经典谐振子与量子谐振子
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第五章 谐振子
c2B c5 B c7 B a1 = Bc, a3 = − , a5 = , a7 = − ,..... 2⋅3 5⋅ 4 ⋅3⋅ 2 7!
c 2 k +1 B a2 k +1 = (−1) k , k = 0,1,2,3,... (2k + 1)!
所以，我们有：
y = ∑ an x n =
n =0
n=2
∞
将上述两个微分带入原方程，得：
∑ n(n − 1)a x
n=2 n
∞
n−2
+ ∑ c an x = 0
2 n n =0
∞
为求解方便，需将上述等式左边的两个级数合并。
假设某些条件存在，我们能够将下述两个无穷级数诸 项相加以得到它们的加和：
b j x + ∑ c j x = ∑ (b j + c j ) x j ∑
l =0
若令c0＝0，则得另一独立的解：
ψ =e
−αx / 2
2
n n =1, 3, 5...
∑c x
∞
n
=e
−αx / 2
2
∑c
l =0
∞
2 l +1
x
2 l +1
所以薛定谔方程的通解为：
ψ = Ae −αx
2
/2
c2l +1 x 2l +1 + Be −αx ∑
l =0
∞
2
/2
c2 l x 2 l ∑
考察微分方程： 考察微分方程：
y′′( x) + c 2 y ( x) = 0
求解方法：
（c2为实正数）
（1）利用常系数微分方程的辅助方程s2+c2=0及其通解。 （2）幂级数法求解。 假设方程的解可在x=0附近用泰勒级数(Taylor series) x=0 (Taylor 展开，即：
c 2 k +1 B a2 k +1 = (−1) k , k = 0,1,2,3,... (2k + 1)!
所以，我们有：
y = ∑ an x n =
n =0
n=2
∞
将上述两个微分带入原方程，得：
∑ n(n − 1)a x
n=2 n
∞
n−2
+ ∑ c an x = 0
2 n n =0
∞
为求解方便，需将上述等式左边的两个级数合并。
假设某些条件存在，我们能够将下述两个无穷级数诸 项相加以得到它们的加和：
b j x + ∑ c j x = ∑ (b j + c j ) x j ∑
l =0
若令c0＝0，则得另一独立的解：
ψ =e
−αx / 2
2
n n =1, 3, 5...
∑c x
∞
n
=e
−αx / 2
2
∑c
l =0
∞
2 l +1
x
2 l +1
所以薛定谔方程的通解为：
ψ = Ae −αx
2
/2
c2l +1 x 2l +1 + Be −αx ∑
l =0
∞
2
/2
c2 l x 2 l ∑
考察微分方程： 考察微分方程：
y′′( x) + c 2 y ( x) = 0
求解方法：
（c2为实正数）
（1）利用常系数微分方程的辅助方程s2+c2=0及其通解。 （2）幂级数法求解。 假设方程的解可在x=0附近用泰勒级数(Taylor series) x=0 (Taylor 展开，即：
量子谐振子的各态概率分布
量子谐振子的各态概率分布量子谐振子是量子力学中一个重要的模型，它在许多领域中都有广泛的应用。
其概率分布描述了谐振子在不同能级上的可能性，这对于研究量子系统的行为有着重要的意义。
首先，我们来回顾一下谐振子的基本概念。
量子谐振子是一个受束缚的粒子，在一个势能为二次函数形式的势场中运动。
其哈密顿算符可以表示为：$$\hat{H}=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^2\hat{x}^2$$其中，$\hat{p}$表示动量算符，$\hat{x}$表示位置算符，$m$表示质量，$\omega$表示振动频率。
为了研究量子谐振子的概率分布，我们需要解谐振子的定态薛定谔方程。
定态薛定谔方程可以写成：$$\hat{H}\psi=E\psi$$其中，$\psi$表示波函数，$E$表示能量。
解这个方程可以得到一系列的能级和对应的波函数。
每一个能级对应一个量子数$n$，表示谐振子的激发态。
基态对应$n=0$，第一激发态对应$n=1$，以此类推。
接下来，我们来研究谐振子的概率分布。
概率分布可以通过波函数的模的平方来描述。
对于谐振子的定态，波函数的模的平方可以表示为：$$P(x)=|\psi(x)|^2$$其中，$x$表示位置。
对于谐振子的基态，波函数的模的平方呈现出一个高斯分布的形状。
这是因为基态波函数是一个简单的振动模式，其形状类似于经典谐振子的振动。
高斯分布的峰值位于平衡位置，随着位置的偏离，概率逐渐减小。
对于激发态，波函数的模的平方呈现出多个峰值的分布。
这是因为激发态波函数表示了谐振子在多个能级上的可能性。
每个峰值对应一个能级，随着能级的增加，峰值的数量也增加。
除了位置概率分布，谐振子的动量概率分布也是非常重要的。
动量可以通过位置算符和动量算符之间的关系来计算。
谐振子的动量算符可以表示为：$$\hat{p}=m\omega\hat{x}$$动量概率分布可以通过动量算符在动量本征态上的投影来计算。
量子谐振子和谐振子的耦合
【教育类精品资料】
§13-3 量子谐振子和谐振子的耦合
1、何为（一维）谐振子
经典力学中：质量m的粒子在弹性力F=-kx的作用下做往复 运动，称为谐振子；
经典力学中谐振子运动的弹性势能为 U 1 m；2x2
2
量子力学中的线性谐振子是指在 U 1 m的2势x2 场中做一维运动
的粒子。
2
2、一维谐振子的定态薛定谔方程
1
其中：Nn
2n
2 n！
，
m
h
Hn ( )
(1)n
exp[ 2 ]
dn
d n
exp[
2 ],
x
4、量子谐振子与经典谐振子的区别
(1)基态能量(最小能量)不同
经典谐振子:最小能量为0(经典粒子可停在原点)
量子谐振子:基态能量不为0,称为零点能.
E0
1 2
h
0
零点能是微观粒子波粒二相性的表现，是量子效应， .
