垂直 , 就连接这样两个相邻的小波模极保持一定的比例 , 并且它的角度同平面( x , y ) 上 A | f ( u , v , 2 i ) | 的小波变换向量( 4 ) 的角度 等. 设相 1 2 大值点. 图 2 中 , (a ) i i{ Wf ( u , v , 2 ) } 1 ≤i ≤7 . ( b ) W f ( u , v , 2 )α = arctan,W 1 f ( u , v , 2 i){ W 2 f ( u , v , 2 i) } . ( c ) { M | f ( u , v ,模1 ≤i ≤7 那么2 i) | } 1 ≤i ≤7 . ( d ) { A | f ( u , v , 2 i ) | } 1 ≤i ≤7 . (e ) α,i W 1 f ( u , v , 2 i) π - α, i W 1 f ( u , v , 2 i ) 最大. (f ) 模值大于门限的极大值点.≥0 ; A | f ( u , v , 2 i) | =< 0 .( 6)对于多尺度边缘点 ( u 0 , v 0 ) , 沿着 A | f ( 2 i, u 0 , v 0 ) | 给出的角度方向 , M | f ( u , v , 2 i ) | 在 ( u 0 , v 0 ) 的一维邻域达到局部最大. 这些点也叫做小 波变换模极大点. 如图 1 所示 , 小波模极大点是 沿着圆周线分布的. 图中 , 位于上面的初始圆图像有 N 2 = 1282个像素. ( a ) 为水平方向的小波变换 , 尺度为 2 i , 从顶端向底部增长 { W 1f ( u , v ,2 i) } 1 ≤i ≤7 . 黑 , 灰色和白色像素分别对应于负 , 零和正值. ( b ) 为垂直方向的小波变换 , { W 2 f ( u ,v ,2 i) } 1 ≤i ≤7 . ( c ) 为小波变换模 { M | f ( u , v , 2 i) | } 1 ≤i ≤7 . 白色和黑色的像素分别对应于零和大幅度系数. ( d ) 角度 { A | f ( u , v , 2 i) | } 1 ≤i ≤7 位(a )( b )(c )( d )(e )(f )图 2 L e na 图像的分解Lip s chitz 正则性二维小波变换的衰变依赖 f 的正则性. 将分1 .2 析限制在 Lip s chitz 指数 0 ≤α ≤1 . 称函数 f 在 ( x 0 , y 0 ) 点 Lip s chitz 指数为α, 如果存在 K > 0 , 对于所有 ( x , y ) ∈R 2 , 满足| f ( x , y ) - f ( x 0 , y 0 ) | ≤于模为非零时的点. ( e ) 为黑色.小波模极大值点的像素 K ( | x - x 0 | 2 +| y - y 0 | 2 ) a/ 2 .( 7)如果存在 K > 0 , 任何( x 0 , y 0 ) ∈Ω 满足式 ( 7) , 那么称 f 在Ω 上 Lip s chitz 指数一律为α. 就像在一维 , 函数 f 的 Lip s chitz 正则性与对应邻域 的渐进衰变| W 1 f ( u , v , 2 i ) | 和 | W 2 f ( u , v , 2 i) | 相关.这个衰变由 M | f ( 2 i , u , v ) | 控制. 如文献[ 4 ] 定理 6 23 , 当且仅当 A 3> 0 , 对于所有在这个范围中的 ( u , v ) 和所有为 2 i的尺度 , f 在有界 范围 R 2 有 Lip s chitz 指数α, 且有≤ A 3 2 i ( a +1).M | f ( u , v , 2 i) | ( 8)假设图像有一个沿着 f 的 Lip s chitz 正则指数为 α 的 边 缘 曲 线. 在 边 缘 曲 线 的 二 维 邻 域M | f ( u , v , 2 i) | 可以由沿着边缘曲线的小波模 值来界定. 边缘的 Lip schitz 正则性通过测量沿尺 度的模幅度的衰变指数随同式 ( 8) 来估计. 如果(a )( b )(c )( d )(e )图 1 圆图像的边缘在图像平面内 , 沿曲线分布的边缘点往往对应着图像的重要结构边界. 为了重构这些边缘曲 线 , 可以把孤点的小波模极大值点连接起来. 既然华 中 科 技 大 学 学 报2001 年76f 非奇异但沿着边缘具有一个平滑转移 , 平滑可以被一个二维 G aussian 模糊的方差量化. 这个方 差σ2 是通过广义定理[ 4 ]来予以估计的.1 . 3 边缘重构在视觉理论中 , Marr 1猜测图像可以由多尺 度边缘得以重构. 对一个 C anny 边缘的检测器 ,这等于从小波模极大值恢复图像. 