2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷(解析版)

2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.已知线段a=2，b=4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是()A. 8B. 6C. 2√2D. 22.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为()A. m⋅sinαB. m⋅cosαC. m⋅tanαD. m⋅cotα3.已知一个单位向量e⃗，设a⃗、b⃗ 是非零向量，那么下列等式中正确的是()A. 1|a⃗ |a⃗=e⃗ B. |e |a=a C. |b⃗|e=b⃗ D. 1|a⃗ |a⃗=1|b⃗|b⃗4.已知二次函数y=x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是()A. y=(x+1)2+2B. y=(x+1)2−2C. y=(x−1)2+2D. y=(x−1)2−25.在△ABC与△DEF中，∠A=∠D=60°，ABDF =ACDE，如果∠B=50°，那么∠E的度数是()A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°6.如图1，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED//BC的是()A. ADAB =DEBCB. ADAC =AEABC. AD⋅AB=DE⋅BCD. AD⋅AC=AB⋅AE二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2(3b⃗−2a )+(a−2b⃗)=______．图18. 如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE//BC ，如果AE =5，EC =3，DE =4，那么线段BC 的长是______．9. 如图3，已知AD//BE//CF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F.如果ABBC =23，DF =15，那么线段DE 的长是______．10. 点P 是线段AB 的黄金分割点(AP >BP)，则BPAP = ______ ．11. 写出一个对称轴是直线x =1，且经过原点的抛物线的表达式______． 12. 如图4，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果BC =4，sin ∠DBC =23，那么线段AB 的长是______．13. 如果等腰△ABC 中，AB =AC =3，cos ∠B =13，那么cos ∠A =______．14. 如图5，在△ABC 中，BC =12，BC 上的高AH =8，矩形DEFG 的边EF 在边BC上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．设DE =x ，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是______.(不需写出x 的取值范围)．15. 如图6，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC =6厘米，长CD =16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是______厘米．16. 在△ABC 中，AB =12，AC =9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 相似，如果AE =6，那么线段AD 的长是______．17. 如图7，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果AG =5，BF =6，那么线段CE 的长是______．图2 图3 图4图5图6图718.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，∠DAE=∠B=30°，且ADAE=32，那么DEBC的值是______．三、解答题（本大题共7小题，共78分）19.（本题满分10分）计算：cos30°tan60∘−sin60∘−cot45°．20.（本题满分10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且DECE =12，设AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ ．(1)用a⃗、b⃗ 表示AE⃗⃗⃗⃗⃗ ；(直接写出答案)(2)设AE⃗⃗⃗⃗⃗ =c，在答题卷中所给的图上画出a−3c的结果．21.（本题满分10分）图8某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米(即AD=BE=1米)，两台测角仪相距50米(即AB= 50米).在某一时刻无人机位于点C(点C与点A、B在同一平面内)，A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°.(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(1)求该时刻无人机的离地高度；(单位：米，结果保留整数)(2)无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F(点F与点A、B、C在同一平面内)，此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．(单位：米/秒，结果保留整数)22.（本题满分10分）x2−x+2，其顶点为A．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−14(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；(2)直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点(点B在点C左侧)，且cot∠ABC=2，求点B坐标．23.（本题满分12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．(1)求证：AD⋅DE=AB⋅BF；(2)联结AC，如果CFDE =ACCD，求证：AC2BC2=AFBF．24.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．(1)已知原抛物线表达式是y=x2−2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；(2)已知原抛物线经过点(1,0)，且它的“影子抛物线”的表达式是y=−x2+5，求原抛物线的表达式；(3)小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．25.（本题满分14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD=AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．(1)当∠CAD=90°时，求线段AE的长．(2)过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，(其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF表示①当∠CAD<120°时，设AE=x，y=S△BCES△AEF△AEF的面积)，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；=7时，请直接写出线段AE的长．②当S△BCES△AEF答案和解析1.【答案】A【解析】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．42=2c，解得c=8，故选：A．根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac.即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．2.【答案】B【解析】解：由题意，得cosA=ACAB，AC=AB⋅cosA=m⋅cosα，故选：B．根据余弦是邻边比斜边，可得答案．本题考查了锐角三角函数的定义，利用余弦的定义是解题关键．3.【答案】B【解析】解：A、1|a⃗ |⋅a与e⃗的模相等，方向不一定相同．故错误．B、正确．C、|b|⃗⃗⃗ e与b⃗ 的模相等，方向不一定相同，故错误．D、1|a⃗ |⋅a与1|b⃗|⋅b⃗的模相等，方向不一定相同，故错误．故选：B．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4.【答案】B【解析】解：二次函数y=x2，将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的解析式为y=(x+1)2−2．