初中数学竞赛专题选讲-面积法

数学竞赛中的面积问题与面积方法（一）
四川泸州朱勇
数学中高考与竞赛试题中常常会出现三角形面积问题，本文将给大家介绍一些面积问题的处理方式。

便于解题，考生应掌握如下三角形面积公式：
下面来看几个面积问题
这个试题抓等底（或等高)的两个三角形的面积比等于其上高（或是底）的长的比，我们再来看一个试题
方法1
方法2
这些处理方式可固化为经典“模型”，我们再来看看下边这个试题。

方法1
方法2
古人云：“道不远人”，道理、真理往往是最基础、最朴素的！。

A卷一、填空题01．如图225，在△ABC中，EF∥BC，且AE : EB=m，则S△AEF :S四边形BEFC=_________。

02．如图226，在梯形ABCD中，AB∥CD。

若△DCE面积是△DCB的面积的14，则△DCE的面积是△ADC面积的_________。

03．如图227，已知△ABC的面积为1，且BD=12DC，AF=12FD，CE=12EF，则S△DEF=_________。

04．如图228，是由三个等边三角形△ABE、△ADE和△CDE组成图形，它的面积是1，F为AB中点，则S△CEF=_________。

05．如图229，D在BC上，E在AD上，若△ABE、△BDE、△CDE的面积为16、7、5，求△AEC的面积=_________。

06．如图230，平行四边形ABCD中，EF∥AC，分别交CD、AD于E、F，连AE、BE、BF、CF，那么与△BCE面积相等的三角形有_________。

07．如图231，△ABC中D、E分别为AB、BC中点，连DE、DC。

若△ABC的面积为1，则S△CDE=_________。

08．如图232，若△ABE、△BDE、△ACD的面积分别为6、9、10，则S △ACE=_________。

09．如图233，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AB、AD的中点，图中与△EAD面积相等的三角形有_________。

10．如图234，梯形ABCD中，AC、BD相交于O，若△ABC和△BOC的面积分别为8与5，则S△COD=_________。

二、解答题11．如图，正方形ABCD的边长为12，E、F分别为AD、BC的中点，G、H为AB的三等分点，I为CD的一个三等分点，P为正方形ABCD内任意一点，求图中阴影部分面积。