即使二进小波 极大值具有非完全性 , Mallat 和 Zho ng 3 算法也 能计算出一个原图像的近似 ,且看上去与原来那 个图像相似.封闭边缘曲线以及理解虚幻的轮廓线要求与 多尺度微分算子局部不同的计算模型. 合并具有 期望正则性的轮廓线的全局最优化方法 , 给出了 封闭边缘曲线和理解虚幻轮廓线的意义的战略性 建议.(a )(b )图 3 L e na 图像的重构(c )(a ) 原始图像 , ( b ) 图 2 ( e ) 显示的小波极大值构造 的结果. (c ) 从图 2 (f ) 显示的小波门限化极大值构造的结果过 20 次迭代 , 相关均方重构误差为 ‖¯f - f ‖/ ‖f ‖= 4 ×10 - 3 . 边缘门限解释了图像结构从图3 (c) 中所显示的重构中消失的原因.感谢法国 C. M . A . P Ecole Polytechnique的 Emmanuel Bacry 博士 , S tep h en Mallat 教授和J a cque f r o ment 博士等给作者提供的资料和软件.试验与结论2 图 1 中的圆形图像的二进小波变换产生沿着圆具有高幅度的模图像 M | f ( 2 i , u , v ) | . 既然梯 度向量与圆垂直 , 那么角 A | f ( 2 i , u , v ) | 在 0 到 2π的范围内 ,沿着周线变化. 图 2 中所示的 L ena 图像 ,当尺度增加时 ,某些边缘消失. 这些都对应 于细尺度下的剧烈变化 ,被尺度逐步增加而平均 掉. 请注意这个平均同样会修正余留下的边缘的 位置. 图 2 (f ) 显示了模值在门限之上的小波最大 值点. 它们给出图像具有大幅度变化的边缘的位 置. 图 3 ( b ) 中重构的图像视觉上与原图像是一样 的. 它是通过 10 次共轭梯度迭代予以恢复的. 经参考 文 献1Marr D. Visio n . S an Fransisco : W. H. Freeman and C o . , 1982 .2 R o senf eld A , Thursto n M . Ed ge and Curve Det ectio nfo r Visual S ceneanalysis. I E EE Trans. C o m p u t . ,1971 , 20 : 562～5693 Mallat S , Zho n g S. Charact erisatio n of S ignals f r o mMu ltiscale Edges. I EEE Trans. Pat t . Recog. and Mach. Int ell . , 1992 , 14(7) : 710～732 4 S t e p h ane Mallat . A Wavelet To ur of S ignal Processing.S an Dieg o : Academic Press , 1999 .Wavel et Mul t i scal e f or Edge Detect i onKei t a A l p h aPen g J i a x i on gAbstract : The wavelet ma xima rep r esentati o n is a new reo r ganizati o n of an image info r mat i o n in o r der to solve t he image p rocessing p ro blem f ro m t he p roperties of t he image edges. The multiscale met h o d of wavelet fo r edge detecti o n and reco nst ructi o n is p resented. The e x periment show s t hat image app ro xim ati o n may be reco n st r ucted f ro m t h e wavelet m o d ulus ma xima wit h o u t t h e visual degradati o n . K ey w ords : image p rocessing ; wavelet t ransfo r m ; edge detecti o nK eita Al pha Docto r al C andidate ; Instit u te of Pat t er n Recogniti o n & A I , HU S T Wuhan 430074 , China .。