2001——2013年上海中考数学压轴题--(试题加标准答案精心整理)

2001年上海市数学中考试卷一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分） 1．计算：2²18＝2．如果分式242--x x 的值为零，那么x ＝3．不等式7—2x ＞1的正整数解是 ． 4．点A （1，3）关于原点的对称点坐标是 ． 5．函数1-=x x y 的定义域是 ．6．如果正比例函数的图象经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ．7．如果x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个根，那么代数式（x 1＋1）（ x 2＋1）的值是 ．8．方程2+x ＝－x的解是 ．9．甲、乙两人比赛飞镖，两人所得平均环数相同，其中甲所得环数的方差为15，乙所得环数如下：0，1，5，9，10．那么成绩较为稳定的是 （填“甲”或“乙”）．10．如果梯形的两底之比为2∶5，中位线长14厘米，那么较大底的长为 厘米．11．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米．12．某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是 米．13．在边长为2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折后得△AB'E，那么△AB'E与四边形AECD重叠部分的面积是．14．如图1，在大小为4³4的正方形方格中，△ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为1），且点A1、B1、C1都在单位正方形的顶点上．二、多项选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分．每小题列出的四个答案中，至少有一个是正确的，把所有正确答案的代号填入括号内，错选或不选得0分，否则每漏选一个扣1分）15．下列计算中，正确的是（）．A．a3²a2＝a6B．（a＋b）（a－b）＝a2－b2C．（a＋b）2＝a2＋b2D．（a＋b）（a－2b）＝a2－ab －2b216．下列多项式中，能在实数范围内分解因式的是（）．A．x2＋4 B．x2－2 C．x2－x－1 D．x2＋x ＋117．下列命题中，真命题是（）．A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形18．如果⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4、5，那么下列叙述中，正确的是（ ）．A ．当O 1 O 2＝1时，⊙O 1与⊙O 2相切B ．当O 1 O 2＝5时，⊙O 1与⊙O 2有两个公共点C ．当O 1 O 2＞6时，⊙O 1与⊙O 2必有公共点D ．当O 1 O 2＞1时，⊙O 1与⊙O 2至少有两条公切线 三、（本题共4小题，每小题7分，满分28分） 1 9．计算12102)13(12)21()2(--⋅--+ 20．解方程：31066=+++x x x x ．21．小李通过对某地区1998年至2000年快餐公司发展情况的调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图（如图2）和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图（如图3）．利用图2、图3共同提供的信息，解答下列问题：图2 图3（1）1999年该地区销售盒饭共万盒．（2）该地区盒饭销量最大的年份是年，这一年的年销量是万盒．（3）这三年中该地区每年平均销售盒饭多少万盒?22．如图4，在△ABC中，∠C＝90°，点D3．求：在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC＝5（1）DC的长；（2）sin B的值．四、（本题共4小题，每小题10分，满分40分）23．如图5，已知点A（4，m），B（－1，n）在反比例8的图象上，直线AB与x轴交于点函数y＝C．如果点D在y轴上，且DA＝DC，求点D的坐标．24．如图6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D．求证：（1）AC是⊙O的切线；（2）AB＋EB＝AC．25．某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40％．该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元?26．如图7，已知抛物线y＝2x2－4x＋m与x轴交于不同的两点A、B，其顶点是C，点D是抛物线的对称轴与x轴的交点．（1）求实数m的取值范围；（2）求顶点C的坐标和线段AB的长度（用含有m的式子表示）；（3）若直线1y分别交x轴、y轴于点E、F，问△BDC=x2+与△EOF是否有可能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由．五、（本题满分12分）27．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD ＝5，AB＝DC＝2．（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．①求证；△ABP∽△DPC②求AP的长．（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC 于点Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE＝1时，写出AP的长（不必写出解题过程）．答案一、填空题1．6 2．－2 3．1，2 4．（－1，－3）5．x ＞1 （题5中定义域的意思即指函数自变量的取值范围．）6．y ＝2x 7．5 8．x ＝－19．甲 10．20 11．2.5 12．800313．22—214．图略（画出一个符合要求的三角形）（题14的考查目标是阅读理解、计算、作图能力，单位正方形是指边长为1的正方形，4³4的正方形方格指边长为4的正方形，被分成16个单位正方形，再应用勾股定理计算出AC ，AB ，BC 的长，依相似三角形性质按比例扩大，画出适中的△A 1B 1C 1．） 二、多项选择题（本题共4小题，每小题3分，满分12分） （题二不是平时习以为常的“四选一”型单选题，而是多项选择题，读准原题括号中的提示后，解题时要逐个筛选，逐一排查．）15．B 、D 16．B 、C 17．A 、C 18．A 、B 、D三、（本题共4小题，每小题?分，满分28分） 19．解：12102)13(12)21()2(--⋅--+．33332133231311212-=--=+⋅-=-⋅-+=（题19中出现了分数指数，2112意义是12．） 20．解法一：设xx y 6+=，则原方程为3101=+yy ，整理，得3y 2－10y ＋3＝0，解得y 1＝31，y 2＝3．当y ＝31时，316=+xx ，解得x ＝—9；当y ＝3时，36=+xx ，解得x ＝3．经检验，x 1＝－9，x 2＝3都是原方程的根．则原方程的根是x 1＝－9，x 2＝3．解法二：方程两边同乘3x （x ＋6），得3（x ＋6）2＋3x 2＝10x （x ＋6），整理得．x 2＋6x －27＝0，解得x 1＝－9，x 2＝3．经检验，x 1＝－9，x 2＝3都是原方程的根，所以原方程的根是x 1＝－9，x 2＝3．21．（1）118；（2）2000，1 20：（3）解：3518002590150．．．⨯+⨯+⨯=x ＝96（万盒）．答：这三年中，该地区每年平均销售盒饭96万盒． （题21考查统计图表在实际生产、生活中的应用，两个图形既相互独立，又互相联系．单个图表的阅读可考查阅读能力，双图表则更体现了思维间的联系与综合能力．）22．解：∵ 在Rt △ACD 中，cos ∠ADC ＝53=ADCD ，设CD ＝3k ，∴ AD ＝5k ．又∵ BC ＝AD ，∴ 3k ＋4＝5k ，∴ k ＝2．∴ CD ＝3k＝6．（2） ∵ BC ＝3k ＋4＝6＋4＝10，AC ＝22CD AD -＝4k ＝8，∴4121082222=+=+=BC AC AB ． ∴ 414144128sin ==AB AC B ． （题22考查解直角三角形知识，解题时依三角函数定义设参数，结合代数知识求解，应注意的是ACDC ADC =∠cos ，则设DC ＝3k ，AC ＝5k ，但不能把DC ＝3，AC ＝5当作已知量直接应用．）四、（本题共4小题，每小题10分，满分40分）23．解：由点A 、B 在y ＝x8的图象上，得m ＝2，n ＝－8，则点A 的坐标为（4，2），点B 的坐标为（－1，－8）．设直线AB 的函数解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧+-=-+=b k b k 842，解得⎩⎨⎧-==．，62b k 则直线AB 的函数解析式为y ＝2x －6．所以点C 坐标为（3，0）．设D （0，y ），由DA ＝DC ，得（y －2）2＋42＝y 2＋32．解得y ＝411．则点D 的坐标是（0，411）． 24．证明：（1）过D 作DF ⊥AC ，F 为垂足．∵ AD 是∠BAC 的平分线，DB ⊥AB ，∴ DB ＝DF ．∴ 点D 到AC 的距离等于圆D 的半径．∴ AC 是⊙D 的切线．（2） ∵ AB ⊥BD ，⊙D 的半径等于BD ，∴ AB是⊙O 的切线．∴ AB ＝AF ．∵ 在Rt △BED 和Rt △FCD 中，ED ＝CD ，BD ＝FD ，∴ △BED ≌△FCD ．∴ BE ＝FC ．∴ AB ＋BE ＝AF ＋FC ＝AC ．25．解：2000年的经营总收入为600÷40％＝1500（万元）．设年增长率为x ，则1500（1＋x ）2＝2160，（1＋x ）2＝1.44，1＋x ＝±1.2（舍去1＋x ＝—1.2），1500（1＋x ）＝1500³1.2＝1800（万元）．答：2001年预计经营总收入为1800万元．26．解：（1） ∵ 抛物线y ＝2x 2－4x ＋m 与x 轴交于不同的两个点，∴ 关于x 的方程2x 2—4x ＋m ＝0有两个不相等的实数根．∴ △＝（—4） 2—4²2m ＞0，∴ m ＜2．（2）由y ＝2x 2－4x ＋m ＝2（x —1）2＋m －2，得顶点C 的坐标是（1，m －2）．由2x 2—4x ＋m ＝0，解得，x 1＝1＋m 2421-或x 2＝1—m 2421-．∴ AB ＝（1＋m 2421-）—（1—m 2421-）＝m 24-． （3）可能．证明：由y ＝2x ＋1分别交x 轴、y 轴于点E 、F ，得E （－22，0），F （0，1）．∴ OE ＝22，OF ＝1．而BD ＝m 2421-，DC ＝2－m ．当OE ＝BD ，得m 242122-=，解得m ＝1．此时OF ＝OC ＝1．又∵ ∠EOF ＝∠CDB ＝90°，∴ △BDC ≌△EOF ．∴ △BDC 与△EOF 有可能全等．（题26是一元二次方程，二次函数与直线形的综合考查题，由图象可知，抛物线与x 轴有两个交点，则△＞0；求AB 的长度可用简化公式a AB ∆=；（3）要求判断△BDC 与△EOF是否有可能全等，即指探索全等的可能性，本题已有∠CDB ＝∠EOF ＝90°，BD 与OE 或OF 都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可，解题时要注意“有可能”这个关键词．）27．（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ．②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DC PD AP AB =，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y x x +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试数学试卷（满分120分，考试时间120分钟）考生注意：除第一、二大题外其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要步骤．一．填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）1．计算：221-⎪⎭⎫ ⎝⎛＝__________．2．如果分式23-+x x 无意义，那么x ＝__________． 3．在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威1”的计算机运算速度为每秒384 000 000 000次，这个速度用科学记数法表示为每秒___________次．4．方程122-x ＝x的根是__________． 5．抛物线y ＝x 2－6x ＋3的顶点坐标是 __________．6．如果f （x ）＝kx ，f （2）＝－4，那么k ＝__________．7．在方程x 2＋x x 312-＝3x －4中，如果设y ＝x 2－3x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是__________．8．某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为5万元，由此推断5月份的总营业额约为5×31＝155（万元）根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答：__________．9．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，如果AD＝8，DB＝6，EC＝9，那么AE＝__________．10．在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为a，如果测角仪高为1.5米，那么旗杆的高为__________米，（用含a的三角比表示）．11．在△ABC中，如果AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心G到BC的距离是__________cm．12．两个以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切，如果AB的长为24，大圆的半径OA为13，那么小圆的半径为__________．