黄冈中学2011年高三五月模拟考试数学(理)试题及答案

二 r A 、 -------c 2r2 ，11、抛物线y=ax 与直线的取B 、C2c ry = 1 ，y=2围成的正方形有公共点,范 围 则实数a是黄冈中学2011年自主招生预录考试数学试卷、填空题（5x8 =40分） x y = 262、 若对任.意实数x 不等式ax 》b 都成立，那么a 、b 的取值范围为1 …，，……一…3、 设—14x42，贝U x —2 —— x + x +2的最大值与最小值之差为24、两个反比例函数y=3 , y=§在第一象限内的图象点P 、P 2、F 3、，•、&07在反x x6 ................................... ..............................................................比例函数y = 一上，匕们的横坐标分别为 x 1、x 2、x 3、，、x 2007，纵坐标分别是1、 x 3、5,共2007个连续奇数，过 R 、F 2、P 3、,、 P 2007分别作y 轴的平行线，与 y=3 的图象交点依次为 Q 1（x 1',y 「）、Q 2（x 2‘，y 2‘）、,、 Q 2007 （x 2007 , y2007）,则xp 2007Q2007 = ---------------------------------------------------如右图，圆锥的母线长是 3,底面半径是1, A 是底面圆周上一点，从 A 点出发绕侧面 一周，再回到 A 点的最短的路线长是 6、 有一张矩形纸片 ABCD , AD =9 , AB =12，将纸片折叠使 A 、C 两点重合，那么折痕长是 ______________2 一 一 _ ….....7、 已知3、a 、4、b 、5这五个数据，其中 a 、b 是方程x — 3x + 2 = 0的两个根，则这五个数据的标准差是 8、若抛物线y=2x 2-px+4p+1中不管p 取何值时都通过定点，则定点坐标为二、选择题(5区8 =40分)9、如图，AABC 中，D 、E 是BC 边上的点，BD : DEAC 边上，CM : MA = 1 : 2 , BM 交 AD 、 BH : HG : GM 等于A 、 3:2:1B 、 5:3:1C 、 25:12:510、若一直角三角形的斜边长为 c,内切圆半径是r,则内切圆的面积与三角形面积之比是（）1、方程组*x +1 +切一1 = 2的解是 5、 :EC =3: 2:1, M 在AE 于H 、 G ，则 ()D 、 51:24:1012、有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本10本，圆珠笔1支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆 珠笔各1件 共 需( )A 、1.2 元B 、1.05 元C 、0.95 元D 、0.9 元13、设关于x 的方程ax 2+(a+2)x+9a =0 ,有两个不相等的实数根x 〔、X 2 ,且C 、 13：x ：516、某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了x% ,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 x% , 则第三季度的产值比第一季度增长了 ( ) A 、2x%B 、1 2x%C 、(1 x%) ,x%D 、(2 - x%)，x%三、解答题17、(15分)设m 是不小于 T 的实数，关于 x 的方程x 2 +2(m —2)x + m 2 —3m+3 = 0有22两个不相等的实数根 x 1、x 2, (1)若x 12 +x 22 =6，求m r 值；(2)求mx 1 + mx 21 - x 〔 1 _ x ?的最大值。

湖北省华师一附中2011届高三五月模拟考试数学（理）试题考试时间：2011年5月13 日下午15∶00 ～ 17∶00一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1． 已知全集R =，集合1{|0}2x A x x +=≤-，则集合U C A 等于（ ）A ．{|12}x x x <->或B ．{|12}x x x ≤->或C ．{|12}x x x <-≥或D ．{|1}x x ≤-≥或x 22． 已知集合{|}n M m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是（ ）A ．(1)(1)i i ++-B ．(1)(1)i i +--C ．(1)(1)i i +-D ．11ii+- 3． 如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.273=， []0.60=， []1.62-=-, 那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足π2515=S ，则tan a 的值是（ ）A B ．C ．D ．5． 已知//,,a B αβαβ⊂∈，则在β内过点B 的所有直线中（ ） A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线6． 抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为（ ）A ．116B ．14C ．38D ．127． 某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（ ）A ．10辆A 型出租车，40辆B 型出租车 B ．9辆A 型出租车，41辆B 型出租车C ．11辆A 型出租车，39辆B 型出租车D ．8辆A 型出租车，42辆B 型出租车8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若对任意[,]x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“亲密函数”，区间[,]a b 称为“亲密区间”．若2()2f x x x =++与()21g x x =+在[,]a b 上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（ ）A ．