上海历年中考数学压轴题复习(试题附答案)

专题训练125．如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P.（1）当∠B＝30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；（2）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；（3）若1tan3BPD∠=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式.图9 图10(备用)参考答案：（1）解：∵∠B＝30°∠ACB＝90°∴∠BAC＝60°∵AD=AE ∴∠AED＝60°=∠CEP ∴∠EPC＝30°∴三角形BDP为等腰三角形∵△AEP与△BDP相似∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°∴AE=EP=1∴在RT△ECP中，EC=12EP=12（2）过点D作DQ⊥AC于点Q，且设AQ=a，BD=x ∵AE=1,EC=2∴QC=3-a∵∠ACB＝90°∴△ADQ与△ABC相似∴AD AQ AB AC=即113ax=+，∴31 ax=+∵在RT△ADQ中2222328111x x DQ AD AQx x+-⎛⎫=-=-=⎪++⎝⎭∵DQ AD BC AB=∴228111x x x x x +-+=+ 解之得x=4，即BC=4 过点C 作CF//DP∴△ADE 与△AFC 相似，∴AE ADAC AF=，即AF=AC ，即DF=EC=2, ∴BF=DF=2∵△BFC 与△BDP 相似 ∴2142BF BC BD BP ===，即：BC=CP=4 ∴tan ∠BPD=2142EC CP ==(3)过D 点作DQ ⊥AC 于点Q ，则△DQE 与△PCE 相似,设AQ=a ，则QE=1-a ∴QE DQEC CP =且1tan 3BPD ∠= ∴()31DQ a =-∵在Rt △ADQ 中，据勾股定理得：222AD AQ DQ =+ 即：()222131a a =+-⎡⎤⎣⎦，解之得41()5a a ==舍去 ∵△ADQ 与△ABC 相似∴445155AD DQ AQ AB BC AC x x====++ ∴5533,44x xAB BC ++==∴三角形ABC 的周长553313344x xy AB BC AC x x ++=++=+++=+ 即：33y x =+，其中x>0专题训练21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图像经过点()4,0A 、()1,0B -，与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，=OD t ，点E 在第二象限，∠=90ADE ，1=2tan DAE ∠，EF OD ⊥，垂足为F ．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）； （3）当∠ECA =∠OAC 时，求t 的值．参考答案：解：（1）二次函数y=ax 2+6x+c 的图象经过点A （4，0）、B （﹣1，0），∴，解得。

2021年上海市中考数学压轴题总复习
中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题,得分率低，需要引起重视。

从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。

预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。

1.如图1，在平而直角坐标系中，直线/：y =勃+m与x轴、y轴分别交于点.4和点
（2）点。

在抛物线上，且点。

的横坐标为f（0Vf<4）. 轴交直线/于点£点产在直线/上，且四边形。

FEG为矩形（如图2）.若矩形。

尸EG的周长为p,求°与，的函数关系式以及R的最大值：
（3）M是平面内一点，将A4O8绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△川。

山1,点
A.。

、B的对应点分别是点由、。

1、51.若入41。

1历的两个顶点恰好落在抛物线上，请直
接写出点出的横坐标.
2.已知，抛物线y=aF+Gr+6 （。

#0）与直线y=2rb〃有一个公共点Af （1, 0）,且a〈b.
（1）求6与。

的关系式和抛物线的顶点。

坐标（用。

的代数式表示）：
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N,求AOMV的面积与。

的关系式：
（3）々=-1时，直线y=-2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,
现将线段GH沿y轴向上平移，个单位（r>0）,若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求，的取值范围.。

上海历年中考数学压轴题复习2001年上海市数学中考27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．图8①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．27．（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ．②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即yxx +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4．②AP＝2或AP＝3－5．（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图5图6图7 探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）27．图1 图2 图3（1）解：PQ ＝PB ……………………（1分） 证明如下：过点P 作MN ∥BC ，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，那么四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）．∴ NP ＝NC ＝MB ． ……………………（1分） ∵ ∠BPQ ＝90°，∴ ∠QPN ＋∠BPM ＝90°．而∠BPM ＋∠PBM ＝90°，∴ ∠QPN ＝∠PBM ． ……………………（1分） 又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△PMB ． ……………………（1分） ∴ PQ ＝PB ． （2）解法一由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ． ∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝x 22，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 22， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·x 22＝1－x 2． 得S △PBC ＝21BC ·BM ＝21×1×（1－x 22）＝21－42x ． ………………（1分） S △PCQ ＝21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－x 22）＝21－x 423＋21x 2（1分） S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝21x 2－x 2＋1． 即 y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分，1分）解法二作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形．∴ PT ＝CB ＝PN ．又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ．S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN …（2分）＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1 ∴ y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形， 此时x ＝0 ……………………（1分） ②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3） ……………………（1分） 解法一 此时，QN ＝PM ＝x 22，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－x 22． ∴ CQ ＝QN －CN ＝x 22－（1－x 22）＝x 2－1． 当2－x ＝x 2－1时，得x ＝1． ……………………（1分） 解法二 此时∠CPQ ＝21∠PCN ＝22.5°，∠APB ＝90°－22.5°＝67.5°， ∠ABP ＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB ＝∠ABP ，∴ AP ＝AB ＝1，∴ x ＝1． ……………………（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