13．在R t△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△A CM沿直线CM折叠，点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，那么∠A等于__________度．14．已知AD是△ABC的角平分线，E、F分别是边AB、AC的中点，连结DE、DF，在不再连结其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条可以是__________．二、多项选择题（本大题4题，每题3分，满分12分）［每题列出的四个答案中，至少有一个是正确的，把所有正确答案的代号填入括号内，错选或不选得0分，否则每漏选一个扣1分，直至扣完为止］15．在下列各数中，是无理数的是（）（A ）π；（B ）722； （C ）9； （D ）4． 16．在下列各组根式中，是同类二次根式的是 （ ）（A ）2和12； （B ）2和21； （C ）ab 4和3ab ； （D ）1-a 和1+a ．17．如果两个半径不相等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能是 （ ）（A ）1条；（B ）2条； （C ）3条；（D ）4条 18．下列命题中，正确的是 （ ）（A ）正多边形都是轴对称图形；（B ）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；（C ）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；（D ）边数大于3的正多边形的对角线长相等．三、（大小题共4题，每题7分，满分28分）19．计算：96261212222-+---+-⋅-+x x x x x x x x ．20．解不等式组：()⎪⎩⎪⎨⎧-≥-->+②①.356634,1513x x x x21．如图1，已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ＝DB ，∠ADB ＝90°，cos ∠ABD ＝54，求S △ABD ︰S △BCD ．图122．某校在六年级和九年级男生中分别随机抽取20名男生测量他们的身高，绘制的频数分布直方图如图2所示，其中两条点划线上端的数值分别是每个年级被抽20名男生身高的平均数，该根据该图提供的信息填空：图2（1）六年级被抽取的20名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米；九年级被抽取的20名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米．（2）估计这所学校九年级男生的平均身高比六年级男生的平均身高高__________厘米．（3）估计这所学校六、九两个年级全体男生中，身高不低于153厘米且低于163厘米的男生所占的百分比是__________．四、（本大题共4题，每题10分，满40分）23．已知：二次函数y＝x2－2（m－1）x＋m2－2m－3，其中m为实数．（1）求证：不论m取何实数，这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设这个二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0）．B（x2，0），且x1、x2的倒数和为32，求这个二次函数的解析式．24．已知：如图3，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，直线CM、DN分别切半圆于点C、D，且分别和直线AB相交于点M、N．图3（1）求证：MO＝NO；（2）设∠M＝30°，求证：NM＝4CD．25．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内设进n个球的人数分布情况：同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3.5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个求，问投进3个球和4个求的各有多少人．1x＋2分别交x、y轴于点A、C，26．如图4，直线y＝2P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x轴，B为垂足，S＝9．△ABP图4（1）求点P的坐标；（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT 与△AOC相似时，求点R的坐标.五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图5 图6图7探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试数学试卷答案要点与评分说明一．填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分）1．4；2．2；3．3.84×1011；4．x＝1；5．（3，－6）；6．－2；7．y2＋4y＋1＝0；8．不合理；9．12；10．20tan ＋1.5；11．1；12．5；13．30；14．AB＝AC、∠B＝∠C、AE＝AF、AE＝ED、DE∥AC、…中的一个二、多项选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分）15．A、D；16．B、C 17．A、B、C18．A、C三、（本大题共4题，每题7分，满分28分）19．解：原式＝()()()()()()3332231122-++-+--⋅-+x x x x x x x x ……………………（4分）＝3231----x x x ……………………（2分）＝33--x x ＝1． ……………………（1分） 20．解：由①解得 x ＜3 ……………………（3分）由②解得 x ≥83 ……………………（3分）∴ 原不等式组的解集是 83≤x ＜3 ……………………（1分）21．解：∵ cos ∠ABD ＝54 ∴ 设AB ＝5k BD ＝4k （k ＞0），得AD ＝3k ……………………（1分）于是S△ABC ＝21AD²BD＝6k2……………………（2分）∴△BCD是等边三角形，∴S△BCD ＝43BD2＝43k2……………………（2分）∴S△ABD ︰S△BCD＝6k2︰43k2＝3︰2……………………（2分）22．（1）148～153 ……………………（1分）168～173 ……………………（1分）（2）18.6……………………（2分）（3）22.5%……………………（3分）四、（本大题共4题，每题10分，满分40分）23．（1）证明：和这个二次函数对应的一元二次方程是x 2－2（m －1）x ＋m 2－2m －3＝0Δ＝4（m －1）2－4（m 2－2m －3） ……………………（1分）＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12 ……………………（1分） ＝16＞0． ……………………（1分）∵ 方程x 2－2（m －1）x ＋m 2－2m －3＝0必有两个不相等的实数根．∴ 不论m 取何值，这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点． ……………（1分）（2）解：由题意，可知x 1、x 2是方程x 2－2（m －1）x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根，∴ x 1＋x 2＝2（m －1），x 1²x 2＝m 2－2m －3． ……………………（2分）∵ 321121=+x x ，即 322121=⋅+x x x x ，∴ ()3232122=---m m m （*） …………（1分）解得 m ＝0或m ＝5 ……………………（2分）经检验：m＝0，m＝5都是方程（*）的解∴所求二次函数的解析是y＝x2＋2x－3或y＝x2－8x ＋12．……………………（1分）24．证明：连结OC、OD．（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC ……………………（1分）∵CD∥AB，∴∠COD＝∠COM，∠ODC∠DON．∴∠COM＝∠DON……………………（1分）∵CM、DN分别切半圆O于点C、D，∴∠O CM ＝∠ODN＝90°．…（1分）∴△O CM≌△ODN．……………………（1分）∴OM＝ON．……………………（1分）（2）由（1）△O CM≌△ODN可得∠M＝∠N．∵∠M＝30°∴∠N＝30° ……………………（1分） ∴ OM ＝2OD ，ON ＝2OD ，∠COM ＝∠DON ＝60° ……………………（1分）∴ ∠COD ＝60° ……………………（1分）∴ △COD 是等边三角形，即CD ＝OC ＝OD ． ……………………（1分）∴ MN ＝OM ＋ON ＝2OC ＋2OD ＝4CD ． ……………………（1分）25．解：设投进3个球的有x 个人，投进4个球的有y 个人……………………（1分）由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++++⨯+⨯+⨯=++⨯++.5.272143722110,5.322543y x y x y x y x（*）……………………（4分）整理，得⎩⎨⎧=+=-183,6y x y x ……………………（2分）解得⎩⎨⎧==3,9y x ……………………（2分）经检验：⎩⎨⎧==3,9y x 是方程组（*）的解．答：投进3个球的有9个人，投进4个球的有3个人． ……………………（1分）26．解：（1）由题意，得点C （0，2），点A （－4，0）． ……………………（2分）设点P 的坐标为（a ，21a ＋2），其中a ＞0． 由题意，得S △ABP ＝21（a ＋4）（21a ＋2）＝9． ……………………（1分）解得a ＝2或a ＝－10（舍去） ……………………（1分） 而当a ＝2时，21a ＋2＝3，∴ 点P 的坐标为（2，3）． ……………………（1分）（2）设反比例函数的解析式为y ＝xk ． ∵ 点P 在反比例函数的图象上，∴ 3＝2k ，k ＝6 ∴ 反比例函数的解析式为y ＝x 6， ……………………（1分）设点R 的坐标为（b ，b 6），点T 的坐标为（b ，0）其中b ＞2，那么BT ＝b －2，RT ＝b6． ①当△RTB ～△AOC 时，CO BT AO RT =，即2==COAO BT RT ， ………………（1分） ∴ 226=-b b ，解得b ＝3或b ＝－1（舍去）． ∴ 点R 的坐标为（3，2）． ……………………（1分）①当△RTB ∽△COA 时，AO BT CO RT =，即21==AO CO BT RT ， ………………（1分） ∴ 2126=-b b ，解得b ＝1＋13或b ＝1－13（舍去）． ∴ 点R 的坐标为（1＋13，2113-）． ……………………（1分）综上所述，点R 的坐标为（3，2）或（1＋13，2113-）． 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）27．图1 图2 图3（1）解：PQ ＝PB ……………………（1分）证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．∴NP＝NC＝MB．……………………（1分）∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°．而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴∠QPN＝∠PBM．……………………（1分）又∵∠QNP＝∠PMB＝90°，∴△QNP≌△PMB．……………………（1分）∴PQ＝PB．（2）解法一由（1）△QNP≌△PMB．得NQ＝MP．∵AP＝x，∴AM＝MP＝NQ＝DN＝x22，BM＝PN＝CN＝1－x22，∴CQ＝CD－DQ＝1－2²x22＝1－x2．得S△PBC ＝21BC²BM＝21³1³（1－x22）＝21－42x．………………（1分）S △PCQ ＝21CQ ²PN ＝21³（1－x 2）（1－x 22）＝21－x 423＋21x 2 （1分）S四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝21x 2－x 2＋1．即 y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分，1分）解法二作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形．∴ PT ＝CB ＝PN ．又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ．S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN …（2分）＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1∴ y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形，此时x ＝0 ……………………（1分）②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3）……………………（1分）解法一 此时，QN ＝PM ＝x 22，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－x 22． ∴ CQ ＝QN －CN ＝x 22－（1－x 22）＝x 2－1． 当2－x ＝x 2－1时，得x ＝1． ……………………（1分）解法二 此时∠CPQ ＝21∠PCN ＝22.5°，∠APB ＝90°－22.5°＝67.5°，∠ABP ＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB ＝∠ABP ，∴ AP ＝AB ＝1，∴ x ＝1． ……………………（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试数学试卷一、填空题1. 8的平方根是.1，4中，是最简二次根式的是。

