决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品(上海专版) 专题01 创新题型(教师版含解析)

专题09 面积的存在性问题在求面积时，除了最基本的面积公式外，还需要注意三角形的面积比与底边之比、高之比的关系．在压轴题中，往往是以函数为背景，此时则还需掌握好在坐标系中常用的割补法．模块一：固定面积的存在性问题1、 知识内容：固定面积的存在性问题最为简单，在待求图形中，往往只有一个是变量，此时只需通过方程将其解出即可．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，求出相应的固定面积；（2） 找到待求图形合适的底和高；（3） 列出方程，解出相应变量；根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．例1.(2020黄浦区一模)已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2240y mx mx m =-+≠与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，且AB =6.(1)求这条抛物线的对称轴及表达式；(2)在y 轴上取点E (0,2)，点F 为第一象限内抛物线上一点，联结BF 、EF ，如果10OEFB S =四边形，求点F 的坐标；(3)在第(2)小题的条件下，点F 在抛物线对称轴右侧，点P 在x 轴上且在点B 左侧，如果直线PF 与y 轴的夹角等于∠EBF ，求点P 的坐标.例2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(8，0)，点B 在y 轴的正半轴上，且4cot 3OAB ∠=，抛物线214y x bx c =-++经过A 、B 两点． (1)求b 、c 的值；(2)过点B 作CB ⊥OB ，交这个抛物线于点C ，以点C 为圆心，CB 为半径的圆记作⊙C ， 以点A 为圆心，r 为半径的圆记作⊙A ．若⊙C 与⊙A 外切，求r 的值；(3)若点D 在这个抛物线上，AOB ∆的面积是OBD ∆面积的8倍，求点D 的坐标．例3.如图，二次函数的图像过点A(6x=-，顶点为C，点-，0)、B(0，6)，对称轴为直线2B关于直线2x=-的对称点为D．(1)求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；(2)联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的面积，求AE的长；(3)在二次函数的图像上是否存在点P，能够使PCA BAC∠=∠？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．模块二：有关面积比的存在性问题1、知识内容：有些问题是关于两个未知面积比的，此类问题的难度稍大．一般都需要先通过公共边或公共高，将面积比转化为线段之比，从而进一步列出方程解决问题．2、解题思路：（1）根据题目条件，用函数表示出相关面积；（2） 利用面积比的条件列出方程并求解；（3） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．例1.(2019上海中考真题)如图1，AD 、BD 分别是△A BC 的内角∠BAC 、∠ABC 的平分线，过点A 作AE 上AD ，交BD 的延长线于点E(1)求证：∠E ＝12∠C ； (2)如图2，如果AE ＝AB ，且BD ：DE ＝2：3，求cos ∠ABC 的值；(3)如果∠ABC 是锐角，且△ABC 与△ADE 相似，求∠ABC 的度数，并直接写出ADE ABC SS 的值.例2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax ax c =-+与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，它的对称轴与x 轴交于点C ，且OBC OAB ∠=∠，AC = 3．(1)求此抛物线的表达式；(2)如果点D 在此抛物线上，DF ⊥OA ，垂足为F ，DF 与线段AB 相交于点G ，且32ADG AFG S S =△△，求点D 的坐标．例3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(a ，3)(其中a > 4)，射线OA 与反比例函数12y x=的图像交于点P ，点B 、C 分别在函数12y x =的图像上，且AB // x 轴，AC // y 轴．(1)当点P 的横坐标为6时，求直线AO 的表达式；(2)联结BO ，当AB = BO 时，求点A 的坐标；(3)联结BP 、CP ，试猜想ABP ACP S S △△的值是否随a 的变化而变化？如果不变，求出ABP ACP S S △△的值； 如果变化，请说明理由．模块三：隐藏的梯形的存在性问题1、 知识内容：若ABC ADC S S ∆∆=，且B 和D 在AC 的同侧，易证A 、B 、C 、D 构成梯形(或平行四边形)，其中AC //BD ．2、 解题思路：（1） 根据题目条件，找出相应的平行关系；（2）利用已知直线的解析式求出未知直线；（3）解出相应的点；（4）根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．【例1】在平面直角坐标系中(如图)，已知抛物线与x轴交于点A(1-，0)和点B，与y轴交于点C(0，2-)．(1)求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；(2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；(3)点D为该抛物线的顶点，设点P(t，0)，且t> 3，如果BDP∆和CDP∆的面积相等，求t 的值．1.抛物线()2=++与x轴交于A、B两点，顶点M的坐标为(1，4-)．y x m k(1)求A、B两点的坐标；(2)设直线AM与y轴交于点C，求BCM∆的面积；(3)在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB = S△BCM，如存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点A(1-，0)和点B(3，0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5，6)．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在x轴上，且AEC∆相似，求点E的坐标；∆和AED(3)若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．3.如图，抛物线2=+-经过直线3y x bx c=-与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与xy x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．(1)求此抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC : S△ACD = 5 : 4的点P的坐标；(3)点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．4.如图，已知抛物线22=-+-的顶点A在第四象限，过点A作AB⊥y轴于点B，Cy x tx t22是线段AB上一点(不与A、B重合)，过点C作CD⊥x轴于点D，并交抛物线于点P．(1)若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；(2)若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC = CP，求四边形OEPD的面积S关于t的函数解析式，并写出定义域；(3)在(2)的条件下，当ADE∆的面积等于2S时，求t的值．。

