一维量子谐振子几率密度图形的绘制

一维量子谐振子几率密度图形的绘制
钟瑞妍
（华南师范大学，物理与电信工程学院，物理三班，20082301059）
摘要：谐振子是一个重要的物理模型，体现了周期运动的基本特性,也是理解一系列复杂现象的物理基础。

本文着重介绍运用科学计算与模拟平台完成一维量子谐振子几率密度的图形绘制，并把它与经典谐振子进行比较。

关键词：谐振子、几率密度、厄米多项式
一维线性谐振子模型在经典力学中和量子力学中都是一个倍受关注的问题，它的重要性在于自然界中广泛碰到简谐运动，常常可以作为研究复杂运动的初步近似。

例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场振动等都可分解成若干彼此独立的一维简谐振动[1]。

本文先根据薛定谔方法推导出谐振子的几率分布函数，再运用科学计算与模拟平台把几率分布函数绘制成几率分布曲线，这样可以在直观上加深对几率密度的理解。

1. 一维量子谐振子的几率密度分布
已知一维线性谐振子模型的薛定谔方程为
2222
2
()022d u E x u dx ψωψ+-= 1.1
为方便计算，可以令
2,u E x ax ωξλω
=
== 。

把他们带入式1.1可得
22
2
()0d d ψλξψξ+-= 1.2
当ξ→±∞时，方程1.2可化为
22
2
0d d ψξψξ+= 1.3
它的解的形式应为22
e
ξ±
，当ξ→±∞时，ψ应该为有限，因此方程1.2的通解为
2
2
()()e
H ξψξξ-
= 1.4
把1.4代入1.2求导可得()H ξ满足下面方程
222(1)0d H dH H d d ξλξξ-+-= 1.5
采用级数解法，令
2
()H a υυξξ∞
==∑，代入1.5整理得
232026(2)(1)(1)(21)a a a a a υυξυυξλυλξ+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅=-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅
由于ξ的系数必须相等，有
2(21)
(1)(2)a a υυ
υλυυ+-+=
++ 1.6
要使
2
()H a υυξξ∞
==∑有限，λ必须满足21n λ=+（0,1,2,3n =⋅⋅⋅）故可得
1
()0,1,22
E n n ω
=+=⋅⋅⋅ 1.7
方程1.5的解为厄米多项式，满足递推公式：
11()2()2()0
n n n H H nH ξξξξ+--+= 1.8
其中01H =，12H ξ=。

方程1.2的解为
2
2
()()n n n N e
H ξψξξ-
= 1.9
由归一化条件*()1
n n x dx ψψ∞
-∞
=⎰
可解出
1
2
1
22!n n a N n π⎛⎫
⎪= ⎪
⎝⎭ 1.10
一维量子谐振子的几率密度为
2
2
22()()
n n n N e H ξψξξ-= 1.11
2.经典谐振子的几率分布
经典谐振子满足振动方程
sin()x A t ωϕ=+ 2.1
其中A 为振幅，在x 到x+dx 之间的区域内找到粒子的几率W(x)dx 与粒子在此区域内停留的时间dt 成正比，即
()W x dx Cdt = 2.2
C 为常数。

在一个周期内，经典粒子将两次通过同一点，因此对时间的积分范围只能取半个周期，即
/2
1
()1
2
T W x dx Cdt CT ∞
-∞
===⎰⎰
2.3
几率为：
2212221
()/cos()()W x Tdx dt T A t A x ωωφπ=
==
+- 2.4
经典谐振子的能量：
22
1
2E u A ω= 2.5
当经典谐振子的能量与量子谐振子的能量相等时，即
2211
()22u A n ωω=+ 2.6
几率密度
()
()W x w x a =。

