2023届山东省高考模拟练习(一)数学试题

保密★启用前2023年高三一模考试数学试题2023.2注意事项：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将姓名､考生号等个人信息填写在答题卡指定位置.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =--<∣，则R A =ð（）A.{12}xx -<<∣ B.{}12xx -≤≤∣C.{1}{2}xx x x <-⋃>∣∣ D.{}{}12xx x x ≤-⋃≥∣∣2.设()i 2i z =-，则z =（）A.12i+ B.12i-+ C.12i- D.12i--3.2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步.月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n 次其厚度就可以超过地球到达月球的距离，那么至少对折的次数n 为（）()lg20.3,lg3.80.6-=A.40B.41C.42D.434.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且,,,A B C D 四个顶点在同一平面内，下列结论：①AE ∥平面CDF ；②平面ABE ∥平面CDF ；③AB AD ⊥；④平面ACE ⊥平面BDF ，正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.45.过抛物线2:4C y x =焦点F 作倾斜角为30 的直线交抛物线于,A B ，则AB =（）A.13B.23C.1D.166.为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（）A.9种B.11种C.15种D.30种7.设实数,x y 满足1,0,0x y y x +=>≠，则2xx y+的最小值为（）A.2B.2+1-1+8.定义在实数集R 上的函数()y f x =，如果0x R ∃∈，使得()00f x x =，则称0x 为函数()f x 的不动点.给定函数()()cos ,sin f x x g x x ==，已知函数()()()()(),,f x f g x g f x 在()0,1上均存在唯一不动点，分别记为123,,x x x ，则（）A.312x x x >> B.231x x x >>C.213x x x >> D.321x x x >>二､多选题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列命题正确的有（）A.频率分布直方图中a 的值为0.04B.这100名学生中体重不低于60千克的人数为20C.这100名学生体重的众数约为52.5D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.2510.已知圆22:4O x y +=，下列说法正确有（）A.对于m R ∀∈，直线()()211740m x m y m +++--=与圆O 都有两个公共点B.圆O与动圆22:()()4C x k y -+=有四条公切线的充要条件是2k >C.过直线40x y +-=上任意一点P 作圆O 的两条切线,PA PB （,A B 为切点），则四边形PAOB 的面积的最小值为4D.圆O 上存在三点到直线20x y +-=距离均为111.已知函数()()*sin cos nnn f x x x n N=+∈，下列命题正确的有（）A.()12f x 在区间[]0,π上有3个零点B.要得到()12f x的图象，可将函数y x =图象上的所有点向右平移8π个单位长度C.()4f x 的周期为2π，最大值为1D.()3f x 的值域为[]2,2-12.已知双曲线22:13y E x -=的左､右焦点分别为12F F ､，过点C ⎛ ⎝⎭的直线l 与双曲线E 的左､右两支分别交于P Q ､两点，下列命题正确的有（）A.当点C 为线段PQ 的中点时，直线lB.若()1,0A -，则222QF A QAF ∠∠=C.212||PF PF PO ⋅>D.若直线l的斜率为(B ，则11PF QF PB QB +=+三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知夹角为60的非零向量,a b 满足2a b = ，()2a tb b -⊥ ，则t =__________.14.定义在R 上的函数()(),f x g x ，满足()23f x +为偶函数，()51g x +-为奇函数，若()()113f g +=，则()()59f g -=__________.15.设,x y 均为非零实数，且满足sincos955tan 20cos sin 55x y x y πππππ+=-，则y x =__________.16.正三棱锥P ABC -的高为,PO M 为PO 中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥分为上下两部分，设上､下两部分的体积分别为12V V ､，则12V V =__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）如图，在平面四边形ABCD 中，(0),1ABC AB BC CD ∠θθπ=<<===，AC CD ⊥.（1）试用θ表示BD 的长；（2）求22AC BD +的最大值.18.（12分）为了促进学生德､智､体､美､劳全面发展，某校成立了生物科技小组，在同一块试验田内交替种植A ､B ､C 三种农作物（该试验田每次只能种植一种农作物），为了保持土壤肥度，每种农作物都不连续种植，共种植三次.在每次种植A 后会有13的可能性种植2,3B 的可能性种植C ；在每次种植B 的前提下再种植A 的概率为14，种植C 的概率为34，在每次种植C 的前提下再种植A 的概率为25，种植B 的概率为35.（1）在第一次种植B 的前提下，求第三次种植A 的概率；（2）在第一次种植A 的前提下，求种植A 作物次数X 的分布列及期望；19.（12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，,,2,3AD CD AD BC AD CD BC ⊥===∥，11A C 与11B D 交于,E G 为棱1BB 上一点，且13BB BG =，点1C 到平面1A BD.（1）判断AG 是否在平面1AED 内，并说明理由；（2）求平面1AD E 与平面11AA D 所成角的余弦值.20.（12分）已知首项不为0的等差数列{}n a ，公差0,0t d a ≠=（t 为给定常数），n S 为数列{}n a 前n 项和，且(){}1212,m m n S S m m b =<为21m m -所有可能取值由小到大组成的数列.（1）求n b ；（2）设()()121(1),11nn n n n n c T b b ++=-++为数列{}n c 的前n 项和，证明：216n T ≤-.21.（12分）已知函数()22xf x me x x =--+.（1）若函数()f x 在R 上单调递增，求m 的取值范围；（2）若0m <，且()f x 有两个零点12,x x ，证明：1233mx x -<+.22.（12分）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点分别为())12,,F F A 为椭圆C 上一点，12F AF.（1）求椭圆C 的方程；（2）若B D ､分别为椭圆C 的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于P Q ､（P 在上方，Q 在下方，且均不与,B D 点重合）两点，直线,PB QD 的斜率分别为12,k k ，且213k k =-，求PBQ 面积的最大值.2023.02高三一模数学参考答案一､单选题题号12345678答案DCDDACAC二､多选题题号9101112答案ACDBCBCBCD三､填空题13.214.115.116.421四､解答题17.解：因为ABC θ∠=（0θπ<<），1AB BC CD ===，AC CD ⊥，所以,22BCA πθ∠=-(,22222BCD BCA πππθθπ∠=+∠=+-=-在BCD ∆中，2222cos 22cos ,2BD BC CD BC CD BCD θ=+-∠=+（1）所以2cos ;4BD θ==（2）在ABC ∆中，2222cos 22cos ,AC AB BC AB BC ABC θ=+-∠=- 22222cos 22cos4cos 2cos6,222AC BD θθθθ-++=-+++=因为0θπ<<，所以0cos1,2θ<<当1cos24θ=时，取到最大值254.故22AC BD +的最大值是25.4-18.解：设i A ，i B ，i C 表示第i 次种植作物A ，B ，C 的事件，其中1i =，2，3.（1）在第一次种植B 的情况下，第三次种植A 的概率为32132()(|)(|)P A P C B P A C =3234510=⨯=；（2）由已知条件，在第1次种植A 的前提下：21()3P B =，321(|)4P A B =，323(|)4P C B =，22()3P C =，322(|)5P A C =，323(|)5P B C =，因为第一次必种植A ，则随机变量X 的可能取值为1，2，-2323322322323113(1)()()(|)()(|)()534320P X P C B P B C P B C P C P C B P B ==+=⋅+⋅=⨯+⨯=，232332232222117(2)()()(|)()(|)()534320P X P C A P B A P A C P C P A B P B ==+=⋅+⋅=⨯+⨯=，所以X 的分布列为：X 12P132072013727()12202020E X =⨯+⨯=.19.解：以A 为坐标原点，过A 作与AD 垂直的直线为x 轴，1,AD AA 所在的直线分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设直四棱锥的高为m ，则()()0,2,0,2,1,0D B -，x()()112,2,,0,0,C m A m ，()12,1,A B m =- ，()112,2,0A C = ，()10,2,A D m =-，设平面1A BD 的一个法向量为()1111,,n x y z =，则111100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即111112020x y mz y mz --=⎧⎨-=⎩取()13,2,4n m m = .-所以点1C 到平面1A BD 的距离为1111n AC d n ⋅===令2m =.（1）设平面11AB D 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由()12,1,2AB =- ，()10,2,2AD =，则212100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222222+202+20x y z y z -=⎧⎨=⎩，取()23,2,2n =-- ，而22,1,3AG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()()()222023+12+2=033AG n ⋅=⨯--⨯-⨯-≠ ，又1AB 与AE ，1AD 共面，故直线AG 不在平面1AED 内.说明：能判定正确的得一分，用不同的方法说明理由，只要正确，该问即可满分.（2）依（1）知平面1AED 的一个法向量为()23,2,2n =--，易知平面11AA D 的一个法向量为()31,0,0n =，设二面角11E AD A --的平面角为α，则1212cos n n n n α⋅=== 11E AD A --.20.解（1）由题意得，1(1)0t a a t d =+-=，得1(1),,a t d =-①由1212()m m S S m m =<，得112212(1)(1),,22m m m m m a d m a d --+=+②由①②，可得1221,m m t +=-且1121221,1,m m m t m t <+=-≤≤-所以1-由211221m m m t -=-+-，当111,m m t ≤≤-在1范围内取值时21m m -的所有取值为：23,25,.....,5,3,1.t t --所以21(1);6n b n n t =-≤≤------1分（说明：直接写出：由题意得21,n b n =-或由题意得21,n b n =-或由题意得21m m -得21m m -的所有取值为：1,3,5,7,.....得以21n b n =-的给.）（2）12121111(1)(1)(1),(1)(1)4(1)41nn n n n n n n c b b n n n n +++⎛⎫=-=-=-+ ⎪++++⎝⎭所以11111111111....1,41223212221421n T n n n n n ⎛⎫⎛⎫=--++---+=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭由于111421(1)n n t T n ⎛⎫=- ⎪+⎝≤≤-⎭1是递减的，所以11111.4216n T T ⎛⎫≤=-⎪⎭=- +⎝-21.解：（1）函数()f x 在R 上单调递增，因此'()210x f x me x =--≥，21xx m e+≥，记21()x x g x e +=，则12'()0x x g x e -==，得12x =.当12x <时，函数()g x 单调递增；当12x >时，函数单调递减，所以()g x 在12x =处取最大值122e -，因此122m e -≥；（2）不妨设12x x <，由121120x me x x --+=，222220x me x x --+=，即12,x x 为方程22xx x m e+-=的两根，由0m <，所以12,(2,1)x x ∈-，记22()x x x h x e +-=（21x -<<），则23'()0x x x h x e -++==，得x =()h x在⎛- ⎝⎭上单调递减，在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，()h x 在2x =-处的切线方程为23(2)y e x =-+，记21()3(2)h x e x =-+（21x -<<），则1()h x 单调递减，则1()()h x h x -=22xx x e +-+223(2)(2)(31)0x x e x e x e x -++=++->，即()h x 1()h x >，()h x 过(1,0)处的切线方程为(1)y e x =-，记2()(1)h x e x =-（21x -<<），则2()h x 单调递增；又2()()h x h x -=22xx x e+--1(1)(1)(2)0x x e x e x e x -+-=---≥，即()h x 2()h x >，记y m =与1()y h x =和2()y h x =的交点横坐标分别为34,x x ，则113()()h x m h x ==，3223mx e =--，由1()h x 11()h x >，1()h x 单调递减，所以13x x >，224()()h x m h x ==，41mx e=+，由2()h x 22()h x >，2()h x 单调递增，所以24x x <，122143233m m x x x x x x e e -=-<-=++21111333327m m e e ⎛⎫⎛⎫=++<++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33m <+.22.解：（1）1212F AF S b ∆=⋅=1b =2a ==，故椭圆的方程为2214x y +=；-（2）依题意设直线PQ 的方程为y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立方程组2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元得：()222148440k x kmx m +++-=，2121222844,1414km m x x x x k k-∴ +=- = ++，()()()222222644144416140k m k m k m ∆=-+-=+->，-由213k k =-得：2121113y y x x +-=-⋅，两边同乘1x ，()()211221211111133=34141y y y x x x y y +--=-⋅-⋅=+-，即()()12123411+0x x y y -+=；-将1122,y kx m y kx m =+ =+代入上式得：()()()()()()()()()()()12121212221212222223411+341+1344141448=344141=0,1414x x y y x x kx m kx m k x x k m x x m m km k k m m k k -+=-+++=--++-+-⎛⎫--+--+ ⎪++⎝⎭整理得：220m m --=所以2m =或1m =-（舍），12112PQBS x x ∆=⋅⋅-===-1,2=≤当k =PQB 面积的最大值为12.。