中考数学：注重创新思维往年中考业已完毕，从往年上海市的中考数学压轴题中，我们失掉什么启示？好好总结一下，这对我们今后的教育教学和升学考试指点等任务将是十分有益的。

首先我们来看一下这道题，然后再加以剖析和解答。

例题：〔2021年上海市中考数学最后一题第25题〕在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是边AC上的一个动点，以0为圆心作半圆，与边AB相切于点D,交线段OC于点E，作EP⊥ED 交射线AB于点P，交射线CB于点F.〔1〕如图，求证：△ADE∽△AEP；〔2〕设OA=,AP=时，求关于的函数关系式，并写出它的定义域；〔3〕当BF=1时，求线段AP的长。

剖析：此题终点不高，但要求较片面。

是一道数与形、代数计算与几何证明、相似三角形的判定与性质、画图剖析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合性试题。

同时考察了初中数学中最重要的数学思想：数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。

此题素昧平生又不相识，融入了静态几何的变和不变，要求先生动中求静，静中思变，有一定难度，但上手还是容易的。

此题有三问，相当于三个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生正常水平的发扬。

而经过层层设问，拾级而上，逐渐深化，可以使一局部优秀先生数学水平失掉表达，起到了中考—升学考试选拔的功用。

第〔1〕问是基础，求两个三角形相似，只需连结OD，易于找出有两个角对应相等，即可得出结论。

终点低，上手容易，绝大少数先生都可以比拟轻松的给以解答。

第〔2〕问和第〔3〕问的解答，由数形结合求出函数的关系式后，既要擅长观察和推理判别，又要准确的计算，更要片面细致的剖析。

首先要充沛运用数学中分类讨论的思想，细心审题，抓住线段和射线这两个概念的区别，思索到圆心O在AC上运动变化时的两种情形，使EP⊥ED交线段AB于点P和EF交AB延伸线于点P，区分讨论处置，即可得出正确答案。

