第十四章 动能定理(H)

T 1
2
N i
mivi 2
1 2
N i
mi (vC vir )2
1 ( N
2i
mi )vC21Βιβλιοθήκη 2N imi vi2r
1 2
2
N i
mvir vC
N
mivir MvCr 0 i
1 2
mvC2
Tr
1 2
MvC2
1 2
mivi '2
例1 坦克以速度v0向右运动，其履带的质量为m，车轮的 半径为R，两车轮轴间的距离为πR。试计算履带的动能。
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
M2
M2
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M1
M1
M2
F dr
（矢量式）
M1
M2
Xdx Ydy Zdz （直角坐标表达式）
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1,F2 ,,Fn 作用,合力为R Fi 则合力 R
的功
M2
M2
第九章 动能定理
§9–1 质点系的动能 §9–2 力的功 §9–3 动能定理 §9–4 功率 ·功率方程 §9–5 势力场 ·势能 ·机械能守恒定理 §9–6 动力学普遍定理及综合应用
§9-1 质点系的动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱
的又一种度量。 一．质点的动能
T 1 mv 2 2
zC2
l 2
，则重力
W
mg ( z C1
zC2 )
1 2l
mg(l 2
a2)
2．弹性力的功
弹簧原长 l0 ，在弹性极限内 F k(r l0 )r0

• 弹性力的功为
1 2 2 W k ( 1 2 ) 2
式中，δ1-----初始位置弹簧变形量； δ2 -----末了位置弹簧变形量；
结论：弹性力的功只与起止位置弹簧的变形 量有关而与路径无关。
3、定轴转动刚体上作用力的功
力 F = Ft+Fr+Fz
z
ω
∵ 刚体转动时，力Fr 和Fz 方向上无位移，
二、变力的功
• 质点M在力F作用下作曲线运动 M→M'，ds = MM'，dr = MM'
z M1
M ds φ
M'
dr
δW =F· dr =Fdscosφ
力F与质点的无限小位移 dr 的 数量积，称为力的元功。
k
i x o j
r
F
M2 y
τ
W12
M2
M1
F dr
M2
M1
F cos ds
§14-2 质点和质点系的动能
一、质点的动能
设质点的质量为m，某瞬时速度为v，则其动能为
1 2 T mv 2
动能和动量都是表征机械运动的量，前者是标量；后者是矢 量，它们是机械运动的两种度量。动能与功的量纲相同，也 为J。
二、质点系的动能
1 T mi vi2 i 2
1、平动刚体的动能
5．摩擦力的功 （1）动滑动摩擦力的功
W
M1 M 2
F ' ds
M1M 2
fFN ds
FN=常量时, W= –f FN S, 与质点的路径有关。
（2）纯滚动刚体上静滑动摩擦力的功
W F drC F vC dt 0
• drC----接触点的位移； • C为速度瞬心， vC=0 • 静滑动摩擦力F----阻碍滑动；帮助滚动。

2
[解析] 在最低点时,拉力和重力的合力充当向心力,有 T-mg=m ,又知
பைடு நூலகம்
T=7mg,解得 v= 6,恰好通过最高点,所以在最高点时,绳子的拉力为零,重
12
力完全充当向心力,有 mg=m ,解得 v1= ,从最低点到最高点过程中,重

1
2 1
力做负功,阻力做负功,根据动能定理得-2mgR-Wf= m1 - mv2,解得
4.相对性:动能具有相对性,物体动能的大小与
参考系. 状态
5.动能是
或“过程”)量.
.
的选择有关,一般取地面为
(选填“状态”或“过程”)量,动能的变化量是
过程
(选填“状态”
教材知识梳理
二、动能定理
1.内容:(合)力在一个过程中对物体所做的功,等于物体在这个过程中 动能
化.
2.表达式:W=
1
ΔEk 或 22
问题往往比较复杂,但是,用动能定理分析问题,是从总体上把握其运动状态的变化,
并不需要从细节上了解.因此,动能定理的优越性就明显地表现出来了,分析力的作
用是看力做的功,也只需把所有的力做的功累加起来即可.
(2)运用动能定理解决问题时,有两种思路:一种是全过程列式,另一种是分段列式.
考点互动探究
2
1
1
2
2
定理得 W 合=W 推+W 重+W 阻= mv2,所以推力做的功 W 推= mv2-W 重-W 阻
1
1
2
2
= mv2+mgh-W 阻,选项 C 错误;阻力对小车做的功 W 阻= mv2-W 重-W 推
1
= mv2+mgh-Fx,选项 D 正确.

F1 dr F2 dr Fn dr W1 W2 Wn
M1 M1 M1 M2
M1 M2
M2
即
W Wi
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
5
四．常见力的功 1．重力的功 质点：重力在三轴上的投影：
X 0, Y 0, Z mg
1 m1 3 2 2 T [( m2 )l ( R 2lR)m2 ] 2 2 3 2
15
1 1 2 m1l m2 R 2 m2 (l R) 2 3 2
例：匀质圆轮作沿固定面作纯滚动，已知 m , r，vC
求：动量，对O点的动量矩，动能。 解．轮作平面运动

C
动量： k
W
(N)
N dr N 'dr
N dr N dr 0
12
§14-2
的又一种度量。
一．质点的动能
动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱
T 1 m v2 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。
二．质点系的动能
1 T mi vi 2 2 对于任一质点系：（ vi ' 为第i个质点相对质心的速度） 1 2 1 T MvC mi vi ' 2 柯尼希定理 2 2
1 1Байду номын сангаас2 2 mv 2 mv1 W12 动能定理的积分形式 2 2
17
2．质点系的动能定理
对质点系中的一质点 M i ： d ( 1 mi vi 2 ) Wi 2 对整个质点系，有:
1 1 2 2 d ( m v 2 i i ) Wi d ( 2mi vi ) Wi 质点系动能定理的微分形式 即: dT Wi