2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学（一）一、单选题1．已知集合{}24xA x =<，{}1B =≤，则A B =（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．[]1,2D ．()0,12．已知复数z 满足()()()1i 12i 1z z +=+-，则复数z 的实部与虚部的和为（ ） A ．1B ．1-C ．15D ．15-3．()()51223x x -+的展开式中，x 的系数为（ ） A ．154B ．162C ．176D ．1804．已知1tan 5α=，则2cos 2sin sin 2ααα=-（ ） A ．83-B ．83C ．38-D ．385．何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造形浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词的最早文字记载．何尊的形状可以近似地看作是圆台与圆柱的组合体，高约为40cm ，上口直径约为28cm ，下端圆柱的直径约为18cm ．经测量知圆柱的高约为24cm ，则估计该何尊可以装酒（不计何尊的厚度，403π1266≈，1944π6107≈）（ ）A ．312750cmB ．312800cmC ．312850cmD ．312900cm6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，满足()()2f x f x =-，则()2022f =（ ） A ．2B ．1C ．1-D ．07．在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是边长为2的正方形，AP PD ==PAD ⊥平面ABCD ，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．136π9D ．68π38．已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，A ，B 是抛物线C 上两点，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，直线AB 与x 轴的交点为P ，直线OA 、OB 与抛物线C 的准线分别交于点M ，N ，则△PMN 的面积的最小值为（ ）A B C D二、多选题9．已知函数()()1cos 02f x x x ωωω=>的图像关于直线6x π=对称，则ω的取值可以为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．在菱形ABCD 中，2AB =，60DAB ∠=，点E 为线段CD 的中点，AC 和BD 交于点O ，则（ ） A ．0AC BD ⋅= B ．2AB AD ⋅= C ．14OE BA ⋅=-D ．52OE AE ⋅=11．一袋中有3个红球，4个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中任取3个球，事件A “这3个球都是红球”，事件B “这3个球中至少有1个红球”，事件C “这3个球中至多有1个红球”，则下列判断错误的是（ ）A ．事件A 发生的概率为15B ．事件B 发生的概率为310C ．事件C 发生的概率为335D ．1(|)31P A B =12．对于函数()()32,f x x x cx d c d =+++∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．若0d =，则函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 有极值的充要条件是13c <C ．若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，则4412281x x +>D ．若2c d ==-，则过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条三、填空题13．已知样本数据1-，1-，2，2，3，若该样本的方差为2s ，极差为t ，则2s t=______． 14．已知圆O ：221x y +=与直线l ：=1x -，写出一个半径为1，且与圆O 及直线都相切的圆的方程：______．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，过F 作x 轴的垂线在x轴上方交椭圆于点B ，若直线AB 的斜率为32，则该椭圆的离心率为______．16．已知f （x ）是偶函数，当0x ≥时，()()2log 1f x x =+，则满足()2f x x >的实数x 的取值范围是______．四、解答题17．已知数列{}n a 是等差数列，1324,,a a a a +成等比数列，56a =． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：()221n n S n +<+．18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin cos c B a A b C =-． (1)判断ABC 的形状； (2)若3ab ，D 在BC 边上，2BD CD =，求cos ADB ∠的值．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，D 、E 分别是AB 、1BB 的中点，12AA AC CB ==，AB =．(1)求证：1//BC 平面1A CD ；(2)若1BC =，求四棱锥1C A DBE -的体积； (3)求直线1BC 与平面1ACE 所成角的正弦值．20．新高考模式下，数学试卷不分文理卷，学生想得高分比较困难．为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的80名学生，参加一次测试，数学学科成绩都在[]50,100内，按区间分组为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分（百分制）为优秀．(1)求这80名学生的平均成绩（同一区间的数据用该区间中点值作代表）；(2)按优秀与非优秀用分层抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望．21．已知12,F F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>左、右焦点，(P 在双曲线上，且124PF PF ⋅=． (1)求此双曲线的方程；(2)若双曲线的虚轴端点分别为12,B B （2B 在y 轴正半轴上），点,A B 在双曲线上，且()22B A B B μμ=∈R ，11B A B B ⊥，试求直线AB 的方程．22．已知函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，()R a ∈．(1)当1a =时，求f （x ）的单调区间；(2)当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求证：函数f （x ）有3个零点．参考答案：1．B【分析】化简集合A 和B ，即可得出A B ⋂的取值范围. 【详解】解：由题意在{}24xA x =<，{}1B =≤中，{}2A x x =<，{}12B x x =≤≤ ∴{}12A B x x ⋂=≤< 故选：B. 2．D【分析】根据复数的运算法则求出复数43i 55z -+=，则得到答案.【详解】(1i)(2i 1)(2i 1)z z +=-+-(2i)2i 1z -=-，2i 1(2i 1)(2i)43i 43i 2i 5555z --+-+====-+-， 故实部与虚部的和为431555-+=-，故选：D. 3．C【分析】根据二项式定理可求得()523x +展开式通项，由此可确定12,T T ，结合多项式乘法运算进行整理即可确定x 的系数. 【详解】()523x +展开式的通项公式为：()55155C 2323C rr r r r r rr T x x --+=⋅⋅=⋅； 当1r =时，412523C 240T x x =⨯=；当0r =时，51232T ==；x ∴的系数为24023224064176-⨯=-=.故选：C. 4．A【分析】利用二倍角公式化简为正、余弦的齐次分式，分式上下同除2cos α，代入1tan 5α=可得答案.【详解】2222cos 2cos sin sin sin 2sin 2sin cos αααααααα-=--22111tan 825123tan 2tan 255ααα--===---, 故选：A. 5．C【分析】根据圆柱和圆台的体积公式计算可得结果. 【详解】下端圆柱的体积为：224π91944π⋅=6107≈3cm ，上端圆台的体积为：()22116π1414993⨯+⨯+16π4033=⨯1612663≈⨯6752=3cm ， 所以该何尊的体积估计为61076752+=128593cm . 因为12850最接近12859，所以估计该何尊可以装酒128503cm . 故选：C 6．D【分析】根据函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-得出函数()f x 是周期为4的周期函数，进而求解.【详解】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x =-， 所以(2)()()f x f x f x +=-=-，所以(4)()f x f x +=， 即函数()f x 是周期为4的周期函数，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =， 因为()()2f x f x =-，所以(2)(0)0f f ==， 又因为202245052=⨯+，所以(2022)(2)0f f ==， 故选：D . 7．C【分析】将该四棱锥的外接球放在一个长方体内，画出图形，利用已知条件找出球心，建立相应的关系式，求出外接球的半径，利用球体表面积公式计算即可. 【详解】由题意将该四棱锥放在一个长方体的中， 如图∴所示：取AD 的中点H ，连接PH ，连接,AC BD 交于1O ，由AP PD =则在等腰PAD 中有：PH AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD=AD ， 则PH ⊥平面ABCD ， 又112AH AD ==， 所以在Rt PAH △中，3PH ===，由底面为正方形ABCD ，所以它的外接圆的圆心为对角线的交点1O ， 连接1O H ，则1PH O H ⊥，PAD 外接圆的圆心为2O ，且在PH 上，过点1O ，2O 分别作平面ABCD 与平面PAD 的垂线，则两垂线必交于点O ，点O 即为四棱锥P ABCD -外接球的球心， 且1OO ⊥平面ABCD ，又PH ⊥平面ABCD ，即2O H ⊥平面ABCD ， 所以1OO ∥PH ，所以四边形12OO HO 为矩形. 如图∴连接2AO ，则22AO PO =，在2Rt AO H 中，22223O H PH PO PH AO AO =-=-=-，所以()2222222213AO AH HO AO =+=+-，解得253AO =，所以254333O H =-=，所以1243OO O H ==， 在图∴中连接OB ，由112O B BD =所以在1Rt OO B 中，OB ==即四棱锥P ABCD -外接球的半径为R OB ==， 所以四棱锥P ABCD -外接球的表面积为： 221364πR 4ππ9S ==⨯=⎝⎭，故选：C. 8．D【分析】设出A 、B 的坐标，由1212k k =-解得12y y 的值，再分别求出点M 、点N 的坐标，求得||MN 的式子，研究AB l 恒过x 轴上的定点可得点P 的坐标，进而用方法1基本不等式或方法2函数思想求得三角形面积的最小值.【详解】设211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，则114k y =，224k y =， ∴12121612k k y y ==- ∴1232y y =-， ∴设OA l ：14y x y =，令=1x -得：14y y =-，∴14(1,)M y --，同理：24(1,)N y -- ∴12121212||44||||4||8y y y y MN y y y y --=-+==， 设AB l ：x my t =+，221044x my t y my t y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ 20m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t ，又∴1232y y =-，∴432t -=-，解得：8t =， ∴AB l ：8x my =+恒过点(8,0)，∴AB l 与x 轴交点P 的坐标为(8,0)，即：(8,0)P ， ∴点P 到准线=1x -的距离为8+1=9. 方法1：1211||1321||||888y y MN y y -==+≥⨯=1||y =.∴19||9||22PMN S MN MN =⨯=≥△， ∴∴PMN的面积的最小值为2. 方法2：12||||8y y MN -==∴20m ≥∴||MN ≥m =0时取得最小值.∴19||9||22PMN S MN MN =⨯=≥△， ∴∴PMN故选：D. 9．AD【分析】首先将函数()f x 化成一个三角函数，然后根据对称轴公式求得ω的表达式，对整数k 赋值求得结果.