上海中考数学压轴题专题复习——一元二次方程组的综合一、一元二次方程1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和 （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0和（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()223220x n x n -+-+=，是否存在这样的n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=324n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0，①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-12，但1-n=32不是整数，舍.②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-14(舍)，综上所述，n=0.3．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】 解：()1关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0>，方程有两个不相等的实数根；当0=，方程有两个相等的实数根；当0<，方程没有实数根.以及根与系数的关系．4．计算题（1）先化简，再求值：21x x -÷（1+211x -），其中x=2017．（2）已知方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，求m 的值．【答案】（1）2018；（2）m=4 【解析】分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.详解：（1）21xx-÷（1+211x-）=22211 11 x xx x-+÷--=()() 2211 1x xxx x+-⋅-=x+1，当x=2017时，原式=2017+1=2018（2）解：∵方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）=0，解得，m=4点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.5．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.6．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1, x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2=====2k-2=2，解得k=2，∴当k=2时，S的值为2∴S的值能为2，此时k的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．7．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．（1）求m的取值范围；（2）若111αβ+=-，则m的值为多少？【答案】（1）14m≥；（2）m的值为3．【解析】【分析】（1）根据△≥0即可求解,（2）化简11αβ+,利用韦达定理求出α+β，αβ,代入解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m 2≥0，解得：m≥-34； （2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m 2，∵111αβ+=-，即αβαβ+=-1, ∴2m 3m2+﹣（）=-1,整理得m 2﹣2m ﹣3=0解得：m 1=﹣1，m 1=3， 由（1）知m≥-34， ∴m 1=﹣1应舍去， ∴m 的值为3． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及韦达定理，对根进行判断是正确解题的关键.8．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值． 【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可． 试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得1﹣2a+a 2=0， 解得a 1=a 2=1， 所以a 的值为1.9．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17 【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2；（2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1∴2--2=0．∴∴另一根是2；(2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根11．已知关于x的方程x2－（m＋2）x＋（2m－1）=0。

上海历年中考数学压轴题复习2001年上海市数学中考27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．（1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．图8①求证；△ABP ∽△DPC②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．27．（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ． ②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y x x +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图5图6图7探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）27．图1 图2 图3（1）解：PQ ＝PB ……………………（1分） 证明如下：过点P 作MN ∥BC ，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，那么四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）．∴ NP ＝NC ＝MB ． ……………………（1分） ∵ ∠BPQ ＝90°，∴ ∠QPN ＋∠BPM ＝90°．而∠BPM ＋∠PBM ＝90°，∴ ∠QPN ＝∠PBM ． ……………………（1分） 又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△PMB ． ……………………（1分） ∴ PQ ＝PB ．（2）解法一由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ．∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝x 22，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 22， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·x 22＝1－x 2． 得S △PBC ＝21BC ·BM ＝21×1×（1－x 22）＝21－42x ． ………………（1分） S △PCQ ＝21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－x 22）＝21－x 423＋21x 2 （1分） S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝21x 2－x 2＋1． 即 y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分，1分） 解法二作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形．∴ PT ＝CB ＝PN ．又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ．S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN…（2分）＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1∴ y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形，此时x ＝0 ……………………（1分） ②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3）……………………（1分） 解法一 此时，QN ＝PM ＝x 22，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－x 22． ∴ CQ ＝QN －CN ＝x 22－（1－x 22）＝x 2－1． 当2－x ＝x 2－1时，得x ＝1． ……………………（1分） 解法二 此时∠CPQ ＝21∠PCN ＝°，∠APB ＝90°－°＝°， ∠ABP ＝180°－（45°＋°）＝°，得∠APB ＝∠ABP ，∴ AP ＝AB ＝1，∴ x ＝1． ……………………（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，弧AC 是点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。

中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1.如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1B．3:1C．4:3D．3:22．已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=123．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则tanB的值为（）A．1B．√22C．√3D．√334．如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．4圈B．3圈C．5圈D．3.5圈二、填空题（共24分）5．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B、F的坐标分别为（-4,4）、（2,1）则位似中心的坐标为（）。

(x<0)图象上的点，过点6．如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=kxA作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x轴上，若△ABC的面积为1，则k的值为（）。

三、解答题7.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为（﹣1，﹣1）。

（1）把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；（2）把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C 的图形并写出点B2的坐标；（3）把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1：2，画出△AB3C3的图形。

8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是BC的中点，DE⊥AM于点E。

(1)求证：△ADE∽△MAB；(2)求DE的长。

9.如图，把正方形ABCD绕点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG 与BC交于点H．求证：HG＝HB．10.已知△ABC和△DEF中，有ABDE =BCEF=CAFD=23，且△DEF和△ABC的周长之差为15厘米，求△ABC和△DEF的周长。