故选：B．根据平移的规律即可求得答案．本题主要考查二次函数的图象与几何变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．5.【答案】C【解析】解：∵∠A=∠D=60°，ABDF =ACDE，∴△ABC∽△DEF，∴∠B=∠F=50°，∠C=∠E=180°−60°−50°=70°故选：C．根据相似三角形的判定和性质解答即可．考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．6.【答案】D【解析】解：∵∠EAD=∠CAB，∴当AEAC =ADAB，即AD⋅AC=AB⋅AE，∴ED//BC，故选：D．根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键．7.【答案】−3a+4b⃗【解析】解：2(3b⃗−2a )+(a−2b⃗)=6b⃗−4a+a−2b⃗=−3a+4b⃗，故答案为−3a+4b⃗．根据平面向量的加法法则计算即可．本题考查平面向量的加法法则，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8.【答案】325【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴DEBC =AEAC，∴4BC =58，∴BC=325，故答案为325．证明△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．9.【答案】6【解析】解：∵AD//BE//CF，∴ABBC =DEEF=23，∵DF=15，∴DEEF =DEDF−DE=DE15−DE=23，解得：DE=6，故答案为：6根据平行线分线段成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．10.【答案】√5−12【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点(AP>BP)，∴BPAP =APAB=√5−12．故答案为√5−12．把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值√5−12叫做黄金比．本题考查了黄金分割的定义，牢记黄金分割比是解题的关键．11.【答案】答案不唯一(如y=x2−2x)【解析】解：符合的表达式是y=x2−2x，故答案为y=x2−2x．此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个符合的即可．本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质的内容是解此题的关键．12.【答案】2√5【解析】解：在Rt△BDC中，∵BC=4，sin∠DBC=23，∴CD=BC×sin∠DBC=4×23=83，∴BD=√BC2−CD2=4√53，∵∠ABC=90°，BD⊥AC，∴∠A=∠DBC，在Rt△ABD中，∴AB=BDsin∠A =4√53×32=2√5，故答案为：2√5．在Rt△BDC中，根据直角三角形的边角关系求出CD，根据勾股定理求出BD，在在Rt△ABD中，再求出AB即可．考查直角三角形的边角关系，勾股定理等知识，在不同的直角三角形中利用合适的边角关系式正确解答的关键．13.【答案】79【解析】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，∴∠ADB=90°∴在△ADC中，cos∠B=BDAB =13，∴BD=13AB=1．∵AB=AC，AD⊥BC∴BD=DC，∴BC=2，∴AD=√AB2−BD2=√32−12=2√2∵12AB⋅CE=12BC⋅AD，∴CE=BC⋅ADAB =2×2√23=4√23，∴AE=√AC2−CE2=73∴cos∠A=AEAC =733=79，故答案为79．过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AB，垂足为E，根据余弦的定义求得BD，即可求得BC，根据勾股定理求得AD，然后根据三角形面积公式求得CE，进一步求得AE，根据余弦的定义求得cos∠A的值．本题考查了解直角三角形，属于基础题，关键是掌握等腰三角形的性质、勾股定理，三角形面积公式．14.【答案】y=−32x2+12x【解析】解：∵四边形DEFG是矩形，BC=12，BC上的高AH=8，DE=x，矩形DEFG 的面积为y，∴DG//EF，∴△ADG∽△ABC，∴8−x8=DG12，得DG=3(8−x)2，∴y=x⋅3(8−x)2=−32x2+12x，故答案为：y=−32x2+12x．根据题意和三角形相似，可以用含x的代数式表示出DG，然后根据矩形面积公式，即可得到y与x的函数关系式．本题考查根据实际问题列二次函数关系式、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．15.【答案】9.6【解析】解：如图所示：作BE⊥AE于点E，由题意可得，BC=6cm，CF=12DC=8cm，故BF=√FC2+BC2=√62+82=10(cm)，可得：∠CFB=∠BAE，∠C=∠AEB，故△BFC∽△BAE，∴BCEB =FBAB，∴6BE =1016，解得：BE=9.6．故答案为：9.6．直接利用勾股定理得出BF的长，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．此题主要考查了勾股定理的应用以及相似三角形的判定与性质，正确把握相关性质是解题关键．16.【答案】8或92【解析】解：如图∵∠DAE=∠BAC，∴当△ADE∽△ABC，∴ABAC =ADAE，即129=AD6，解得：AD=8，∴当△AED∽△ABC，∴ABAC =AEAD，即129=6AD，解得：AD=92，故答案为：8或92分类讨论：当△ADE∽△ABC和当△AED∽△ABC，根据相似的性质得出两种比例式进而解答即可．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．17.【答案】92【解析】解：如图，延长AG交BC于K．∵点G是△ABC的重心，∴AG=2GK，BG=2GF，CG=2EG，∵AG=5，BF=6，∴GK=52，BG=4，∵CE⊥BF，∴∠BGC=90°，∴BC=2GK=5，CG=√BC2−BG2=√52−42=3，∴EG=12CG=32，∴EC=3+32=92．故答案为92．如图，延长AG交BC于K.根据重心的性质以及勾股定理即可解决问题．本题考查三角形的中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.【答案】13√318−1【解析】解：∵AB=AC，∴∠C=∠B=30°，∵∠DAE=∠B=30°，∴∠DAE=∠B=∠C，∵∠AED=∠BEA，∴△ADE∽△BAE，∴ADAB =AEBE=DEAE，∴AE2=DE×BE，同理：△ADE∽△CDA，∴ADCD =DEAD，∴AD2=DE×CD，∴AD2AE2=CDBE=(32)2=94，设CD=9x，则BE=4x，∵ADAB =AEBE，∴AB=ADAE ×BE=32×4x=6x，作AM⊥BC于M，如图所示：∵AB=AC，∴BM=CM=12BC，∵∠B=30°，∴AM=12AB=3x，BM=√3AM=3√3x，∴BC=2BM=6√3x，∴DE=BE+CD−BC=13x−6√3x，∴DEBC =13x−6√3x6√3x=13√318−1；故答案为：13√318−1．证明△ADE∽△BAE，得出AE2=DE×BE，同理△ADE∽△CDA，得出AD2=DE×CD，得出AD2AE2=CDBE=94，设CD=9x，则BE=4x，求出AB=ADAE×BE=6x，作AM⊥BC于M，由等腰三角形的性质得出BM=CM=12BC，由直角三角形的性质得出AM=12AB=3x，BM=√3AM=3√3x，得出BC=2BM=6√3x，求出DE=BE+CD−BC=13x−6√3x，即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】解：原式=√32√3−√32−1=0．【解析】代入特殊角的三角函数值求值．本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．20.【答案】解：(1)∵DECE =12，即DE=12CE，DE=13DC，AE⃗⃗⃗⃗⃗ =13a+b⃗(2)如图所示：即为a−3c的结果．【解析】(1)根据平面向量的平行定理即可表示；(2)根据向量定理即可画出．本题考查了平行四边形的性质、平面向量，解决本题的关键是准确画图．21.【答案】解：(1)如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，∵∠CBA=45°，∴BH=CH，设CH=x，则BH=x．∵在Rt△ACH中，∠CAB=30°，∴AH=√3CH=√3x．∴x+√3x=50．解得：x=√3+1≈18，∴18+1=19．答：计算得到的无人机的高约为19m；(2)过点F作FG⊥AB，垂足为点G，在Rt△AGF中，tan∠FAG=FGAG，∴AG=FGtan40∘≈180.84≈21.4，又AH=√3CH≈31.14．∴31.14−21.42≈5，或31.14+21.42≈26答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．