令ax ξ=，由2.4，2.6可得
122
1
()(21)w n ξπξ=
+- 2.7
3.绘图讨论
由上面推导可知量子谐振子的几率密度为
2222()()n n n N e H ξψξξ-=，
1
2
1
22!n n a N n π⎛⎫
⎪= ⎪⎝⎭，0,1,2,3n =⋅⋅⋅ 3.1 经典谐振子的几率密度为
122
1
()(21)w n ξπξ=
+- 3.2
当n=0时，式3.1，3.2可以化简为
2
2
()n Ce ξψξ-= 3.3 122
0()(1)w C ξξ-=- 3.4
式子中的C 为归一化常数。

式3.3，3.4的图像还是很直观的，如图3-1所示：
图3-1 线性谐振子的几率密度（n=0）
从图3-1可以看到，当n=0时，几率密度与经典情况毫无相识，比如经典振子在ξ=0处势能为零，此时振子的运动速度最大，振子在ξ=0处逗留时间最短，因此经典振子谐振子在ξ=0处的几率最小。

而按量子力学的计算，在ξ=0处的几率却是最大的。

经典与量子的情况刚好完全相反。

反应了微观世界与宏观世界的不同。

当经典谐振子的能量等于
12
ν 时，转折点为1ξ=±，经典谐振子只能处于1ξ≤区域中。

因为在1ξ=±处，动能为零，不超出这个范围。

而按照量子力学计算，粒子在|1ξ>区域，仍有不为零的几率[1]。

对于基态,此概率为
2
1
exp()16%C d ξξ∞
-≈⎰ 3.5 这种明显的量子效应,在基态表现特别突出,即对于量子谐振子由于量子隧穿效应在基态有大约16%的粒子跑到了1ξ>区域以外,这是经典不允许的。

当n=1，2，3、、、时，几率密度分布函数越来越复杂，很不直观，如果不借助计算技术，几率函数的图形将十分难绘制。

下面通过科学计算与模拟平台可以十分方便的绘制出n=1,n=2,n=3的几率分布图形。

比较图3-1和图3-2，n=0、n=1量子谐振子的几率分布情况十分不同，例如，对于n=0，ξ=0处的几率密度为最大值，而n=1，ξ=0处的几率密度却为最小值。

经典谐振子的几率分布情况却十分相似。

再比较图3-2、图3-3、图3-4，随着n 的增加，量子谐振子的几率分布出现越来越多的极值，说明谐振子的几率分布不是一成不变的，在某些位置出现的几率很大，在某些位置却不可能存在。

图3-2 线性谐振子的几率密度（n=1）
图3-3 线性谐振子的几率密度（n=2）
图3-4 线性谐振子的几率密度（n=3）
通过绘图我们可以直观看到，经典谐振子与量子谐振子既有区别又有联系，随着n的增加，量子和经典的两种情况在平均上已相当符合,差别只在于量子谐振子的几率密度在迅速振荡而已。

这正是对玻尔“对应原理”的一个佐证。

所谓“对应原理”,且指在大量子数极限下,量子论必渐近趋于经典理论。

近年来，人们对谐振子的热力学性质、相干态性质、动力学性质等进行了大量的实验和理论研究工作，极大地深化了人们对这一简单问题的各种性质的认识。

它的应用涉及分子、固体物理、量子场论和量子光学等诸多领域[4]。

一维线性谐振子模型正是这些研究的基础和入门，通过对几率分布图形的绘制，加深了对一维线性谐振子的理解，为我们学习量子力学及后继理论作了很好的准备。

参考文献：
[1]刘明.经典谐振子与量子谐振子[J].湖北教育学院学报,2006（10）:5-8
[2]蔡昭蕴.谐振子及相干态性质的描述[J].广西教育学院学报,2004(2):62-64.
[3]吴从容.关于谐振子运动若干问题的讨论[J].池州师专学报,2006,20(3):49-52
[4]赵健,秦杰利,李卫东.一维谐振子量子运动的经典特性[J].大学物理,2009（10）:14-19
[5]李元杰.数学物理方程与特殊函数[M].北京:高等教育出版社,2009
[6]周世勋.量子力学教程[M]. 高等教育出版社,1979
[7]李德明,陈昌明..经典力学[M].北京:高等教育出版社,2006
[8]曾谨言.量子力学教程[M].北京:科学出版社,2003。