【详解】()()1cos sin 26f x x x x ωωωπ=+=+，因为函数()f x 的图象关于直线6x π=对称，所以662k ωπππ+=+π，k ∈Z ，解得26k ω=+，因为0ω>，所以当0k =时，2ω=；所以当1k =时，8ω=. 故选：AD. 10．ABD【分析】以O 为坐标原点可建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算依次验证各个选项即可.【详解】四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，则以O 为坐标原点，,OC OD 正方向为,x y 轴，可建立如图所示平面直角坐标系，2AB AD ==，60DAB ∠=，2BD ∴=，OA OC ===()0,0O ∴，()A ，()0,1B -，()0,1D ，12E ⎫⎪⎪⎝⎭，对于A ，ACBD ，0AC BD ∴⋅=，A 正确；对于B ，()3,1AB =-，()3,1AD =，312AB AD ∴⋅=-=，B 正确；对于C ，3122OE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()BA =-，31122OE BA ∴⋅=-+=-，C 错误； 对于D ，3122OE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，3122AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，915442OE AE ∴⋅=+=，D 正确. 故选：ABD. 11．ABC【分析】根据题意求出基本事件总数、满足条件的基本事件数，利用古典概型概率公式及条件概率公式求解即可.【详解】由题意7个球中任取3个球的基本事件总数为：37C 35=这3个球都是红球的基本事件数为：33C 1=，所以事件A 发生的概率为：1()35P A =，故A 错误， 这3个球中至少有1个红球的基本事件数为：1221334343C C C C +C 1812131⋅+⋅=++=，所以事件B 发生的概率为：31()35P B =，故B 错误， 这3个球中至多有1个红球的基本事件数为：123344C C C 18422⋅+=+=，事件C 发生的概率为22()35P C =,故C 错误， 因为1()()35P AB P A ==， 所以由条件概率公式得：1()135(|)31()3135P AB P A B P B ===， 故D 正确， 故选：ABC. 12．BCD【分析】对于A ：利用奇偶性的定义直接判断；对于B ：利用极值的计算方法直接求解；对于C ：先求出13c <，表示出244122161692781c x x c +=-+，即可求出；对于D ：设切点()00,x y ，由导数的几何意义得到3200025460x x x --+=.设()322546g x x x x =--+，利用导数判断出函数()g x 有三个零点，即可求解.【详解】对于A ：当0d =时，()32f x x x cx =++定义域为R .因为()()()()()3232f x x x c x x x cx f x -=-+-+-=-+-≠-， 所以函数()f x 不是奇函数.故A 错误；对于B ：函数()f x 有极值⇔ ()f x 在R 上不单调.由()32f x x x cx d =+++求导得：()232f x x x c =++'.()f x 在R 上不单调⇔()f x '在R 上有正有负⇔4430c ∆=-⨯>⇔13c <.故B 正确.对于C ：若函数f （x ）有两个极值点1x ，2x ，必满足0∆>，即13c <.此时1x ，2x 为2320x x c ++=的两根，所以1212233x x c x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以()22212121242293c x x x x x x +=+-=-.所以()()222244222212121242216162293992781cc c x x x xx x c +=+-=--=-+ 对称轴164272329c -=-=⨯，所以当13c <时，()224412216162116116292781932738181c x x c +=-+>⨯-⨯+=. 即4412281x x +>.故C 正确；对于D ：若2c d ==-时，()3222f x x x x =+--.所以()2322f x x x '=+-.设切点()00,x y ，则有：()3200002000002203222y x x x y f x x x x ⎧=+--⎪-⎨=+-=⎪-⎩'， 消去0y ，整理得：3200025460x x x --+=不妨设()322546g x x x x =--+，则()26104g x x x '=--.令()0g x '>，解得：2x >或13x <-；令()0g x '<，解得： 123x -<<.所以()g x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,23⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.所以()()()()()32111119254660333327g x g =-=-----+=>极大值， ()()322225242660g x g ==⨯-⨯-⨯+=-<极小值.所以作出的图像如图所示：因为函数()g x 有三个零点，所以方程3200025460x x x --+=有三个根，所以过点()20，作曲线()y f x =的切线有且仅有3条.故D 正确. 故选：BCD. 13．710##0.7 【分析】根据极差的定义可得()314t =--=，先求出平均数，再从方差，从而可求2s t.【详解】极差()314t =--=，平均数为()()1122315-+-+++=，故方差()()()()()222222114111*********s ⎡⎤=--+--+-+-+-=⎣⎦. 所以21475410s t ==.故答案为:710. 14．()2221x y +-=(答案不唯一)【分析】根据圆的圆心和半径,结合直线和圆的位置关系及两个圆的位置关系计算即可. 【详解】设圆心C 为()00,x y ,由已知圆C 与直线l ：=1x -相切, 圆C 与圆O ：221x y +=相切,可得0112x ⎧--=,即得0002x y =⎧⎨=⎩或0002x y =⎧⎨=-⎩或0020x y =-⎧⎨=⎩, 且已知半径为1,所以圆的方程可以为: ()2221x y +-=或()2221x y ++=或2221x y故答案为: ()2221x y +-=(答案不唯一) 15．12##0.5【分析】由题意设(),0A a -，2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再由232AB b a k c a -==-+结合222a b c =+，即可得出答案.【详解】由题意可得，(),0A a -，(),0F c -，令椭圆()222210x y a b a b +=>>中x c =-，解得：2b y a=±，所以2,b B c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，而2032AB b a k c a -==-+，则2232a c a c a c a a -+==-+， 解得：12e =. 故答案为：12. 16．()(),01,-∞⋃+∞【分析】利用奇偶性和函数的单调性解不等式.【详解】当0x ≥时，()()2log 1f x x +，函数在[)0,∞+上单调递增，∴()(0)0f x f ≥=，又()f x 是偶函数，所以()f x 的值域为[)0,∞+.当0x ≥时，()()2log 1f x x +，不等式()2f x x >()22log 1x x +>，即()22log 10x x+->，设()22()log 1g x x x =+-，由函数y =()2log 1y x =+，2y x=-在()0,∞+上都是增函数， 得()g x 在()0,∞+上是增函数，由(1)0g =，则()0(1)g x g >=解得1x >； 当0x <时，由函数值域可知()0f x >，此时20x<，所以()2f x x >恒成立；综上可知，满足()2f x x>的实数x 的取值范围是()(),01,-∞⋃+∞.故答案为：()(),01,-∞⋃+∞ 17．(1)1n a n =+ (2)证明见解析【分析】（1）根据等比数列定义和等差数列通项公式可构造方程组求得1,a d ，进而确定n a ； （2）利用裂项相消法可求得n S ，整理即可证得结论. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1324,,a a a a +成等比数列，()23124a a a a ∴=+，即()()2111224a d a a d +=+，又5146a a d =+=，则由()()2111122446a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩得：121a d =⎧⎨=⎩或163a d =-⎧⎨=⎩， 当16a =-，3d =时，30a =，不满足1324,,a a a a +成等比数列，舍去； 12a ∴=，1d =，()211n a n n ∴=+-=+.（2）由（1）得：()()111111212n n a a n n n n +==-++++， 1111111111233445112n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()112222n n n =-=++， ()221n n S n n ∴+=<+.18．(1)直角三角形 (2)0【分析】（1）根据正弦定理的边角互化，即可得到结果；（2）由（1）中结论即可得到cos B ∠，从而得到AD 的值，然后在ABD △中结合余弦定理即可得到结果.【详解】（1）因为cos sin cos c B a A b C =-，由正弦定理可得， 2sin cos sin cos sin C B B C A +=即()2sin sin B C A +=所以()2sin sin ,0,πsin 1A A A A =∈⇒=且()0,πA ∈，所以π2A =即ABC 是直角三角形.（2）在直角ABC 中，有22223b c a b +==，即222c b =，所以c =， 又因为2BD CD =，所以23BD BC ==且cos c B a === 在ABD △中，由余弦定理可得，22222242cos 2b b AD AB BD AD B AB BD +-+-∠===⋅解得AD =， 在ABD △中由余弦定理可得，222222242cos 02b b b AD BD AB ADB AD BD +-+-∠===⋅19．(1)证明见解析 (2)23【分析】（1）连接1AC 交1A C 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点，利用中位线的性质可得出1DF //BC ，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ，证明出CM ⊥平面11AA B B ，计算出CM 的长以及四边形1A DBE 的面积，利用锥体的体积公式可求得四棱锥1C A DBE -的体积； （3）设1BC =，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线1BC 与平面1A CE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接1AC 交1A C 于点F ，连接EF ，则F 为1AC 的中点， 因为D 、F 分别为AB 、1AC 的中点，则1DF //BC ，因为DF ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，1//BC ∴平面1A CD . （2）解：因为1BC =，则122AA AC CB ===，AB == 222AC BC AB ∴+=，即AC BC ⊥，过点C 在平面ABC 内作CM AB ⊥，垂足为点M ， 因为1AA ⊥平面ABC ，CM ⊂平面ABC ，1CM AA ∴⊥，又因为CM AB ⊥，1AB AA A ⋂=，AB 、1AA ⊂平面11AA B B ，CM ∴⊥平面11AA B B ，由等面积法可得AC BC CM AB ⋅==因为1AA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，1AA AB ∴⊥，又因为11//AA BB 且11AA BB =，故四边形11AA B B 为矩形，所以，1111111212AA D A B E AA B B A DBE S S S S ⎫=--==⎪⎪⎝⎭△△矩形四边形11112333C A DBE A DBE V S CM -∴=⋅==四边形.（3）解：不妨设1BC =，因为AC BC ⊥，1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0B 、()0,0,0C 、()10,0,2C 、()12,0,2A 、()0,1,1E ， 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，()12,0,2CA =，()0,1,1CE =， 则1220n CA x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，可得()1,1,1n =-， 因为()10,1,2BC =-，则111cos ,BC n BC n BC n⋅<>==-=⋅因此，直线1BC 与平面1A CE20．(1)73.5(2)分布列见解析；期望()910E X =【分析】（1）根据频率分布直方图估计平均数的方法直接计算即可；（2）根据频率分布直方图可确定优秀与非优秀学生对应的频率，根据分层抽样原则可确定10名学生中优秀学员的人数，由此可得X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得X 每个取值对应的概率，由此可得分布列；由数学期望计算公式可求得期望. 【详解】（1）80名学生的平均成绩为()550.01650.03750.03850.025950.00510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=73.5.（2）根据频率分布直方图知：优秀学员对应的频率为()0.0250.005100.3+⨯=，则非优秀学员对应的频率为10.30.7-=，∴抽取的10名学生中，有优秀学生100.33⨯=人，非优秀学生100.77⨯=人；则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()37310C 3570C 12024P X ====；()1237310C C 63211C 12040P X ====；()2137310C C 2172C 12040P X ====；()33310C 13C 120P X ===；X ∴的分布列为：∴数学期望()721719012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 21．(1)22145x y -=(2)y x =+y =【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得22,a b 的值，由此可得双曲线方程；（2）由2,,A B B 三点共线可设:AB y kx =+用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得k 的值，由此可得直线AB 方程. 