2001—2012年上海中考压轴题整理2013/5/21 2001年上海市数学中考27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．图8①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．27．（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ．②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即y xx +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4．②AP ＝2或AP ＝3－5．（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图567探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）27．图1 图2 图3（1）解：PQ＝PB……………………（1分）证明如下：过点P作MN∥BC，分别交AB于点M，交CD于点N，那么四边形AMND和四边形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰直角三角形（如图1）．∴NP＝NC＝MB．……………………（1分）∵∠BPQ＝90°，∴∠QPN＋∠BPM＝90°．而∠BPM ＋∠PBM ＝90°，∴ ∠QPN ＝∠PBM ． ……………………（1分） 又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△PMB ． ……………………（1分） ∴ PQ ＝PB ． （2）解法一由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ． ∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝x 22，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 22， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·x 22＝1－x 2． 得S △PBC ＝21BC ·BM ＝21×1×（1－x 22）＝21－42x ． ………………（1分） S △PCQ ＝21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－x 22）＝21－x 423＋21x 2 （1分） S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝21x 2－x 2＋1． 即 y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分，1分）解法二作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形． ∴ PT ＝CB ＝PN ．又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ．S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN （2分）＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1 ∴ y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形， 此时x ＝0 ……………………（1分） ②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3） ……………………（1分）解法一 此时，QN ＝PM ＝x 22，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－x 22． ∴ CQ ＝QN －CN ＝x 22－（1－x 22）＝x 2－1． 当2－x ＝x 2－1时，得x ＝1． ……………………（1分） 解法二 此时∠CPQ ＝21∠PCN ＝22.5°，∠APB ＝90°－22.5°＝67.5°， ∠ABP ＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB ＝∠ABP ，∴ AP ＝AB ＝1，∴ x ＝1． ……………………（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD 中，AB ＝1，弧AC 是点B 为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。