上海历年中考数学压轴题复习试题附答案The document was prepared on January 2, 2021上海历年中考数学压轴题复习2001年上海市数学中考27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．图8①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）． 27．（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ．②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴DQ AP PD AB =．即yxx +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4．②AP ＝2或AP ＝3－5．（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ．图5图6图7探究：设A 、P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系试证明你观察得到结论；（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用） 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 27．图1 图2 图3（1）解：PQ ＝PB ……………………（1分） 证明如下：过点P 作MN ∥BC ，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，那么四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）．∴ NP ＝NC ＝MB ． ……………………（1分）∵ ∠BPQ ＝90°，∴ ∠QPN ＋∠BPM ＝90°．而∠BPM ＋∠PBM ＝90°，∴ ∠QPN ＝∠PBM ． ……………………（1分） 又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△PMB ． ……………………（1分） ∴ PQ ＝PB ． （2）解法一由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ． ∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝x 22，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 22， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·x 22＝1－x 2．得S △PBC ＝21BC ·BM ＝21×1×（1－x 22）＝21－42x ． ………………（1分） S △PCQ ＝21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－x 22）＝21－x 423＋21x 2（1分） S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝21x 2－x 2＋1． 即 y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分，1分） 解法二作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形． ∴ PT ＝CB ＝PN ．又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ． S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN …（2分）＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1 ∴ y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形， 此时x ＝0 ……………………（1分）②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3） ……………………（1分）解法一 此时，QN ＝PM ＝x 22，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－x 22． ∴ CQ ＝QN －CN ＝x 22－（1－x 22）＝x 2－1．当2－x ＝x 2－1时，得x ＝1． ……………………（1分）解法二 此时∠CPQ ＝21∠PCN ＝°，∠APB ＝90°－°＝°， ∠ABP ＝180°－（45°＋°）＝°，得∠APB ＝∠ABP ，∴ AP ＝AB ＝1，∴ x ＝1． ……………………（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，弧AC 是点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。

上海名师马学斌中考数学压轴题数学是中学生中考的一门重要科目，也是让很多学生头疼的科目之一。

为了帮助学生更好地备考数学，上海名师马学斌特别准备了一道中考数学压轴题。

本文将为大家详细解析这道题目，并提供解题思路和方法。

题目：已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，g(x) = x + 2，h(x) = f(g(x))，求h(3)的值。

解析：首先，我们需要明确题目中给出的函数f(x)、g(x)和h(x)的定义。

函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1是一个二次函数，g(x) = x + 2是一个一次函数。

而h(x) = f(g(x))表示将g(x)的结果代入f(x)中，即先计算g(x)，再将结果代入f(x)中进行计算。

接下来，我们需要求解h(3)的值。

根据h(x)的定义，我们可以得到h(x) = f(g(x)) = f(x + 2)。

将x + 2代入f(x)中，得到h(x) = 2(x + 2)^2 -3(x + 2) + 1。

将x = 3代入h(x)的表达式中，即可求得h(3)的值。

计算过程如下：h(3) = 2(3 + 2)^2 - 3(3 + 2) + 1= 2(5)^2 - 3(5) + 1= 2(25) - 15 + 1= 50 - 15 + 1= 36因此，h(3)的值为36。

解题思路：解决这道题目的关键在于理解函数的定义和运算规则。

首先，我们要明确每个函数的定义，并根据定义进行计算。

其次，我们要注意函数的运算顺序，先计算g(x)，再将结果代入f(x)中进行计算。

最后，根据题目要求，将特定的值代入h(x)的表达式中，求得最终的结果。

解题方法：解决这道题目可以采用代入法和运算法两种方法。

代入法是将给定的值代入函数的表达式中进行计算，而运算法是根据函数的定义和运算规则进行逐步计算。

在本题中，我们采用了运算法的方法。

首先，我们根据h(x)的定义，将g(x)的表达式代入f(x)中，得到h(x) = f(g(x)) = f(x + 2)。

1.(2013虹口二模)25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D为边BC的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上一动点，点Q为边AC上一动点，且∠PDQ=90°．（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为点F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．ABECDAB CED第25题图（备用图）25．解：（1）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8 ∴BC=10……………………（1分）点D为BC的中点∴CD=5可证△ABC∽△DEC∴DE EC CDAB BC AC==，即56108DE EC==………………………………（1分）∴154DE=，254CE=……………………………………………………（2分）（2）①当点P在AB边上时，在Rt△ABC中，∠B+∠C=90°，在Rt△EDC中，∠DEC+∠C=90°，∴∠DEC=∠B∵DE⊥BC，∠PDQ=90°∴∠PDQ=∠BDE=90°∴∠BDP=∠EDQ∴△BPD∽△EQD ……………………………………………………………（1分）∴EQ DEBP BD=，即15425EQ=，∴32EQ=………………………………………………………………………（2分）∴CQ=EC-EQ194 =……………………………………………………………（1分）②当点P在AB的延长线上时，同理可得：32 EQ=，∴CQ=EC+EQ314 =…………………………………………………………（1分）（3）∵线段PQ与线段DE的交点为点F，∴点P在边AB上∵△BPD∽△EQD ∴43 BP BD PD EQ ED QD===若设BP=x ，则34E Q x=，25344CQ x=-…………………………………（1分）可得4cot cot3QPD C∠==∴∠QPD=∠C又可证∠PDE=∠CDQ ∴△PDF∽△CDQ∵△PDF为等腰三角形∴△CDQ为等腰三角形………………………（1分）①当CQ=CD时，可得：253544x-=解得：53x=………………………（1分）②当QC=QD时，过点Q作QM⊥CB于M，∴1522CM CD==，5525248CQ=⨯=∴25325448x-=，解得256x=……………………………………………（1分）③当DC=DQ时，过点D作DN⊥CQ于N，∴4545CN=⨯=，28CQ CN==∴253844x-=，解得73x=-(不合题意，舍去)…………………………（1分）∴综上所述，53BP=或256.2.已知:在梯形ABCD中,AD平行于BC,AB=DC=5,AD=3.5,sinB=4/5,点E是AB边上一点，BE=3，点P是BC边上的一动点，联结EP，作∠EPF，使得∠EPF=∠B，射线PF与AD边交于点F，与CD的延长线交于点G，设BP=x，DF=y（1）求BC的长（2）试求y关于x的函数解析式，并写出定义域（3）联结EF，如果△PEF是等腰三角形，试求BP的长解析（1）BC=9.5 (2)y=9.5-x-x152<x<7.5 （3）分三种情况：①如果PE=PF ，如图，过F 作DC 平行线交底边于H ，则∠FHP=∠C=∠B ． ∵在△PEB 与△FPH 中，∠B ＝∠FHP∠BEP ＝∠HPF PE ＝FP∴△PEB ≌△FPH （AAS ），∴EB=PH=3，BP=FH=DC=5；②如果PE=EF ，如图，过F 作DC 平行线交底边于H ，则∠FHP=∠C=∠B ．∵在△PEB 与△FPH 中，∠B ＝∠FHP∠BEP ＝∠HPF∴△PEB ∽△FPH ，∴PE ：PF=PB ：FH ，又∵PE=EF ，过E 点做△EFP 的高ET ，则FP ：PE=2PT ：PE=2cos ∠EPF=2cos ∠B=6/5∵FH=DC=5， ∴5/6=x/5,解得x=25/6③如果PF=EF ，同理可得△PEB ∽△FPH ，∴PE ：PF=PB ：FH ，∵PE=EF ，过F 点做△EFP 的高FT ，则PE ：PF=2PT ：PF=2cos ∠EPF=2cos ∠B=6/5,∵FH=DC=5，∴5/6=5/x,解得x=6 ∴综上所述，线x=25/6或x=6。

