动态最优化 变分法无限计划水平问题

代入欧拉方程
FK

d dt
FK

0,
FL

d dt
FL

0
得：QK

m
P
,
QL

W P
对于所有t 0
边际实际产出 实际边际要素成本（在每个t上成立）
第五讲 变分法无限计划水平
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
（1）乔根森模型（新古典投资模型）
如果设生产函数为柯布——道哥拉斯生产函数： Q K L
K K 2
C C aK2 bK
0
K
0
K
第五讲 变分法无限计划水平
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
（2）艾斯纳—斯特罗兹模型
被积函数：
F K CKet K K 2 aK2 bK et
得：
（2）艾斯纳—斯特罗兹模型
利用初始条件和横截条件得出定解：
由初始条件：K0 K0
得： K0 A1 A2 K
横截条件：
limF
t

KFK
lim
t
K

K 2
aK2
e t

0
第五讲 变分法无限计划水平
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
1dx lim b 1dx lim ln x b limln b ln1 lim ln b （发散）
1x
x b 1
b
1 b
b
第五讲 变分法无限计划水平
（二）无限计划水平的收敛性
无限计划水平变分法问题：
V
y


0
F
t
,
yt
,
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
（1）乔根森模型（新古典投资模型）
常数 K
*


m
P


1/
1




W
P


/ 1


是在所有时刻包括t=0时刻都满足的一阶条件，除非企业
的初始资本 K0 K* ，否则这个条件不满足。
*

A1

2 K
er1 t

A12
ar12

e2r1 t
A1A2 2ar1r2 2 er1r2 t A2 2 K er2 t
A22 ar22 e2r2 t K 2 K 2 et
（1）乔根森模型（新古典投资模型）
多个状态变量的欧拉方程：
V y1,, yn
T 0
F
t,
y1,,
yn
,
y1,,
yn
dt
Fyj

d dt
Fyj
0,对于所有t 0,T
（j 1,2,, n）
应用于乔根森模型，得欧拉方程组：
d
d
FK dt FK 0, FL dt FL 0
第五讲 变分法无限计划水平
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
（1）乔根森模型（新古典投资模型）
被积函数：
F PQK, LWL mK K et
由： FK PQK m et FK met
FL PQL W et FL 0
（K是资本存量）
2.重置投资：K （折旧率）
最优投资路径依赖于最优资本路径：
I
* g

K*t K*t
（乘数—加速数模型、新古典投资模型、托宾q理论模型等）
第五讲 变分法无限计划水平
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
（1）乔根森模型（新古典投资模型）
1. 企业假设使用资本K和劳动L两种要素生产产出，
yt

y（ 常数）
t
yT 0 ，第二项自动消失，不需要横截条件
如果终结状态是自由的，需附加横截条件：
lim Fy 0
t
第五讲 变分法无限计划水平
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
投资模型：
企业总投资（Ig）分为两个部分： 1.净投资
I dK / dt Kt K
动态最优化方法
——第5讲 变分法无限计划水平
第五讲 变分法无限计划水平
（一）无限计划水平问题
计划水平无限地延伸到未来。
即，目标泛函中的积分区间从 [0,T] 变成 [0, ∞)
V
y

T
0
F
t,
yt
,
yt
dt
变为 :
V

y



0
F
t
,
yt
,
yt
dt
是一个广义积分
代入欧拉方程公式：Fyy y(t) Fyy y(t) Fty Fy 0
得： 2aet K 2aK bet 2K et 0
2aK 2aK b 2K 0
K 2aK b 2K 0
N
K
,
L


0
PQK
,
L
WL
mKKetdt
（无限计划水平，广义积分形式）
第五讲 变分法无限计划水平
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
（1）乔根森模型（新古典投资模型）
4. 企业的目标：寻找最优的劳动和资本投入路径使 得现值净价值达到最大。
Max
N
K
,
L
（1）乔根森模型（新古典投资模型）
2. 企业的现金收入：PQ（P为产品价格） 企业的现金支出：工资额WL（W为单位货币工资） 新资本支出mIg（m为资本“机器”价格）
企业任何时刻的净收益：
PQK, LWL mIg PQK, LWL mK K
3. 把所有未来时期的净收益进行折现，并在时间上加 总，得企业的现值净价值：
2a
2a
此问题的欧拉方程：K K K b
a
2a
欧拉方程通解： K *t A1er1t A2er2t K
r1, r2

1 2

2 4 / a ,
K b 2
第五讲 变分法无限计划水平
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
yt
dt
收敛性的充分条件（一）：

给定广义积分

0
F
t,
yt
,
yt dt
，如果被积函数F在整
个积分区间上是有限的，而且如果F在某个有限时
刻（t0）处达到0，且对于所有t>t0保留为0，那么此
积分将收敛。
F

0
F
t,
yt
,
yt
dt

t0 0
F
t,
yt
,
yt
t 时F 0并不一定意味着积分收敛
例子：
I1
0
t
1
12
dt

lim
b
b 0
t
1
12
dt

lim 1 b b t 1 0

lim 1 1 b b 1
1
I2
1 dt lim 0 t 1 b
b 1 dt limlnt 1b lim ln b
0
要求两项中的任何一项都必须单独趋于0
第五讲 变分法无限计划水平
（三）无限计划水平的横截条件
第一项：
F

yFy
T
t
由于没有固定的T，T 非零，所以要求下列条件：
lim F yFy 0
t
第二项： Fy t yT
如果问题设定了一个渐近终结状态：lim
得到：
QK K 1L , QL K L 1
代入欧拉方程，得到最优劳动和资本的路径：
K
*

m
P



1/
1




W
P

/1


常数
1/ 1
L*


W
P
K
*

常数
第五讲 变分法无限计划水平
Gt, yt, ytetdt 0
Gˆetdt Gˆ
0
et dt Gˆ et
0

0

Gˆ 0

1



Gˆ

所以此积分收敛
第五讲 变分法无限计划水平
（二）无限计划水平的收敛性
注意：以下条件并非充分条件
对于积分0 Ft, yt, ytdt ，
Max
K



0

K


C
K
e
t
dt
S .T .
K
0

K（0 K
给定）
0
广义积分。净收益是有上界的，所以此广义积分收敛。
第五讲 变分法无限计划水平
（四）经济学例子——企业的最优投资路径
（2）艾斯纳—斯特罗兹模型
假设利润函数和成本函数是线性二次函数形式：
K K K 2（, , 0） C CK aK2 bK（, a,b 0）
2. 扩张规模将导致一个调整成本，调整大小随扩张速度 而正向变化
调整成本： C CK C 0