2
[ 2 U r ] (r ,t) E (r ,t)
2m
对一维谐振子，有：
则有：
U 1 m2x2
2
[ 2 d 2 1 m2x2 ] E
2m dx2 2
3、定态薛定谔方程的解(本征值和本征函数)
En
(n
1)h, n
2
0,1, 2,L
厄米多项式
本征函数： n
x
1 2x2
Nne 2 Hn ( x)
作业
1.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.
1
量子力学的谐振子（黑线）波函数 n 有x n2 个节点，在节点处找
到粒子的几率为零。
而经典力学的谐振子（红线）在势阱内每一点上都能找到粒子没 有节点.
§13-3 量子谐振子和谐振子的耦合
1、何为（一维）谐振子
经典力学中：质量m的粒子在弹性力F=-kx的作用下做往复 运动，称为谐振子；
经典力学中谐振子运动的弹性势能为 U 1 m；2x2
2
量子力学中的线性谐振子是指在 U 1 m的2势x2 场中做一维运动
的粒子。
2
2、一维谐振子的定态薛定谔方程
1
其中：Nn
2n
2 n！
，
m
h
Hn ( )
(1)n
exp[ 2 ]
dn
d n
exp[
2 ],
x
4、量子谐振子与经典谐振子的区别
(1)基态能量(最小能量)不同
经典谐振子:最小能量为0(经典粒子可停在原点)
量子谐振子:基态能量不为0,称为零点能.
E0
1 2
h
0
零点能是微观粒子波粒二相性的表现，是量子效应， .
2
[ 2 U r ] (r ,t) E (r ,t)
2m
对一维谐振子，有：
则有：
U 1 m2x2
2
[ 2 d 2 1 m2x2 ] E
2m dx2 2
3、定态薛定谔方程的解(本征值和本征函数)
En
(n
1)h, n
2
0,1, 2,L
厄米多项式
本征函数： n
x
1 2x2
Nne 2 Hn ( x)
作业
1.求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置.
1
量子力学的谐振子（黑线）波函数 n 有x n2 个节点，在节点处找
到粒子的几率为零。
而经典力学的谐振子（红线）在势阱内每一点上都能找到粒子没 有节点.
一维量子谐振子的概率分布.
一维量子谐振子的概率分布摘要：线性谐振子问题作为一种普遍的模型，所以在经典力学中和量子力学中都受到很大关注。
并且谐振子包括很多类型，我们就先研究量子谐振子的问题。
量子谐振子是很多复杂物理模型的基础，量子谐振子在前几个量子态时，概率密度与经典情况相差较多，随着量子数的增加，随之相似性也会增加。
可以通过使用数学软件将量子谐振子的概率分布绘制成图像，从而得出一维量子谐振子的概率分布。
关键词：经典谐振子一维量子谐振子波函数量子谐振子概率分布1.引言：谐振子的振动是一种很常见的物理模型，它在很多方面得到应用。
谐振子大体可分为经典力学和量子力学两部分，谐振在运动学就是简谐振动，这样的振动是物体在某一位置附近往复偏离该振动中心位置，在这样的振动方式下，物体所受到的力的大小总是与它偏离平衡位置的大小成正比关系，并且物体总是受到指向平衡位置的力。
谐振子具有周期运动的物理特征，一些复杂的物理基础可以运用谐振子运动来解决。
通过对经典谐振子的研究，得到经典谐振子的函数关系式。
再利用量子力学中的不确定关系得到量子谐振子的能量最低点，即平衡位置，最后得到谐振子的波函数，从而得到了谐振子的概率。
随着量子数的增加，利用软件Mathematica绘制一维量子谐振子的概率分布。
再和经典的线性谐振子来作比较，得到经典谐振子的关系。
2.经典一维谐振子：首先让我们谐振子在物理中是非常常见的模型，我们很早就已经接触过，并且有了一定的了解。
下面来讨论一维弹性力的一维简谐振子。
例如：质量为m的物体放在光滑的桌面上，在其水平的方向上受到一个弹簧作用，在某一位置处质点所受力的大小为零，则把这一点叫做平衡位置。
弹簧的劲度系数为k，物体m在弹簧弹性力的作用下沿弹簧方向运动，作用于质点的力和质点距离平衡位置的位移成正比，这样受力的质点就是一个典型的一维简谐振子。
大家都知道，质量为m的质点在做简谐振动的过程中用x来表示质点便偏移平衡位置的距离，也就是质点的位置，也是弹簧的伸长或压缩的量。
2.4一维谐振子
§ 2.4 一维谐振子一、能量本征方程 二、级数解法三、本征值和本征波函数平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。
例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。
一、能量本征方程取振子的平衡位置为坐标原点22222212ˆx m x m H ω+-=d d)()(21222222x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d因为0min =V ，∞→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0)(lim =ψ±∞→x x 。
设ωαm =引入无量纲量 ⎪⎭⎫⎝⎛==ωλαξ 21,E x能量本征值问题转化成如下定解问题0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d)(lim =ψ±∞→ξξ下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值,2,1,0,12=+=n n λ这导致能量的量子化。
首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。
考虑±∞→ξ的渐近解。
这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于0222=ψ-ψξξd d渐近通解为2222eeξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）但因22ξe不满足束缚态的条件，所以渐近解取为22~ξ-ψe把波函数写成)(2ξξu -=ψe代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程)1(222=-+-u uu λξξξd d d d这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。
二、级数解法在原点0=ξ附近，用幂级数kk k a u ξξ∑∞==0)(代入Hermite 方程，得0)1(2)1(01122=-+--∑∑∑∞=-∞=-∞=k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξξ把前两项的求和序号改为从0开始0)1(2)1)(2(02=-+-++∑∑∑∞=∞=∞=+k k kk k k k k k a ka a k k ξλξξ由此得到展开系数ka 的递推关系,2,1,0,)1)(2()1(22=++--=+k a k k k a k k λ只要给定0a 或者1a ，就可以把)(ξu 分成只含偶次项和只含奇次项的级数+++=+++=553312442201)()(ξξξξξξξa a a u a a a u而波函数为⎪⎩⎪⎨⎧=ψ--)()()(221222ξξξξξu u e e当∞→k 时)(1ξu 的相邻后项对前项的系数比值的极限为m k k k k a a k k 12)1)(2()1(22=→++--=+λ， ,2,1=m这与2e ξ的幂级数相邻项系数比值11+m 的极限相同。
量子力学中的谐振子模型
量子力学中的谐振子模型谐振子是最简单的物理模型之一，它是许多物理学和工程学研究中的基础。
谐振子模型最初是由赫兹在19世纪初研究弹簧振动得到的。