【详解】（1）设()1,0F c -，()()2,00F c c >，则(1PF c =--，(2PF c =-，212854PF PF c ∴⋅=-+=，解得：3c =，229a b ∴+=；又P 在双曲线上，则22851a b-=，24a ∴=，25b =， ∴双曲线的方程为：22145x y -=.（2）由（1）得：(10,B，(2B ，()22B A B B μμ=∈R ，2,,A B B ∴三点共线，直线AB斜率显然存在，可设:AB y kx =+()11,A x y ，()22,B x y ，由22145y kx x y ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得：()2254400k x ---=，()22540Δ801040k k ⎧-≠⎪∴⎨=->⎪⎩，即252k <且254k ≠，12x x ∴+=1224054x x k =--， 11B A B B ⊥，110B A B B ∴⋅=，又(111,B A x y =，(122,B B x y =，()1112121212125B A B B x x y y x x y y y y ∴⋅=+=+++(()1212125x x kx kx k x x =++++()()()222121222401801202005454k k kx xx x k k+=++++=-++=--，解得：k =252k <且254k ≠，∴直线AB方程为：y x =y = 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量垂直关系的坐标表示来构造等量关系，结合韦达定理的结论得到关于所求变量的方程的形式，从而解方程求得变量的值.22．(1)函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1). (2)证明过程见详解【分析】(1) 因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，对函数求导，利用导函数的正负来判断函数的单调性即可求解；(2)对函数进行求导，求出导函数的零点，根据条件可得：函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，然后利用零点存在性定理即可证明.【详解】（1）因为1a =，所以函数()()212e 22x f x x x x =--++，所以()e (2)e 1(1)(e 1)x x x f x x x x '=+--+=--，当1x >或0x <时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 当01x <<时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减； 综上：函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(1,)+∞， 单调递减区间为(0,1).（2）因为函数()()211e 12x f x a x a x ax a =---+++，所以()e (1)e ()e ()()(e 1)x x x x f x a a x a x a a x a x a x a a '=+---+=---=--，令()0f x '=可得：x a =或ln x a =-，因为310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ln 3a ->，当x a <或ln x a >-时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增； 当ln a x a <<-时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减；所以函数()f x 在(,)a -∞和(ln ,)a -+∞上单调递增，在(,ln )a a -上单调递减，故当x a =时，函数取极大值()()22e 10102aaf a a a f a =-+++>=->，因为当2x =-时，221(2)(3)10ef a a a -=-+--<；所以0(2,)x a ∃∈-，使得0()0f x =； 当ln x a =-时，函数取极小值，ln 2211(ln )(ln 1)e (ln )ln 1ln ln (ln )22a f a a a a a a a a a a a a --=-----++=---1ln (1ln )02a a a =-++<，（因为ln 3a ->，所以13ln 22a <-，因为3110e 2a <<<，所以312a +<，也即11ln 02a a ++<）所以0(,ln )x a a '∃∈-，使得0()0f x '=；又当x →+∞时，()f x →+∞，所以0(ln ,)x a ''∃∈-+∞，使得0()0f x ''=；故当310,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 有3个零点.【点睛】函数零点的求解与判断方法：答案第17页，共17页 (1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用导数求出函数的极值点,再利用零点存在性定理进行判断零点的个数．。

一、单选题1. 已知双曲线C：(a >0，b >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别为双曲线的左，右顶点，以AB 为直径的圆与双曲线C 的两条渐近线在第一，二象限分别交于P ，Q 两点，若OQ ∥PF (O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为（ ）A．B ．2C．D．2. 已知、是双曲线的左、右焦点，关于其渐近线的对称点为，并使得（为坐标原点），则双曲线的离心率（ ）A．B．C．D．3. 在计算机尚未普及的年代，人们在计算三角函数时常常需要查表得到正弦和余弦值，三角函数表的制作最早可追溯到古希腊数学家托勒密．下面给出了正弦表的一部分，例如，通过查表可知的正弦值为0.0384，的正弦值为0.5135，等等，则根据该表，的余弦值为（）0.000001750349001701920366003502090384005202270401007002440419008702620436010502790454012202970471014003140488015703320506017503490523……0.5000515052995446559250155165531454615606503051805329547656215045519553445490563550605210535855055650507552255373551956645090524053885534567851055255540255485693512052705417556357075135528454325577572151505299544655925736……A ．0.5461B ．0.5519C ．0.5505D ．0.57364. 在复平面内，复数和对应的点分别为，则（）A．B．C．D．5.已知函数，关于函数有下列四个命题：①；②的图象关于点对称；③是周期为的奇函数；④的图象关于直线对称．其中正确的是（ ）A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④6.已知复数，若，则的虚部为（ ）A ．2B ．1C．D ．-17. 已知菱形沿对角线向上折起，得到三棱锥分别是棱的中点.设三棱锥的外接球为球2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(一)2023年普通高等学校招生全国统一考试·新高考仿真模拟卷数学(一)二、多选题三、填空题，则下列结论正确的个数为（）①；②上存在点，使得平面；③当二面角为时，球的表面积为.④三棱锥的体积最大值为1.A ．1B ．2C ．3D ．48. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了A ．6里B ．12里C ．24里D ．96里9.已知是函数（且）的三个零点，则的可能取值有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310. 设有下列四个命题：：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．：过空间中任意三点有且仅有一个平面．：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．：若直线平面，直线平面，则．则下述命题中是真命题的有（ ）A．B．C．D．11.若，且，，则（ ）A．B．C．D．12. 已知直线交抛物线于两点，且抛物线的焦点为，则（ ）A．的最小值为B ．若，则C．可能是直角D ．为定值13.已知正四面体的棱长为2，若球O 与正四面体的每一条棱都相切，点P 为球面上的动点，且点P 在正四面体面ACD 的外部（含正四面体面ACD表面）运动，则的取值范围为______．14. 若函数的反函数为,则不等式的解集为______.15. 有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则四、解答题（1）取到次品的概率为____________；（2）若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为____________．16. 筒车（chinese noria ）亦称“水转筒车”.一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．这种靠水力自动的古老筒车，在家乡郁郁葱葱的山间、溪流间构成了一幅幅远古的田园春色图．水转筒车是利用水力转动的筒车，必须架设在水流湍急的岸边．水激轮转，浸在水中的小筒装满了水带到高处，筒口向下，水即自筒中倾泻入轮旁的水槽而汇流入田．某乡间有一筒车，其最高点到水面的距离为，筒车直径为，设置有8个盛水筒，均匀分布在筒车转轮上，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转一周需要，如图，盛水筒A （视为质点）的初始位置距水面的距离为．(1)盛水筒A经过后距离水面的高度为h （单位：m ），求筒车转动一周的过程中，h 关于t 的函数的解析式；(2)盛水筒B （视为质点）与盛水筒A 相邻，设盛水筒B 在盛水筒A 的顺时针方向相邻处，求盛水筒B 与盛水筒A 的高度差的最大值（结果用含的代数式表示），及此时对应的t ．（参考公式：，）17.已知数列满足，且．(1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)求的前n 项和．18. 已知圆，点圆上一动点，，点在直线上，且，记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)已知，过点作直线(不与轴重合)与曲线交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围.19. 甲､乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为.假设两人射击是否击中目标，互不影响；每次射击是否击中目标，互不影响.(1)记甲击中目标的次数为X ，求X 的分布列；(2)在①甲恰好比乙多击中目标2次，②乙击中目标的次数不超过2次，③甲击中目标3次且乙击中目标2次这三个条件中任取一个，补充在横线中，并解答问题.求___________事件的概率.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）20. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，∠B ＝45°．(1)求边BC 的长以及三角形ABC 的面积；(2)在边BC 上取一点D，使得，求tan ∠DAC 的值．21.设数列的前项和为，且满足，.（1）求（用表示）；（2）求证：当时，不等式成立.。

山东省滨州市2023届高三第一次模拟考试数学模拟试题2023.3一、单选题1．已知集合{|(2)(5)0},M x x x =+-≤{}|2xN y y ==，则M N ⋂=（ ）A ．(0,5]B ．(0,2]C ．[2,5]D ．[2,)+∞2．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+ D ．21i 55-3．在平行四边形ABCD 中，设M 为线段BC 上靠近B 的三等分点，N 为线段AD 上靠近D 的三等分点，AB a =，AD b =，则向量NM =（ ）A ．13a b -B ．13a b -C ．13b a -r rD ．13b a -4．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯(底面圆的周长的平方⨯高)，则由此可推得圆周率π的取值为 A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.25．从11名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（ ） A ．49B ．56C ．64D ．846．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，直线24x π=为()f x 的图象的一条对称轴，且()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则下列结论正确的是A ．()f x 的最小正周期为πB ．12x π=为()f x 的一个零点C ．()f x 在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-D ．()f x 的单调递增区间为5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦7．已知34452018120181,2018120181a b ++==++则,a b 之间的大小关系是A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．无法比较8．已知3()32(0)f x x x m m =-++>，在区间[0,2]上存在三个不同的实数,,a b c ，使得以(),(),()f a f b f c 为边长的三角形是直角三角形，则m 的取值范围是（ ）A ．4m >+B ．02m <<+C ．44m -<+D ．04m <<+二、多选题9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）A ．两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为π4 B ．直线BC 与平面11ABC D 所成的角等于π4C ．点D 到面1ACDD ．三棱柱1111AA D BB C -10．已知曲线()e (2)x f x x a =+在点(0,2)处的切线为l ，且l 与曲线2()4g x x x b =++也相切．则（ ） A ．