[0,2]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[1,0]-9． 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,,9的9个小正方形（如右图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ） A ．108种B ．60种C ．48种10．已知定义在]8,1[上的函数 348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是( ) A ．1)6(=fB ．函数)(x f 的值域为]4,0[C ．将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上．)11．已知二项式2(2nx 展开式中第9项为常数项,则=n ．12．设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则函数()f x 的递增区间为 ． 13．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若3E ξ=，则Dξ的值是________．14．如图2，长方体1111ABCD A B C D -中，其中,AB a =，1,AD b AA c ==外接球球心为点O ，外接球体积为323π，若2214a b +的最小值为94,则,A C 两点的球面距离为 ． 15．设11(,)M x y ，22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为 ． )1(不论δ为何值，点N 都不在直线l 上；)2(若1δ=，则过M ，N 的直线与直线l 平行； )3(若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；)4(若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）图1如图216. （本小题满分12分）已知向量1(sin ,1cos2),(sin cos ,cos2)2x x x x x =+=-+a b ，定义函数()(f x =⋅-a a b)（Ⅰ）求函数)(x f 最小正周期； （Ⅱ）在△ABC 中,角A 为锐角，且7,()1,212A B f A BC π+===，求边AC 的长． 17．（本小题满分12分）如图3，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面正三角形的边长是2，D 是1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角是45．（Ⅰ）求二面角A BD C --的大小； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离．18.（本小题满分12分）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为2(51220)8100x x k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元. （Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？19．（本题满分12分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈．（Ⅰ）求()f x 的解析式；B1C 图3（Ⅱ）若数列{}n a 满足'111()n n f a a +='(0)f n ='111()n nf a a +=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）记n b =n T 为数列{}n b 的前n 项和．求证:423n T ≤< ．20．（本小题满分13分）给定椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O ，C的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为20)F ，其短轴上的一个端点到2F（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.21．（本题满分14分）已知函数()()()f x x x a x b =--，点(,()),(,())A s f s B t f t ． （Ⅰ）若0,3a b ==，函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围；（Ⅱ） 当0a =时，()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，求b 的取值范围； （Ⅲ）若0a b <<，函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且a b +<O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.参考答案一、1．C 2．D3．A4．B5．D6．C7．A8．B 9． A 10．C二、11． 10 12．[1,1]-13．5914．23π 15．(1)(2)(3)(4)三、16．解：（Ⅰ） cos21()(cos sin 2x f xx x +=⋅-=+a a b) 11(sin 2cos 21))242x x x π=++=++ ∴ππ==22T…………6分 （Ⅱ）由()1f A =得1)1242A π++=，∴sin(2)4A π+且)45,4(42πππ∈+A ∴3244A ππ+=，4A π= 又∵712A B π+=，∴3B π= …………10分在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC AC A B =，∴sin sin BC BAC A= …………12分17．