2021-2019年上海各区中考数学一模压轴题图形的翻折分类汇编答案解析版【历年真题】1．（2021秋•长宁区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝3，点D、E分别在AC边和AB边上，沿着直线DE翻折△ADE，点A落在BC边上，记为点F，如果CF＝1，则BE＝4．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】过F作FG⊥AB于点G．先求出AB＝32，BF＝3﹣1＝2．则FG＝GB＝BF＝2，所以AG＝AB﹣BG＝32﹣2＝22，设AE＝x，则EF ＝x，EG＝22﹣x，在Rt△EGF中，EG2+FG2＝EF2，利用勾股定理解列出（22﹣x）2+（2）2＝x2，解得x＝524，即求出BE．【解答】解：过F作FG⊥AB于点G．∵∠C＝90°，AC＝BC＝3，CF＝1，∴AB＝32，BF＝3﹣1＝2．∴FG＝GB＝BF＝2，∴AG＝AB﹣BG＝3，设AE＝x，则EF＝x，EG＝﹣x，在Rt△EGF中，EG2+FG2＝EF2，即（﹣x）2+）2＝x2，解得x，∴BE＝AB﹣AE＝．故答案为：4．【点评】本题考查翻折变换，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练运用勾股定理，属于中考常考题型．2．（2021秋•虹口区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝15，sin∠A＝45．点D、E分别在AB和AC边上，AD＝2DB，把△ADE沿着直线DE翻折得△DEF，如果射线EF⊥BC，那么AE＝10．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等腰三角形的性质．【专题】推理填空题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】先根据折叠得到DE平分∠AEF，根据角平分线过D作∠AEF两边垂线即可．【解答】过D 作DM ⊥AC 于M ，过B 作BH ⊥AC 于H∵AB ＝AC ＝15，4sin 5A ∠=，AD ＝2DB ∴AD ＝10，DM ＝8，AM=6，BH=12，AH=9， ∴CH ＝AC -CH=6∴tan 2,BH C BC CH∠====过D 作DG ⊥EF 交EF 于N ，交AC 于G∵把△ADE 沿着直线DE 翻折得△DEF ∴DE 平分∠AEF ，∴DM ＝DN ＝8，EM ＝EN ，∵EF ⊥BC 于点G ，∴DH ∥BC ，∴23DG AD BC AB ==，∠C ＝∠NHE ，∴23DG BC ==∴8NG DG DN =-= ∵tan tan 2ENC NGE NG ∠=∠==∴216EM EN NG ===-∴10AE AM EM =+=故答案为：10【点评】本题难度比较大，综合考查折叠的性质、三角函数、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由折叠得到角平分线再根据角平分线作垂线．3．（2021秋•金山区期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，sinB＝45，E是BC上一点，把△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，如果PE∥AC，那么BE＝ 2 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；几何直观；应用意识．【分析】过A作AD⊥BC于D，设AP交BC于F，根据AB＝AC＝10，sin B＝45，AD⊥BC，可得AD＝8，BD＝CD＝6，BC＝12，由△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，即得∠P＝∠B＝∠C，∠BAE＝∠P AE，而PE∥AC，有∠P＝∠F AC，可证得∠AEC＝∠EAC，CE＝AC＝10，即得BE＝BC﹣CE＝2．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，设AP交BC于F，如图：∵AB＝AC＝10，sin B＝45，AD⊥BC，∴4105AD ADAB==，∴AD＝8，∴BD＝CD＝6，∴BC＝12，∵△ABE沿直线AE翻折后，点B落在点P处，∴∠P＝∠B＝∠C，∠BAE＝∠P AE，∵PE∥AC，∴∠P＝∠F AC，∴∠B＝∠F AC，∴∠B+∠BAE＝∠F AC+∠P AE，即∠AEC＝∠EAC，∴CE＝AC＝10，∴BE＝BC﹣CE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查等腰三角形中的折叠问题，解题的关键是掌握折叠的性质，能熟练运用锐角三角函数解直角三角形．4．（2021秋•闵行区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AC边上一点，将△ACB沿着过点P的一条直线翻折，使得点A落在边AB上的点Q 处，联结PQ，如果∠CQB＝APQ，那么AQ的长为395．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．【专题】几何综合题；压轴题；推理填空题；运算能力；推理能力．【分析】利用三角形内角和180°，以及平角180度，推导出PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，利用三角形等面积法和相似三角形性质求出AQ 的长，再利用相似三角形的性质构建方程即可解决问题．【解答】解：根据题意如图所示：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，根据折叠的性质可知∠A＝∠PQA，∵∠AQP+∠A+∠APQ＝180°，∠AQP+∠PQC+∠CQB＝180°，∵∠CQB＝∠APQ，∴∠A＝∠AQP＝∠PQC，∴PQ平分∠AQC，设CP＝x，则AP＝PQ＝8﹣x，如图，过点C作CD⊥AB于点D，PE⊥AB于点E，∴S△ABC ＝12⨯AC•BC＝12⨯AB•CD，∴10CD＝6×8，∴CD＝245，∵CD⊥AB，PE⊥AB，∴PE∥CD，∴△APE∽△ACD，∴AP PE AC CD=，∴82485x PE-=，∴PE＝35（8﹣x），∴AE＝=45（8﹣x），∴AQ＝2AE＝85（8﹣x），∵∠PCQ＝∠QCA，∠PQC＝∠A∴△PCQ∽△QCA，∴CQ CP PQAC CQ AQ==，∴CQ88(8)5xx-=-，∴258x=，∴AQ＝85（8﹣x）＝395．故答案为：395．