2013年中考数学压轴题及解析分类汇编中考数学压轴：相似三角形问题中考数学压轴：等腰三角形问题中考数学压轴：直角三角形问题中考数学压轴：平行四边形问题中考数学压轴：梯形问题中考数学压轴：面积问题2013中考数学压轴题:函数相似三角形问题(一)例1直线113y x=-+分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A、C、D三点．(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点Q在直线BG上运动，可以体验到，△ABQ的两条直角边的比为1∶3共有四种情况，点B上、下各有两种．思路点拨1．图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角．2．用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标．3．第（3）题判断∠ABQ＝90°是解题的前提．4．△ABQ与△COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个．满分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．（2）因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三点，所以930,3,0.a b cca b c++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩解得1,2,3.abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，顶点G的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG的解析式为y＝3x＋1，直线CD的解析式为y＝3x＋3，因此CD//BG．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x＋1)，那么BQ=．Rt△COD的两条直角边的比为1∶3，如果Rt△ABQ与Rt△COD相似，存在两种情况：①当3BQBA=3=．解得3x=±．所以1(3,10)Q，2(3,8)Q--．②当13BQBA=13=．解得13x=±．所以31(,2)3Q，41(,0)3Q-．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠cos 1∠．①当3BQBA=时，BQ =． 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)ky k x=≠在第一象限内的图像与BC边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A在x轴上运动，可以体验到，直线AB保持斜率不变，n始终等于m的2倍，双击按钮“面积BDE＝2”，可以看到，点E正好在BD的垂直平分线上，FD//x轴．拖动点P在射线FD上运动，可以体验到，△AEO与△EFP相似存在两种情况．思路点拨1．探求m与n的数量关系，用m表示点B、D、E的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD//x轴．3．如果△AEO与△EFP相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况．满分解答（1）如图1，因为点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数kyx=的图像上，所以4,2.m kn k=⎧⎨=⎩整理，得n＝2m．（2）如图2，过点E作EH⊥BC，垂足为H．在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠A＝12，EH＝2，所以BH＝1．因此D(4，m)，E(2，2m)，B(4，2m＋1)．已知△BDE的面积为2，所以11(1)2222BD EH m⋅=+⨯=．解得m＝1．因此D(4，1)，E(2，2)，B(4，3)．因为点D（4，1）在反比例函数kyx=的图像上，所以k＝4．因此反比例函数的解析式为4yx=．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得34,22.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得12k=，1b=．因此直线AB的函数解析式为112y x=+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x =+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：①如图3，当EA EF AO FP =．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF =．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）． 考点伸展本题的题设部分有条件“Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m 与n 的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12y x=-，直线AB 为172y x =-．第（3）题FD 不再与x 轴平行，△AEO 与△EFP 也不可能相似．图52012中考数学压轴题函数相似三角形问题(二)例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S的代数式表示x2－x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示S．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2－y1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方． 满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）．（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x Sx x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=．当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ tPQD QP t∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论． 满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝如图2，由AM //CN ，可得''''B N B C B M B A =，即28=．解得'B CAC =．根据菱形的性质，在△ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．①如图3，当''AB B C AC B D =，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．②如图4，当''A B BD A C BC ==，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．2012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△PAM 与△OAC 相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便． 2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ． 满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-． 解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意． ③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--． 解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意． 综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ．设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DACm m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ．由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=．例6如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝310．D为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D可以在射线BA上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE为腰”和“DE为底边”，可以体验到，△DEF为等腰三角形．思路点拨1．先解读背景图，△ABC 是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF 也是等腰三角形． 2．用含有x 的式子表示BD 、DE 、MN 是解答第（2）题的先决条件，注意点E 的位置不同，DE 、MN 表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意． 4．第（3）题按照DE 为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题． 满分解答（1）如图2，作BH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，cosA ＝310AH AB =，所以AH ＝32＝12AC ．所以BH 垂直平分AC ，△ABC 为等腰三角形，AB ＝CB ＝5．因为DE //BC ，所以AB AC DB EC =，即53y x=．于是得到53y x =，（0x >）．（2）如图3，图4，因为DE //BC ，所以DE AE BC AC =，MN AN BC AC =，即|3|53DE x -=，1|3|253x MN -=．因此5|3|3x DE -=，圆心距5|6|6x MN -=．图2 图3 图4在⊙M 中，115226Mr BD y x ===，在⊙N 中，1122N r CE x ==． ①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==．②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==；当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）． 思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ．3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况． 满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB tb ，+=t OC tb ．所以-=⋅t OC OB (|||||tb )( +t tb )|-=2|t22|OA t tb==．即22b t t t -=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=．（2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =．①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一)例1如图1，已知正方形OABC 的边长为2，顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，M 是BC 的中点．P (0,m )是线段OC 上一动点（C 点除外），直线PM 交AB 的延长线于点D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）当△APD 是等腰三角形时，求m 的值；（3）设过P 、M 、B 三点的抛物线与x 轴正半轴交于点E ，过点O 作直线ME 的垂线，垂足为H （如图2）．当点P 从O 向C 运动时，点H 也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P 在OC 上运动，可以体验到，△APD 的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”， 拖动点P 由O 向C 运动，可以体验到，点H 在以OM 为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ．考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =． 第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7 例2如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数43y x的图象交于点A，且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．图1 动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R 由B 向O 运动，从图像中可以看到，△APR 的面积有一个时刻等于8．观察△APQ ，可以体验到，P 在OC 上时，只存在AP ＝AQ 的情况；P 在CA 上时，有三个时刻，△APQ 是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在CA 上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况． 满分解答（1）解方程组7,4,3y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.x y =⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标是(3，4)．令70y x =-+=，得7x =．所以点B 的坐标是(7，0)． （2）①如图2，当P 在OC 上运动时，0≤t ＜4．由8APRACP POR CORA S S S S =--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t -⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t -+=．解得t ＝2或t ＝6（舍去）．如图3，当P 在CA 上运动时，△APR 的最大面积为6．因此，当t ＝2时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，AB =OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ．如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1． 我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-．如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733tt -=-，得418t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t=．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP ∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =．综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．2012中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二)例3如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N在AB的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP，N在AB上时，∠B是确定的，把夹∠B的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ⊥x轴，垂足为Q．设点M、N的运动时间为t秒．在Rt△ANQ中，AN＝5t，NQ＝4t，AQ＝3t．在图2中，QO＝6－3t，MQ＝10－5t，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．在图3中，QO＝3t－6，MQ＝5t－10，所以MN∶NP＝MQ∶QO＝5∶3．(2)因为△BNP与△MNA有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP∽△MNA，在Rt△AMN中，35ANAM=，所以531025tt=-．解得3031t=．此时CM6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MPQN MN=，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-． (Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=．(Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BEBN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x”的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x ＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m xx y-=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m=，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2012中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形． 思路点拨1．用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到． 2．过点M 作MN ⊥AB ，根据对应线段成比例可以求FA 的长． 3．将∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG 与△DEF 保持全等．4．第（3）题反客为主，分三种情况讨论△PCG 为等腰三角形，根据点P 的位置确定点Q 的位置，再计算点Q 的坐标．满分解答（1）由于OD 平分∠AOC ，所以点D 的坐标为（2，2），因此BC ＝AD ＝1． 由于△BCD ≌△ADE ，所以BD ＝AE ＝1，因此点E 的坐标为（0，1）．设过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，那么⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=.039,224,1c b a c b a c 解得65-=a ，613=b 1=c ．因此过E 、D 、C 三点的抛物线的解析式为1613652++-=x x y ．（2）把56=x代入1613652++-=x x y ，求得512=y ．所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛512,56． 如图2，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，那么DADNFA MN =，即25622512-=-FA ．解得1=FA ．因为∠EDC 绕点D 旋转的过程中，△DCG ≌△DEF ，所以CG ＝EF ＝2．因此GO ＝1，EF ＝2GO ．（3）在第（2）中，GC ＝2．设点Q 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛++-161365,2x x x ． ①如图3，当CP ＝CG ＝2时，点P 与点B （3，2）重合，△PCG 是等腰直角三角形．此时G Q Qx x y -=，因此11613652-=++-x x x 。

2013年上海市中考数学试卷【精品】一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=03．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和25．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：56．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=_________．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是_________．9．（4分）（2013•上海）计算：=_________．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=_________．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=_________．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为_________．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为_________．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为_________．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是_________．（只需写一个，不添加辅助线）16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是_________升．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_________．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为_________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．2013年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．解答：解：A、=3，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；D、=，不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．点评：本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．解答：解：A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=﹣1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．3．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．解答：解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和2考点：中位数；加权平均数．分析：根据中位数和平均数的定义求解即可．解答：解：这组数据的中位数为：（1+3）÷2=2，平均数为：=2．故选B．点评：本题考查了中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．5．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5考点：平行线分线段成比例．专题：压轴题．分析：先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．解答：解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．6．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC考点：等腰梯形的判定．专题：压轴题．分析：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．解答：解：A、∵∠BDC=∠BCD，∴BD=BC，根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠ABC=∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，∴OA=OD，OB=OC，∴AC=BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；D、根据∠AOB=∠BOC，只能推出AC⊥BD，再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．考点：因式分解-运用公式法．分析：符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解答：解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是x＞1．考点：解一元一次不等式组．专题：探究型．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞1；由②得，x＞﹣3，故此不等式组的解集为：x＞1．故答案为：x＞1．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（4分）（2013•上海）计算：=3b．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：分子和分母分别相乘，再约分．解答：解：原式==3b，故答案为3b．点评：本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=．考点：*平面向量．分析：先去括号，然后进行向量的加减即可．解答：解：2（﹣）+3=2﹣2+3=2+．故答案为：2+．点评：本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握向量的加减运算是关键．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=1．考点：函数值．分析：把自变量的值代入函数关系式进行计算即可得解．解答：解：f（）==1．故答案为：1．点评：本题考查了函数值求解，把自变量的值代入进行计算即可，比较简单．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．考点：概率公式．分析：让英文单词theorem中字母e的个数除以字母的总个数即为所求的概率．解答：解：∵英文单词theorem中，一共有7个字母，其中字母e有2个，∴任取一张，那么取到字母e的概率为．故答案为．点评：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为40%．考点：条形统计图．分析：各个项目的人数的和就是总人数，然后利用报名参加甲组和丙组的人数之和除以总人数即可求解．解答：解：总人数是：50+80+30+40=200（人），则报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为×100%=40%．故答案是：40%．点评：本题考查了条形统计图，正确读图，理解图形中说明的意义是关键．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得出BD的长，在Rt△OBD中，利用勾股定理及可求出OD的长．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵AB=4，∴BD=AB=×4=2，在Rt△OBD中，∵OB=3cm，BD=2cm，∴OD===．故答案为：．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是2升．考点：一次函数的应用．分析：先运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，然后把x=240时带入解析式就可以求出y的值，从而得出剩余的油量．解答：解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得，解得：，则y=﹣x+3.5．当x=240时，y=﹣×240+3.5=2升．故答案为：2点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的运用，根据自变量求函数值的运用，解答时理解函数图象的含义求出一次函数的解析式是关键．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．考点：三角形内角和定理．专题：压轴题；新定义．分析：根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．解答：解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．点评：此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．解答：解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，∴x2=（6﹣x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故答案为：．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：分别进行二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=2+﹣1﹣1+2=3．点评：本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识，属于基础题．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．考点：高次方程．分析：先由②得x+y=0或x﹣2y=0，再把原方程组可变形为：或，然后解这两个方程组即可．解答：解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，．点评：此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）连接OA，过A作AC垂直于y轴，由A的横坐标为2得到AC=2，对于直线解析式，令y=0求出x 的值，表示出OB的长，三角形AOB面积以OB为底，AC为高表示出，根据已知三角形的面积求出OB 的长，确定出B坐标，代入一次函数解析式中即可求出b的值；（2）将A坐标代入一次函数求出t的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．解答：解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB=OB•AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）考点：解直角三角形的应用．分析：过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠EAH=53°，则∠EAH=53°，然后在△EAH中，利用余弦函数的定义得出EH=AE•cos∠AEH≈0.96米，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．解答：解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．点评：本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．解答：证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2AB∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．解答：解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．点评：此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y关于x的函数解析式；注意求x的取值范围时，需考虑计算x最大值与最小值的情形；（2）如答图1所示，利用相外切两圆的性质，求出PQ的长；利用垂直平分线的性质PQ=BQ，列方程求出x的值；（3）如答图2所示，关键是证明△CEQ∽△ABP，据此列方程求出x的值．解答：解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．点评：本题是中考压轴题，难度较大．试题的难点在于：其一，所考查的知识点众多，包括相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元二次方程等，对数学能力要求很高；其二，试题计算量较大，需要仔细认真计算，避免出错．参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；sd2011；gbl210；HJJ；sks；HLing；wdxwwzy；CJX；hdq123；未来；ZJX；星期八；lantin；zjx111；zhjh（排名不分先后）菁优网2013年12月10日。