【解析】(1)如图，过点C作CH⊥AB，垂足为点H，设CH=x，则BH=x.解直角三角形即可得到结论；(2)过点F作FG⊥AB，垂足为点G，解直角三角形即可得到结论．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)抛物线y=−14x2−x+2=−14(x+2)2+3的开口方向向下，顶点A的坐标是(−2,3)，抛物线的变化情况是：在对称轴直线x=−2左侧部分是上升的，右侧部分是下降的；(2)如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD．设线段AD的长为m，则BD=AD⋅cot∠ABC=2m，∴点B的坐标可表示为(−2m−2,3−m)，代入y=−14x2−x+2，得3−m=−14(−2m−2)2−(−2m−2)+2．解得m1=0(舍)，m2=1，∴点B的坐标为(−4,2)．【解析】(1)由二次函数的性质可求解；(2)如图，设直线BC与对称轴交于点D，则AD⊥BD，设线段AD的长为m，则BD=AD⋅cot∠ABC=2m，可求点B坐标，代入解析式可求m的值，即可求点B坐标．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，利用参数求点B坐标是本题的关键．23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD//AB，AD//BC，∴∠CDE=∠DAB，∠CBF=∠DAB，∴∠CDE=∠CBF，∵CE⊥AE，CF⊥AF，∴∠CED=∠CFB=90°，∴△CDE∽△CBF，∴BCBF =CDDE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，CD=AB，∴ADBF =ABDE，∴AD ⋅DE =AB ⋅BF ．(2)∵CF DE =AC CD ，∠CED =∠CFB =90°，∴△ACF∽△CDE ，又∵△CDE∽△CBF ，∴△ACF∽△CBF ，∴S △ACFS △CBF =AC 2BC 2，∵△ACF 与△CBF 等高，∴S △ACF S △CBF =AF BF ， ∴AC 2BC 2=AF BF ．【解析】(1)证明想办法证明四边形ABCD 是平行四边形即可解决问题．(2)由△ACF∽△CDE ，△CDE∽△CBF ，推出△ACF∽△CBF ，可得S △ACF S △CBF =AC 2BC 2，又△ACF 与△CBF 等高，推出S △ACFS △CBF =AF BF ，可得结论AC2BC 2=AF BF ． 本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)∵原抛物线表达式是y =x 2−2x +5=(x −1)2+4∴原抛物线顶点是(1,4)，设影子抛物线表达式是y =x 2+n ，将(1,4)代入y =x 2+n ，解得n =3，所以“影子抛物线”的表达式是y =x 2+3；(2)设原抛物线表达式是y =−(x +m)2+k ，则原抛物线顶点是(−m,k)，将(−m,k)代入y =−x 2+5，得−(−m)2+5=k①，将(1,0)代入y =−(x +m)2+k ，0=−(1+m)2+k②，由①、②解得 {m 1=1k 1=4，{m 2=−2k 2=1． 所以，原抛物线表达式是y =−(x +1)2+4或y =−(x −2)2+1；(3)结论成立．设影子抛物线表达式是y =ax 2+n.原抛物线于y 轴交点坐标为(0,c)则两条原抛物线可表示为y 1=ax 2+b 1x +c 与抛物线y 2=ax 2+b 2x +c(其中a 、b 1、b 2、c 是常数，且a ≠0，b 1≠b 2)由题意，可知两个抛物线的顶点分别是P 1(−b 12a ,4ac−b 124a )、P 2(−b 22a ,4ac−b 224a ) 将P 1、P 2分别代入y =ax 2+n ，得{a(−b 12a )2+n =4ac−b 124a a(−b 22a )2+n =4ac−b 224a消去n 得b 12=b 22， ∵b 1≠b 2，∴b 1=−b 2∴P1(b22a ,4ac−b224a)，P2(−b22a,4ac−b224a)，∴P1、P2关于y轴对称．【解析】(1)设影子抛物线表达式是y=x2+n，先求出原抛物线的顶点坐标，代入y= x2+n，可求解；(2)设原抛物线表达式是y=−(x+m)2+k，用待定系数法可求m，k，即可求解；(3)分别求出两个抛物线的顶点坐标，即可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，理解“影子抛物线”的定义并能运用是本题的关键．25.【答案】解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC−AC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．∵AD=AC，∴AD=AB，∴∠ABD=∠ADB，∵∠ABD+∠ADB+∠BAC+∠CAD=180°，∠CAD=90°，∠ABD=15°，∴∠EBC=45°．过点E作EG⊥BC，垂足为点G．设AE=x，则EC=2−x．在Rt△CGE中，∠ACB=60°，∴EG=EC⋅sin∠ACB=√32(2−x)，CG=EC⋅cos∠ACB=1−12x，∴BG=2−CG=1+12x，在Rt△BGE中，∠EBC=45°，∴1+12x=√32(2−x)，解得x=4−2√3．所以线段AE的长是4−2√3．(2)①设∠ABD=α，则∠BDA=α，∠DAC=∠BAD−∠BAC=120°−2α．∵AD=AC，AH⊥CD，∴∠CAF=12∠DAC=60°−α，又∵∠AEF=60°+α，∴∠AFE=60°，∴∠AFE=∠ACB，又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF∽△BEC，∴S△BCES△AEF =BE2AE2，由(1)得在Rt△CGE中，BG=1+12x，EG=√32(2−x)，∴BE2=BG2+EG2=x2−2x+4，∴y=x2−2x+4x2(0<x<2)．②当∠CAD<120°时，y=7，则有7=x2−2x+4x2，整理得3x2+x−2=0，解得x=23或−1(舍弃)，AE=23．当120°<∠CAD<180°时，同法可得y=x2+2x+4x2当y=7时，7=x2+2x+4x2，整理得3x2−x−2=0，解得x=−23(舍弃)或1，∴AE=1．【解析】(1)过点E作EG⊥BC，垂足为点G.AE=x，则EC=2−x.根据BG=EG构建方程求出x即可解决问题．(2)①证明△AEF∽△BEC，可得S△BCES△AEF =BE2AE2，由此构建关系式即可解决问题．②分两种情形：当∠CAD<120°时，当120°<∠CAD<180°时，分别求解即可解决问题．本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．。

2020年上海市黄浦区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．（4分）已知线段a＝2，b＝4，如果线段b是线段a和c的比例中项，那么线段c的长度是（）A．8B．6C．D．22．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝m，∠A＝α，那么AC的长为（）A．m•sinαB．m•cosαC．m•tanαD．m•cotα3．（4分）已知一个单位向量，设、是非零向量，那么下列等式中正确的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知二次函数y＝x2，如果将它的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图象的表达式是（）A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2﹣2C．y＝（x﹣1）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣2 5．（4分）在△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝60°，，如果∠B＝50°，那么∠E 的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°6．（4分）如图，点D、E分别在△ABC的两边BA、CA的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC的是（）A．B．C．AD•AB＝DE•BC D．AD•AC＝AB•AE二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算：2（3﹣2）+（﹣2）＝．8．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，且DE∥BC，如果AE＝5，EC＝3，DE＝4，那么线段BC的长是．9．（4分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F．如果，DF＝15，那么线段DE的长是．10．（4分）如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么的值是．