解：解法一（Ⅰ）设侧棱长为x ，取BC 中点E ，则AE ⊥面11BB C C，∴45ADE ∠=︒∴tan 45AEED︒=x = …………3分过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，则AF BD ⊥，AFE ∠为二面角ABD C --的平面角∵sin EF BE EBF =∠=，AE ∴tan 3AE AFE EF∠== 故二面角A BD C --的大小为arctan 3 ………… 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD ⊥面AEF ，∴面AEF ⊥面ABD过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥面ABD∴30AE EF EG AF ==∴C 到面ABD 的距离为2EG =………… 12分 解法二：(Ⅰ)求侧棱长x =……………3分 取BC 中点E , 如图建立空间直角坐标系E xyz -， 则(0,A ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C ，0)D 设(,,)n x y z =是平面ABD 的一个法向量，则由0n AB n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(3,1)n =-- 而(0,EA =是面BCD 的一个法向量xyzA BCDA 1B 1C 1ABC D A 1B 1C 1F GE E∴10cos 10EA n EA n EA n<>==-．而所求二面角为锐角， 即二面角A BD C --的大小为………… 6分 （Ⅱ）∵(1,CA =- ∴点C 到面ABD 的距离为30CA n d n==………… 12分 18．解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有n 个座位，则k x n =即kn x=， 222(51220)2051220128()100100x x k k x y k k k x x x ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦， 定义域|0,Z 4k k x x x ⎧⎫<≤∈⎨⎬⎩⎭； …………5分（Ⅱ）当100k =时，250≤<x 令22000100(51220)y x x=++ 22000()512f x x x =+，则322200020001024()10240x f x x x x -+'=-+== ∴31000512x =，∴54x = …………10分当5(0,)4x ∈时，()0f x '<，即()f x 在5(0,)4x ∈上单调减，当5(,25)4x ∈时，()0f x '>，即()f x 在5(,25)4x ∈上单调增，min y 在54x =时取到，此时座位个数为1008054=个． …………12分 19．解：（Ⅰ）()2f x ax b '=+，有题意知2b n =，21640n a nb -=∴1,22a b n ==，则21()2,N *2f x x nx n =+∈ ……………3分（Ⅱ）数列{}n a 满足111()n nf a a +'=又()2f x x n '=+，∵1112n n n a a +=+，∴1112n nn a a +-=， 2112462(1)4n n n n a -=++++-=-2221114()(N*)12(21)()2n n n a n a n n ⇒=-⇒==∈--当1=n 时,41=a 也符合……………7分 （Ⅲ）4112()(21)(21)2121n n n b n n ==--+-+=1212231n n n n T b b b a a a a a a +=+++=+++[]111112(1)()()3352121n n =-+-+++--+12(1)21n =-+ ……………10分 ∵213n +≥，142(1)213n -≥+， 又12(1)221n -<+∴423n T ≤<……………12分 20． 解：（Ⅰ）由题意得：a c =则1b =椭圆C 方程为2213x y +=“伴随圆”方程为224x y += ……………3分 （Ⅱ）则设过点P 且与椭圆有一个交点的直线l 为：y kx m =+， 则2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222136(33)0k x kmx m +++-= 所以()()()2226413330km k m ∆=-+-=，解2231k m +=① ……………5分又因为直线l 截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为22，则有=()2221m k =+ ② ……………7分联立①②解得，221,4k m ==，所以1k =±，2(0)m m =-<，则(0,2)P - ……………8分（Ⅲ）当12,l l 都有斜率时，设点00(,),Q x y 其中22004x y +=， 设经过点00(,),Q x y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y k x x y =-+，由0022()13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到[]22003()30x kx y kx ++--= ……………9分 即2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=，[]22200006()4(13)3()30k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⋅+--=⎣⎦，经过化简得到：2220000(3)210x k x y k y -++-=， ……………11分 因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=， 设12,l l 的斜率分别为12,k k ，因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点，所以12,k k 满足方程222000(3)2(3)0x k x y k x -++-=， 因而121k k ⋅=-，即直线12,l l 的斜率之积是为定值1- ……………13分21． 