2001 年上海市数学中考27．已知在梯形ABCD中， AD∥BC，AD＜ BC，且 AD＝5，AB＝ DC＝2．（ 1）如图 8，P为AD上的一点，知足∠BPC＝∠ A．图 8①求证；△ ABP∽△ DPC②求 AP 的长．（2）假如点P在AD边上挪动（点P与点A、D不重合），且知足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线 DC于点 Q，那么①当点 Q 在线段 DC的延伸线上时，设 AP＝ x， CQ＝ y，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域；②当 CE＝1时，写出 AP 的长（不用写出解题过程）．27．操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形ABCD P在对角线AC上滑动，上，并使它的直角极点直角的一边一直经过点B，另一边与射线DC订交于点 Q．图5图6图7研究：设 A、P 两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有如何的大小关系？试证明你察看获得结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数分析式，并写出函数的定义域；（ 3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ PCQ能否可能成为等腰三角形？假如可能，指出全部能使△成为等腰三角形的点 Q的地点，并求出相应的x 的值；假如不行能，试说明原因．上海市 2003 年初中毕业高中招生一致考试27.如图，在正方形 ABCD 中， AB ＝ 1 ，弧 AC 是点 B 为圆心， AB 长为半径的圆的一段弧。

点 E 是边 AD 上的随意一点（点 E 与点 A 、 D 不重合），过 E 作弧 AC 所在圆的切线，交边DC 于点 F ， G 为切点：（ 1）当∠ DEF ＝ 45o 时，求证：点 G 为线段 EF 的中点；（ 2）设 AE ＝x ， FC ＝ y ，求 y 对于 x 的函数分析式，并写出函数的定义域；（ 3）将△ DEF 沿直线 EF 翻折后得△ D 1 EF ，如图，当 EF ＝ 5时，议论△ AD 1 D 与△ ED 1 F 能否相像，假如6相像，请加以证明；假如不相像，只需求写出结论，不要求写出原因。

上海历年中考数学压轴题复习2001年上海市数学中考27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．图8①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．27．（1）①证明：∵ ∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴ ∠ABP ＝∠DPC ．∵ 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴ ∠A ＝∠D ．∴ △ABP ∽△DPC ．②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴ DQ AP PD AB =．即yxx +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4．②AP＝2或AP＝3－5．（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．图567 探究：设A、P两点间的距离为x．（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分）27．图1 图2 图3（1）解：PQ ＝PB ……………………（1分） 证明如下：过点P 作MN ∥BC ，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，那么四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）．∴ NP ＝NC ＝MB ． ……………………（1分） ∵ ∠BPQ ＝90°，∴ ∠QPN ＋∠BPM ＝90°．而∠BPM ＋∠PBM ＝90°，∴ ∠QPN ＝∠PBM ． ……………………（1分） 又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△PMB ． ……………………（1分） ∴ PQ ＝PB ． （2）解法一由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ． ∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝x 22，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 22， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·x 22＝1－x 2． 得S △PBC ＝21BC ·BM ＝21×1×（1－x 22）＝21－42x ． ………………（1分）S △PCQ ＝21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－x 22）＝21－x 423＋21x 2 （1分） S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝21x 2－x 2＋1． 即 y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分，1分） 解法二作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形．∴ PT ＝CB ＝PN ．又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ．S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN （2分）＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1∴ y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形， 此时x ＝0 ……………………（1分） ②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3） ……………………（1分） 解法一 此时，QN ＝PM ＝x 22，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－x 22． ∴ CQ ＝QN －CN ＝x 22－（1－x 22）＝x 2－1． 当2－x ＝x 2－1时，得x ＝1． ……………………（1分） 解法二 此时∠CPQ ＝21∠PCN ＝22.5°，∠APB ＝90°－22.5°＝67.5°， ∠ABP ＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB ＝∠ABP ，∴ AP ＝AB ＝1，∴ x ＝1． ……………………（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

2013年上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=03．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和25．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：56．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=_________．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是_________．9．（4分）（2013•上海）计算：=_________．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=_________．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=_________．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为_________．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为_________．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为_________．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是_________．（只需写一个，不添加辅助线）16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是_________升．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_________．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为_________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．2013年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．解答：解：A、=3，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；D、=，不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．点评：本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．解答：解：A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=﹣1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．3．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．解答：解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和2考点：中位数；加权平均数．分析：根据中位数和平均数的定义求解即可．解答：解：这组数据的中位数为：（1+3）÷2=2，平均数为：=2．故选B．点评：本题考查了中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．5．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5考点：平行线分线段成比例．专题：压轴题．分析：先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．解答：解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．6．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC考点：等腰梯形的判定．专题：压轴题．分析：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．解答：解：A、∵∠BDC=∠BCD，∴BD=BC，根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠ABC=∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，∴OA=OD，OB=OC，∴AC=BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；D、根据∠AOB=∠BOC，只能推出AC⊥BD，再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．考点：因式分解-运用公式法．分析：符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解答：解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是x＞1．考点：解一元一次不等式组．专题：探究型．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞1；由②得，x＞﹣3，故此不等式组的解集为：x＞1．故答案为：x＞1．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（4分）（2013•上海）计算：=3b．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：分子和分母分别相乘，再约分．解答：解：原式==3b，故答案为3b．点评：本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=．考点：*平面向量．分析：先去括号，然后进行向量的加减即可．解答：解：2（﹣）+3=2﹣2+3=2+．故答案为：2+．点评：本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握向量的加减运算是关键．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=1．考点：函数值．分析：把自变量的值代入函数关系式进行计算即可得解．解答：解：f（）==1．故答案为：1．点评：本题考查了函数值求解，把自变量的值代入进行计算即可，比较简单．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．考点：概率公式．分析：让英文单词theorem中字母e的个数除以字母的总个数即为所求的概率．解答：解：∵英文单词theorem中，一共有7个字母，其中字母e有2个，∴任取一张，那么取到字母e的概率为．故答案为．点评：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为40%．考点：条形统计图．分析：各个项目的人数的和就是总人数，然后利用报名参加甲组和丙组的人数之和除以总人数即可求解．解答：解：总人数是：50+80+30+40=200（人），则报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为×100%=40%．故答案是：40%．点评：本题考查了条形统计图，正确读图，理解图形中说明的意义是关键．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得出BD的长，在Rt△OBD中，利用勾股定理及可求出OD的长．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵AB=4，∴BD=AB=×4=2，在Rt△OBD中，∵OB=3cm，BD=2cm，∴OD===．故答案为：．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是2升．考点：一次函数的应用．分析：先运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，然后把x=240时带入解析式就可以求出y的值，从而得出剩余的油量．解答：解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得，解得：，则y=﹣x+3.5．当x=240时，y=﹣×240+3.5=2升．故答案为：2点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的运用，根据自变量求函数值的运用，解答时理解函数图象的含义求出一次函数的解析式是关键．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．考点：三角形内角和定理．专题：压轴题；新定义．分析：根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．解答：解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．点评：此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．解答：解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，∴x2=（6﹣x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故答案为：．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：分别进行二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=2+﹣1﹣1+2=3．点评：本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识，属于基础题．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．考点：高次方程．分析：先由②得x+y=0或x﹣2y=0，再把原方程组可变形为：或，然后解这两个方程组即可．解答：解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，．点评：此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）连接OA，过A作AC垂直于y轴，由A的横坐标为2得到AC=2，对于直线解析式，令y=0求出x 的值，表示出OB的长，三角形AOB面积以OB为底，AC为高表示出，根据已知三角形的面积求出OB 的长，确定出B坐标，代入一次函数解析式中即可求出b的值；（2）将A坐标代入一次函数求出t的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．解答：解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB=OB•AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）考点：解直角三角形的应用．分析：过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠EAH=53°，则∠EAH=53°，然后在△EAH中，利用余弦函数的定义得出EH=AE•cos∠AEH≈0.96米，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．解答：解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．点评：本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．解答：证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2AB∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．解答：解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．点评：此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y关于x的函数解析式；注意求x的取值范围时，需考虑计算x最大值与最小值的情形；（2）如答图1所示，利用相外切两圆的性质，求出PQ的长；利用垂直平分线的性质PQ=BQ，列方程求出x的值；（3）如答图2所示，关键是证明△CEQ∽△ABP，据此列方程求出x的值．解答：解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．点评：本题是中考压轴题，难度较大．试题的难点在于：其一，所考查的知识点众多，包括相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元二次方程等，对数学能力要求很高；其二，试题计算量较大，需要仔细认真计算，避免出错．参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；sd2011；gbl210；HJJ；sks；HLing；wdxwwzy；CJX；hdq123；未来；ZJX；星期八；lantin；zjx111；zhjh（排名不分先后）菁优网2013年12月10日。