【点评】本题属于几何综合题，是中考填空题的压轴题，主要考查了翻折的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理，三角形等面积法，综合性较强，熟练解直角三角形中线段问题是解题的捷径．5．（2021秋•徐汇区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝AC ，点D 为斜边BC 上一点，且BD ＝3CD ，将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 的对应点为B ′，则sin ∠CB ′D ＝ 10．【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例；解直角三角形；等腰直角三角形．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由折叠的性质得出AB ＝AB '，∠BAD ＝∠B 'AD ，证出∠CB 'D ＝∠CAD ，由平行线的性质得出∠CAD ＝∠ADE ＝∠CB 'D ，13CD AE BD BE ==，设AE ＝a ，则DE ＝3a ，求出AD ，由锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵将△ABD 沿直线AD 翻折，∴AB ＝AB '，∠BAD ＝∠B 'AD ，∵AB ＝AC ，∴AC ＝AB '，∴∠AB 'C ＝∠ACB '，设∠B 'AC ＝x ，∠CB 'D ＝α，∠CAD ＝β，∵AB ＝AC ，∠CAB ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝∠AB 'D ＝45°，∴2（α+45°）+x ＝180°，∴2α＝90°﹣x ，又∵∠B 'AD +∠BAD ＝∠B 'AC +∠CAB ，∴2（x +β）＝90°+x ，∴2β＝90°﹣x ，∴α＝β，∴∠CB 'D ＝∠CAD ，∵CD ⊥AB ，DE ⊥AB ，∴CA ∥DE ，∴∠CAD ＝∠ADE ＝∠CB 'D ，13CD AE BD BE ==， ∵BE ＝DE ，∴13AE BE =， 设AE ＝a ，则DE ＝3a ，∴AD =，∴sin ∠CB ′D ＝sin ∠ADE ＝AE DE =＝10．【点评】本题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，平分线分线段成比例定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．6．（2021秋•崇明区期末）如图所示，在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，∠ACB ＝2∠A ，如果将△ABC 沿过顶点C 的直线折叠，使点B 落在边AC 上的点D 处，折痕为CM ，那么cos ∠DMA ＝ 3132．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】由折叠的性质可知，CB ＝CD ＝6，∠BCM ＝∠ACM ，证明△BCM ∽△BAC ，由相似三角形的性质得出CD BM CM AB BC AC==，求出BM 和AC 的长，过点D作DN ⊥AM 于点N ，设MN ＝x ，则AN ＝5﹣x ，由勾股定理求出x ，根据锐角三角函数的定义可得出答案．【解答】解：由折叠的性质可知，CB ＝CD ＝6，∠BCM ＝∠ACM ，∵∠ACB ＝2∠A ，∴∠BCM ＝∠A ，∵∠B ＝∠B ，∴△BCM ∽△BAC ， ∴CD BM CM AB BC AC ==，∴696BM =， ∴BM ＝4，∴AM ＝CM ＝5，∴659AC=， ∴AC ＝152，∴AD ＝AC ﹣CD ＝152﹣6＝32， 过点D 作DN ⊥AM 于点N ，设MN ＝x ，则AN ＝5﹣x ， ∴22223()(5)42x x +-=-，解得318x =， ∴cos ∠DMA ＝31318432MN DM ==． 故答案为：3132． 【点评】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，证明△BCM ∽△BAC 是解题的关键．7．（2021秋•奉贤区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35．D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，将△BDE 沿直线DE 翻折，使得点B落在同一平面内的点F处．如果线段FD交边AB于点G，当FD⊥AB时，AE：BE的值为 4 ．【考点】平行线分线段成比例；解直角三角形；翻折变换（折叠问题）．【专题】解直角三角形及其应用；推理能力．【分析】如图，过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，如图，利用正弦的定义得到sin B＝35DGBD=，则设DG＝3x，BD＝5x，所以BG＝4x，再根据折叠的性质和平行线的性质得到∠H＝∠DBH，所以DH＝DB＝5x，接着根据平行线分线段成比例定理得到35GE DGBE DH==，则BE＝52x，然后证明△BDG∽△BAC，利用相似比得到BA＝252x，最后计算AE：BE的值．【解答】解：如图，过B点作BH∥DE交GD的延长线于H，如图，∵FD⊥AB，∴∠DGB＝90°，∵sin B＝35DGBD=，∴设DG＝3x，BD＝5x，∴BG＝4x，∵△BDE沿直线DE翻折得到△FDE，∴∠BDE＝∠FDE，∵DE∥BH，∴∠FDE＝∠H，∠BDE＝∠DBH，∴∠H＝∠DBH，∴DH＝DB＝5x，∵DE∥BH，∴35 GE DGBE DH==，∴BE＝58×4x＝52x，∵∠BGD＝∠C＝90°，∠DBG＝∠ABD，∴△BDG∽△BAC，∴BD BGBA BC=，即5410x xBA x=，∴BA＝252x，∴AE＝AB﹣BE＝252x﹣52x＝10x，∴AE ：BE ＝10x ：52x ＝4． 故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了折叠的性质和解直角三角形．8．（2020秋•崇明区期末）在△ABC 中，AB ＝，∠B ＝45°，∠C ＝60°．点D 为线段AB 的中点，点E 在边AC 上，连接DE ，沿直线DE 将△ADE 折叠得到△A ′DE ．连接AA ′，当A ′E ⊥AC 时，则线段AA ′的长为 2【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】画出相应的图形，结合图形通过作高构造直角三角形，求出AM ＝BM ＝4，进而求出AC ，再利用相似三角形的性质和判定求出AE ，根据对称在Rt △AEF 中求出AF 即可．