5.2质点系的角动量定理及角动量守恒定律

在中国航天事业中做出杰出贡献的哈工大人： 在中国航天事业中做出杰出贡献的哈工大人：
.中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 中国载人航天工程副总指挥——胡世祥 胡世祥，1940年生 黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 年生， 胡世祥，1940年生，黑龙江人，毕业于哈尔滨工业大学 控制工程系。 控制工程系。 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师， 曾任中国酒泉卫星发射中心副总工程师，西昌卫星发射 中心副主任、主任。 中心副主任、主任。 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 长期从事火箭卫星发射试验，主持发射过多种型号卫星， 曾多次担任卫星发射现场的 总指挥。 总指挥。 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥， 现任总装备部副部长，中国载人航天工程副总指挥，主 神舟”号飞船发射工作。 管“神舟”号飞船发射工作。
（2） 对 O 点的角动量 ）
r r r r = r′ + R r r r r r r r r r r L = r × p =(R+r′)× p= R× p = R×m t g O r r L = Rm gt R ⊥g O
m r m v
确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。 确定质点有无角动量，要看位矢是否存在绕参考点的转动。
老校长杨士勤曾说： 老校长杨士勤曾说： 神舟号”飞船研制过程中， 在“神舟号”飞船研制过程中，有5项关键技术 是由哈工大教师 是由哈工大教师 做出的成果解决的。 做出的成果解决的。 超大型空间环境模拟器； 超大型空间环境模拟器； 仿真试验OUT型闭式转台 型闭式转台； 仿真试验OUT型闭式转台； 飞船数据管理容错计算机； 飞船数据管理容错计算机； 返回舱焊接变形控制技术； 返回舱焊接变形控制技术； 飞船故障诊断专家系统。 飞船故障诊断专家系统。 国产舱外航天服 失重训练模拟水槽 出舱用反光镜体 舱外航天服试验舱

M z = m2 gR − m1 gR = 0
系统的总角动量守恒：
m2 v2 R − m1v1 R = 0
m1=m2,所以v1=v2
同高从静态开始 往上爬
L − L0 = m1v1 R − m2 v2 R > 0 ∴ m1v1 R > m2 v2 R ⇒ v1 > v2
体重轻的先到顶点
dL M z = m2 gR − m1 gR = >0 dt
∫ =∫
∫
L 2 L − 2
L
0
L
x dm
mL x λ dx = 3
2
2
A L/2
C
0
IC =
x 2 λ dx = mL 2 / 12
例、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转 动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
O
R dm
解： I = R2dm = R2 dm = mR2
∫
∫
例：求质量为m、半径为R均匀圆盘的转动惯量。轴 与盘平面垂直并通过盘心。
ωB
⎧ J Aω A + J Bω B = ( J A + J B )ω ⎨ 2 2 J A = m A RA 2 , J B = m B RB 2 ⎩ 2 2 m A RAω A + m B RBω B ω= 2 2 m A RA + m B RB = 100 rad⋅ s −1
A
B
ω
例、如图所示,一质量为m的小球以水平速度射入一静止悬于顶 端长棒的下端,碰后以速度v’反向运动,已知棒长为l,质量为M。 设碰撞前后杆视为一直保持竖直位置，求碰撞后杆的角速度 解:由小球和杆组成的系统受到的外力有重 力和轴对杆的作用，它们对O轴的力矩分量 为零，所以系统对O轴的角动量分量守恒

L mvd k
由上例可以看出，并非质点仅在圆周运动时才具有角动量， 质点作直线运动时，对于不在此直线上的参考点也具有角动量。
另外，还可以看出，如果把参考点选在该直线上，则sin 0，
质点对该点的角动量永远等于零。因此，当谈到角动量时，必 须指明是对哪个参考点而言的，否则没有意义。
二、力对一参考点的力矩
轴线的一个分量，下面将给出力矩的一般定义。
如右图所示，O 是空间一点，F 是作
z
F
用力，A 表示受力点，受力点相对于 τ 参考点O 的位置矢量 r 与力 F 矢量的
φ
矢量积τ 叫做力 F 对参考点O的矩，
rA
其数学表达式为τ= r× F
xO
y
由定义可知，同一个力对于不同的参考点有不同的力矩，
因此讲到力矩时必须指明是相对哪一点而言的。当力 F不为零 时，力矩τ仍可能为零，这有两种情况：一是力的作用点就在参 考点 O ，此时位置矢量 r =0；另一种是沿力的方向的延长线通
L
于参考点的位置，故又与参考点的
φ
选择有关。例如，图（b）中对 o点
r
的角动量与对 o点角动量是不相同
O
y
的。
x
（a）
z
Lz L
o r mv s
L Lz r
o （b）
应当指出的是，虽然质点相 对于任一直线（例如 z 轴） 上的不同参考点的角动量是
不相等的，但是这些角动量
在该直线上的投影却是相等 的。如图（b）所示，取 S 平
三、质点对参考点的角动量定理和守恒定律
1
rv
常量
dt
dt
dt
2
因在平面内运动，故 r v 恒矢量 2

第五章：角动量、关于对称生我们将在本章，讨论动量和能量之外的另一个重要的守恒量，即角动量，认识这一概念，它的变化规律和它的守恒，动量和能量不能反映运动的全部特点。

本章介绍经电动力学的适用范围，第六章再、介绍万有引力定律哦的适用范围。

§5.1 质点的角动量一、 质点的角动量开普勒描述行星运动时曾谈到行星沿平面轨道运行，开普勒三个定律如下：1.第一定律；行星都沿着椭圆轨道运动太阳位于椭圆的一个焦点处，如图（5-1.1）所示。

2.第二定律；在航行运动时，联结行星和太阳的线，在相等时间内永远扫出同样大小的面积，图（5-1.2）。

3.第三定律：行星公转周期（公转一次的时间）T 的平方与它们的轨道长半轴a 的立方成正比，即 23112322T a T a =；将行星视为质点分别用r v 和u v表示行星的位置失量和速度。

dtu v 表示质点在时间dt 内的位移dt 内位置矢量扫过面积的大小可用2dtr u ´v v 表示，掠面速度大小则等于2r u ´v v ，2r u´v v 的方向恰与纸面垂直，它的方向不变正可用来表示轨道在一平面内，于是称矢量。

2r u´vv 为掠面速度上述行星的运动规律可写作， 2r u´v v =恒矢量。

它既能说明行星掠面速度大小不变又能指明轨道总在同一平面上。

图（5-1.3）所示。

质点A 的质量为 m, 速度 u v 位置矢量r v ，质点A 的矢径r v与质点动量P m u =u v v 的矢积称为质点（矢量乘积）A 对O 点的动量矩，用l v 表示L Pm g g u =? u v u v u v u v v ；图(5-1.4)上，矢量L u v 垂直与由g u v组成的平面矢量L u v 的大小为sin sin L p m g a ug a ==a 为矢量g u v 的正方向和矢量p u v 的正方向之间的夹角，角动量的大单位为2./kg m s .量纳为[]21L L MT-=，图（5-1.5）所示。