年上海市数学中考2001DCABADBCADBCADABCD．2＝＝，5＝，且＜，∥中，．已知在梯形27ABPCADP．＝∠上的一点，满足∠为，8）如图1（ 8 图DPCABP∽△①求证；△AP的长．②求EBCPEABPEDAPADP（，于点交直线，＝∠且满足∠，不重合）、与点（点边上移动在如果点）2QDC同时交直线，那么于点xyyCQxAPDCQ的函数解析式，并写出函数的定关于，求＝，＝的延长线上时，设在线段①当点义域；APCE＝②当．的长（不必写出解题过程）时，写出1ACPABCD上滑动，在对角线上，并使它的直角顶点的正方形1将一把三角尺放在边长为操作：．27 QDCB．相交于点，另一边与射线直角的一边始终经过点7 图图图xPA．两点间的距离为、：设探究PBPQCDQ）当点1（之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；与线段上时，线段在边xyyPBCQCDQ之间的函数解析式，并写出函数的与，求的面积为上时，设四边形在边）当点2（定义域；PCQPCQACP是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△上滑动时，△在线段）当点3（xQ的值；如果不可能，试说明理由．的位置，并求出相应的成为等腰三角形的点年初中毕业高中招生统一考试2003上海市长为半径的圆的一段弧。

点AB为圆心，B是点AC，弧1＝AB中，ABCD如图，在正方形27.上AD是边E于点DC所在圆的切线，交边AC作弧E，过不重合）D、A与点E的任意一点（点为切点：G，F 的中点；EF为线段Gº时，求证：点45＝DEF）当∠1（（的函数解析式，并写出函数的定义域；x关于y，求y＝FC，x＝AE）设25）将△3（是否相似，如果FED与△DAD时，讨论△＝EF，如图，当EFD翻折后得△EF沿直线DEF1116 相似，请加以证明；如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由。

年上海市中考数学试卷2004上海）数学课上，老师提出：2004•（、27如图，，AB=OA的右侧，A且在点轴上，x在B点，）0，1（点的坐标为A为坐标原点，O在平面直角坐标系中，2于点BD交OC，直线D和C的图象于点y=x轴的垂线，分别交二次函数x作B和A过点y交CD，直线M ．y的纵坐标为H，点x、x的的横坐标分别为D、C，记点H轴于点DCH 同学发现两个结论： y﹣=•xx数值相等关系：3 ②：=2S：①SCMD△HABMCDC梯形成立；②和结论①）请你验证结论1（，其他条件不变，”）0＞t（）0，t的坐标（“A改为”）0，1的坐标（“A）请你研究：如果上述框中的条件2（；是否仍成立（请说明理由）①结论2“A改为”）0，1的坐标（“A）进一步研究：如果上述框中的条件3（”“y=x，又将条件”）0＞t（）0，t的坐标（2（“y=ax改为有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）y与x、x，其他条件不变，那么”）0＞aHDC年上海市初中毕业生统一学业考试数学试卷2005分）4分，每小题满分各为12（本题满分、1是边O，3＝BC，4＝AB°，90＝ABC中，∠ABC在△相AB为圆心作半圆，与边O上的一个动点，以点AC 。

2013年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】．C D．是最简二次根式，故此选项正确；=2，不是最简二次根式，故此选项错误；=，不是最简二次根式，故此选项错误；2平均数为：5．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）6．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是x＞1．，9．（4分）（2013•上海）计算：=3b．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=．（）+3=2+3=2+．+11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=1．）12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．的概率为故答案为13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为40%．×14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为．AB=×==故答案为：15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF．（只需写一个，不添加辅助线）16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是2升．x+3.5×17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．，=AQ=3=x=的长为：故答案为：三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．+1+2=3．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．，再把原方程组可变形为：或，原方程组可变形为：或，21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．y=x+bx+1y=．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．BC EF=CBBCCB=24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．，），x（=，﹣=，=MO=，25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．BM=BP（（（（x=x=．，化简得：（4x+x=x=参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；sd2011；gbl210；HJJ；sks；HLing；wdxwwzy；CJX；hdq123；未来；ZJX；星期八；lantin；zjx111；zhjh（排名不分先后）菁优网2013年12月10日。

上海十年中考数学压轴题解析2001年上海市数学中考27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．图8①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 及点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．27．（1）①证明：∵∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴∠ABP ＝∠DPC ．∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠A ＝∠D ．∴△ABP ∽△DPC ．②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPDAP AB =，即252x x -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴DQAPPDAB =．即y xx +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4．②AP ＝2或AP ＝3－5．（题27是一道涉及动量及变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断及证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边及射线DC 相交于点Q ．图1 图2 图3探究：设A 、P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 及线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 及x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由．五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 27．图1 图2 图3（1）解：PQ ＝PB ……………………（1分） 证明如下：过点P 作MN ∥BC ，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，那么四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）．∴ NP ＝NC ＝MB ． ……………………（1分） ∵ ∠BPQ ＝90°，∴ ∠QPN ＋∠BPM ＝90°．而∠BPM ＋∠PBM ＝90°，∴ ∠QPN ＝∠PBM ． ……………………（1分） 又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△PMB ． ……………………（1分） ∴ PQ ＝PB ． （2）解法一由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ． ∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝x 22，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 22， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·x 22＝1－x 2．得S △PBC ＝21BC ·BM ＝21×1×（1－x 22）＝21－42x ． ………………（1分） S △PCQ ＝21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－x 22）＝21－x 423＋21x 2 （1分） S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝21x 2－x 2＋1．即 y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分，1分）解法二作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形． ∴ PT ＝CB ＝PN ．又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ． S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN…（2分）＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1 ∴ y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形①当点P 及点A 重合，点Q 及点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形，此时x ＝0 ……………………（1分） ②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3）……………………（1分） 解法一 此时，QN ＝PM ＝x22，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－x 22．∴CQ ＝QN －CN ＝x 22－（1－x 22）＝x 2－1． 当2－x ＝x 2－1时，得x ＝1． ……………………（1分）解法二此时∠CPQ＝21∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°，∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP，∴AP＝AB＝1，∴x＝1．……………………（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

2013年上海市中考数学试卷(含答案)一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=03．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和25．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：56．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=_________．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是_________．9．（4分）（2013•上海）计算：=_________．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=_________．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=_________．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为_________．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为_________．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为_________．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是_________．（只需写一个，不添加辅助线）16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是_________升．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_________．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为_________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．2013年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．解答：解：A、=3，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；D、=，不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．点评：本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．解答：解：A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=﹣1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．3．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．解答：解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和2考点：中位数；加权平均数．分析：根据中位数和平均数的定义求解即可．解答：解：这组数据的中位数为：（1+3）÷2=2，平均数为：=2．故选B．点评：本题考查了中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．5．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5考点：平行线分线段成比例．专题：压轴题．分析：先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．解答：解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．6．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC考点：等腰梯形的判定．专题：压轴题．分析：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．解答：解：A、∵∠BDC=∠BCD，∴BD=BC，根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠ABC=∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，∴OA=OD，OB=OC，∴AC=BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；D、根据∠AOB=∠BOC，只能推出AC⊥BD，再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．考点：因式分解-运用公式法．分析：符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解答：解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是x＞1．考点：解一元一次不等式组．专题：探究型．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞1；由②得，x＞﹣3，故此不等式组的解集为：x＞1．故答案为：x＞1．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（4分）（2013•上海）计算：=3b．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：分子和分母分别相乘，再约分．解答：解：原式==3b，故答案为3b．点评：本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=．考点：*平面向量．分析：先去括号，然后进行向量的加减即可．解答：解：2（﹣）+3=2﹣2+3=2+．故答案为：2+．点评：本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握向量的加减运算是关键．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=1．考点：函数值．分析：把自变量的值代入函数关系式进行计算即可得解．解答：解：f（）==1．故答案为：1．点评：本题考查了函数值求解，把自变量的值代入进行计算即可，比较简单．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．考点：概率公式．分析：让英文单词theorem中字母e的个数除以字母的总个数即为所求的概率．解答：解：∵英文单词theorem中，一共有7个字母，其中字母e有2个，∴任取一张，那么取到字母e的概率为．故答案为．点评：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为40%．考点：条形统计图．分析：各个项目的人数的和就是总人数，然后利用报名参加甲组和丙组的人数之和除以总人数即可求解．解答：解：总人数是：50+80+30+40=200（人），则报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为×100%=40%．故答案是：40%．点评：本题考查了条形统计图，正确读图，理解图形中说明的意义是关键．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得出BD的长，在Rt△OBD中，利用勾股定理及可求出OD的长．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵AB=4，∴BD=AB=×4=2，在Rt△OBD中，∵OB=3cm，BD=2cm，∴OD===．故答案为：．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是2升．考点：一次函数的应用．分析：先运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，然后把x=240时带入解析式就可以求出y的值，从而得出剩余的油量．解答：解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得，解得：，则y=﹣x+3.5．当x=240时，y=﹣×240+3.5=2升．故答案为：2点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的运用，根据自变量求函数值的运用，解答时理解函数图象的含义求出一次函数的解析式是关键．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．考点：三角形内角和定理．专题：压轴题；新定义．分析：根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．解答：解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．点评：此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．解答：解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，∴x2=（6﹣x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故答案为：．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：分别进行二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=2+﹣1﹣1+2=3．点评：本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识，属于基础题．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．考点：高次方程．分析：先由②得x+y=0或x﹣2y=0，再把原方程组可变形为：或，然后解这两个方程组即可．解答：解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，．点评：此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）连接OA，过A作AC垂直于y轴，由A的横坐标为2得到AC=2，对于直线解析式，令y=0求出x 的值，表示出OB的长，三角形AOB面积以OB为底，AC为高表示出，根据已知三角形的面积求出OB 的长，确定出B坐标，代入一次函数解析式中即可求出b的值；（2）将A坐标代入一次函数求出t的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．解答：解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB=OB•AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）考点：解直角三角形的应用．分析：过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠EAH=53°，则∠EAH=53°，然后在△EAH中，利用余弦函数的定义得出EH=AE•cos∠AEH≈0.96米，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．解答：解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．点评：本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．解答：证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2AB∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．解答：解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．点评：此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y关于x的函数解析式；注意求x的取值范围时，需考虑计算x最大值与最小值的情形；（2）如答图1所示，利用相外切两圆的性质，求出PQ的长；利用垂直平分线的性质PQ=BQ，列方程求出x的值；（3）如答图2所示，关键是证明△CEQ∽△ABP，据此列方程求出x的值．解答：解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．点评：本题是中考压轴题，难度较大．试题的难点在于：其一，所考查的知识点众多，包括相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元二次方程等，对数学能力要求很高；其二，试题计算量较大，需要仔细认真计算，避免出错．参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；sd2011；gbl210；HJJ；sks；HLing；wdxwwzy；CJX；hdq123；未来；ZJX；星期八；lantin；zjx111；zhjh（排名不分先后）菁优网2013年12月10日。

