《矩阵的秩的等式及不等式的证明》
- i - 摘 要
矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，它具有许多的重要性质.本文总结归纳出了有关矩阵的秩的等式和不等式命题，以及证明这些命题常用的证明方法，即从向量组、线性方程组、线性空间同构、矩阵分块、矩阵初等变换等角度给出多种证明方法.本文主要解决以下几个问题：用矩阵已知的秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用线性空间的方法证明矩阵秩的等式和不等式问题；用向量组秩的理论证明矩阵秩的等式和不等式问题；用矩阵分块法证明秩的等式和不等式问题.
湖南科技大学2011届本科生毕业论文
- ii - 目 录
第一章 绪论 ········································································· 1
第二章 预备知识 ··································································· 2
第三章 用矩阵的秩的理论证明秩的等式和不等式 ························· 3
第四章 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式 ························· 6
第五章 用向量组秩的理论证明秩的等式和不等式 ······················· 10
第六章 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式 ····························· 15
第七章 小结 ················································· 错误!未定义书签。
参考文献 ··········································································· 23
致 谢 ················································································ 2
课程名称（中文）：矩阵论
课程名称（英文）： Matrix Theory
一）课程目的和任务：本课程是泛应用数学包括计算数学、运筹与控制特别是组合与图论、应用数学等专业的一门共同的基础课，主要讲授矩阵的分析性质和组合性质。课程的目的和任务是让学生掌握矩阵论的基本知识和思想方法、了解该领域的某些最新成果、通过利用数学其他分支的工具来解决矩阵问题以及用矩阵解决其他领域的问题加深对数学的认识并且增加数学修养。教材内容强调以下几方面的标准：1）重要，2）优雅，3）巧妙，4）有趣。矩阵论在科学与工程计算、控制论、系统论、信息论、信号处理、计算机科学、经济学、组合与图论、运筹学、统计学、概率论、微分方程、数学物理、动力系统等领域都有应用。矩阵论一方面是有用的工具，另一方面也是目前一个活跃的研究领域。
二）预备知识：线性代数，数学分析
三）教材及参考书目：
教材：Matrix Theory by X. Zhan, 讲义，已投稿到出版社
参考书目：1）《矩阵论》，詹兴致著，高等教育出版社，2008年
2）Matrix Analysis, R. Bhatia著, GTM 169, Springer, New York, 1997
四）讲授大纲（中英文）
第一章 预备知识
1）特殊矩阵类
2）特征多项式
3）谱映射定理
4）特征值和对角元
5）范数
6）矩阵乘方序列的收敛性
7）矩阵分解
8）数值范围
9）多项式的伙伴矩阵
10）广义逆
1 第二章
2.1
初等倍加矩阵 (,())Eijk
既可以看成把单位矩阵的第j
行k
倍加到第i
行；
也可以看成把单位矩阵的第i
列k
倍加到第j
列；
例如：三阶初等倍加矩阵 100
(2,3(5))015
001E
既可以看成把三阶单位矩阵的第3行5倍加到第2行；
也可以看成把三阶单位矩阵的第2列5倍加到第3列；
用初等倍加矩阵 (,())Eijk
左乘矩阵A
时，改变A
的第i
行；
用初等倍加矩阵 (,())Eijk
右乘矩阵A
时，改变A
的第j
列；
结论：左乘变行，右乘变列。
例如：二阶初等倍加矩阵 12
(1,2(2))
01E
1212710
013434
（左乘变行）
这时，把12
(1,2(2))
01E
看成：
二阶单位矩阵的第2行两倍加到第1行；
121214
3401310
（右乘变列）
这时，把12
(1,2(2))
01E
看成：
二阶单位矩阵的第1列两倍加到第2列；
2 以二阶初等矩阵为例，验证
1）1
(,)(,)EijEij
例如：二阶初等对换矩阵01
(1,2)
10E
010110
(1,2)(1,2)
101001EE
1
(1,2)(1,2)EE
2) 11
(())(())EikEi
k
例如：二阶初等倍乘矩阵0
(1())
01k
Ek
1
010
0
1
(1())(1())
0101
01k
EEk
k
k
11
(1())(1())EkE
k
3）1
(,())(,())EijkEijk
例如：二阶初等倍加矩阵1
(1,2())
01k
Ek
1110
(1,2())(1,2())
010101kk
EkEk
1 《矩阵理论》课程教学大纲 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Matrix Theory 2、课程类别：基础课程 3、课程性质：学位课 4、课程学时：总学时 36 5、学分：2 6、先修课程：《线性代数》 7、授课方式：多媒体演示、演讲与板书相结合，讨论 8、适用专业：适用于理、工等专业 9、 大纲执笔：应用数学教研室 10、大纲审批：理学院教授委员会 11、制定(修订)时间：2015年6月 二、课程的目的与任务 《矩阵理论》是《线性代数》的后继课程，主要讲授线性空间与线性变换，内积空间，矩阵的标准形，矩阵分解，范数理论及其应用等内容。矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域（如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等）都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。 开设本课程的目的是不仅使学生系统地获得矩阵分析的经典结果和现代结果，在数学的抽象性、逻辑性与严密性方面受到必要的训练和熏陶，使他们具有理解和运用逻辑关系、研究和领会抽象事物的能力，培养学生用矩阵分析的方法去思考问题的意识和兴趣，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力与归纳判断能力、空间想象能力与数值计算能力，特别培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力，为学生将来进行科学研究奠定良好的基础。 三、课程的基本要求 本课程的教学要重视矩阵分析的历史背景知识介绍，要注重基本概念和定理的几何背景和实际应用背景的介绍，要充分展示基本概念的形成过程，每个概念的引入应遵循实例——抽象——概念的形成过程，多角度说明有关概念的实质；要加强对基本数学方法的介绍，传授一些数学科学的基本学习方法和研究方法，强调在解决实际问题中有重要应用的数学思想方法，揭示重要数学方法的本质；要结合节次教学内容，增加具有启发性和讨论性的内容，加强应用实例的介绍，特别是一些来自实际的真实问题的解决方法介绍，对传统教学内容的应用问题进行更新和充实，扩大信息量，灵活采用探究式、启发式和讨论式等教学方法，做到抽象内容与具体例题相结合，教师提问与学生回答相结合，教师授课与学生练习相结合，要掌握好例题的难易程度，对例题要有分析、解答和归纳总结，充分调动学生学习数学的主动性和创造性，活跃课堂气氛；要突出矩阵分析的基本思想，要适当渗透一些现代数学思想，引入一些现代数学观点、概念、方法和术语等，为学生进一步接触现代数学奠定了一定基础。 本课程的教学基本要求是充分理解矩阵分析的背景思想及数学思想；掌握矩阵分析的基本概念和基础理论，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力；具有应用数学知识和数学方法解决实际问题的意识和兴趣；能较熟练地应用矩阵分析的知识和思想方法解决实际问题；培养学生的阅读教材的能力、计算能力、判断正误的能力、逻辑推理能力、抽象思维能
