因式分解—运用公式法

- 1 - 公式法因式分解

公式法因式分解是一种有效的数学方法，它可以帮助我们快速找出复杂的表达式的因式分解结果。它的基本原理是，通过运用因式的定义和性质，将一个复杂的表达式分解成若干个简单的因式，从而得到它的因式分解式。

因式分解是一个十分复杂的概念，它涉及到多个关键概念，如因式、因数、展开式、积式、系数、系数和系数等。因式分解的过程可以概括为：①将一个表达式分为因式；②将这些因式各自因数分解；③用展开式、积式等简单形式重新构造出因式分解式。

公式法因式分解的基本思想是，将一个复杂的多项式以特定的形式分解成若干个因式，从而使其因式分解式更加清晰明了。

例如，将多项式2x2+7x+6分解成因式，可以先将其分解成展开式2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，再重新构造出它的因式分解式：2x2+7x+6=(2x+3)(x+2)，这样就得到了它的因式分解式了。

公式法因式分解的步骤如下：①根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式；②把每个因式因数分解；③用展开式、积式等形式重新构造出因式分解式。本文将从实例出发，重点介绍公式法因式分解的实践方法。

首先，根据多项式的式子把它分解成若干个简单的因式。需要特别注意的是，分解时一定要满足因式分解的特殊性质，即每个因式至少有一个非零系数。例如：将多项式2x2+7x+6分解成展开式 - 2 - 2x2+7x+3x+3，再进行因式分解：2x2+3x+3=(2x+3)(x+1)，即可满足因式分解的特殊性质。

其次，要把每个因式的因数分解出来，以便重新构造出因式分解式。这一部分最重要的是，要能够分解出每一组因式的因数，具体的方法是，把因式的项的系数分别乘起来，得到它的常数项，再根据它的单项式把它分解出对应的因数，就可以得到完整的因式分解式了。

最后，要把因式按照正确的形式重新构造出因式分解式。首先，要根据因式分解的特殊性质重新排列因式，使每个因式的非零系数在因式分解式的头部；其次，要把多项式的最高次数项保留，其他项按降幂排序；最后，要对除系数外的各项因数进行乘积运算，把它们组合成因式分解式。

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12.5 因式分解

一、课题： 12.5 因式分解（第二课时—公式法）

二、教学目标：

1、能熟练运用公式将多项式进行因式分解.

2、能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.

3、提高对因式分解的认识和将多项式因式分解的能力.

重点：掌握公式法进行因式分解.

难点：找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.

三、教学过程：

（一）读一读：

学生自主学习课本第44页例题1（3）（4）的内容，回答下列问题：

1.我们学过哪些乘法公式？请把公式表示出来.

2.乘法公式如果反过来用，它们的结果都是什么形式?能够成为什么公式呢？

这些公式用语言可以怎样叙述？

3.用这种方法对多项式进行因式分解的方法叫( )

（二）查一查：

下列各式能否用公式来分解因式？如果可以，应分解成什么式子？如果不可以，请说明理由.

(1)x2-4x+4； (2)1+16a2 (3)4x2+4x-1； (4)x2+6x+9

（三）学一学

例1、对下列多项式进行因式分解：

（1）25x2 -16y2

（2）-z2+(x-y)2

分析：以上各式均满足使用( )公式分解因式的条件，所以可直接利用( )公式进行因式分解.

例2 把多项式x2+4xy+4y2分解因式．

分析：(1)判断左边是否为完全平方式．

(2)判断中间一项是哪两个数积的二倍．

(3)看清中间一项的符号，写出因式分解结果

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例3. 把下列多项式分解因式

(1) 4x3y+4x2y2+xy3

(2) 3x3 -12xy

先用( )方法分解因式,再用( )方法分解因式.

（四）练一练:

课本45页练习题

（五）比一比：(学生独立完成)

1.把下列各式分解因式：

（1）-492+x2 （2）4(x+m)2 -(x-m)2

2.把下列各式分解因式：

因式分解(超全方法)

因式分解的常用方法

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，研究这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。本文将在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍。

一、提取公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法：在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

1) (a+b)(a-b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a+b)(a-b)；

2) a^2-b^2=(a+b)(a-b)； 3) (a+b)(a-ab+b) = a^2+b^2，a^2+b^2=(a+b)(a-ab+b)；

4) (a-b)(a+ab+b) = a^2-b^2，a^2-b^2=(a-b)(a+ab+b)。

下面再补充两个常用的公式：

5) a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2；

6) a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)。

练题：已知a，b，c是三角形ABC的三边，且a+b+c=ab+bc+ca，则三角形ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形

三、分组分解法

一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am+an+bm+bn=

m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)

例2、分解因式：2ax-10ay+5by-bx=2a(x-5y)-b(x-5y)=(2a-b)(x-5y)

练题：分解因式1、a-ab+ac-bc2、xy-x-y+1

二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x-y+ax+ay=(a+1)(x-y)

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——提取公因式与运用公式法

【学习目标】（1）让学生了解什么是因式分解；

（2）因式分解与整式的区别；

（3）提公因式与公式法的技巧。

【知识要点】

1、提取公因式：型如()mambmcmabc，把多项式中的公共部分提取出来。

☆提公因式分解因式要特别注意：

（1）如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。

（2）如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。

（3）有时要对多项式的项进行适当的恒等变形之后（如将a+b-c变成-（c-a-b）才能提公因式，这时要特别注意各项的符号）。

（4）提公因式后，剩下的另一因式须加以整理，不能在括号中还含有括号，并且有公因式的还应继续提。

（5）分解因式时，单项式因式应写在多项式因式的前面。

2、运用公式法：把我们学过的几个乘法公式反过来写就变成了因式分解的形式：

22ababab； 2222aabbab。

平方差公式的特点是：(1) 左侧为两项；(2) 两项都是平方项；(3) 两项的符号相反。

完全平方公式特点是: (1) 左侧为三项；(2) 首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；

(3) 中间项是首末两项的底数的积的2倍。

☆运用公式法分解因式，需要掌握下列要领：

（1）我们学过的三个乘法公式都可用于因式分解。具体使用时可先判断能否用公式分解，然后再选择适当公式。（2）各个乘法公式中的字母可以是数，单项式或多项式。

（3）具体操作时，应先考虑是否可提公因式，有公因式的要先提公因式再运用公式。