2013年上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=03．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和25．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：56．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=_________．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是_________．9．（4分）（2013•上海）计算：=_________．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=_________．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=_________．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为_________．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为_________．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为_________．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是_________．（只需写一个，不添加辅助线）16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是_________升．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_________．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为_________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．2013年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（2013•上海）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．考点：最简二次根式．分析：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．解答：解：A、=3，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、=2，不是最简二次根式，故此选项错误；D、=，不是最简二次根式，故此选项错误；故选：B．点评：本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2．（4分）（2013•上海）下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．x2+1=0 B．x2+x+1=0 C．x2﹣x+1=0 D．x2﹣x﹣1=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0的方程即可．解答：解：A、这里a=1，b=0，c=1，∵△=b2﹣4ac=﹣4＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里a=1，b=1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里a=1，b=﹣1，c=1，∵△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，∴方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里a=1，b=﹣1，c=﹣1，∵△=b2﹣4ac=1+4=5＞0，∴方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选D点评：此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．3．（4分）（2013•上海）如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．解答：解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．故选C．点评：本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．（4分）（2013•上海）数据0，1，1，3，3，4 的中位数和平均数分别是（）A．2和2.4 B．2和2 C．1和2 D．3和2考点：中位数；加权平均数．分析：根据中位数和平均数的定义求解即可．解答：解：这组数据的中位数为：（1+3）÷2=2，平均数为：=2．故选B．点评：本题考查了中位数及平均数的定义，属于基础题，掌握基本定义是关键．5．（4分）（2013•上海）如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5考点：平行线分线段成比例．专题：压轴题．分析：先由AD：DB=3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得CE：AC=BD：AB，然后由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，可得CF：CB=CE：AC，则可求得答案．解答：解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．点评：此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键．6．（4分）（2013•上海）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（）A．∠BDC=∠BCD B．∠ABC=∠DAB C．∠ADB=∠DAC D．∠AOB=∠BOC考点：等腰梯形的判定．专题：压轴题．分析：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．解答：解：A、∵∠BDC=∠BCD，∴BD=BC，根据已知AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；B、根据∠ABC=∠DAB和AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；C、∵∠ADB=∠DAC，AD∥BC，∴∠ADB=∠DAC=∠DBC=∠ACB，∴OA=OD，OB=OC，∴AC=BD，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，故本选项正确；D、根据∠AOB=∠BOC，只能推出AC⊥BD，再根据AD∥BC不能推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了对等腰梯形的判定定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，注意：等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（2013•上海）分解因式：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．考点：因式分解-运用公式法．分析：符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．解答：解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．8．（4分）（2013•上海）不等式组的解集是x＞1．考点：解一元一次不等式组．专题：探究型．分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解答：解：，由①得，x＞1；由②得，x＞﹣3，故此不等式组的解集为：x＞1．故答案为：x＞1．点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9．（4分）（2013•上海）计算：=3b．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：分子和分母分别相乘，再约分．解答：解：原式==3b，故答案为3b．点评：本题考查了分式的乘除法，分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．10．（4分）（2013•上海）计算：2（﹣）+3=．考点：*平面向量．分析：先去括号，然后进行向量的加减即可．解答：解：2（﹣）+3=2﹣2+3=2+．故答案为：2+．点评：本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握向量的加减运算是关键．11．（4分）（2013•上海）已知函数，那么=1．考点：函数值．分析：把自变量的值代入函数关系式进行计算即可得解．解答：解：f（）==1．故答案为：1．点评：本题考查了函数值求解，把自变量的值代入进行计算即可，比较简单．12．（4分）（2013•上海）将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为．考点：概率公式．分析：让英文单词theorem中字母e的个数除以字母的总个数即为所求的概率．解答：解：∵英文单词theorem中，一共有7个字母，其中字母e有2个，∴任取一张，那么取到字母e的概率为．故答案为．点评：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．13．（4分）（2013•上海）某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为40%．考点：条形统计图．分析：各个项目的人数的和就是总人数，然后利用报名参加甲组和丙组的人数之和除以总人数即可求解．解答：解：总人数是：50+80+30+40=200（人），则报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为×100%=40%．故答案是：40%．点评：本题考查了条形统计图，正确读图，理解图形中说明的意义是关键．14．（4分）（2013•上海）在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为．考点：垂径定理；勾股定理．分析：根据题意画出图形，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理可得出BD的长，在Rt△OBD中，利用勾股定理及可求出OD的长．解答：解：如图所示：过点O作OD⊥AB于点D，∵AB=4，∴BD=AB=×4=2，在Rt△OBD中，∵OB=3cm，BD=2cm，∴OD===．故答案为：．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．15．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是AC=DF．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．解答：解：AC=DF，理由是：∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，∴BC=EF，∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），故答案为：AC=DF．点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．16．（4分）（2013•上海）李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是2升．考点：一次函数的应用．分析：先运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式，然后把x=240时带入解析式就可以求出y的值，从而得出剩余的油量．解答：解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由函数图象，得，解得：，则y=﹣x+3.5．当x=240时，y=﹣×240+3.5=2升．故答案为：2点评：本题考查了运用待定系数法求一次函数的运用，根据自变量求函数值的运用，解答时理解函数图象的含义求出一次函数的解析式是关键．17．（4分）（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°．考点：三角形内角和定理．专题：压轴题；新定义．分析：根据已知一个内角α是另一个内角β的两倍得出β的度数，进而求出最小内角即可．解答：解：由题意得：α=2β，α=100°，则β=50°，180°﹣100°﹣50°=30°，故答案为：30°．点评：此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出β的度数是解题关键．18．（4分）（2013•上海）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=8，tanC=，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先根据已知得出△ABC的高以及B′E的长，利用勾股定理求出BD即可．解答：解：过点A作AQ⊥BC于点Q，∵AB=AC，BC=8，tanC=，∴=，QC=BQ=4，∴AQ=6，∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，过B′点作B′E⊥BC于点E，∴B′E=AQ=3，∴=，∴EC=2，设BD=x，则B′D=x，∴DE=8﹣x﹣2=6﹣x，∴x2=（6﹣x）2+32，解得：x=，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为：．故答案为：．点评：此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（本大题共7题，19～22题10分，23、24题12分，25题14分，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19．（10分）（2013•上海）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：分别进行二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的运算，然后按照实数的运算法则计算即可．解答：解：原式=2+﹣1﹣1+2=3．点评：本题考查了实数的运算，涉及了二次根式的化简、绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识，属于基础题．20．（10分）（2013•上海）解方程组：．考点：高次方程．分析：先由②得x+y=0或x﹣2y=0，再把原方程组可变形为：或，然后解这两个方程组即可．解答：解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，．点评：此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．21．（10分）（2013•上海）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线经过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，t）在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数（k是常量，k≠0）的图象经过点A，求这个反比例函数的解析式．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：（1）连接OA，过A作AC垂直于y轴，由A的横坐标为2得到AC=2，对于直线解析式，令y=0求出x 的值，表示出OB的长，三角形AOB面积以OB为底，AC为高表示出，根据已知三角形的面积求出OB 的长，确定出B坐标，代入一次函数解析式中即可求出b的值；（2）将A坐标代入一次函数求出t的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．解答：解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB=OB•AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22．（10分）（2013•上海）某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图2所示，其示意图如图3所示，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠EAB=143°，AB=AE=1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75．）考点：解直角三角形的应用．分析：过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．先求出∠EAH=53°，则∠EAH=53°，然后在△EAH中，利用余弦函数的定义得出EH=AE•cos∠AEH≈0.96米，则栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH，代入数值计算即可．解答：解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．点评：本题考查了解直角三角形在实际中的应用，难度适中．关键是通过作辅助线，构造直角三角形，把实际问题转化为数学问题加以计算．23．（12分）（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC 于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．分析：（1）首先证明四边形DBCF为平行四边形，可得DF=BC，再证明DE=BC，进而得到EF=CB，即可证出DE=EF；（2）首先画出图形，首先根据平行线的性质可得∠ADG=∠G，再证明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．解答：证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质，以及直角三角形的性质，关键是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．（12分）（2013•上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx（a＞0），经过点A和x 轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2AB∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．解答：解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．点评：此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．25．（14分）（2013•上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．考点：四边形综合题．专题：压轴题．分析：（1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y关于x的函数解析式；注意求x的取值范围时，需考虑计算x最大值与最小值的情形；（2）如答图1所示，利用相外切两圆的性质，求出PQ的长；利用垂直平分线的性质PQ=BQ，列方程求出x的值；（3）如答图2所示，关键是证明△CEQ∽△ABP，据此列方程求出x的值．解答：解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．点评：本题是中考压轴题，难度较大．试题的难点在于：其一，所考查的知识点众多，包括相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元二次方程等，对数学能力要求很高；其二，试题计算量较大，需要仔细认真计算，避免出错．参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；sd2011；gbl210；HJJ；sks；HLing；wdxwwzy；CJX；hdq123；未来；ZJX；星期八；lantin；zjx111；zhjh（排名不分先后）菁优网2013年12月10日。