在量子力学中，谐振子模型被广泛应用于描述原子、分子、晶格等系统的振动。
谐振子模型的基本特征谐振子模型是一个标准量子力学问题，它最初是由薛定谔在1926年提出的。
谐振子模型由一个质量为m的粒子在一个势场V(x)中振动组成。
当此势场是一个二次曲线时，粒子的行为就是谐振子。
这个势场可以用下面的公式来描述：V(x) = 1/2mω²x²这里ω是一个频率，它是振动的夹角频率。
谐振子模型的哈密顿量通过薛定谔方程，我们能够得到谐振子模型的哈密顿量。
这个哈密顿量可以去掉第一项(x)来表示为：H = 1/2(p²/m + ω²x²)这里p是粒子的动量。
哈密顿量包含两个部分：动能和势能。
前者与粒子的速度有关，后者与粒子的位置有关。
我们发现，当位置x 和动量p 等于零时，哈密顿量 H 的值从 0 开始逐渐增加。
谐振子模型的能态由于谐振子的势能是是二次函数的形式，其能级也是均匀分布的。
谐振子模型的能态有无限多个，它们对应于独立的能子态和能量。
各个能级之间的能量差为ℏω，其中ℏ是普朗克常数。
任意谐振子可以写成费米函数形式的线性组合。
费米（Fermi）函数是一组由意大利物理学家费米创立的函数，用于描述费米子体系的基态和激发态。
经典谐振子模型与量子谐振子模型经典谐振子模型与量子谐振子模型是存在区别的，量子谐振子模型存在量子化现象。
经典谐振子的振幅可以是任意值，但量子谐振子仅对于特定离散位置有非零振幅。
在这些位置上，它的“位置波函数”保持相干，因此与经典谐振子的振幅一致。
单谐振子和多谐振子单谐振子和多谐振子是量子谐振子模型的两种形式。
单谐振子模型是指只有一个谐振子的系统，多谐振子模型是指由多个谐振子组成的系统。
在单谐振子模型中，哈密顿量可以表示为：H = ℏω( a† a + 1/2)这里a和a†分别是降算符和升算符，它们是谐振子模型的基础运算符。
经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子物理与电子信息工程学院物理学[摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。
本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。
[关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布1 前言所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。
一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。
该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。
在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。
这种情况即为一维谐振子。
一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。
普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。
在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。
另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。
因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。
应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。
本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。
从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
2 经典力学中的一维谐振子在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规律，反映质点特征的是运动方程和能量。
因此我们可以从运动方程和能量这两方面出发讨论一维谐振子的运动特征。
线性谐振子量子力学课件
对应的波函数是：
1 2
1 2x2
n (x) Nn H n ( ) e 2 Nn H n (x) e 2 .(
)
(3.2 9)
Nn是归一化常数，利用特殊积分
ex2 dx ,
可得
Nn
2n
n
. !
2.讨论 (1) 能级是等间隔的 ；(2)零点能是
E0
1
2
；(3)能级
的宇称偶奇相间，基态是偶宇称,即ψn(-x)=(-1)ψnn(x) (4)ψn(x)有
当ξ→±∞时，方程变为：
d 2 d 2
2 .
我们发现它有近似解：
12
() ~ e 2 .
但是 e 2 /2 应该舍去。
所以再进行变换：
12
() e 2 H(),
可得关于H(ξ)的如下方程：
d 2 H 2 dH ( 1)H 0. (3.2 4)
d 2
d
二. Hermitian多项式 可以用级数法求解H(ξ)的方程，结果发现：只要H(ξ)是“真”
§ 3.2线性谐振子
一维量子谐振子问题
在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它 是物体在势（或势场）的稳定平衡位置附近作小振动这类常见 问题的普遍概括。在量子力学中，情况很类似。一维量子谐振 子问题也是个基本的问题，甚至更为基本。因为它不仅是微观 粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的普遍概 括，而且更是将来场量子化的基础。
d
dt
a
cos(t
)
a
(1
a
2 2
)
1 2
所以几率密度与 (1 2
/
a
2
)
1 2
成比例。
量子力学3.3一维谐振子
e 2
E1
3 2
，
（偶宇称）
1
(
x)
2
1/ 2
1 2x2
xe 2
（奇宇称）
n
2,
2
第二激发态 E2
(x)
1/
2
(2
2
2
x2
5 ，
2
1 2x2
1)e 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
En
(n
1 ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
En En1 En
一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为：
V (x) 1 kx2 1 m 2 x2
22
m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数
k 是谐振子的角频率
m
二、薛定谔方程及解
d2
dx2
2
2
[
E
V
(
x)]
0
或
d2
dx2
2
2
[
E
1 2
2
x2
]
0---------- 1
1! x xa
V0
1 2
k(x
a)2
2! x2 xa
记
k
2V x2
xa
若取 V0 0，即平衡位置处于势 V0 0 点；并记 k 2 ，x'=x-a则
V x 1 2x2
2
凡是在势能为U(x) 1 kx 2 的场中运动的微观体系都称之为 2
线性谐振子。
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学 问题的最基本的范例。
E1
3 2
，
（偶宇称）
1
(
x)
2
1/ 2
1 2x2
xe 2
（奇宇称）
n
2,
2
第二激发态 E2
(x)
1/
2
(2
2
2
x2
5 ，
2
1 2x2
1)e 2
（偶宇称）
三、结果讨论
1.能级
En
(n
1 ) 2
n 0,1,2,...