11．（4分）写出一个对称轴是直线x＝1，且经过原点的抛物线的表达式．12．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin ∠DBC＝，那么线段AB的长是．13．（4分）如果等腰△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B＝，那么cos∠A＝．14．（4分）如图，在△ABC中，BC＝12，BC上的高AH＝8，矩形DEFG的边EF在边BC 上，顶点D、G分别在边AB、AC上．设DE＝x，矩形DEFG的面积为y，那么y关于x 的函数关系式是．（不需写出x的取值范围）．15．（4分）如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC ＝6厘米，长CD＝16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD恰有一半露出水面，那么此时水面高度是厘米．16．（4分）在△ABC中，AB＝12，AC＝9，点D、E分别在边AB、AC上，且△ADE与△ABC相似，如果AE＝6，那么线段AD的长是．17．（4分）如图，在△ABC中，中线BF、CE交于点G，且CE⊥BF，如果AG＝5，BF＝6，那么线段CE的长是．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，∠DAE＝∠B＝30°，且，那么的值是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：﹣cot45°．20．（10分）已知，如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，且，设，．（1）用、表示；（直接写出答案）（2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果．21．（10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图，两台测角仪分别放在A、B位置，且离地面高均为1米（即AD＝BE＝1米），两台测角仪相距50米（即AB＝50米）．在某一时刻无人机位于点C（点C与点A、B在同一平面内），A处测得其仰角为30°，B处测得其仰角为45°．（参考数据：≈1.41，≈1.73，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F（点F与点A、B、C在同一平面内），此时于A处测得无人机的仰角为40°，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣﹣x+2，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC平行于x轴，交这条抛物线于B、C两点（点B在点C左侧），且cot∠ABC ＝2，求点B坐标．23．（12分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：AD•DE＝AB•BF；（2）联结AC，如果，求证：．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是y＝x2﹣2x+5，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是y＝﹣x2+5，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．25．（14分）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点D与点B分别位于直线AC的两侧，且AD＝AC，联结BD、CD，BD交直线AC于点E．（1）当∠CAD＝90°时，求线段AE的长．（2）过点A作AH⊥CD，垂足为点H，直线AH交BD于点F，①当∠CAD＜120°时，设AE＝x，y＝（其中S△BCE表示△BCE的面积，S△AEF 表示△AEF的面积），求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②当＝7时，请直接写出线段AE的长．。

图1黄浦区2019-2020学年度第一学期九年级期终调研测试数 学 试 卷 2020年1月（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置写出证明或计算的主要步骤.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】1．已知线段2a =，4b =，如果线段b 是线段a 和c 的比例中项，那么线段c 的长度是（ ▲ ）． （A ）8；（B ）6；（C）（D ） 2．2．在Rt △ABC 中，90C ∠=o ，如果∠A =α，AB m =，那么线段AC 的长可表示为（ ▲ ）． （A ）sin m α⋅；（B ）cos m α⋅；（C ）tan m α⋅；（D ）cot m α⋅．3．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ▲ ）．（A ）1a e a=r rr ；（B ）e a a =r r r ； （C ）b e b =r r r；（D ）11a b a b=r r r r ．4．已知二次函数2x y =，如果将它的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么所得图像的表达式是（ ▲ ）． （A ）2(1)2y x =++； （B ）2(1)2y x =+-； （C ）2(1)2y x =-+；（D ）2(1)2y x =--．5．在△ABC 与△DEF 中，60A D ∠=∠=o ，AB AC DFDE=，如果∠B =50°，那么∠E 的度数是（ ▲ ）． （A ）50°； （B ）60°； （C ）70°；（D ）80°．6．如图1，点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ▲ ）．（A ）AD DEAB BC=； （B ）AD AEAC AB=； （C ）AD AB DE BC ⋅=⋅；（D ）AD AC AB AE ⋅=⋅．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：2(32)(2)b a a b -+-v v v v= ▲ ． 8．如图2，在△ABC 中，点D 、E 分别在△ABC 的两边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，如果5AE =，3EC =，4DE =，那么线段BC 的长是 ▲ ．BB图2 图3 图4 图5 9．如图3，已知AD ∥BE ∥CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．如果23AB BC =，DF =15，那么线段DE 的长是 ▲ ．10．如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP >BP ），那么BPAP的值是 ▲ ． 11．写出一个对称轴是直线1x =，且经过原点的抛物线的表达式 ▲ ．12．如图4，在Rt △ABC 中，90ABC ∠=o ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，如果4BC =，2sin 3DBC ∠=，那么线段AB 的长是 ▲ ．13．如果等腰△ABC 中，3AB AC ==，1cos 3B ∠=，那么cos A ∠= ▲ ．14．如图5，在△ABC 中，BC =12，BC 上的高AH =8，矩形DEFG 的边EF 在边BC 上，顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上．设DE x =，矩形DEFG 的面积为y ，那么y 关于x 的函数关系式是 ▲ ． （不需写出x 的取值范围）．15．如图6，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平的桌面上，其截面可看作一个宽BC =6厘米，长CD =16厘米的矩形．当水面触到杯口边缘时，边CD 恰有一半露出水面，那么此时水面高度是 ▲ 厘米．16．在△ABC 中， AB =12，AC =9，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且△ADE 与△ABC 与相似，如果AE =6，那么线段AD 的长是 ▲ ．17．如图7，在△ABC 中，中线BF 、CE 交于点G ，且CE ⊥BF ，如果5AG =，6BF =，那么线段CE的长是 ▲ ．桌面图6B图7图9图1018．如图8，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且32AD AE=，那么DE BC的值是 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 30tan 60sin 60cot 45--o o oo20．（本题满分10分）已知，如图9，点E 在平行四边形ABCD 的边CD 上，且12DE CE=，设AB a =uu r r ，AD b =uur r．