上海十年中考数学压轴题解析2001年上海市数学中考27．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图8，P 为AD 上的一点，满足∠BPC ＝∠A ．图8①求证；△ABP ∽△DPC ②求AP 的长．（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当CE ＝1时，写出AP 的长（不必写出解题过程）．27．（1）①证明：∵∠ABP ＝180°－∠A －∠APB ，∠DPC ＝180°－∠BPC －∠APB ，∠BPC ＝∠A ，∴∠ABP ＝∠DPC ．∵在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，∴∠A ＝∠D ．∴△ABP ∽△DPC ．②解：设AP ＝x ，则DP ＝5－x ，由△ABP ∽△DPC ，得DCPD AP AB =，即252xx -=，解得x 1＝1，x 2＝4，则AP 的长为1或4．（2）①解：类似（1）①，易得△ABP ∽△DPQ ，∴DQ AP PD AB =．即y xx +=-252，得225212-+-=x x y ，1＜x ＜4． ②AP ＝2或AP ＝3－5．（题27是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题的途径．）上海市2002年中等学校高中阶段招生文化考试27．操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q ．图1 图2 图3探究：设A 、P 两点间的距离为x ．（1）当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与线段PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置，并求出相应的x 的值；如果不可能，试说明理由． 五、（本大题只有1题，满分12分，（1）、（2）、（3）题均为4分） 27．图1 图2 图3（1）解：PQ ＝PB ……………………（1分）证明如下：过点P 作MN ∥BC ，分别交AB 于点M ，交CD 于点N ，那么四边形AMND 和四边形BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图1）．∴ NP ＝NC ＝MB ． ……………………（1分） ∵ ∠BPQ ＝90°，∴ ∠QPN ＋∠BPM ＝90°．而∠BPM ＋∠PBM ＝90°，∴ ∠QPN ＝∠PBM ． ……………………（1分） 又∵ ∠QNP ＝∠PMB ＝90°，∴ △QNP ≌△PMB ． ……………………（1分） ∴ PQ ＝PB ． （2）解法一由（1）△QNP ≌△PMB ．得NQ ＝MP ． ∵ AP ＝x ，∴ AM ＝MP ＝NQ ＝DN ＝x 22，BM ＝PN ＝CN ＝1－x 22， ∴ CQ ＝CD －DQ ＝1－2·x 22＝1－x 2．得S △PBC ＝21BC ·BM ＝21×1×（1－x 22）＝21－42x ． ………………（1分） S △PCQ ＝21CQ ·PN ＝21×（1－x 2）（1－x 22）＝21－x 423＋21x 2 （1分） S 四边形PBCQ ＝S △PBC ＋S △PCQ ＝21x 2－x 2＋1． 即 y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分，1分）解法二作PT ⊥BC ，T 为垂足（如图2），那么四边形PTCN 为正方形． ∴ PT ＝CB ＝PN ．又∠PNQ ＝∠PTB ＝90°，PB ＝PQ ，∴△PBT ≌△PQN ．S 四边形PBCQ ＝S △四边形PBT ＋S 四边形PTCQ ＝S 四边形PTCQ ＋S △PQN ＝S 正方形PTCN …（2分）＝CN 2＝（1－x 22）2＝21x 2－x 2＋1∴ y ＝21x 2－x 2＋1（0≤x ＜22）． ……………………（1分）（3）△PCQ 可能成为等腰三角形①当点P 与点A 重合，点Q 与点D 重合，这时PQ ＝QC ，△PCQ 是等腰三角形， 此时x ＝0 ……………………（1分） ②当点Q 在边DC 的延长线上，且CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图3） ……………………（1分） 解法一 此时，QN ＝PM ＝x 22，CP ＝2－x ，CN ＝22CP ＝1－x 22． ∴CQ ＝QN －CN ＝x 22－（1－x 22）＝x 2－1． 当2－x ＝x 2－1时，得x ＝1． ……………………（1分） 解法二 此时∠CPQ ＝21∠PCN ＝22.5°，∠APB ＝90°－22.5°＝67.5°， ∠ABP ＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB ＝∠ABP ，∴ AP ＝AB ＝1，∴ x ＝1． ……………………（1分）上海市2003年初中毕业高中招生统一考试27.如图，在正方形ABCD中，AB＝1，弧AC是点B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧。

专题12：押轴题一、选择题1.（2001上海市3分）如果⊙O1、⊙O2的半径分别为4、5，那么下列叙述中，正确的是【】．A．当O1 O2＝1时，⊙O1与⊙O2相切B．当O1 O2＝5时，⊙O1与⊙O2有两个公共点C．当O1 O2＞6时，⊙O1与⊙O2必有公共点D．当O1 O2＞1时，⊙O1与⊙O2至少有两条公切线【答案】A，B，D。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

因此，A．当O1 O2＝1时，两圆圆心距离等于两圆半径之差，⊙O1与⊙O2内切，正确；B．当O1 O2＝5时，两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差，⊙O1与⊙O2相交，⊙O1与⊙O2有两个公共点，正确；C．当O1 O2＞9时，两圆圆心距离大于两圆半径之和，⊙O1与⊙O2相离，⊙O1与⊙O2没有公共点，错误；D．当1＜O1O2＜9时，两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差，⊙O1与⊙O2相交，⊙O1与⊙O2有两条公切线，当O1 O2=9时，两圆圆心距离等于两圆半径之和，⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2有三条公切线，当O1O2＞9时，两圆圆心距离大于两圆半径之和，⊙O1与⊙O2相离，⊙O1与⊙O2有四条公切线，∴当O1 O2＞1时，⊙O1与⊙O2至少有两条公切线，正确。

故选A，B，D。

2.（上海市2002年3分）下列命题中，正确的是【】（A）正多边形都是轴对称图形；（B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例；（C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少；（D）边数大于3的正多边形的对角线长相等．【答案】A，C。

【考点】正多边形和圆，命题与定理。

【分析】根据正多边形的性质，以及正多边形的内角和．外角和的计算方法即可求解：A 、所有的正多边形都是轴对称图形，故正确；B 、正多边形一个内角的大小=(n －2)×180n，不符合正比例的关系式，故错误；C 、正多边形的外角和为360°，每个外角=0360n，随着n 的增大，度数将变小，故正确； D 、正五边形的对角线就不相等，故错误。