【解答】解：如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，在Rt △ABM 中，∠B ＝45°，AB ＝，∴AM ＝BM ＝AB •sin ∠B ＝4，在Rt △ACM 中，AM ＝4，∠C ＝60°，∴AC ＝AM 4=sin C sin 60∠＝， 又∵A ′E ⊥AC ，∴∠A ′EC ＝90°，由折叠得∠AED＝∠A′ED＝12（180°﹣90°）＝45°，AA′⊥DE，∵∠AED＝45°＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△DAE∽△CAB，∴AE AD=AB DC，∵点D为线段AB的中点，∴AD＝BD＝12AB＝AE＝在Rt△AEF中，AF＝EF＝AE•sin∠AED＝2，∴AA′＝2AF＝，故答案为：．【点评】本题考查轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握轴对称、相似三角形的性质以及解直角三角形是解决问题的关键．9．（2020秋•长宁区期末17）如图，矩形ABCD沿对角线BD翻折后，点C落在点E处．联结CE交边AD于点F．如果DF＝1，BC＝4，那么AE【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形菱形正方形；推理能力．【分析】首先根据题意得到EG＝CG，CE⊥BD，证明△CDF∽△BCD和△CDG ∽△BDC，可计算CD和CG的长，再证明△EFD∽△AED，可得AE的长．【解答】解：由折叠得：CE⊥BD，CG＝EG，∴∠DGF＝90°，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ADG+∠CDG＝90°，∴∠CDG＝∠DFG，∵∠CDF＝∠BCD＝90°，∴△CDF∽△BCD，∴CD DF=BC CD，∵AB＝4，DF＝1，∴CD1=4CD，∴CD＝2，由勾股定理得：CFBD，同理得：△CDG∽△BDC，∴CD CG=BD BCCG4，∴CG，∴CE＝2CG＝5，∴EF＝CE﹣CF，∵DF1=ED2，ED21==AD42，且∠EDF＝∠AED，∴△EFD∽△AED，∴EF DF=AE DE，即15=AE2，∴AE＝【点评】本题主要考查了几何变换中的翻折变换、相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，利用相似三角形列比例式是本题的关键．10．（2020秋•虹口区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．D 是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点B'处，线段B'D交边AB于点F，联结AB'．当△AB'F是直角三角形时，BE的长为2或4017．【考点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】分两种情况画出图形，①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案；方法二：过点E作EH⊥BC 于点H，设EH＝3a，BE＝5a，则BH＝4a，由BF的长列出方程，解方程求出a 即可；②方法一如图2，当∠AB′F＝90°时，由相似三角形的性质及直角三角形的性质可求出答案．方法二：过点E作EG⊥BD于点G，设EG＝3a，BG＝4a，BE＝5a，得出9442a a+=，求出a的值则可得出答案．【解答】解：①方法一：如图1，当∠AFB′＝90°时．在Rt △ABC 中，∵AC ＝6，BC ＝8，∴AB＝10==，∵D 是BC 的中点，∴BD ＝CD ＝12BC ＝4， ∵∠AFB '＝∠BFD ＝90°，∠ACB ＝90°，∴∠DFB ＝∠ACB ， 又∵∠DBF ＝∠ABC ，∴△BDF ∽△BAC ，∴BF BD BC AB =，即4810BF =， 解得：BF ＝165， 设BE ＝B 'E ＝x ，则EF ＝165﹣x ， ∵∠B ＝∠FB 'E ，∴sin ∠B ＝sin ∠FB 'E ，∴'AC EF AB B E =， ∴166510x x-=，解得x ＝2．∴BE ＝2． 方法二：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，设EH ＝3a ，BE ＝5a ，则BH ＝4a ，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴EF ＝3a ，∴BF ＝8a ＝BD •cos ∠B ＝4×45，∴a ＝25， ∴BE ＝5a ＝2；②如图2中，当∠AB ′F ＝90°时，连接AD ，作EH ⊥AB ′交AB ′的延长线于H ．∵AD ＝AD ，CD ＝DB ′，∴Rt △ADC ≌Rt △ADB ′（HL ），∴AC ＝AB ′＝6，∵将△BDE 沿直线DE 翻折，∴∠B ＝∠DB 'E ，∵AB '⊥DB '，EH ⊥AH ，∴DB '∥EH ，∴∠DB 'E ＝∠B 'EH ，∴∠B ＝∠B 'EH ，∴sin ∠B ＝sin ∠B 'EH ，设BE ＝x ，则B 'H ＝35x ，EH ＝45x ， 在Rt △AEH 中，AH 2+EH 2＝AE 2， ∴22234(6)()(10)55x x x ++=-，解得x ＝4017，∴BE ＝4017． 则BE 的长为2或4017． 方法二：过点E 作EG ⊥BD 于点G ，设EG ＝3a ，BG ＝4a ，BE ＝5a ，∴DG ＝EG ×32＝92a ， ∵DG +GB ＝DB ，∴9442a a +=，∴a ＝817， ∴BE ＝4017． 故答案为：2或4017． 【点评】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题．11．