(1)能量是量子化的，且相邻能级的间距
En En1 En
一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点 以坐标原点为零势能点 则一维线性谐振子的势能为：
V (x) 1 kx2 1 m 2 x2
22
m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数
k 是谐振子的角频率
m
二、薛定谔方程及解
d2
dx2
2
2
[
E
V
(
x)]
0
或
d2
dx2
2
2
[
E
1 2
2
x2
]
0---------- 1
1! x xa
V0
1 2
k(x
a)2
2! x2 xa
记
k
2V x2
xa
若取 V0 0，即平衡位置处于势 V0 0 点；并记 k 2 ，x'=x-a则
V x 1 2x2
2
凡是在势能为U(x) 1 kx 2 的场中运动的微观体系都称之为 2
线性谐振子。
一维谐振子的本征值问题是处理量子力学 问题的最基本的范例。
量子谐振子和谐振子的耦合
(2)运动范围不同
对于总能量相同的经典谐振子和量子谐振子,比如总能量都
等于 1 ，我们看一下两种振子的运动范围：
2
对经典谐振子,有
E
E动能
E势能
1 2
E 1 mv2 1 m2x2 1
2
2
2
1 m2x2 1 1 mv2 0
2
22
1
xmax
m
即,经典谐振子被 局限在振幅范围内!
对量子谐振子,当
§13-3 量子谐振子和谐振子的耦合
1、何为（一维）谐振子
经典力学中：质量m的粒子在弹性力F=-kx的作用下做往复 运动，称为谐振子；
经典力学中谐振子运动的弹性势能为 U 1 m；2x2
2
量子力学中的线性谐振子是指在 U 1 m的2势x2 场中做一维运动
的粒子。
2
2、一维谐振子的定态薛定谔方程
2
[ 2 U r ] (r ,t) E (r ,t)
2m
对一维谐振子，有：
则有：
U 1 m2x2
2
2
[ 2m
d2 dx2
1 m2 x2 ]
2
E
3、定态薛定谔方程的解(本征值和本征函数)
En
(n 1) 2
, n 0,1, 2,
厄米多项式
本征函数： n
x
1 2x2
Nne 2 Hn ( x)
到粒子的几率为零。
而经典力学的谐振子（红线）在势阱内每一点上都能找到粒子没 有节点.n x 2 Nhomakorabea-4
-2
2
4
当能级n越小，经典和量子谐振子的几率情况差别越大，当 n增大，相似性也随之增加，当n=10时，量子和经典的两 种情况在平均上已相当符合，差别只在于量子情况下几率 的迅速振荡而已。
量子力学中的量子力学谐振子模型
量子力学中的量子力学谐振子模型量子力学谐振子模型是量子力学中最简单且最重要的模型之一。
它的研究对于理解量子力学的基本原理和应用具有重要意义。
本文将从谐振子的经典模型入手，逐步介绍量子力学谐振子模型的基本概念、数学表达和物理意义。
首先，我们回顾一下经典力学中的谐振子模型。
经典力学中的谐振子是指一个质点在势能为二次函数的势场中运动的系统。
它的运动方程可以用二阶常微分方程来描述。
在经典力学中，谐振子的势能函数可以写成V(x) = 1/2 kx^2的形式，其中k是劲度系数，x是质点的位移。
根据牛顿第二定律，谐振子的运动方程可以写成m d^2x/dt^2 = -kx，其中m是质点的质量。
这个方程可以通过分离变量的方法求解，得到谐振子的运动方程为x(t) = A*cos(ωt + φ)，其中A是振幅，ω是角频率，φ是初相位。
接下来，我们将经典力学中的谐振子模型引入到量子力学中。
量子力学中的谐振子模型是指一个粒子在势能为二次函数的势场中运动的系统。
它的运动方程可以用薛定谔方程来描述。
在量子力学中，谐振子的势能函数可以写成V(x) = 1/2 kx^2的形式，其中k是劲度系数，x是粒子的位置。
根据薛定谔方程，谐振子的运动方程可以写成iħ dψ/dt = -ħ^2/2m d^2ψ/dx^2 + 1/2 kx^2ψ，其中ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量。
这个方程可以通过分离变量的方法求解，得到谐振子的波函数为ψ(x) = (mω/πħ)^1/4 * exp(-mωx^2/2ħ) * H_n(√(mω/ħ)x)，其中ω是角频率，H_n是厄米多项式。
谐振子的波函数具有一些特殊的性质。
首先，它们是正交归一的。
即∫ψ_n(x)ψ_m(x)dx = δ_nm，其中δ_nm是克罗内克δ符号。
这意味着不同能级的波函数之间不存在重叠。
其次，谐振子的波函数是高度局域化的。
即波函数的最大值出现在平衡位置附近，并且随着能级的增加，波函数在平衡位置附近的峰值变得越来越尖锐。
第三章 谐振子
第三章 谐振子一 内容提要1 一维线性谐振子的能级与波函数2221)(x x V μω= 222212ˆˆx p Hμω+= ,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] 2 谐振子的升降算符 [1] 升降算符)ˆˆ(2ˆp i x aμω-μω=+ )ˆˆ(21p ix μω-α= )ˆˆ(2ˆp i x aμω+μω= )ˆˆ(21pix μω+α= 则 )ˆˆ(2ˆ++μω=a ax)ˆˆ(2ˆ+-μω-=a a i p [2] 升降算符的性质11ˆ++ψ+=ψn n n a1ˆ-ψ=ψn n n a1]ˆ,ˆ[=+a a二 例题讲解1 一维谐振子如果考虑非谐振微扰项4'ˆx Hλ=，求体系能级的一级修正。
解：>+<μωλ>=<λ>==<+n a an n x n n Hn E n 424')1()ˆˆ()2(ˆ 可以导出 )122(3)ˆˆ(24++>=+<+n n n a an 那么 =)1(n E )122()(4322++μωλn n2 已知单摆在重力作用下能在竖直平面内摆动。
求：[1] 小角度近似下，体系的能量本征值及归一化本征函数。
[2] 由于小角度近似而引起的体系基态能级的一级近似。
解：摆球平衡位置作为势能零点 摆球重力势能为)cos 1(θ-==mgl mgh V （1）[1] 由公式 -θ+θ-=θ42!41!211c o s（2）得在小角度近似下的二级修正势能为：2221))211(1(θ=θ--≈mgl mgl V （3）体系Hanmilton 为V L IV mr mv r V mv H z +=+⨯=+=ˆ21)(2121ˆ222 即：22221)(21ˆθ+θ=mgl d d i ml H（4） 当 θ≈θ=→θl l x sin 0设 lg =ω （4）可以变为22222212ˆx m dx d m H ω+= （5） （5）与一维谐振子类似，则（5）的解为：,3,2,1)21(=ω+=n n E n)()(2221x H eN x n x n n α-=ψ [其中 !2n N n n πα=μω=α ] （6） [2] )cos 1()(21ˆ22θ-+θ=mgl d d i ml H（7） 则微扰项20'21)cos 1(ˆˆˆθ-θ-=-=mgl mgl H H H （8） 以（2）式取前三项代入（8）得434'241!41ˆmgx l mgl H-=θ-= （9） 利用上题可以得到=)1(n E )122())(241(43223++ω-n n m mg l )122()(321223++ω=n n m mg l3 质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)0(21)(21>=k kx x V 的基态[1] 如果弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为)0()(22>=k kxx V ，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场)(2x V 的基态的概率；[2] 势场突然由)(1x V 变成)(2x V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成)(1x V ，问τ取什么值时粒子仍恢复到原来)(1x V 场的基态（概率100%）？解：[1] 粒子的波函数),(t x ψ随时间变化应满足dinger o Schreq ψ+∂ψ∂-=ψ∂∂V xm t i 2222 当V 突然改变（由)(1x V →)(2x V ），但变化量有限时ψ仍然是t 的连续函数，即V 突变时ψ不变。