12．由锐角三角形各边中点作其他两边的垂线，求六条垂线围成的六边形的面积等于原三角形面积一半。

B卷一、填空题01．如图236，在△ABC的各边AB、BC、CA上取AD、BE、CF各等于边的13，则S△ABC : S△DEF=_________。

第十四讲面积问题我们已经学过的面积公式有:⑴s如=^-aha〔其中ha表示自边上的高).⑵S 平行四边形=ah(其中h表示a边上的高).⑶S =| (a-Hb) h (其中事b衰示梯形中"两条平行边2 的长，h表示平行边之间的距离).由于多边形可以分割为若干个三角形，多边形的面积等于各三角形面积和，因此，三角形的面积是面积问题的基础.等积变形是面积问题中富于思考性的有趣问题，它是数学课外活动的重要内容，这一讲中我们将花较多的篇幅来研究多边形的等积变形.等积变形是指保持面积不变的多边形的变形.三角形的等积变形是多边形等积变形的基础，关于三角形的等积变形有以下几个主要事实：(1) 等底等高的两个三角形面积相等.(2) 两个三角形面积之比，等于它们的底高乘积之比.(3) 两个等底三角形面积之比，等于它们的高之比.(4) 两个等高三角形面积之比等于它们的底之比.例1已知△ ABC中三边长分别为a，b，c，对应边上的高分别为h a=4, h b=5，hc=3.求a : b : c.解设厶ABC的面积为S,贝US= —a * ha -丄B • hb = — & • he = 2a = —b - —s2 2 2 2 2... q P 7所以5S?2 新，所以.. 1.2.2 . .a ■b *c =—* 亠-—= 15- 12- 20*2 5 3说明同一个三角形依面积公式可以有三种不同的表示法，由此获得三边之比.例2如图1 — 51,匚ABCD 勺面积为64平方厘米（cm 2） , E, F 分别为 AB, AD 的中点，求△ CEF 的面积.分析由于△ CEF 的底与高难以从平行四边行的面积中求出，因此, 应设法将四边形分割为三角形，利用面积比与底 （高）比来解决.解连接AC E 为AB 中点，所以同理可得 S ACDF =16（平方厘米）.连接DE DB F 为AD 中点，所以从而C EF =S B CD~ S^aEF ・ & bCE- s cDF=64-16-16-8=24（平方厘米）.说明（1） E ，F 是所在边的中点启发我们添加辅助线 BD DE（2）平行四边形的对角线将平行四边形分成两个三角形的面积相等是 由平行四边形对边相等及平行线间的距离处处相等， 从而这两个三角形的 底、高相等获知的.例3如图1-丈所示.己知ZlABC 的面积为1. RBD = |D C AF = |F D, CE=|E F ・求ADEF 的面积.分析 直接求△ DEF 面积有困难，观察图形，发现△ DCF 有共十"d （平方厘米）.=扌空颐严〔平方厘米）・10 ABCE同的顶点D,其底边在同一条直线上，因而，高相同.所以闊■EF 2 ^ADCFCF 于是，求△ DEF 的面积就转化为求△ DCF 的面积•用同样的办法可将 △ DCF 的面积转化为△ ADC 的面积，进而转化为△ ABC 的面积.解因为CE 詁EF.所畑=2CE, 8EF 与ADCF 有共同的顶点八、、D,且底边EF , CF 在同一条直线上，EF ： CF=2： 3, 同理，△ DCF 与△ DCA 有共同的顶点C,且底边DF, DA 在同一条直线 上，由已知DF ： DA=2： 3,所以^£L DCAS2 同样严埠所以' A BCA 占 _ 2 2^22 2 2 8 =—• — • — * S …=—N 它 迂 A BCA例4用面积方法证明：三角形两边中点连线平行于第三边.所以EF 2 CF " 3分析与解 如图1 — 53所示•设E , F 分别是AB AC 的中点，可求得 △ EBC tA FBC 的面积相等（均为△ ABC S 积的一半）•由于这两个三角形 同底BC 因而这两个三角形的顶点E , F 在一条与底边BC 平行的直线上, 所以EF// BC说明（1）从证题过程看出，条件“ E, F 是所在边的中点”可BEBA从而 S △cB E =S x bCF. 这两个三角形同底BC ,因此，它们的顶点E , F 的连线与底边平行. ⑵同样用面积的方法可以证明如下事实：三角形 ABC 中，若EF / BC 且AE ： EB=m 则AF ： FC=m ^同学们自己证明）.例5如图1 — 54.在△ ABC 中, E 是AB 的中点，D 是AC 上的一点， 且 AD ： DC=2： 3, BD 与 CE 交于 F , S △ A B <=40,求 S^EFD. 以推广为竺&空■竺］等，，事实上 AB 負C 产宀光上c分析四边形AEFD可分割AED与△ DEF从E是AB中点及D分AC为2 : 3的条件看，△ AED的面积不难推知，关键是如何推求△ DEF的面积•为此，需通过添加辅助线的办法，寻求△ DEF 的面积与已知面积的 关系.解 取AD 的中点G,并连接EG 在厶ABD 中，E 是AB 的中点，由例3 知 EG// BD.又 CD ： DG=： 1，从而，在△ CEG^，CF ： FE=CD DG=： 1(例 3 说明(2))，所以 S △ DFC ： DFE =3 ： 1 .设 S ^ DEF =X ，则 S ^DFC =3x ，2 DEC=4X .由于AD ： DC=2： 3,所以又因为E 是AB 中点，所以所以¥乂 = 20・"玉即仇哪=左所=|K = 8,所以说明 在三角形中，利用平行线实行比的转移，再利用等积变形，得 到相应的面积的比，从而将欲求的△ DEF 的面积与已知的厶ABC 的面积“挂 上了钩”.这里取AD 的中点G,得到BD 的平行线EG 是关键.例6如图1-55所示.E ，F 分别是口 ABCD 勺边AD AB 上的点，且 BE=DF BE 与DF 交于0.求证：C 点到BE 的距离等于它到 DF 的距离.分析过C 作CGL BE 于G, CH L FD 于H,贝U CG CH 分别是C 至U BE于是S ^EAD ： S ^ECD=2 : 3,国 1- S5DF的距离，问题就是要证明CG=CH结合已知，BE=DF可以断言，△ BCE的面积等于△ CDF 勺面积•由于这两个三角形的面积都等于 ABCDS 积的 一半，因此它们等积，问题获解.解连接CF, CE 因为iCDF —S △bCE =S^ cDF. 因为BE=DF 所以CG=CH （GGCH 分别表示BE DF 上的高）,即C 点到BE 和DF 的距离相等.说明（1） △ BCE 与△ CDF 是两个形状及位置完全不同的三角形，它们面 积相等正是通过等积变形一一都等于同一平行四边形的面积之半.⑵通过等积变形可以证明线段的相等.练习十四1.如图 1 — 56所示.在厶 ABC 中, EF// BC ,且 AE ： EB=r p 求证：AF ： FC=m所以£ 1-562.如图1 —57所示.在梯形ABCD中, AB / CD若厶DCE 的面积是△DCS 的面积的!问’ ZXDCE 的面积是ZLABD 的面积 的几分之几？3 .如图1 — 58所示.已知P 为厶ABC 内一点，AP, BP, CP 分别与对 边交于D, E ,卩，把厶ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积 已在图中给出.求△ ABC 的面积.4. 如图1 — 59所示.PABC 内任意一点，三边a , b , c 的高分别 为h a , h b , h c ,且P 到a , b , c 的距离分别为t a,・，仁.5. 如图1 — 60所示.在梯形ABCD 中，两腰BA CD 的延长线相交于 O, 0E// DB OF// AC 且分别交直线 BC 于 E , F .求证：BE=CF團 1- 58E I囹 1-60图l et6. 如图1 —61所示.P是厶ABC的AC边的中点，PQL AC交AB延长线于Q, BRL AC于R.s =-S求证：2凸播Q 2血AEG。