（2020秋•松江区期末）如图，已知矩形纸片ABCD ，点E 在边AB 上，且BE ＝1，将△CBE 沿直线CE 翻折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，联结DF ，如果点D 、F 、E 在同一直线上，则线段AE 的长为 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据矩形的性质得到AD ＝BC ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，根据折叠的性质得到CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，DC ＝DE ，证明△AEF ∽△DEA ，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，∠ADC ＝∠B ＝∠DAE ＝90°，∵把△BCE 沿直线CE 对折，使点B 落在对角线AC 上的点F 处，∴CF ＝BC ，∠CFE ＝∠B ＝90°，EF ＝BE ＝1，∠CEB ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 中，DC ∥AB ，∴∠DCE ＝∠CEB ，∴∠CEF ＝∠DCE ， ∴DC ＝DE ，设AE ＝x ，则AB ＝CD ＝DE ＝x +1，∵∠AFE ＝∠CFD ＝90°，∴∠AFE ＝∠DAE ＝90°，∵∠AEF ＝∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ， ∴AF DE EF AE =，∴11x x x+=，解得x 或x ，∴AE ＝．故答案为：12． 【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行线的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．12．（2020秋•普陀区期末）如图，在▱ABCD 中，点E 在边BC 上，将△ABE 沿着直线AE翻折得到△AFE，点B的对应点F恰好落在线段DE上，线段AF的延长线交边CD于点G，如果BE：EC＝3：2，那么AF：FG的值等于214．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．【分析】延长BC，AG交于点H，设BE＝3x，EC＝2x，由平行四边形的性质可得AD＝BC＝5x，AD∥BC，由折叠的性质可得∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，通过证明△ADF∽△HEF，△ADG∽△HCG，可求AF＝425y，FG＝AG﹣AF＝85y，即可求解．【解答】解：如图，延长BC，AG交于点H，∵BE：EC＝3：2，∴设BE＝3x，EC＝2x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝5x，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵将△ABE沿着直线AE翻折得到△AFE，∴∠AEB＝∠AEF，BE＝EF＝3x，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝5x，∴DF＝2x，∵AD∥BC，∴△ADF∽△HEF，∴AD DF AFEH EF FH==，∴523x AFEH FH==，∴EH＝152x，AF＝23FH，∴CH＝EH﹣EC＝x，∵AD∥BC，∴△ADG∽△HCG，∴AD AGCH GH=，∴51011112x AGGHx==，∴设AG＝10y，GH＝11y，∴AH＝21y，∴AF＝215y×2＝425y，∴FG＝AG﹣AF＝85y，∴AF：FG＝21：4＝214，故答案为214．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．13．（2019秋•虹口区期末）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，sin C＝45，AB＝9，AD＝6，点E、F分别在边AB、BC上，联结EF，将△BEF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段B′F经过顶点A，B′F交对角线BD于点P，当B′F⊥AB时，AP的长为247．【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰梯形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．【分析】解直角三角形求出BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，∵FB′⊥AB，∴∠BAF＝90°，∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠ABC＝∠C，∴sin∠ABC＝sin∠C＝AFBF＝45，设AF＝4k，BF＝5k，则AB＝9＝3k，∴k＝3，∴AF＝12，BF＝15，∵AD∥BF，∴△APD∽△FPB，∴PA AD62===PF BF155，∴P A＝27AF＝247，故答案为247．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．（2019秋•青浦区期末）已知，在矩形纸片ABCD中，AB＝5cm，点E、F分别是边AB、CD的中点，折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，在折叠的过程中，如果点A恰好落在线段EF上，那么边AD．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】根据已知条件得到AE＝DF＝BE＝CF，求得四边形AEFD是矩形，得到EF＝AD，∠AEN＝∠BEN＝90°，根据折叠的性质得到BN＝AB，根据直角三角形的性质得到∠BNE＝30°，于是得到EN＝2BN即可得到结论．【解答】解：如图，∵在矩形纸片ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，∴AE＝DF＝BE＝CF，∴四边形AEFD是矩形，∴EF＝AD，∠AEN＝∠BEN＝90°，∵折叠矩形纸片ABCD，折痕BM交AD边于点M，∴BN＝AB，∵BE＝12AB，∴BE＝12BN，∴∠BNE＝30°，∵AB＝5cm，∴EN＝2BN∴EF≥EN时，点A恰好落在线段EF上，即AD∴边AD【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（2019秋•闵行区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，点D 在底边BC上，且∠DAC＝∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E 处，联结BE，那么BE的长为1．【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质；勾股定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得AB BDBM BE=，只要求出BM、BD即可解决问题．