8-谐振子
2 / 2
渐近形式，我们自然会令：
( ) H ( )e
2 / 2
• 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连 续的标准条件。即： l ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； l ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。
b. H(ξ)满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
只含偶次幂项
由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven ) exp[-ξ2/2]
(分步积分)
该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ2] 的 乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。
( 1)
2 n Nn
H n ( )[
d n1 d n1 d d
e
2
]
d n1 d n1
d n1 d n1
2
( 1)
(1) (1)
( 1)
1
n ndx
2 Nn
( 1) n
2 Nn
2 Nn e H n ( ) H n ( )dx
2
H n ( ) dd n e d
n 2
( 1) n
H n ( ) dd [ dd n1 e ]d
渐近形式，我们自然会令：
( ) H ( )e
2 / 2
• 其中 H(ξ) 必须满足波函数的单值、有限、连 续的标准条件。即： l ① 当ξ有限时，H(ξ)有限； l ② 当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→ 0。
b. H(ξ)满足的方程
将ψ(ξ)表达式代入方程得 关于 待求函数 H(ξ) 所满足的方程：
只含偶次幂项
由上式可以看出： b0 决定所有角标k为偶数的系数； b1 决定所有角标k为奇数的系数。 因为方程是二阶微分方程，应有两个 线性独立解。可分别令：
b0 ≠ 0, b1=0. → Heven(ξ); b1 ≠ 0, b0=0. → Hodd(ξ).
则通解可记为： H = co Hodd + ce Heven ψ= (co Hodd + ce Heven ) exp[-ξ2/2]
(分步积分)
该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ2] 的 乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。
( 1)
2 n Nn
H n ( )[
d n1 d n1 d d
e
2
]
d n1 d n1
d n1 d n1
2
( 1)
(1) (1)
( 1)
1
n ndx
2 Nn
( 1) n
2 Nn
2 Nn e H n ( ) H n ( )dx
2
H n ( ) dd n e d
n 2
( 1) n
H n ( ) dd [ dd n1 e ]d
量子力学中的谐振子谐振子系统的量子描述
量子力学中的谐振子谐振子系统的量子描述量子力学是研究微观世界的物理学理论，它对于描述和解释微观粒子的行为具有重要意义。
在量子力学的框架下，谐振子是一种经典力学中常见的模型，而谐振子系统的量子描述则是量子力学中的重要内容之一。
1. 谐振子系统谐振子系统是由一个或多个相互作用的粒子组成的，这些粒子的运动受到谐振子势能的限制。
谐振子势能通常由势能函数V(x)来描述，其中x是粒子的位置。
当势能函数为二次函数，即V(x) =(1/2)mω^2x^2时，我们可以将系统看作是一个谐振子系统。
2. 谐振子的经典描述在经典物理学中，谐振子的描述基于牛顿力学和能量守恒定律。
对于单个质点的谐振子系统，其运动方程可以通过牛顿第二定律推导得出。
在谐振子势能的作用下，质点按照一定的频率在平衡位置附近振动。
3. 谐振子的量子描述在量子力学中，对于谐振子系统的量子描述则需要引入薛定谔方程。
薛定谔方程描述了谐振子的波函数随时间变化的规律，即iħ(dψ/dt) =Hψ，其中i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，ψ是谐振子波函数，H是系统的哈密顿算符。
4. 谐振子的波函数谐振子系统的波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
对于一维谐振子系统，其波函数解为ψ(x) = Nexp(-mωx^2/(2ħ))H_n(√(mω/ħ)x)，其中N是归一化常数，H_n是厄米多项式。
波函数的平方模的积分即表示谐振子在不同位置的概率分布。
5. 谐振子的能级谐振子系统的能级与量子态之间存在对应关系。
根据谐振子的波函数形式，可以得到能级公式E_n = (n + 1/2)ħω，其中n为非负整数，表示不同的能级。
这意味着谐振子的能量是量子化的，且存在基态和激发态之分。
6. 谐振子的观测与测量根据量子力学的测量理论，对于谐振子系统，我们可以通过观测和测量来获取其状态信息。
例如，通过观测谐振子的位置或动量，我们可以得到与位置和动量相关的物理量的期望值。
同时，根据不确定性原理，位置和动量无法同时被完全确定。
经典力学和量子力学中的谐振子
2
n0,1,2,3,
引入厄米多项式，我们最后得到谐振子对应于能量本征值的能量本
征函数为：
1 2
1 a 2 x 2
n () N n e2H n () N n e2 H n (a x )
2.1.2阶梯算符方法
首先，我们定义算符 aˆ 与其伴随算符aˆ † ：aˆ
m (x i P)
可知经典谐振子的能量取值是连续的；
而由式
En
(n
1)h
2
可知量子谐振子的取值不是连续的，是分立的，即是量
子化的，其中n为量子数。而且量子谐振子的能级是等间
距的，间距是。能量取分立值是由于微观粒子具有波粒
二象性这一量子特征。
3.1.2零点能
由式 E em 2(d d)2 x tm2 02A 0 2co 2(s 0t)
2
引进无量纲参数 ax,ay,az,a m 整理得体系的能量本
征值： E 1 h
h
2
1 2
( x
y
z )h
(nx
ny
nz
3 )h 2
其基态能量： E 0
3 2
h
2.3谐振子的相干态
2.3.1降算符的本征态
做一维运动的粒子，坐标与动量的差方平均值满足下列不确定关系： (x)2(p)2 1h2 4
2 n0 n!