解：（Ⅰ）当0,3a b ==时，322()3,'()36f x x x f x x x =-=-，令'()0f x =得0,2x =，根据导数的符号可以得出函数()f x 在0x =处取得极大值，在2x =处取得极小值．函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值， 则只要0t <且32t +>即可，即只要10t -<<即可．所以t 的取值范围是(1,0)-． ………… 4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 即2ln 10x bx x -++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，也即ln 1x b x x x ≤++在对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立． 令ln 1()x g x x x x =++，则22221ln 1ln '()1x x x g x x x x --=+-=． ………… 6分 记2()ln m x x x =-，则2121'()2x m x x x x -=-=，则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x =故也是最小值点，所以1()02m x m ≥=->， 从而'()0g x >，所以函数()g x 在1[,)2+∞单调递增．函数min 15()2ln 222g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．故只要52ln 22b ≤-即可．所以b 的取值范围是5(,2ln 2]2-∞- ………… 9分 （Ⅲ）假设OA OB ⊥，即0OA OB =， 即(,())(,())()()0s f s t f t st f s f t =+=， 故()()()()1s a s b t a t b ----=-，即22()()1st s t a a st s t b b ⎡⎤⎡⎤-++-++=-⎣⎦⎣⎦．由于,s t 是方程'()0f x =的两个根，故2(),,033abs t a b st a b +=+=<<．代入上式得2()9ab a b -=． ………… 12分229()()4412a b a b ab ab ab+=-+=+≥，即a b +≥a b +<矛盾，所以直线OA 与直线OB 不可能垂直． ………… 14分。

文科数学试题参考答案及评分标准一．选择题A卷：BABDB BDCAB 选择题B卷：CACBB CDCBC二．填空题：11．±2 12．4913．3π14．12xy=-15．52三．解答题：16．(1)解：()2(sin cos )2sin()224f x x x x π=-=- 2分 ∴函数的最小正周期为2π，值域为{|22}y y -≤≤． 4分(2)解：依题意得：62sin()25πα-=，3sin()45πα-= 6分 ∵344ππα<<，∴042ππα<-<∴4cos()45πα-== 8分 ()2sin 2sin[()]444f πππααα+==-+ 2[sin()cos cos()sin ]44ππππαα=-+- 10分 342(55=+= 12分17．(1)解：由已知有112101345m n C C mn C ⋅==，∴15mn =， 4分又8m n +=，m n <，∴ 35m n =⎧⎨=⎩ 6分 (2)解：小球的编号数之和为4有两种情况：两个2号球或者1号球和3号球各一个 8分则所求概率2113252101345C C C P C +==． 12分18．(1)证明：ABC ∆中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠2422cos452=+-⨯︒=2分 ∴222AC BC AB =-，AB AC ⊥，又AB ∥CD ，∴CD ⊥AC由PA ⊥平面ABCDE 得：PA ⊥CD ，∴CD ⊥平面PAC ，4分 ∴平面PCD ⊥平面PAC6分 (2) 解法一：由(1)知，△PAC 是等腰直角三角形取PC 中点F ，连结AF ，则AF ⊥PC又CD ⊥平面PAC ，∴CD ⊥AF故AF ⊥平面PCD 8分过P 作PQ ∥AB 且PQ = AB ，∵AB ∥CD ，∴PQ ∥CD ，因此点Q 在平面PCD 内连结AQ ，则AQ∥PB∴PB 与平面PCD 所成角等于AQ 与平面PCD 所成角连结QF ，则∠AQF 就是AQ 与平面PCD 所成角 10分在△PAB 中，2PB =∴AQ = PB = 2在△PAC 中，AF = 1，∴1sin 2AF AQF AQ ∠== ∴AQ 与平面PCD 所成角为30°，即PB 与平面PCD 所成角为30°． 12分解法二：设点B 到平面PCD 的距离为d ，PB 与平面PCD 所成角为θD E C B A P Q F在三棱锥B －PCD中，2PC =在直角梯形ACDE 中，45EAC ACB ∠=∠=︒，∴cos CD AE EAC =⋅∠=，11222PCD S CD PC ∆=⋅=⨯=8分 在三棱锥P BCD -中，111sin 2sin135222BCD S BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=⨯︒=由B PCD P BCD V V --=得；1133PCD BCD S d S PA ∆∆⋅=⋅，解得：d = 1 10分 ∴1sin 2dPB θ==，30θ=︒即PB 与平面PCD 所成角为30︒．12分 解法二：以AB AC AP 、、为x 、y 、z 轴建立直角坐标系，则 P (0，0)，B，0，0)，C (0，0) 在直角梯形ACDE 中，45EAC ACB ∠=∠=︒，∴cos 2CD AE EAC =⋅∠=∴D(2-，0)8分 2(202)(022)(00)2PB PC CD =-=-=-，，，，，，，，设n = (x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量，则 ()(00()(00)0x y zx y z ⎧⋅-=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，即000x y z x -==⎧⇒⎨⎨=⎩=⎪⎩ 10分 不妨取n = (0，1，1)，则1cos 2PB <>==-n ，∴PB 与n 的夹角为120°故PB 与平面PCD 所成角为120°－90°= 30︒12分19．