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵∠DAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ABC，∵∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴CA CDCB AC=，∴464CD=，∴CD＝83，BD＝BC﹣CD＝103，∵∠DAM＝∠DAC＝∠DBA，∠ADM＝∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴AD DMBD DA=，即8310833DM=，∴DM＝3215，MB＝BD﹣DM＝65，∵∠ABM＝∠C＝∠MED，∴A、B、E、D四点共圆，∴∠ADB＝∠BEM，∠EBM＝∠EAD＝∠ABD，∴△ABD∽△MBE，（不用四点共圆，可以先证明△BMA∽△EMD，推出△BME∽AMD，推出∠ADB＝∠BEM也可以！）∴AB BD BM BE=，∴BE＝BD BMAB＝1．故答案为：1．【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题，题目比较难．16．（2019秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝a，将△ABC沿着斜边BC翻折，点A落在点A1处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交A1B所在直线于点F，联结A1E，如果△A1EF为直角三角形时，那么a＝4或【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】平移、旋转与对称；推理能力．【分析】当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C＝A1E＝4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC＝2A1B＝8，最后利用勾股定理可得AB 的长；②当∠A1FE＝90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB＝AC＝4．【解答】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A1EF＝90°时，如图1，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A1C＝AC＝4，∠ACB＝∠A1CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴D、E是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE ＝∠A1EF，∴AC∥A1E，∴∠ACB＝∠A1EC，∴∠A1CB＝∠A1EC，∴A1C＝A1E＝4，Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点，∴BC＝2A1E＝8，由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，∴AB＝=②当∠A1FE＝90°时，如图2，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA1＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴AB ＝AC ＝4；综上所述，AB 的长为4；故答案为：4；【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．17．（2019秋•崇明区期末）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，D 是AC的中点，点E 在边AB 上，将△ADE 沿DE 翻折，使得点A 落在点A ′处，当A ′E ⊥AB 时，则A ′A ＝ 5或5．【考点】翻折变换（折叠问题）．【专题】平移、旋转与对称；解直角三角形及其应用．【分析】分两种情形分别求解，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．想办法求出AE ，利用等腰直角三角形的性质求出AA ′即可．【解答】解：如图，作DF ⊥AB 于F ，连接AA ′．在Rt △ACB 中，BC 6，∵∠DAF ＝∠BAC ，∠AFD ＝∠C ＝90°，∴△AFD ∽△ACB ， ∴DF AD AF BC AB AC ==，∴46108DF AF ==， ∴DF ＝125，AF ＝165， ∵A ′E ⊥AB ，∴∠AEA ′＝90°，由翻折不变性可知：∠AED ＝45°，∴EF ＝DF ＝125，∴AE ＝A ′E ＝125+165＝285，∴AA ′＝5， 如图，作DF ⊥AB 于F ，当 EA ′⊥AB 时，同法可得AE ＝165﹣125＝45，AA ′AE ＝5．故答案为5或5． 【点评】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．18．（2019秋•静安区期末）如图，有一菱形纸片ABCD ，∠A ＝60°，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos ∠EFB 的值为 17．【考点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；等边三角形的判定与性质；菱形的性质．【专题】矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用．【分析】如图，连接BD ．设BC ＝2a ．在Rt △BEF 中，求出EF ，BF 即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD ．设BC ＝2a ．∵四边形ABC都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∠A＝∠C＝60°，∴△BDC是等边三角形，∵DE＝EC＝a，∴BE⊥CD，∴BE＝=，∵AB∥CD，BE⊥CD，∴BE⊥AB，∴∠EBF＝90°，设AF＝EF＝x，在Rt△EFB中，则有x2＝（2a﹣x）2+a）2，∴x＝74a，∴AF＝EF＝74a，BF＝AB﹣AF＝4a，∴cos∠EFB＝14774aBFaEF==，故答案为17．【点评】本题考查菱形的性质，解翻折变换，直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.。