（1）用a r 、b r 表示AE uu r；（直接写出答案）（2）设AE c =uu u r r ，在答题卷中所给的图上画出3a c -r r的结果．21．（本题满分10分）某数学小组在郊外的水平空地上对无人机进行测高实验．如图10，两台测角仪分别放在A 、B 位置，且离地面高均为1米（即1AD BE ==米），两台测角仪相距50米（即AB =50米）．在某一时刻无人机位于点C (点C 与点A 、B 在同一平面内），A 处测得其仰角为30︒，B 处测得其仰角为45︒．（参考数据：1.41 1.73，sin400.64≈o ，cos400.77≈o ，tan400.84≈o ）（1）求该时刻无人机的离地高度；（单位：米，结果保留整数）（2）无人机沿水平方向向左飞行2秒后到达点F （点F 与点A 、B 、C 在同一平面内），此时于A 处测得无人机的仰角为40︒，求无人机水平飞行的平均速度．（单位：米/秒，结果保留整数） A图8图11Oxy在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2124y x x =--+，其顶点为A ． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；（2）直线BC 平行于x 轴，交这条抛物线于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），且cot 2ABC ∠=，求点B 坐标．23．（本题满分12分）已知：如图11，在平行四边形ABCD 中，过点C 分别作AD 、AB 的垂线，交边AD 、AB 延长线于点E 、F ．（1）求证：AD DE AB BF ⋅=⋅；（2）联结AC ，如果CF ACDE CD=，求证：22AC AF BC BF =．在平面直角坐标系xOy 中，平移一条抛物线，如果平移后的新抛物线经过原抛物线顶点，且新抛物线的对称轴是y 轴，那么新抛物线称为原抛物线的“影子抛物线”．（1）已知原抛物线表达式是225y x x =-+，求它的“影子抛物线”的表达式；（2）已知原抛物线经过点（1，0），且它的“影子抛物线”的表达式是25y x =-+，求原抛物线的表达式；（3）小明研究后提出：“如果两条不重合的抛物线交y 轴于同一点，且它们有相同的“影子抛物线”，那么这两条抛物线的顶点一定关于y 轴对称．”你认为这个结论成立吗？请说明理由．xOy如图12，△ABC 是边长为2的等边三角形，点D 与点B 分别位于直线AC 的两侧，且AD =AC , 联结BD 、CD ，BD 交直线AC 于点E . （1）当∠CAD =90°时，求线段AE 的长.（2）过点A 作AH ⊥CD ，垂足为点H ，直线AH 交BD 于点F ，①当∠CAD <120°时，设AE x =，BCEAEFS y S =V V （其中BCE S V 表示△BCE 的面积，AEF S V 表示△AEF 的面积），求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； ②当7BCEAEFS S =V V 时，请直接写出线段AE 的长.BDB图12备用图黄浦区2019-2020学年度第一学期九年级期终调研测试数学评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． A ； 2． B ； 3．B ； 4． B ； 5．C ； 6． D ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7． 34a b -+v v； 8．325； 9． 6； 10．12； 11．答案不唯一（如22y x x =-）； 12． 13．79； 14．23122y x x =-+； 15．9.6； 16． 8或92； 17． 92； 18．118-． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式1- …………………………………………………… (2+2+2+2分)=0． ………………………………………………………………………… (2分) 20．（本题满分10分（1）13a b +r v；……………… ………………………………………………………… (5分)（2）图略．……………………………………………………………（画图4分，结论1分） 21．（本题满分10分） 解：（1）如图，过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ．…………………………………… (1分) ∵45CBA ∠=︒，∴BH CH =．…………………………………………………………………………… (1分) 设CH x =，则BH x =．∵在Rt △ACH 中，30CAB ∠=︒，∴AH ==． …………………………………………………………… (1分)∴50x =． …………………………………………………………………… (1分)解得：18x =≈…………………… (1分) ∴ 18119+=．答：计算得到的无人机的高约为19m ．……………………………………………………(1分) （2）过点F 作FG AB ⊥，垂足为点G ． ………………………………………………(1分)在Rt △AGF 中，tan FGFAG AG∠= ．………………………………………………………(1分)∴tan 401821.40.84FG AG =≈≈o．……………………………………………………(1分)又31.14AH =≈．∴31.1421.452-≈，或31.1421.4262+≈答：计算得到的无人机的平均速度约为5米/秒或26米/秒．…………………………… (1分)22．（本题满分10分） （1）抛物线2124y x x =--+的开口方向向下，……………………………………… (1分) 顶点A 的坐标是(2,3)-，………………………………………………………………… (2分) 抛物线的变化情况是：在对称轴直线2x =-左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．(2分) （2）设直线BC 与对称轴交于点D ，则AD ⊥ BD ．设线段AD 的长为m ，则cot 2BD ABC AD m =∠⋅=．……………………………… (1分) ∴点B 的坐标可表示为(22,3)m m ---．……………………………………………… (2分) 代入2124y x x =--+，得 213(22)(22)24m m m -=------+．解得10m =（舍），21m =．……………………………………………………………… (1分) ∴点B 的坐标为(4,2)-．………………………………………………………………… (1分) 23．（本题满分12分）（1）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，AD ∥BC ，∴∠CDE =∠DAB ，∠CBF =∠DAB ．∴∠CDE =∠CBF ．……………………………………………………………………（2分） ∵CE ⊥AE ，CF ⊥AF ， ∴∠CED =∠CFB =90°．………………………………………………………………（1分） ∴△CDE ∽△CBF ．…………………………………………………………………（1分）∴BC CDBF DE=．…………………………………………………………………………（1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC =AD ，CD =AB ．∴AD ABBF DE=． ∴AD DE AB BF ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分） （2）∵CF ACDE CD=，∠CED =∠CFB =90°， ∴ △ACF ∽△CDE ．………………………………………………………（2分） 又 ∵ △CDE ∽△CBF ，∴ △ACF ∽△CBF ．………………………………………………………（1分）∴22ACF CBF S AC S BC =V V ．………………………………………………………………………（1分）∵△ACF 与△CBF 等高， ∴ACF CBF S AFS BF=V V ．………………………………………………………………………（1分） ∴22AC AFBC BF=．………………………………………………………………………（1分） 24．（本题满分12分）（1）由题意，可知原抛物线顶点是(1,4)．………………………………………………（1分）设影子抛物线表达式是2y x n =+，………………………………………………（1分） 将(1,4)代入2y x n =+，解得3n =．………………………………………………（1分） 所以“影子抛物线”的表达式是23y x =+．………………………………………（1分）（2）设原抛物线表达式是2()y x m k =-++，则原抛物线顶点是(,)m k -．将(,)m k -代入25y x =-+，得2()5m k --+=① ………………………………（1分） 将（1，0）代入2()y x m k =-++，20(1)m k =-++②…………………………（1分）由①、②解得 1114m k =⎧⎨=⎩，2221m k =-⎧⎨=⎩． 