2.3.2相干态的性质
3.经典谐振子与 量子谐振子的区别
• 3.1能级 3.1.1能量取值点 3.1.2零点能
• 3.2波函数
3.1能级
3.1.1能量取值点
由式
E em 2(d d)2 x tm2 02A 0 2co 2(s 0t)
n0,1,2,3,
引入厄米多项式，我们最后得到谐振子对应于能量本征值的能量本
征函数为：
1 2
1 a 2 x 2
n () N n e2H n () N n e2 H n (a x )
2.1.2阶梯算符方法
首先，我们定义算符 aˆ 与其伴随算符aˆ † ：aˆ
m (x i P)
可知经典谐振子的能量取值是连续的；
而由式
En
(n
1)h
2
可知量子谐振子的取值不是连续的，是分立的，即是量
子化的，其中n为量子数。而且量子谐振子的能级是等间
距的，间距是。能量取分立值是由于微观粒子具有波粒
二象性这一量子特征。
3.1.2零点能
由式 E em 2(d d)2 x tm2 02A 0 2co 2(s 0t)
2
引进无量纲参数 ax,ay,az,a m 整理得体系的能量本
征值： E 1 h
h
2
1 2
( x
y
z )h
(nx
ny
nz
3 )h 2
其基态能量： E 0
3 2
h
2.3谐振子的相干态
2.3.1降算符的本征态
做一维运动的粒子，坐标与动量的差方平均值满足下列不确定关系： (x)2(p)2 1h2 4
2 n0 n!
2.3.2相干态的性质
3.经典谐振子与 量子谐振子的区别
• 3.1能级 3.1.1能量取值点 3.1.2零点能
• 3.2波函数
3.1能级
3.1.1能量取值点
由式
E em 2(d d)2 x tm2 02A 0 2co 2(s 0t)
量子谐振子
量子谐振子
随着科学技术的进步，材料科学也发展得越来越快。
量子谐振子技术是其中的新技术，它具有很多优点，可以提高材料的性能。
本文将详细介绍量子谐振子的原理和应用。
量子谐振子技术是利用原子对辐射产生谐波而获得的一种技术，它把原子在高能状态与低能状态之间产生的单重谐波能转换成可以
用来控制材料特性的多重谐波能。
量子谐振子的基本原理是，当原子穿过某些材料时，它们会受到特定的辐射，这种辐射是由量子物理学中称为“量子谐振子”的谐振效应引起的。
这种谐振作用能够控制原子在不同能量状态之间的转变，从而调节材料的特性，如温度、强度等。
量子谐振子技术可以控制材料的特性，如拉伸、疲劳、抗冲击、抗湿变形等性能。
在工业应用中，由于量子谐振子可以提高材料的抗冲击性，因此广泛用于航空航天工程、军工工程、与其他特殊环境的高性能材料的研制。
量子谐振子也在汽车、微电子、电子元器件等领域得到了广泛应用。
此外，量子谐振子还广泛用于生物技术领域，用于识别和检测抗原和抗体、蛋白质结构和功能、生物物质及活性物质的组织、细胞器等研究中。
此外，量子谐振子技术更新换代可以改善医学检测、医疗治疗以及对药物的筛选，提高医疗效果。
随着科技的发展，量子谐振子技术应用范围越来越广，在各个领域均“贴”出自己的身影。
量子谐振子可以提高材料性能，广泛应用
于航空航天、军工、汽车、微电子、生物、医疗等领域，具有重要的科学和应用价值。
未来，量子谐振子技术必将发挥更大的作用，为更多的材料科学领域做出更多的贡献。
量子力学中的量子振荡器和谐振子
量子力学中的量子振荡器和谐振子量子力学是描述微观世界的一门理论，它涉及到许多重要的概念和现象。
其中，量子振荡器和谐振子是量子力学中的两个基本概念，它们在量子力学的研究中起着重要的作用。
量子振荡器是一种能够在不同能级之间跃迁的系统。
它可以用来描述许多物理系统，比如光子、原子和分子等。
在量子力学中，量子振荡器的能级是量子化的，而不是连续的。
这意味着量子振荡器只能处于特定的能量状态，而不能处于连续的能量状态。
量子振荡器的能级之间的跃迁可以通过吸收或发射能量来实现。
当一个量子振荡器吸收能量时，它会从一个低能级跃迁到一个高能级；当它发射能量时，它会从一个高能级跃迁到一个低能级。
这种能级之间的跃迁是量子力学中的一个基本过程，它与光的发射和吸收有着密切的关系。
谐振子是一种特殊的量子振荡器，它的能级之间的能量差是等差的。
谐振子在量子力学中有着广泛的应用，比如描述原子核的振动和分子的振动等。
谐振子的能级结构可以通过解谐振子的薛定谔方程来得到，其中包含了谐振子的势能和动能。
谐振子的能级之间的跃迁可以通过激发和退激发来实现。
当一个谐振子被激发时，它会从一个低能级跃迁到一个高能级；当它被退激发时，它会从一个高能级跃迁到一个低能级。
谐振子的能级之间的跃迁也是量子力学中的一个基本过程，它与光的散射和吸收有着密切的关系。
量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程可以通过量子力学的数学工具来描述。
量子力学使用波函数来描述量子系统的状态，波函数的演化可以通过薛定谔方程来描述。
在量子力学中，波函数的模的平方给出了系统处于不同能级的概率。
量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程也可以通过实验来观测和验证。
实验可以利用光的发射和吸收等现象来研究量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程。
实验结果与理论预测的一致性可以验证量子力学的有效性和准确性。
总之，量子振荡器和谐振子是量子力学中的两个基本概念，它们在描述微观世界的物理系统中起着重要的作用。