a b =B ．存在l 的平行线与曲线()y f x =相切C ．任意(2,)x ∈-+∞，()()f x g x ≥恒成立D ．存在实数c ，使得()()g x c f x +≥任意[)0,x ∈+∞恒成立11．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．准线l 的方程为=1x -B ．若过焦点F 的直线交抛物线C 于()()1122,,,A x y B x y 两点，且126x x +=，则||7AB = C ．若(2,1)E ，则||||PE PF +的最小值为3D ．延长PF 交抛物线C 于点M ，若4||3PF =，则16||3PM =12．定义在(1,1)-上的函数()f x 满足()()()1x yf x f y f xy--=-，且当(1,0)x ∈-时，()0f x <，则有( )A ．()f x 为奇函数B ．存在非零实数a ，b ，使得1()()2f a f b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭C ．()f x 为增函数D ．115236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、填空题13．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为32，则()()2n x y x y +-的展开式中24x y 的系数为_________．14．两圆x 2+y 2+6x-4y+9=0和x 2+y 2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.15．已知函数()21x f x x +=，则其在3x =处的切线方程为（填写一般式方程）____________；16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．四、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足36a =，642S =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若211=-n n b a ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且25π4cos 4cos 502A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭．(1)求A ；(2)2=，求sin C ． 19．已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=︒，对角线AC 、BD 交于点O ，平面外一点P 在平面ABCD 内的射影为O ，PB 与平面ABCD 所成角为30°.（1）求证：BD PA ⊥；（2）点N 在线段PB 上，且N PCD V -=，求PN PB 的值.20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综合频道观看比赛实况．某机构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：(1)补全22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．如图,O 为坐标原点,椭圆1:C ()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ,离心率为1e ;双曲线2:C 22221x y a b -=的左右焦点分别为34,F F ,离心率为2e ,已知12e e =,且241F F =.(1)求12,C C 的方程;(2)过1F 点作1C 的不垂直于y 轴的弦AB ,M 为AB 的中点,当直线OM 与2C 交于,P Q 两点时,求四边形APBQ 面积的最小值.22．已知函数()()233e xf x x x =-+⋅.(1)试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,t -（2t >-）上为单调函数；(2)若t 为自然数，则当t 取哪些值时，方程()()0R f x z x -=∈在[]2,t -上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z 的取值范围.第7页山东省滨州市2023届高三第一次模拟考试数学模拟试题2023.3一、单选题1．已知集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 2．已知复数，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B3．在平行四边形中，设为线段上靠近的三等分点，为线段上靠近的三等分点，，，则向量（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B4．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺 .问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”. 就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为(底面圆的周长的平方高)，则由此可推得圆周率的取值为 A ． B ． C ． D ．【答案】A5．从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入{|(2)(5)0},M x x x =+-≤{}|2xN y y ==M N ⋂=(0,5](0,2][2,5][2,)+∞i2iz =+12i 55+12i 55-21i 55+21i 55-ABCD M BC B N AD D AB a =AD b =NM =13a b -13a b -13b a -r r 13b a -112V =⨯⨯π3 3.1 3.14 3.211318选的不同选法的种数为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C6．已知函数，直线为的图象的一条对称轴，且在上单调，则下列结论正确的是A ．的最小正周期为B ．为的一个零点C ．在上的最小值为D ．的单调递增区间为 【答案】D7．已知则之间的大小关系是 A ． B ．C ．D ．无法比较【答案】A8．已知，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 二、多选题9．如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）49566484()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭24x π=()f x ()f x ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭()f x π12x π=()f x ()f x 0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-()f x 5,()242242k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦34452018120181,2018120181a b ++==++,a b a b >a b <a b =3()32(0)f x x x m m =-++>[0,2],,a b c (),(),()f a f b f c m 4m >+02m <<+44m -<+04m <<+1111ABCD A B C D -第9页A ．两条异面直线和所成的角为B ．直线与平面所成的角等于C ．点D 到面的距离为D ．三棱柱【答案】BCD10．已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切．则（ ） A ．B ．存在的平行线与曲线相切C ．任意，恒成立D ．存在实数，使得任意恒成立 【答案】AC11．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上一点P 作的垂线，垂足为Q ，则下列说法正确的是（ ） A ．准线l 的方程为B ．若过焦点F 的直线交抛物线C 于两点，且，则 C ．若，则的最小值为31D C 1BC π4BC 11ABC D π41ACD 1111AA D BB C -()e (2)x f x x a =+(0,2)l l 2()4g x x x b =++a b =l ()y f x =(2,)x ∈-+∞()()f x g x ≥c ()()g x c f x +≥[)0,x ∈+∞2:4C y x ==1x -()()1122,,,A x y B x y 126x x +=||7AB =(2,1)E ||||PE PF +10D ．延长交抛物线C 于点M ，若，则 【答案】ACD12．定义在上的函数满足，且当时，，则有( )A ．为奇函数B ．存在非零实数a ，b ，使得C ．为增函数D ． 【答案】ABC 三、填空题13．若的展开式中二项式系数之和为32，则的展开式中的系数为_________．【答案】距离与半径相加相减的大小比较得到圆与圆的位置关系．15．已知函数，则其在处的切线方程为（填写一般式方程）____________； 【答案】16．已知椭圆，的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与交于，两点，的周长是13，则_____． 【答案】6PF 4||3PF =16||3PM =(1,1)-()f x ()()()1x yf x f y f xy --=-(1,0)x ∈-()0f x <()f x 1()()2f a f b f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 115236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2n x y x y +-24x y 15-()21x f x x +=3x =8960x y -+=2222:1(0)x y C a b a b +=>>C 1F 2F 121F 2AF C D E ADE V DE =第11页四、解答题17．已知等差数列的前项和为，且满足，． （1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和． 18．已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．(1)求A ； (2)，求．{}n a n n S 36a =642S ={}n a 211=-n n b a {}n b n n T 121n ⎛++ -⎝ABC 25π4cos 4cos 502A A ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭2=sin C1219．已知菱形的边长为2，，对角线、交于点O ，平面外一点P 在平面内的射影为O ，与平面所成角为30°.（1）求证：；（2）点N 在线段上，且的值.ABCD 60ABC ∠=︒AC BD ABCD PB ABCD BD PA ⊥PB N PCD V -=PN PB第13页，则20．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日开幕，观众可以通过中央电视台综PO AC O =合频道观看比赛实况．某机构对某社区群众每天观看比赛的情况进行调查，将每天观看比赛时间超过3小时的人称为“冬奥迷”，否则称为“非冬奥迷”，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如表所示：(1)补全列联表，并判断是否有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“冬奥迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，记这2人中男“冬奥迷”的人数为，求的分布列和数学期望．附：，其中．22⨯X X ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++第15页布写分布列和计算数学期望 (1)解：（1）补全的列联表如下：，（关键：根据“是否有99%的把握”，在临界值表中查找对应的值与观测值进行比较）所以没有99%的把握认为是否为“冬奥迷”与性别有关． (2)由（1）知抽取的“冬奥迷”有30人，其中男“冬奥迷”有20人，女“冬奥迷”有10人，由分层抽样的知识知抽取的6人中，男“冬奥迷”有4人，女“冬奥迷”有2人，则的所有可能取值为0，1，2，，，， 所以的分布列为22⨯()22502014610 6.464 6.63530202426K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯X ()2226C 10C 15P X ===()114226C C 81C 15P X ===()2426C 22C 5P X ===X16（提示：注意利用分布列中的各个概率之和为1检验所得分布列是否正确） 所以． 21．如图,为坐标原点,椭圆的左右焦点分别为,离心率为;双曲线的左右焦点分别为,离心率为,已知且.(1)求的方程;(2)过点作的不垂直于轴的弦,为的中点,当直线与交于两点时,求四边形面积的最小值.()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=O 1:C ()222210x y a b a b+=>>12,F F 1e 2:C 22221x y a b -=34,F F 2e 12e e =241F F =12,C C 1F 1C y AB M AB OM 2C ,P Q APBQ第17页则四边形面积,因为,所以当时,四边形面积的最小值为.22．已知函数.APBQ 222221322122n n n ⋅+==⋅-+--2022n <-≤20n =APBQ 2()()233e xf x x x =-+⋅18(1)试确定的取值范围，使得函数在（）上为单调函数； (2)若为自然数，则当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析【分析】（1）根据导数判断函数的单调区间，再根据为某个单调区间的子集得的取值范围；（2）根据函数的单调性与极值最值情况可确定实数的取值范围，再结合函数图象确定的取值范围. （1）由，得，令，解得或，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 又函数在上为单调函数，所以； （2）由（1）得函数在，上单调递增，在上单调递减，，，t ()f x []2,t -2t >-t t ()()0R f x z x -=∈[]2,t -z 20t -<≤[]2,t -t t z ()()233e x f x x x =-+⋅()()()()223e 33e 1e x x xf x x x x x x '=-⋅+-+⋅=-()0f x '=0x =1x =0x <()0f x ¢>()f x 01x <<()0f x '<()f x 1x >()0f x ¢>()f x ()f x (),0∞-()1,+∞()0,1()f x []2,t -20t -<≤()f x (),0∞-()1,+∞()0,1()03f =()1e f =第19页20。