所以，原抛物线表达式是2(1)4y x =-++或2(2)1y x =--+．…………………（2分）（3）结论成立．……………………………………………………………………（1分） 设影子抛物线表达式是2y ax n =+．原抛物线于y 轴交点坐标为(0,)c则两条原抛物线可表示为211y ax b x c =++与抛物线222y ax b x c =++（其中a 、1b 、2b 、c 是常数，且0a ≠，12b b ≠）由题意，可知两个抛物线的顶点分别是21114(,)24b ac b P a a --、22224(,)24b ac b P a a-- 将1P 、2P 分别代入2y ax n =+，得221122224()244()24b ac b a n a a b ac b a n a a ⎧--+=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩…………………………………………………………（1分） 消去n 得2212b b =．………………………………………………………………………（1分）∵12b b ≠，∴12b b =-∴22214(,)24b ac b P a a -，22224(,)24b ac b P a a--， ………………………………………（1分） ∴1P 、2P 关于y 轴对称．25．（本题满分14分）（1）∵△ABC 是等边三角形，∴AB =BC -AC =2，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°. ∵AD =AC , ∴ AD =AB . ∴∠ABD =∠ADB . ∵∠ABD +∠ADB +∠BAC +∠CAD =180°，∠CAD =90°， ∠ABD =15°. ∴ ∠EBC = 45°. ……………………………………………………………（1分）设AE x =，则2EC x =-. 在Rt △CGE 中，∠ACB =60°，∴sin )A EG EC B x C =⋅∠=-，1cos 12C EC x ACB G ∠-==⋅.…………………（1分） ∴1212BG EG x =-=+. 在Rt △BGE 中，∠EBC =45°， ∴11)22x x +=-. ………………………………………………………………（1分）解得4x =-.所以线段AE的长是4-………………………………………………………………（1分） （2）①设ABD α∠=，则BDA α∠=，1202DAC BAD BAC α∠=∠-∠=-o∵AD =AC , AH ⊥CD ，∴1602CAF DAC α∠=∠=-o .…………………………………………………………（1分）又∵60AEF α∠=+o ，∴60AFE ∠=o .…………………………………………………（1分） ∴AFE ACB ∠=∠.又∵AEF BEC ∠=∠，∴△AEF ∽△BEC . ………………………………………………（1分）∴22BCE AEF S BE S AE =V V .……………………………………………………………………………（1分） 由（1）得在Rt △CGE 中，112BG x =+，)2EG x =- ∴222224BE BG EG x x =+=-+.∴ 2224x x y x -+= (02x <<) ………………………………………………………（2分）② 当∠CAD <120°时，23AE =；…………………………………………………………（2分）当120°<∠CAD <180°时，1AE =.……………………………………………………（2分）。

上海市黄浦区2019-2020学年中考数学一模考试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．2016的相反数是（ ） A ．12016-B ．12016C ．2016-D ．20162．将抛物线2 21y x =-+向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为（ ） A ．()2212y x =--- B ．()2212y x =-+- C ．()2214y x =--+D ．()2214y x =-++3．如图，已知△ABC 中，∠A=75°，则∠1+∠2=( )A ．335°°B ．255°C ．155°D ．150°4．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E.若60B ∠=︒，AC=3，则CD 的长为A ．6B ．23C ．3D ．35．下列运算结果为正数的是( ) A ．1+(–2)B ．1–(–2)C ．1×(–2)D ．1÷(–2)6．如图，在▱ABCD 中，AB ＝1，AC ＝42，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 是BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ．若AC ⊥AB ，则FD 的长为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．67．若2x y +=，2xy =-，则y xx y+的值是（ ） A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣48．多项式ax 2﹣4ax ﹣12a 因式分解正确的是（ ）A ．a （x ﹣6）（x+2）B ．a （x ﹣3）（x+4）C ．a （x 2﹣4x ﹣12）D ．a （x+6）（x ﹣2）9．点A 、C 为半径是4的圆周上两点，点B 为»AC 的中点，以线段BA 、BC 为邻边作菱形ABCD ，顶点D 恰在该圆半径的中点上，则该菱形的边长为（ ） A ．7或22B ．7或23C ．26或22D ．26或2310．如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知☉O 的半径为5，且圆心O 到直线l 的距离是方程x 2-4x-12=0的一个根，则直线l 与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定12．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣5＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ） A ．6B ．8C ．14D ．16二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．= ．14．若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，函数y=x 和y=﹣12x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点A 1（1，﹣12）作x 轴的垂线交11于点A 2，过点A 2作y 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作x 轴的垂线交l 1于点A 4，过点A 4作y 轴的垂线交l 2于点A 5，…依次进行下去，则点A 2018的横坐标为_____．16．如图，直线a ∥b ，∠P=75°，∠2=30°，则∠1=_____．17．如图，在两个同心圆中，三条直径把大、小圆都分成相等的六个部分，若随意向圆中投球，球落在黑色区域的概率是______．18．（2017黑龙江省齐齐哈尔市）如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC=10，BC=12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是______．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边AB 上的高CD．如图①，以等边三角形ABC 的边AB 为直径的圆，与另两边BC、AC 分别交于点E、F．如图②，以钝角三角形ABC 的一短边AB 为直径的圆，与最长的边AC 相交于点E．20．（6分）如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．21．（6分）在▱ABCD 中，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，点F 在边CD 上，DF=BE ，连接AF ，BF ． （1）求证：四边形DEBF 是矩形；（2）若AF 平分∠DAB ，AE=3，BF=4，求▱ABCD 的面积．22．（8分）（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC=∠BOD ，求证：AO=OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA=40°，求∠ABC 的度数．23．（8分）将二次函数2241y x x =+-的解析式化为2()y a x m k =++的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．24．（10分）工人小王生产甲、乙两种产品，生产产品件数与所用时间之间的关系如表： 生产甲产品件数（件） 生产乙产品件数（件） 所用总时间（分钟） 10 10 350 3020850（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要多少分钟？