S△CAB
＝
1 2
×3×2＝3（平方单位）；
备用图
②假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，△PAB 的铅垂高为 h，则 h＝ y1 － y2 ＝（－x²＋2x＋3） －（－x＋3）＝－x²＋3x 由 S△PAB ＝ S△CAB 得： 1 ×3×（－x²＋3x）＝3
2 化简得：x²－3x＋2＝0， 解得： x1 ＝1， x2 ＝2， 将 x1 ＝1 代入 y1 ＝－x²＋2x＋3 中， 解得 P 点坐标为（1，4）． 将 x2 ＝2 代入 y1 ＝－x²＋2x＋3 中， 解得 P 点坐标为（2，3）． ∵点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）．
计算三角形面积的新方法：
S△ABC
＝
1 2
ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
解答问题：
如图 2，顶点为 C（1,4）的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 交 x 轴于点 A（3,0），交 y 轴于点 B．
（1）求抛物线和直线 AB 的解析式；
（2）点 P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求△CAB
模型讲解
竖切
面积公式均为 S = 1 dh 2
横切
面积公式均为 S = 1 dh 2
【总结】 这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如 何选用，取决于点 D 的坐标哪种更易求得. 例题 2 已知一次函数 y＝（k＋3）x＋（k－1）的图像与 x 轴、y 轴分别相交于点 A、B，P（－1，－4）.
（2）若点 E 时线段 AB 上的一个动点（与点 A、B 不重合），过点 E 作 EF∥AC 交 BC 于点 F，连接 CE， 设 AE 的长为 m，△CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围.