数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分.在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|20,|1A x x x B x y x =-=≥-=- 则A ∪B =（ ）A. RB. [)1,+∞C. (][),11,-∞-⋃+∞D. (][),10,-∞-⋃+∞ 2.已知复数1z i =+ z 为z 的共轭复数 则1z z+=（ ）A.2B. 2C.10 D.103.公比为2的等比数列{a n }中存在两项a m a n 满足2132m n a a a = 则14m n+的最小值为（ ） A.97B.53C.43 D.13104.五声音阶是中国古乐的基本音阶 故有成语“五音不全” 中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上 排成一个5个音阶的音序 从所有的这些音序中随机抽出一个音序 则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（ ） A15B.25C.35D.455.若将函数f （x ）＝2sin （2x +φ）（|φ|＜2π）的图象向左平移6π个单位后得到的图象关于y 轴对称 则函数f （x ）在[02π]上的最大值为（ ） A ．2B 3C ．1D ．326.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画 体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑 忽略杯壁厚度） 如图2所示.已知球的半径为R 酒杯内壁表面积为2143R π,设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V 下部分（半球）的体积为2V 则12V V =（ ）A. 2B.32C. 1D.347.如图 已知等腰梯形ABCD 中 24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点 P 是线段BC 上的动点 则EP BP ⋅的最小值是（ ）A. 95-B. 0C. 45-D. 18.已知函数()(),01,ln 2,12,x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩若存在实数1x 2x 满足1202x x ≤<≤ 且()()12f x f x = 则21x x -的最大值为（ ） A.2eB.e 12- C. 1ln 2- D. 2ln4-二、多选题：本题共4小题 每小题5分 共20分。

山东省2023年普通高校招生考试（春季）模拟考试（一）数学试题第I 卷（选择题）一、单选题：本大题共20小题，每题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．设x 为实数，{1A =，2，3}，{1B =，}x ，若A B A ⋃=，则x 的值为（ ）A ．2或3B ．2C ．3D ．12．已知,a b ∈R ，a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b +>+B ．22a b <C ．11+<+a bD ．1a b <- 3．已知3a =，23b =，3a b ⋅=-，则a 与b 的夹角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 4．已知等差数列{}n a 中，13a =，公差3d =-，则8a 等于（ ）A ．21-B ．18-C ．24D ．275．已知()f x 是奇函数，当0x >时()()1f x x x =-+，则f (-1)等于（ ）A ．0B ．-2C ．2D ．-16．如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．7．过点()2,3A 且与直线:2470l x y -+=平行的直线方程是（ ）A ．240x y -+=B ．270x y +-=C ．210x y --=D ．280x y +-=8．若命题“p q ∧” 与命题“p q ⌝∨”都是假命题，则（ ）A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假9．在ABC 中，D 为AB 边的中点，记,CA m CD n ==，则CB = （ ）A ．2m n -B ．2m n +C ．2m n +D ．2m n -+ 10．圆222410x y x y +-++=的圆心为（ ）A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)-- 11．已知α为第二象限角,且12sin 13α=,则tan α的值为（ ） A ．1213- B ．125 C ．125- D ．1213 12．若()12n x -的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中3x 项的系数为（ ）A ．-960B ．960C ．448D ．-44813．某同学离家去学校，为了锻炼身体，开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，图中d 轴表示该学生离学校的距离，t 轴表示所用的时间，则符合学生走法的只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只能去1个村，则不同的分配方案共有（ ）A ．4种B ．6种C ．8种D ．10种15．如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =，下列结论：（1）0abc >；（2）240b ac ->；（3）80a c +<；（4）520a b c ++>，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个16．已知向量()m sinx,sin2x =-，()n sin3x,sin4x =，若方程m n a ⋅=在[)0,π有唯一解，则实数a 的取值范围( )A ．()1,1-B ．[]1,1-C ．{}1,1-D ．{}117．不等式0x y -所表示的平面区域是（ ）A ．B ．C ．D ． 18．张益唐是当代著名华人数学家，他在数论研究方面取得了巨大成就，曾经在《数学年刊》发表《质数间的有界间隔》，证明了存在无穷多对质数间隙都小于7000万．2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述，存在无穷多个素数p ，使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数，在不超过12的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是（ ）A ．14B ．15C ．110D ．120 19．双曲线2221y x b-=的左焦点为F ，()0,A b -，M 为双曲线右支上一点，若存在M ，使得5FM AM +=，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．(C ．)+∞D ．)+∞ 20．血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种治疗新冠肺炎的新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者A 给药2小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过3小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的40%，当血药浓度为峰值的1.024%时，给药时间为（ ）A ．11小时B ．14小时C ．17小时D ．20小时第II 卷（非选择题，共60分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

2023高考模拟练习（一）数学一、单选题：本题共8小题 每小题5分 共40分。

在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的.1．设全集{}2,1,0,1,2U =-- 集合()lg 22A x y x x ⎧=∈=-⎨+⎩N 则U A =（ ）A ．{}2,1,2--B ．{}2,2-C ．∅D ．{}2,1,0,2--2．已知复数231i z =- 且2z a bz =+ 其中a b 为实数 则a b -=（ ）A ．12-B ．12 C ．32D ．2 3．已知向量a b 满足323a b a b ==-= 则a a b ⋅-=（ ）A ．8B ．9C ．14D ．234．“角谷猜想”首先流传于美国 不久便传到欧洲 后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲 因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数 如果是奇数就乘以3再加1 如果是偶数就除以2 这样经过若干次运算 最终回到1．对任意正整数0a ．记按照述规则实施第n 次运算的结果为()n a n ∈N 若51a = 且()1,2,3,4i a i =均不为1 则0a =（ ）A ．5或16B ．5或32C ．3或8D ．7或325．已知函数()f x 的部分图象如图所示 则()f x 的解析式可能为（ ）A ．()()cos π1f x x x =+B ．()()1cos πf x x x =-C ．()()1sin πf x x x =-D ．()3221f x x x x =-+-6．已知正四棱锥（底面为正方形 且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P －ABCD 的底面正方形边长为2 其内切球O 的表面积为π3动点Q 在正方形ABCD 内运动 且满足OQ OP = 则动点Q 形成轨迹的周长为（ ） A ．2π11B ．3π11C ．4π11 D ．5π117．2022年7月24日14时22分 搭载我国首个科学实验舱问天实验舱的长征五号B 遥三运载火箭成功发射 令世界瞩目．为弘扬航天精神 M 大学举办了“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛 竞赛分为初赛和复赛 初赛通过后进入复赛 复赛通过后颁发相应荣誉证书和奖品．为鼓励学生积极参加 学校后勤部给予一定的奖励：只参加了初赛的学生奖励50元的奖品 参加了复赛的学生再奖励100元的奖品．现有A B C 三名学生报名参加了这次竞赛 已知A 通过初赛、复赛的概率分别为12 13；B 通过初赛、复赛的概率分别为23 12C 通过初赛和复赛的概率与B 完全相同．记这三人获得后勤部的奖品总额为X 元 则X 的数学期望为（ ） A ．300元B ．10003元 C ．350元 D ．20003元 8．过椭圆C ：22143x y +=上的点()11,A x y ()22,B x y 分别作C 的切线 若两切线的交点恰好在直线l ：4x =上 则12y y ⋅的最小值为（ ）A ．32-B ．94-C ．－9D ．94二、选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分．在每小题给出的四个选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分．9．在新冠疫情防控常态化的背景下 为提高疫情防控意识 某学校举办了一次疫情防控知识竞赛（满分100分） 并规定成绩不低于90分为优秀．现该校从高一、高二两个年级分别随参赛学生分数高一 7478 84 89 89 93 95 97 99 100 高二 7778 84 87 88 91 94 94 95 96 A ．高一年级所抽取参赛学生成绩的中位数为91分 B ．高二年级所抽取参赛学生成绩的众数为94分 C ．两个年级所抽取参赛学生的优秀率相同 D ．两个年级所抽取参赛学生的平均成绩相同10．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为()4,0F 点A B 在C 上 且弦AB 的中点到直线2x =-的距离为5 则（ ） A ．16p = B ．线段AB 的长为定值 C ．A B 两点到C 的准线的距离之和为14 D ．AF BF ⋅的最大值为4911．如图 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中 底面ABCD 为菱形 且1DE A C ⊥ 垂足为E 则（ ）A ．1AA BD ⊥B ．1AA ∥平面BDEC ．平面BDE ⊥平面1A CDD ．BE ⊥平面1A CD12．已知函数()4f x +是定义在R 上的奇函数 函数()2g x +是定义在R 上的偶函数 且满足()()()21g x x f x =-- ()()3426g g =+= 则（ ） A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 是周期为3的周期函数C ．()10f =D ．()202618i f i ==∑三、填空题：本题共4小题 每小题5分 共20分．13．中国共产党第二十次全国代表大会在北京召开期间 将含甲、乙在内的8名工作人员平均分配到A B 两个省代表厅从事服务工作 则甲、乙两人不分在同一省代表厅的概率为______．14．已知圆22x y a +=与圆22420x y x y b ++++=交于M N 两点 若855MN =则实数a b 的一对值可以为a =______ b =______．（写出满足条件的一组即可）15.已知函数2(1),0(),(1),0x xx e x f x x x e ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩若关于x 的方程()()20f x a f x -=⎡⎤⎣⎦有3个不相等的实数根 则实数a 的取值范围是_______________16.已知双曲线222:1(0)4y x C b b -=>的上顶点、下焦点分别为M F 以M 为圆心 b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于A B 两点 若60AMB ∠=︒ AB 的中点为Q （Q 在第一象限） 点P 在双曲线的下支上 则当||||PF PQ +取得最小值时 直线PQ 的斜率为__________． 四、解答题：本题共6小题 共70分。