(1)解：由已知(1)n n S m ma =+-，11(1)n n S m ma ++=+-， 两式相减，得：11n n n a ma ma ++=-，即11n n a ma m +=+，所以{}n a 是等比数列．4分 (2)解：当n = 1时，111a m ma =+-，则11a =，从而113b =由(1)知，()1m q f m m ==+，所以111()1nn n n b b f b b ---==+ (n ≥2)6分 ∴11111111n n n n b b b b --=+⇒-=，8分 ∴1{}nb 是首项为3，公差为1的等差数列故13(1)2n n n b =+-=+，12n b n =+10分 ∴1111(2)(3)23n n b b n n n n +⋅==-++++∴12231111111()()()344523n n n T b b b b b b n n +=+++=-+-++-++ 113339n n n =-=++． 12分20．(1)解：由题意，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>> 则24a =，得2a =，1b = ∴椭圆方程为2214x y +=． 4分(2)解：当直线MN ⊥x 轴时，直线MN 的方程为65x =-，代入椭圆方程2214x y +=得 45y =±，∴6464()()5555M N ---，，， 设直线MN 与x 轴交于点P ，且A (－2，0)；得4455AP PN ==， ∴4NAP π∠=，得：2MAN π∠=．6分 当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为：65x ky =-， 联立直线MN 和曲线C 的方程可得：226514x ky x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：221264(4)0525k y ky +--=， 8分 设11()M x y ，，22()N x y ，，则122125(4)k y y k +=+，1226425(4)y y k =-+ 10分 则211221212416(2)(2)(1)()0525AM AN x y x y k y y k y y ⋅=++=++++=，， ∴2MAN π∠=． 13分 21．(1)解：2()(4)4(4)(1)f x mx m x mx x '=-++=--．2分 若m > 4，则401m<<， 此时，当4()(1)x m ∈-∞+∞，，时，()0f x '>，当4(1)x m∈，时，()0f x '<． ∴f (x )的单调递增区间为4(]m-∞，和[1)+∞，． 4分 若4m =，则2()4(1)0f x x '=-≥，∴f (x )的单调递增区间为()-∞+∞，．6分 (2)解：当0m <时，24()(4)4()(1)f x mx m x m x x m '=-++=--且41m<， ∴当2≤x ≤3时，有()0f x '<，∴()f x 在[2，3]上单调递减8分 ∴max 2()(2)13m f x f ==+． 10分 ()5g x mx =+在[2，3]上单调递减．min ()(3)35g x g m ==+． 12分由已知max min 27()()(1)(35)4133m f x g x m m -=+-+=--≤ 解得157m -≥，又m < 0，∴1507m -<≤． 综上所述，存在15[0)7m ∈-，使对任意12[23]x x ∈、，，都有12()()1f x g x -≤成立． 14分。

湖北省黄冈中学2014届高三适应性考试 数学（理工类）试题 本试卷共页，．满分150分．考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效． 4．．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1（其中是虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知条件；条件，则 是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3．为如图所示的程序框图中输出的结果，则化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 4．在长为的线段上任取一点，以为邻边作一矩形，则矩形面积小于的概率为（ ） A． B． C． D． 5．在△中，，，，则（ ） A． B． C． D． 6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次不同视为不同情形）共有（ ） A．10种 B．15种 C．20种 D．30种 7．设函数，其中是集合的非空真子集的个数，则的展开式中常数项是（ ） A． B． C． D． 8．如图是函数在一个周期内的图象，则阴影 部分的面积是（ ） A． B． C． D． 9．函数（其中是自然对数的底数）的图象上存在 点满足条件：，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．定义函数，则函数在区间 内的所有零点的和为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共6小题，考生作5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必题（11—14题） 的定义域为 12．一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 13．已知，则的最大值是 14．已知双曲线中， 是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得△构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 （）选题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请在答题卡指定位置将你所选的题目序号用2B铅笔涂黑．如果全，则按第15题作答结果计分.） 15．（选修41：几何证明选讲）为△外接圆的切线，平分， 交圆于，共线．