（2）小王每天工作8个小时，每月工作25天．如果小王四月份生产甲种产品a 件（a 为正整数）． ①用含a 的代数式表示小王四月份生产乙种产品的件数；②已知每生产一件甲产品可得1.50元，每生产一件乙种产品可得2.80元，若小王四月份的工资不少于1500元，求a 的取值范围．25．（10分）某学校为弘扬中国传统诗词文化，在九年级随机抽查了若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级；A 、B 、C 、D ，对应的成绩分别是9分、8分、7分、6分，并将统计结果绘制成两幅如图所示的统计图．请结合图中的信息解答下列问题：（1）本次抽查测试的学生人数为，图①中的a的值为；（2）求统计所抽查测试学生成绩数据的平均数、众数和中位数．26．（12分）有四张正面分别标有数字﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．随机抽取一张卡片，求抽到数字“﹣1”的概率；随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率．27．（12分）漳州市某中学对全校学生进行文明礼仪知识测试，为了解测试结果，随机抽取部分学生的成绩进行分析，将成绩分为三个等级：不合格、一般、优秀，并绘制成如下两幅统计图（不完整）．请你根据图中所给的信息解答下列问题：请将以上两幅统计图补充完整；若“一般”和“优秀”均被视为达标成绩，则该校被抽取的学生中有_ ▲ 人达标；若该校学生有1200人，请你估计此次测试中，全校达标的学生有多少人？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可知：2016的相反数是-2016.故选C.2．A【解析】 【分析】根据二次函数的平移规律即可得出． 【详解】解：221y x =-+向右平移 1 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度，所得的抛物线的函数表达式为()2212y x =---故答案为：A ． 【点睛】本题考查了二次函数的平移，解题的关键是熟知二次函数的平移规律． 3．B 【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=75°， ∴∠B+∠C=180°﹣∠A=105°． ∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°， ∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°． 故选B ．点睛:本题考查了三角形、四边形内角和定理，掌握n 边形内角和为（n ﹣2）×180°（n≥3且n 为整数）是解题的关键． 4．D 【解析】 【详解】解：因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ACB=90°,又⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，60B ∠=︒，所以在Rt △AEC 中，∠A=30°,又AC=3，所以CE=12AB=32,所以CD=2CE=3， 故选D. 【点睛】本题考查圆的基本性质；垂经定理及解直角三角形，综合性较强，难度不大. 5．B 【解析】 【分析】分别根据有理数的加、减、乘、除运算法则计算可得． 【详解】解：A 、1+(﹣2)＝﹣(2﹣1)＝﹣1，结果为负数；B、1﹣(﹣2)＝1+2＝3，结果为正数；C、1×(﹣2)＝﹣1×2＝﹣2，结果为负数；D、1÷(﹣2)＝﹣1÷2＝﹣12，结果为负数；故选B．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的四则运算法则是解题的关键．6．C【解析】【分析】利用平行四边形的性质得出△ADF∽△EBF，得出BEAD=BFDF，再根据勾股定理求出BO的长，进而得出答案．【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∴BO=DO,AO=OC,AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴BEAD=BFDF，∵，∴，∵AB=1，AC⊥AB，∴，∴BD=6，∵E是BC的中点，∴BEAD=BFDF=12，∴BF=2，FD=4.故选C.【点睛】本题考查了勾股定理与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握勾股定理与相似三角形的判定与性质.7．D【解析】因为()2222x y x xy y +=++,所以()222222228x y x y xy +=+-=-⨯-=,因为22842y x y x x y xy ++===--,故选D. 8．A 【解析】试题分析：首先提取公因式a ，进而利用十字相乘法分解因式得出即可． 解：ax 2﹣4ax ﹣12a =a （x 2﹣4x ﹣12） =a （x ﹣6）（x+2）． 故答案为a （x ﹣6）（x+2）．点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键． 9．C 【解析】 【分析】过B 作直径，连接AC 交AO 于E ，如图①，根据已知条件得到BD=12OB=2，如图②，BD=6，求得OD 、OE 、DE 的长，连接OD ，根据勾股定理得到结论． 【详解】过B 作直径，连接AC 交AO 于E ，∵点B 为»AC 的中点， ∴BD ⊥AC ， 如图①，∵点D 恰在该圆直径上，D 为OB 的中点， ∴BD=12×4=2， ∴OD=OB-BD=2， ∵四边形ABCD 是菱形，∴DE=12BD=1，∴OE=1+2=3，连接OC，∵CE=2222=43=7OC OE--，在Rt△DEC中，由勾股定理得：DC=2222=(7)1=22CE DE++；如图②，OD=2，BD=4+2=6，DE=12BD=3，OE=3-2=1，由勾股定理得：2222=41=15OC OE--2222=3(15)=26DE CE++.故选C．【点睛】本题考查了圆心角，弧，弦的关系，勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．10．D【解析】【分析】本题关键是正确分析出所剪时的虚线与正方形纸片的边平行.【详解】要想得到平面图形(4)，需要注意(4)中内部的矩形与原来的正方形纸片的边平行，故剪时，虚线也与正方形纸片的边平行，所以D是正确答案，故本题正确答案为D选项.【点睛】本题考查了平面图形在实际生活中的应用，有良好的空间想象能力过动手能力是解题关键.11．C【解析】【分析】首先求出方程的根,再利用半径长度,由点O到直线a的距离为d,若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线与圆相切;若d>r,则直线与与圆相离.【详解】∵x2-4x-12=0，(x+2)(x-6)=0，解得:x1=-2(不合题意舍去)，x2=6，∵点O到直线l距离是方程x2-4x-12=0的一个根，即为6，∴点O到直线l的距离d=6，r=5，∴d＞r，∴直线l与圆相离.故选：C【点睛】本题考核知识点：直线与圆的位置关系.解题关键点：理解直线与圆的位置关系的判定方法.12．C【解析】【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1•x2=-5，再变形x12+x22得到（x1+x2）2-2x1•x2，然后利用代入计算即可．【详解】∵一元二次方程x2-2x-5=0的两根是x1、x2，∴x1+x2=2，x1•x2=-5，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=22-2×（-5）=1．故选C．【点睛】考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=-ba，x1•x2=ca．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．2【解析】试题分析：根据算术平方根的定义，求数a的算术平方根，也就是求一个正数x，使得x2=a，则x就是a 的算术平方根，特别地，规定0的算术平方根是0.∵22=4，∴=2.考点：算术平方根.14．3.【解析】【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可．【详解】连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，∵正六边形ABCDEF，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF，∴∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=2，∵AB⊥OM，∴AM=BM=1，在△OAM中，由勾股定理得：315．1【解析】【分析】根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，从而可以解答本题．