一、单选题二、多选题1.已知点是的重心，则（ ）A．B．C．D．2. 设非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）A．B．C．D．3. 已知是虚数单位，则复数的虚部是A ．B ．C．D ．14. 设是方程的解，则属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5.已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）A．B．C．D．6. 在平面直角坐标系中，已知任意角以轴的正半轴为始边，若终边经过点且，定义：，称“”为“正余弦函数”；对于正余弦函数，以下性质中正确的是（ ）A ．函数关于对称B ．函数关于对称C ．函数在单调递增D．函数值域为7. 平面平面的一个充分条件是（ ）A．存在一条直线B．存在一条直线C．存在两条平行直线D．存在两条异面直线8.已知数列满足，则（ ）A．B．C．D．9. 已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆外，点在椭圆上，则（ ）A ．椭圆的离心率的取值范围是B．当椭圆的离心率为时，的取值范围是C ．存在点使得D ．的最小值为210.若实数，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．山东省普通高中2023届高三模拟演练数学试题山东省普通高中2023届高三模拟演练数学试题三、填空题四、解答题B．C．D．11.下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ）A．B．C ．的共轭复数为D ．的虚部为12.已知函数及其导函数的定义域均为R ，记，若，均为奇函数，则（ ）A．B．C．D．13.已知数列的前项和为,,,,则满足的正整数的所有取值为__________．14. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为______．15.双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线E 的离心率为______．16. 如图，某地要在矩形区域内建造三角形池塘，、分别在、边上.米，米，，设，.（1）试用解析式将表示成的函数；（2）求三角形池塘面积的最小值及此时的值.17. 近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇，与此同时，相关管理部门推出了针对电商商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品好评率为，对服务好评率为，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．(1)是否可以在犯错误率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？(2)若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．注：1.注2.18. 已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设,其中为的导函数.证明：对任意 .19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．（1）求椭圆的方程；（2）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，且，探究：直线是否过定点，并说明理由．20. 2021年，是中国共产党建党百年华诞.为迎接建党100周年，某单位组织全体党员开展“学党史，知党情，感党恩”系列活动.在学党史知识竞赛中，共设置20个小题，每个小题5分.随机对100名党员的成绩进行统计，成绩均在内，现将成绩分成5组，按照下面分组进行统计分析：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，并绘制成如图所示的频率分布直方图.已知甲､乙､丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人（包含甲､乙､丙）参加党史知识抢答赛.（1）求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表)；（2）求第4组选取参加抢答赛的人数；（3）若从参加抢答赛的6人中随机选取两人参加上级部门的党史知识复赛，求甲､乙､丙3人至多有一人被选取的概率.21. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，．(1)求的值；(2)求的面积．。

绝密★启用前山东省2023年普通高校招生考试（春季）数学试题考试时间：120分钟；注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 1．设集合A ={x ∣x 2−3x −4≤0},B ={x ∣x 2+2x >0,x ∈Z }，则A ∩B 的子集共有（ ） A ．15个B ．16个C ．31个D ．32个2．函数2()log f x x =的定义域为（ ） A ．{x |x >0}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |x ≥1}D ．{x |x ≥0}3．已知向量(1,2),(3,)a b m =−=，若a ⃗与b ⃗⃗共线，则m =（ ） A ．−6B ．−23C ．23D ．64．在等比数列{a n }中，若a 3=1，1125a =，则a 7=（ ） A ．5B ．-5C ．±5D ．255．下列函数是偶函数的是（ ） A ．y =lg x B ．y =2x C ．y =x 3D ．y =cos x6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是下面的（ ）A．B．C．D．7．过点P(−5,7)，倾斜角为135°的直线方程为（）A．x−y+12=0B．x+y−2=0C．x+y−12=0D．x−y+2=08．已知命题p:∀x∈R,x2>0；命题3:,20q x x x∃∈+−=R，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧(¬q)C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q) 9．在△ABC中，若AD为BC边上的中线，点E在AD上，且2AE ED=，则EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（）A．23AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗−13AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗B．23AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗−13AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗C．76AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗D．76AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗−56AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗10．已知圆心为(2,3)−的圆与直线x−y+1=0相切，则该圆的标准方程是（）A．22(2)(3)8x y++−=B．22(2)(3)8x y−++=C．22(2)(3)18x y++−=D．(x−2)2+(y+3)2=1811．已知4cos,0π5αα=−<<，则tanα的值为（）A．−34B．43C．−43D．±4312．若(1−2x)n的展开式有且只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x3项的系数为（）A．-960B．960C．448D．-44813．甲、乙两人沿着同一方向从A地去B地，甲前一半的路程使用速度v1，后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v1，后一半的时间使用速度v2，关于甲，乙两人从A 地到达B地的路程与时间的函数图象及关系（其中横轴t表示时间，纵轴s表示路程v1<v2）可能正确的图示分析为（）A ．B ．C ．D ．14．5名学生参加数学建模活动，目前有3个不同的数学建模小组，每个小组至少分配1名学生，至多分配3名学生，则不同的分配方法种数为（ ） A ．60B ．90C ．150D ．24015．已知函数y =f(x)是R 上的减函数，若f(a +2)>f(2a −3)则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |a >5}B ．{a |a <5}C ．{a |a <4}D ．{a |a >4}16．已知a 、b 、c ∈R ，则“a <b ”是“ac 2<bc 2”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件17．设某种产品分两道独立工序生产，第一道工序的次品率为10%，第二道工序的次品率为3%，生产这种产品只要有一道工序出次品就将生产次品，则该产品的次品率是（ ） A ．0.873B ．0.13C ．0.127D ．0.0318．设x ，y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y ≥−1x −1≤0，则42z x y =−的最小值为（ ）A ．−10B ．−6C ．4D ．1019．若关于x 的不等式kx 2+2kx −k −1>0的解集为∅，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−12,0)B ．−12,0)C ．[−12,0]D ．−12,020．若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．√2C D ．2√33第ǁ卷（选择题，共60分）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。

一、单选题二、多选题1. 某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（）发生有害气体泄漏.每处阀门在每小时内有害气体的泄漏量大体相等，约为0.01立方米.阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：泄露阀门修复时间（小时）118596需先修复好的阀门在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄漏的有害气体总量最小为（ ）A ．1.14立方米B ．1.07立方米C ．1.04立方米D ．0.39立方米2. 若，是两个非零向量，则“”是“”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．4.已知集合，则（ ）A．B．C．D．5.已知数列的前项和为，且，，则（ ）A．B．C．D．6. 已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．8. 设，是非零向量，“”是“”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9. 已知函数，则（ ）．A．有两个极值点B ．点是曲线的对称中心C．有三个零点山东省临沂市2023届高考模拟考试（一模）数学试题山东省临沂市2023届高考模拟考试（一模）数学试题三、填空题四、解答题D．若方程有两个不同的根，则或510.若，，则（ ）A．B．C．D．11. 已知双曲线，则下列说法中正确的是（ ）A ．双曲线C 的实轴长为2B ．双曲线C的焦点坐标为C ．双曲线C的渐近线方程为D ．双曲线C的离心率为12.已知正方体中，设与对角线垂直的平面α截正方体表面所得截面多边形记为M ，则关于多边形M 的说法正确的是（ ）A ．M 可能为正三角形B ．M 可能为正方形C ．若M 为六边形，则面积为定值D ．若M 为六边形，则周长为定值13.圆的圆心到直线的距离为，则__________．14. 盒中装有大小、形状完全相同的2个红球和3个黑球.若从中取2个球，恰好都是黑球的概率是___________；若每次取1球，取后不放回，直到取出黑球时停止，则取球次数的数学期望____________.15. 函数（）的最小值是________．16.在中，已知．(1)求的大小；(2)若，求函数在上的单调递增区间．17. 已知椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为、，过左焦点的直线交椭圆于、两点（异于、两点），当直线垂直于轴时，四边形的面积为6．（1）求椭圆的方程；（2）设直线、的交点为；试问的横坐标是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．18.已知等差数列中，，.(1)求的通项公式；(2)若为正项等比数列，，求数列的前项和.19. 已知函数，(1)若过点，求在该点处的切线方程；(2)若有两个极值点，且，当时，证明：20. 已知函数．(1)求函数的单调区间和极值；(2)设，且、是曲线上的任意两点，若对任意的，直线的斜率恒大于常数，求的取值范围．21. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，，，，，E是PB的中点.（1）求证：平面平面；（2）若，直线PA与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.。