量子振荡器和谐振子的能级结构和跃迁过程可以通过量子力学的数学工具来描述，并可以通过实验来观测和验证。
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图2质点势能及力与位移的关系
简谐运动的另一个明显特征是振动质点的位移，速度，加速度之间的关系：
这些曲线的方程是：
那么它最大的位移为 ,最大的速度为 ，而最大得加速度为 。
1.3简谐运动中的能量守恒[5]
对于包括简谐运动在的谐运动来说，如果没有耗散力作用在系统上，则系统的总机械能量守恒 。简谐运动的位移由下式给出：
量子谐振子的运动方程为：
为简化书写，令
，
于是方程 化为
当 时，以上方程有渐进解 ，方程的精确解可写作：
2.2量子谐振子能量[6]
将它带入 ，得到 满足的方程：
次方程厄米方程，可用级数法求解，为此令
我们要求 ，否则， 时， 将为无穷。将以上级数代入 ，比较 的系数，可得以下递推公式：
当 于是有
由此得出 和 。当 时， ，于是有
在任何时刻，势能
势能的最大值为 。在运动期间，势能在零和这个最大值之间改变，如图3所示。
图3势能的变化曲线
在任何时刻，动能 为 。利用关系式 与 得到
所以动能具有最大值 或 ，这与先前所说的最大速率 是一致的。在运动期间，动能在零和这个最大值之间改变，总机械能为动能与势能之和:
可见，总能量是恒定的，它具有数值 。在最大位移处，动能为零而势能为 ,在平衡位置，势能为零而动能为 。在其它位置，动能和势能各献的能量之总和为 。图3表明了这个恒定的总能量。作简谐运动的质点的总能量与震动振幅的平方成正比。由图3可以清楚地看出，在一个周期运动的平均动能恰好等于平均势能，并且每个平均值都是 。通常，可将方程 写成 ，由此关系式可得到:
将 代入运动方程得：
所以，如取常数 的数值使得 ，则 实际上就是简谐振子运动方程的解[3]。
如果在式 中将时间 增加一个数值 ，函数 就变成了
所以， 是运动的周期 。因为 ，故有
因此由方程 ,给出的所有运动都有相同的运动周期，并且这周期仅由振动质点的质量 和弹簧的倔强系数 决定。振子的频率 ，是单位时间完全振动的次数，由下式给定
因为要求 ，由此得出 ,否则必须 。在确定 后，根据递推公式 ，可只讨论 ，这时，递推公式变为
1经典谐振子
1.1简谐运动及简谐振子
任何在相等时间间隔重复自身的运动都叫做周期运动，在周期运动中质点的位移总可以用正弦函数和余弦函数来表示，这种周期运动常叫做谐运动，如果做周期运动的质点在同一路线上来回运动，这种运动就叫做振动[1]。
若一质点在平衡位置附近来回振动该质点的势能按下式改变：
式中k是常数，作用在质点上的力为F， 这样振动的质点叫做简谐振子，而它的运动就叫做简谐运动[1]。
经典谐振子与量子谐振子
摘要：本文分别介绍了经典谐振子与量子谐振子的运动，详细分析了简谐振子在经典力学中的运动特点及其运动方程，从运动方程中描述了力、位移、速度及加速度之间的关系并验证了简谐运动的能量守恒。而在量子力学过对谐振子能量的推导及其分析，清晰地看到了谐振子在宏观世界与微观世界的不同。
关键字：经典谐振子；量子谐振子；运动方程；能量
Keywords:classical harmonic oscillator；quantum harmonic oscillator；equation of motion；energy
引言
简谐振子是力学中一个十分重要的问题,在实际运用发面涉及到的机械运动的大多数问题都可简化为简谐振子的运动问题，而且在声学、光学等许多物理问题中都会出现类似谐振子运动方程的方程。简谐振子显示了许多物理系统的共同特征。
量 叫角频率， 是运动振幅，简谐运动的频率与运动的振幅无关，量 是运动的相位，常数 叫初相位[4]。
简谐振子势能曲线随位移的平方而改变3，作用在质点上的力的大小与位移成正比，但方向与位移相反，振动的两极限位置离开平衡位置的距离是相等的，最大位移的大小叫做简谐运动的振幅。图2描述了质点势能及力与位移的关系。
The Classical Harmonic Oscillator and Quantum Oscillator
Abstract:Inthis paper the classical harmonic oscillator quantum harmonic oscillator with the movementisdescribed, a detailed analysis of harmonic oscillator in classical mechanics the motion characteristics and equations of motion, described from the equations of motion force, displacement, speed and acceleration, and the relationship betweenverify the conservation of energy for simple harmonic motion.In quantum mechanics, harmonic oscillator energy through the derivation and analysis, clearly see the harmonic oscillator in the macro world and the microscopic world of difference.