若,,，则圆的半径是 16．（选修4：）中，曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则两曲线交点间的距离是 的值； （Ⅱ）求函数的单调递增区间. 18．（本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次某同学在A处的命中率，在B处的命中率为该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分求； 求随机变量的数学期望已知在等比数列，数列满足. （）求数列的通项公式； （）数列的前项和，若，恒成立，求的取值范围. 20．（本小题满分12分）如图，斜边上的高，沿把△的两部分折成直二面角 （如图2），于. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设与平面的角为，二面角的大小为，求证：，为的中点，在线段上是否存在一点，使得?若存在，求的；若不存在，请说明理由． 21．(本题满分1分过点相切，圆心的轨迹是曲线. （Ⅰ）求C的方程； 过点的任一的直线与线交于两点，直线与直线交于点，记直线的斜率分别为，问是否存在实数，使得若存在，求出的值，若不存在，说明理由．（其中是自然对数的底数）. （Ⅰ），恒成立，求的取值范围； （Ⅱ）满足，且，证明： （）数列的各项为正且单调递减； （）. 湖北省黄冈中学2014届高三适应性考试 数学（理工类） 答案及评分标准 一、A卷答案BCABC CBBDD B卷答案BACBD CBDAD 以下是A卷答案 1.,共轭复数为，对应的点位于第二象限,选B. 2.;.选C. 3. 由程序框图知，，直到，故,,选A. 4.设，则，解得或，又，所以或，于是所求的概率为，选B. 5.由得，是的中点，所以. ,选C. 6.两人比赛局数为3局、4局或5局.当局数为3时，情况为甲或乙连赢3局，共2种;当局数为4时，若甲胜，则甲第4局胜，且前3局胜2局，有种情况，同理乙胜也有3种情况，共6种；当局数为5时，前四局甲、乙各胜两局，最后一局赢的人获胜，有种情况.故总共有20种情况,选C. 7.，所以，其展开式通项是 ，故时，通项是常数项，选B. 8.函数的周期，.阴影部分面积为: .选B. 9.当的图象与相切时，设切点为，则切线斜率为.由得.所以当的图象与相切于时，的值最大.此时. 当过原点时，.此时的图象与直线的交点为在点的上方.故当图象过点时，的值最小，此时.综上所述，，选D. 10. . 作出函数在上的图象，它是顺次连接点的两条线段；再作函数在上的图象，它是前一段图象横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标缩为原来的得到的，即为顺次连接点的两条线段；再作函数在上的图象，它是顺次连接点的两条线段；……；如此下去，可得函数的图象.而反比例函数的图象正好过点，…. 所以函数的零点从小到大依次构成首项为，公式为的等比数列,该数列记为，则.又,故函数的上有个零点，它们的和为，选D. 二、填空题： 12. 几何体是一个半球和一个圆台的组合体,体积为 . 13.由柯西不等式得， . 等号当且仅当，且，即时成立，故所求的最大值为. 14.以为直径的圆与线段有两个不同的交点，所以圆的半径大于点到的距离，且小于的长.故，解得. 15. 连接，则是圆的直径,于是. 为外接圆的切线, 平分, 又， ∴.∴ ∴，，∴圆的半径是. 16.的一般方程为.曲线的直角坐标方程为.由得交点坐标为，它们之间的距离为. 三、17.（Ⅰ）,,∴.…………………………………6分 （Ⅱ）…8分 , ……………………………………10分 ∴当时，即在区间上单调递增. …………………………………………………………………12分 18.（Ⅰ）.……………………………………………………………4分 （Ⅱ）; ; ; ; .…………………………………………………9分 随机变量的02345 0.030.240.010.480.24 ∴.……………………………12分 19.(Ⅰ)设公比为，则. .……………………………………………………………………………………2分 时，. ∴………………………………………………………………………5分 （Ⅱ），， 两式相减得：. ∴时，； 时，，， 两式相减得：. ∴,有.……………………………………………………………7分 , 记，则， ∴， ∴数列递增，其最小值为. 故.…………………………………………………………………12分 20.（Ⅰ）∵，∴是二面角的平面角.又∵二面角是直二面角，∴,∴平面，∴，又，∴平面，∴.…………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ） ,. 又， ∴.………………………8分 (Ⅲ)连接交于点，连接,则∥. ∵,∴,∴为的中点， 即在线段上是否存在一点，使得， 此时.………………………………………………………………12分 21. (Ⅰ)点到的距离与到直线的距离相等，所以曲线是以为焦点的抛物线.设为，则，故曲线的方程为.…………………………………………4分 (Ⅱ)设直线的斜率为，则直线的方程为. 由得. ∴.………………………6分 设. 由得，. ∴.………………………………………………8分 ∴ ……………………………………………………………………………11分 ∴,即.………………………………………………………………………13分 22.（Ⅰ）上，，单调递增； 在上，，单调递减； ∴.∴.………………………………………………………4分 （Ⅱ）. 当时，，结论成立；若时结论成立，即. 令，则，在上，递增. 而，∴在上，∴. 于是，由,即，时结论成立. 由数学归纳原理，. 又由（Ⅰ）知时，. ∴,数列单调递减.……………………9分 （）我们先证明.① .② 令，则 ， 在上，，递增. 而，∴在上，. 故②成立，从而①成立. 由于，所以 .………………………………14分 ： ： x y 12题图 俯视图 侧视图 正视图 2 2 4 4 3 8题图 3题图 结束 输出a i<2014？ a=2,i=1 开始 O A1 A2 B F 14题图 P A B O 15题图 C D 图2 B C A D F E P D 图1 A C B x y O 2 x y O y x O A1 A2 B 15题图 C D 图2 B C A D F E P M。