试卷类型：A潍坊市高考模拟考试数学（答案在最后）2023.2本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的准考证号､姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数2i 2i+-对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二索限C.第三象限D.第四象限2.“()2,2b ∈-”是“2,10x R x bx ∀∈-+成立”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.某学校共1000人参加数学测验，考试成绩ξ近似服从正态分布()2100,N σ，若()801000.45P ξ=，则估计成结在120分以上的学生人数为（ ）A.25B.50C.75D.1004.存在函数()f x 满足：对任意x R ∈都有（ ） A.()3f x x = B.()2sin f x x = C.()22f x x x += D.()21x x ⎰=+5.已知角α在第四象限内，31sin 222πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A.12-B.12C.4D.2- 6.如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为13，则圆台的侧面积为（ ）A.83πB.2C.163πD.8π 7，过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能.超重耐力､失重飞行､飞行跳伞､着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5天完成.且前庭功能和失重飞行须安排在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ）A.24种B.36种C.48种D.60种8.单位圆22:1O x y +=上有两定点()()1,0,0,1A B 及两动点,C D ，且12OC OD ⋅=.则CA CB DA DB ⋅+⋅的最大值是（ ）A.2+B.2+ 2 D.2二､多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.若非空集合,,M N P 满足：,M N N M P P ⋂=⋃=，则（ ）A.P M ⊆B.M P M ⋂=C.N P P ⋃=D.p M N ⋂=∅10.将函数sin2y x x =+的图象向左平移12π个单位，得到()y f x =的图象，则（ ）A.()f x 是奇函数B.()f x 的周期为πC.()f x 的图象关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 D.()f x 的单调递增区间为(),2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线.平分该点与两焦点连线的夹角.已知12,F F 分别为双曲线22:13x C y -=的左，右焦点，过C 右支上一点()(000,A x y x >作直线l 交x 轴于点03,0M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，交y 轴于点N .则（ ）A.C的渐近线方程为3y x =± B.点N 的坐标为010,y ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.过点1F 作1F H AM ⊥，垂足为H，则OH =D.四边形12AF NF 面积的最小值为412.已知1m n <<，过点()2,log m m 和()2,log n n 的直线为1l .过点()8,log m m 和()8,log n n 的直线为21,l l 与2l 在y 轴上的截距相等，设函数()nx mx f x m n -=+.则（ ）A.()f x 在R 上单周递增B.若2m =，则()132f =C.若()26f =，则()434f =D.,m n 圴不为(e e 为自然对数的底数）三､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5796a a a ++=，则13S =__________. 14.已知抛物线C 经过第二象限，且其焦点到准线的距离大于4，请写出一个满足条件的C 的标准方程__________.15.在半径为1的球中作一个圆柱，当圆柱的体积最大时，圆柱的母线长为__________. 16.乒乓球被称为我国的“国球”.甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，其中每局中甲获胜的概率为34，乙获胜的概率为14，每局比赛都是相互独立的. ①若比赛为五局三胜制，则需比赛五局才结束的概率为__________.②若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束，则需要进行的比赛局数的数学期望为__________.附：当01q <<时，lim 0,lim 0n n n n q n q →+∞→+∞=⋅=. 四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且满足()2nn S m m R =+∈. （1）求m 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设2log 5n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（12分）在①tan tan 1A C A C =+；②()2cos cos c B A =；③()sin sin sin a A c C b B +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答. 问题：在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.（1）求角B 的大小；（2）已知1c b =+，且角A 有两解，求b 的范围.19.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC PD ⊥，二面角A CD P --为直二面角.（1）求证：PB PD ⊥；（2）当PC PD =吋，求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.20.（12分）某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y （单位：cm ）与父亲身高x （单位：cm ）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如下表：父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？（2）记ˆˆˆˆ(1,2,,)i i i i i e y y y bx a i n =-=--=，其中i y 为观测值，ˆi y为预测值，ˆi e 为对应(),i i x y 的残差.求（1）中儿子身高的残差的和､并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由.参考数据及公式：555521111880,155450,885,156045i i i i i i i i i x x y x y ========∑∑∑∑ ()()()121ˆˆˆ,n i ii n ii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ 21.（12分）已知函数()()12ln ,x f x e x g x x x -==-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当()0,2x ∈吋，()()f x g x .22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为():1(0)l y k x k =+>与E 交于不同的两点,M N .（1）求E 的方程；（2）设点()1,0P ，直线,PM PN 与E 分别交于点,C D .①判段直线CD 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点.请说明理由： ②记直线,CD MN 的倾斜角分别为,αβ，当αβ-取得最大值时，求直线CD 的方程.高三数学参考答案及评分标准一､单项选择题（每小题5分，共40分）1-4AABD 5-8DCBA二､多项选择题（每小题5分，选对但不全的得2分，共20分）9.BC 10.BCD 11.ACD 12.BCD三､填空题（每小题5分，共20分）13.26 14.216x y =（答案不唯一）15.316.27161285 四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.解：（1）因为2n n S m =+，所以2n 时，112n n S m --=+，所以()122n n a n -=.又由数列{}n a 为等比数列，所以12n n a -=.又因为11111221a S m -==+==，所以1m =-，综上11,2n n m a -=-=.（2）由（1）知6n b n =-，当16n 时，2561122n n n n T n -+--=-⨯=， 当6n >时，()61662n n T T n +-=+⨯- ()()56152n n --=+ 211602n n -+= 所以2211,1621160,62n n n n T n n n ⎧-⎪⎪=⎨-+⎪>⎪⎩ 18.解：（1）若选①：整理得)1tan tan tan tan A C A C -=+，因为A B C π++=，所以()tan tan tan tan 1tan tan A C B A C A C +=-+=-=-，因为()0,B π∈，所以6B π=；若选②：因为()2cos cos c B A =，由正弦定理得()2sin cos cos C A B B A =，所以()2sin cos ,sin 0C B A B C C =+=>，所以cos B =， 因为()0,B π∈，所以6B π=；若选③：由正弦定理整理得222a c b +-=，所以2222a c b ac +-=即cos B =，因为()0,B π∈，所以6B π=； （2）将1c b =+代入正弦定理sin sin b c B C =， 得1sin sin b b B C+=， 所以1sin 2b C b+=， 因为6B π=，角A 的解有两个，所以角C 的解也有两个，所以1sin 12C <<， 即11122b b+<<，又0b >，所以12b b b <+<，解得1b >. 19.解：（1）证明：由题意知平面PCD ⊥平面ABCD 且BC CD ⊥则BC ⊥平面PCD ，因为PD ⊂平面PCD ，所以BC PD ⊥，又因为,PO PC BC PC C ⊥⋂=，所以PD ⊥平面PBC ，所以PD PB ⊥.（2）以点D 为坐标原点，,DA DC 所在直线分别为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0D A B C ，因为224PC PD +=，所以PC PD ==()0,1,1P ，所以()()()2,1,1,0,2,0,0,1,1AP AB PC =-==-，设平面PAB 的法向量(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,20,x y z y -++=⎧⎨=⎩令1x =，所以()1,0,2m =，设直线PC 与平面PAB 所成的角为θ，sin cos ,55m PCm PCm PC θ⋅-====⨯ 所以直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为5. 20.解：（1）由题意得176,177x y ==，515222151560455176177156045155760285ˆ0.515545051761554501548805705i ii i i x y xy b xx ==--⨯⨯-=====-⨯--∑∑，ˆˆ1770.517689ay bx =-=-⨯=， 所以回归直线方程为0.589y x =+，令0.5890x x +->得178x <，即178x <时，儿子比父亲高；令0.5890x x --<得178x >，即178x >时，儿子比父亲矮，可得当父亲身高较高时，儿子平均身高要矮于父亲，即儿子身高有一个回归，回归到全种群平均高度的趋势.（意思对即可）（2）12345169,174,176.5,181.5,184y y y y y =====，所以51ˆ885i i y==∑，又51885i i y==∑，所以51ˆ0i i e ==∑， 结论：对任意具有线性相关关系的变量1ˆ0n i i e ==∑，证明：()()111ˆˆˆn n n i i i i i i i i e y y y bx a ====-=--∑∑∑ 11ˆˆˆˆ()0n n i i i i y b x na ny nbxn y bx ===--=---=∑∑. 21.解：（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，因为()111e 1e ln e ln x x x f x x x x x ---⎛⎫=+=+ ⎝'⎪⎭， 记()1ln h x x x =+，则()22111x h x x x x='-=-， 所以当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，当1x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，所以()()11h x h =，所以()11e ln 0x f x x x -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭'，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）证明：原不等式为()12eln 1x x x x x x --=-， 即1ln 1e x x x x--， 即证ln 1ln 1e e x x xx --在()0,2x ∈上恒成立， 设()e x x l x =，则()()2e e 1e e x x x x x x l x --=='， 所以，当1x <时，()l x 单调递增；当1x >时，()l x 单调递减， 令()()1ln 1,1t x x x t x x'=-+=-， 易知()t x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，当1x =时，max ()0t x =，所以ln 1x x -，且在()0,2x ∈上有ln 1,11,x x <⎧⎨-<⎩所以可得到()()ln 1l x l x -，即ln 1ln 1e e x x xx --， 所以在()0,2x ∈时，有()()f x gx 成立.22.解：（1）由题意得2c c a⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2c a ==，所以1b =，所以E 的方程为2214x y +=. （2）①由题意得()221,41,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得()2222148440k x k x k +++-=，设()()1122,,,M x y N x y ，22121222844,1414k k x x x x k k--+==++， 直线MC 的方程为1111x x y y -=+， 代入2214x y +=整理得，()()2112211121430x x y y y y ⎡⎤--++-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 设()33,C x y ，则()22113122111335214y y y y x x y --==--+，所以131325y y x =-， 1315825x x x -=-，即1111583,2525x y C x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 同理2222583,2525x y D x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.()()2112212112213321252575858932525CD y y k x x x x k k x x x x x x ----===------， 所以直线CD 的方程为1111358725325y x k y x x x ⎛⎫--=- ⎪--⎝⎭，即71337k y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以直线CD 过定点13,07⎛⎫⎪⎝⎭. ②因为73CD k k =，所以tan α与tan β正负相同，且αβ>，所以02παβ<-<， 当αβ-取得最大值时，()tan αβ-取得最大值.由0k >时，()2244443tan 373721221713kk k k k k αβ-====+++；所以当且仅当k =()tan αβ-取得最大值，αβ-取得最大值， 此时直线CD 的方程为137y x ⎫=-⎪⎝⎭.。