一个系于倔强系数为k的理想弹簧上并且在光滑水平面上量为m的物体就是简谐振子的一个例子，如图1所示。
图1简谐振动
1.2简谐运动方程及其特点
先将牛顿第二定律 应用到图1的运动中，以 代替 并且将加速度 写成 ,则得
该方程叫做简谐振子的运动方程[2]。根据微积分学，我们知道正弦函数和余弦函数都具有这种性质，这样就可以写出运动方程的尝试解为：
或
这一关系式清楚地表明：在平衡位置x=0处，速率为零。实际上，我们可以从能量守恒的方程出发，通过建方程 积分，而得到最为时间函数的位移。所得结果与式子 完全相同，而式子 是由运动的微分方程 推到出来的[5]。
2量子谐振子
2.1量子谐振子的运动方程
所谓的简谐振子就是一个受弹性力作用的系统，其势能
为弹簧系数， 为振子的经典频率。
简谐运动的另一个明显特征是振动质点的位移，速度，加速度之间的关系：
这些曲线的方程是：
那么它最大的位移为 ,最大的速度为 ，而最大得加速度为 。
1.3简谐运动中的能量守恒[5]
对于包括简谐运动在的谐运动来说，如果没有耗散力作用在系统上，则系统的总机械能量守恒 。简谐运动的位移由下式给出：
量子谐振子的运动方程为：
为简化书写，令
，
于是方程 化为
当 时，以上方程有渐进解 ，方程的精确解可写作：
2.2量子谐振子能量[6]
将它带入 ，得到 满足的方程：
次方程厄米方程，可用级数法求解，为此令
我们要求 ，否则， 时， 将为无穷。将以上级数代入 ，比较 的系数，可得以下递推公式：
当 于是有
由此得出 和 。当 时， ，于是有
在任何时刻，势能
势能的最大值为 。在运动期间，势能在零和这个最大值之间改变，如图3所示。
图3势能的变化曲线
在任何时刻，动能 为 。利用关系式 与 得到
所以动能具有最大值 或 ，这与先前所说的最大速率 是一致的。在运动期间，动能在零和这个最大值之间改变，总机械能为动能与势能之和:
可见，总能量是恒定的，它具有数值 。在最大位移处，动能为零而势能为 ,在平衡位置，势能为零而动能为 。在其它位置，动能和势能各献的能量之总和为 。图3表明了这个恒定的总能量。作简谐运动的质点的总能量与震动振幅的平方成正比。由图3可以清楚地看出，在一个周期运动的平均动能恰好等于平均势能，并且每个平均值都是 。通常，可将方程 写成 ，由此关系式可得到:
将 代入运动方程得：
所以，如取常数 的数值使得 ，则 实际上就是简谐振子运动方程的解[3]。
如果在式 中将时间 增加一个数值 ，函数 就变成了
所以， 是运动的周期 。因为 ，故有
因此由方程 ,给出的所有运动都有相同的运动周期，并且这周期仅由振动质点的质量 和弹簧的倔强系数 决定。振子的频率 ，是单位时间完全振动的次数，由下式给定
因为要求 ，由此得出 ,否则必须 。在确定 后，根据递推公式 ，可只讨论 ，这时，递推公式变为
1经典谐振子
1.1简谐运动及简谐振子
任何在相等时间间隔重复自身的运动都叫做周期运动，在周期运动中质点的位移总可以用正弦函数和余弦函数来表示，这种周期运动常叫做谐运动，如果做周期运动的质点在同一路线上来回运动，这种运动就叫做振动[1]。
若一质点在平衡位置附近来回振动该质点的势能按下式改变：
式中k是常数，作用在质点上的力为F， 这样振动的质点叫做简谐振子，而它的运动就叫做简谐运动[1]。
经典谐振子与量子谐振子
摘要：本文分别介绍了经典谐振子与量子谐振子的运动，详细分析了简谐振子在经典力学中的运动特点及其运动方程，从运动方程中描述了力、位移、速度及加速度之间的关系并验证了简谐运动的能量守恒。而在量子力学过对谐振子能量的推导及其分析，清晰地看到了谐振子在宏观世界与微观世界的不同。
关键字：经典谐振子；量子谐振子；运动方程；能量
Keywords:classical harmonic oscillator；quantum harmonic oscillator；equation of motion；energy
引言
简谐振子是力学中一个十分重要的问题,在实际运用发面涉及到的机械运动的大多数问题都可简化为简谐振子的运动问题，而且在声学、光学等许多物理问题中都会出现类似谐振子运动方程的方程。简谐振子显示了许多物理系统的共同特征。
量 叫角频率， 是运动振幅，简谐运动的频率与运动的振幅无关，量 是运动的相位，常数 叫初相位[4]。
简谐振子势能曲线随位移的平方而改变3，作用在质点上的力的大小与位移成正比，但方向与位移相反，振动的两极限位置离开平衡位置的距离是相等的，最大位移的大小叫做简谐运动的振幅。图2描述了质点势能及力与位移的关系。
The Classical Harmonic Oscillator and Quantum Oscillator
Abstract:Inthis paper the classical harmonic oscillator quantum harmonic oscillator with the movementisdescribed, a detailed analysis of harmonic oscillator in classical mechanics the motion characteristics and equations of motion, described from the equations of motion force, displacement, speed and acceleration, and the relationship betweenverify the conservation of energy for simple harmonic motion.In quantum mechanics, harmonic oscillator energy through the derivation and analysis, clearly see the harmonic oscillator in the macro world and the microscopic world of difference.
一个系于倔强系数为k的理想弹簧上并且在光滑水平面上量为m的物体就是简谐振子的一个例子，如图1所示。
图1简谐振动
1.2简谐运动方程及其特点
先将牛顿第二定律 应用到图1的运动中，以 代替 并且将加速度 写成 ,则得
该方程叫做简谐振子的运动方程[2]。根据微积分学，我们知道正弦函数和余弦函数都具有这种性质，这样就可以写出运动方程的尝试解为：
或
这一关系式清楚地表明：在平衡位置x=0处，速率为零。实际上，我们可以从能量守恒的方程出发，通过建方程 积分，而得到最为时间函数的位移。所得结果与式子 完全相同，而式子 是由运动的微分方程 推到出来的[5]。
2量子谐振子
2.1量子谐振子的运动方程
所谓的简谐振子就是一个受弹性力作用的系统，其势能
为弹簧系数， 为振子的经典频率。