【详解】解：由题意可得，A1（1，-12），A2（1，1），A3（-2，1），A4（-2，-2），A5（4，-2），…，∵2018÷4=504…2，2018÷2=1009，∴点A2018的横坐标为：1，故答案为1．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．16．45°【解析】过P作PM∥直线a，根据平行线的性质，由直线a∥b，可得直线a∥b∥PM，然后根据平行线的性质，由∠P=75°，∠2=30°，可得∠1=∠P-∠2=45°.故答案为45°.点睛：本题考查了平行线的性质的应用，能正确根据平行线的性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．17．1 2【解析】【分析】根据几何概率的求法：球落在黑色区域的概率就是黑色区域的面积与总面积的比值．【详解】解：由图可知黑色区域与白色区域的面积相等，故球落在黑色区域的概率是111+=12．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．18．10，273，413．【解析】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵△ABC边AB=AC=10，BC=12，∴BD=DC=6，∴AD=8，如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其对角线长为：10；如图②所示：AD=8，连接BC，过点C作CE⊥BD于点E，则EC=8，BE=2BD=12，则BC=413；如图③所示：BD=6，由题意可得：AE=6，EC=2BE=16，故AC=22616+=273．故答案为10，273，413．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）连接AE 、BF ，找到△ABC 的高线的交点，据此可得CD ；（2）延长CB 交圆于点F ，延长AF 、EB 交于点G ，连接CG ，延长AB 交CG 于点D ，据此可得．【详解】（1）如图所示，CD 即为所求；（2）如图，CD 即为所求．【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质． 20．（1）ab ﹣4x 1（13【解析】【分析】（1）边长为x 的正方形面积为x 1，矩形面积减去4个小正方形的面积即可．（1）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x 的值即可．【详解】解：（1）ab ﹣4x 1．（1）依题意有：22ab 4x 4x -=，将a=6，b=4，代入上式，得x 1=2．解得x 13x 1=3-． 321．（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质，可证DF ∥EB ，然后根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可证四边形DEBF 是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证；（2）根据（1）可知DE=BF ，然后根据勾股定理可求AD 的长，然后根据角平分线的性质和平行线的性质可求得DF=AD ，然后可求CD 的长，最后可用平行四边形的面积公式可求解.试题解析：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，即DF ∥EB ．又∵DF ＝BE ，∴四边形DEBF 是平行四边形．∵DE ⊥AB ，∴∠EDB ＝90°．∴四边形DEBF 是矩形．（2）∵四边形DEBF 是矩形，∴DE ＝BF ＝4，BD ＝DF ．∵DE ⊥AB ，∴AD 1．∵DC ∥AB ，∴∠DFA ＝∠FAB ．∵AF 平分∠DAB ，∴∠DAF ＝∠FAB ．∴∠DAF ＝∠DFA ．∴DF ＝AD ＝1．∴BE ＝1．∴AB ＝AE ＋BE ＝3＋1＝2．∴S □ABCD ＝AB·BF ＝2×4＝3．22．（1）证明见解析；（2）25°. 【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD即∠AOD=∠BOC∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠B=90°，AD=BC∴AOD BOC ∆≅∆∴AO=OB（2）解：∵AB 是O e 的直径，PA 与O e 相切于点A ，∴PA ⊥AB ，∴∠A=90°.又∵∠OPA=40°，∴∠AOP=50°，∵OB=OC ，∴∠B=∠OCB.又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252B OCB AOP ∠=∠=∠=︒. 23．开口方向：向上;点坐标：（-1，-3）;称轴：直线1x =-.【解析】【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再根据a 的值即可确定该函数图像的开口方向、顶点坐标和对称轴．【详解】解：()2221y x x =+-， ()222121y x x =++--，()2213y x =+-，∴开口方向：向上，顶点坐标：（-1，-3），对称轴：直线1x =-.【点睛】熟练掌握将一般式化为顶点式是解题关键.24．（1）小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟；（2）①600-34a ；② a≤1．【解析】【分析】（1）设生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要x 分钟、y 分钟，根据图示可得：生产10件甲产品，10件乙产品用时350分钟，生产30件甲产品，20件乙产品，用时850分钟，列方程组求解； （2）①根据生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要的时间关系即可表示出结果； ②根据“小王四月份的工资不少于1500元”即可列出不等式.【详解】（1）设生产一件甲种产品需x 分钟，生产一件乙种产品需y 分钟，由题意得： 10103503020850x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组得：1520x y =⎧⎨=⎩，答：小王每生产一件甲种产品和每生产一件乙种产品分别需要15分钟、20分钟；（2）①∵生产一件甲种产品需15分钟，生产一件乙种产品需20分钟，∴一小时生产甲产品4件，生产乙产品3件，所以小王四月份生产乙种产品的件数：3（25×8﹣4a ）=600-3a 4； ②依题意：1.5a+2.8(600-3a 4)≥1500， 1680﹣0.6a≥1500，解得：a≤1.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系列出方程组、不等关系列出不等式是解题的关键.25．（1）50、2；（2）平均数是7.11；众数是1；中位数是1．【解析】【分析】（1）根据A 等级人数及其百分比可得总人数，用C 等级人数除以总人数可得a 的值；（2）根据平均数、众数、中位数的定义计算可得．【详解】（1）本次抽查测试的学生人数为14÷21%=50人，a%=1250×100%=2%，即a=2． 故答案为50、2；（2）观察条形统计图，平均数为1492081274650⨯+⨯+⨯+⨯=7.11． ∵在这组数据中，1出现了20次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是1． ∵将这组数据从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是1，∴882+=1，∴这组数据的中位数是1． 【点睛】本题考查了众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．26．（1）14；（2）112． 【解析】试题分析：（1）根据概率公式可得；（2）先画树状图展示12种等可能的结果数，再找到符合条件的结果数，然后根据概率公式求解． 解：（1）∵随机抽取一张卡片有4种等可能结果，其中抽到数字“﹣1”的只有1种，∴抽到数字“﹣1”的概率为14；（2）画树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能结果，其中第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”只有1种结果，∴第一次抽到数字“2”且第二次抽到数字“0”的概率为1 12．27．（1）见解析；（2）1；（3）估计全校达标的学生有10人【解析】【分析】（1）成绩一般的学生占的百分比=1-成绩优秀的百分比-成绩不合格的百分比，测试的学生总数=不合格的人数÷不合格人数的百分比，继而求出成绩优秀的人数．（2）将成绩一般和优秀的人数相加即可；（3）该校学生文明礼仪知识测试中成绩达标的人数=1200×成绩达标的学生所占的百分比．【详解】解：（1）成绩一般的学生占的百分比=1﹣20%﹣50%=30%，测试的学生总数=24÷20%=120人，成绩优秀的人数=120×50%=60人，所补充图形如下所示：（2）该校被抽取的学生中达标的人数=36+60=1．（3）1200×（50%+30%）=10（人）．答：估计全校达标的学生有10人．。