简解：〔1〕连结OD,只需证出∠ADE=∠AEP，或∠AED=∠APE,而∠A=∠A是公共角，即可证得△ADE∽△AEP。

绝密★启用前决胜2021年上海市中考数学压轴题全揭秘精品试题三数学试题考生注意：1.本试卷共25题。

2.试卷满分150分，考试时间100分钟。

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（）（A）；（B）；（C）；（D）．2．若a＜b，则下列各式中不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1B．3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．ac＜bc3．下列说法中不正确的是（）A．函数y＝2x的图象经过原点B．函数y=1的图象位于第一、三象限xC．函数y＝3x﹣1的图象不经过第二象限D．函数y=−3的值随x的值的增大而增大x4.一组数据：3、4、4、5，如果再添加一个数字4，那么会发生变化的统计量是（）（A）平均数；（B）中位数；（C）众数；（D）方差．5．下列四个命题中，真命题是（）（A）一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；（B）一组对角相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；（C）一组邻边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；（D）一组对边相等，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．6．在△ABC中，AB＝9，BC＝2AC＝12，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，AD＝2BD，以AD为半径的⊙D和以CE为半径的⊙E的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内含二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】a2b）3＝．7．计算：（−12x2﹣2kx+1﹣4k＝0有两个相等的实数根，则代数式10．若关于x的一元二次方程12（k﹣2）2+2k（1﹣k）的值为．11．从1、2、3中任取一个数作为十位上的数字，再从余下的数字中任取一个数作为个位上的数字，那么组成的两位数是4的倍数的概率是12.我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文是“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”大致意思是：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问人数、物品的价格各是多少？”如果设共有x人，物品的价格为y元，那么根据题意可列出方程组为．13.若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为_____．14.如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数k=yx 的图象经过点B，则k的值是_____．15.如图，点D是△ABC的边AB上一点，如果∠ACD=∠B，并且:AD AC=AD BD=_________．:16．如图，已知D 是△ABC 的边AC 上一点，且AD ＝2DC ，如果AB →=a →，AC →=b →，那么向量BD →关于a →、b →的分解式是 ．17.定义：如果三角形的两个内角∠α与∠β满足∠α=2∠β,那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长与底边18．如图，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别为AB 、BC 的中点，点H 是AD 边上一点，将△DCF 沿DF 折叠得△DC ′F ，将△AEH 沿EH 折叠后点A 的对应点A ′刚好落在DC ′上，则cos ∠DA ′H ＝ ．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：（√2−1）2√3+√2+|1−√2|．20．（本题满分10分）解方程：21416222+=---+x x x x21．（本题满分10分，每小题满分各5分）在平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝kx +b （k 、b 为常数，且k ≠0）经过A 、B 两点，点A 在y 轴上．（1）若B 点坐标为（﹣1，2）．①b ＝ （用含有字母k 的代数式表示）②当△OAB 的面积为2时，求直线l 1的表达式；（2）若B 点坐标为（k ﹣2b ，b ﹣b 2），点C （﹣1，s ）也在直线l 1上，①求s 的值；②如果直线l 1：y ＝kx +b （k ≠0）与直线l 2：y ＝x 交于点（x 1，y 1），且0＜x 1＜2，求k 的取值范围．22. （本题满分10分，每小题满分各5分）如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD 表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米.（1）求点D'到BC的距离；（2）求E、E'两点的距离.23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，过点E作AC的垂线交边BC于点F，与AB的延长线交于点M，且AB AM AE AC⋅=⋅．求证：（1）四边形ABCD矩形；（2）2=⋅．DE EF EM24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣1x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线2y=ax2+bx(a≠0)经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．25.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．。

专题20 证明题专项训练1．(2018·上海中考真题)已知：如图，正方形ABCD 中，P 是边BC 上一点，BE ⊥AP，DF ⊥AP ，垂足分别是点E，F，(1)求证：EF=AE，BE，(2)联结BF ，如果AF BF =DF AD．求证：EF=EP，【分析】(1)利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE ≌△DAF ，则BE=AF ，然后利用等线段代换可得到结论；(2)利用AF DF BF AD =和AF=BE 得到BE BF DF AD=，则可判定Rt △BEF ∽Rt △DFA ，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP，【详解】(1)∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE ⊥AP，DF ⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE 和△DAF 中12BEA AFD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE，AF=AE，BE，(2)如图，∵AF DFBF AD=，而AF=BE，∴BE DFBF AD=，∴BE BFDF AD=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP，【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质与定理、正确添加辅助线是解题的关键.2．(2020·上海九年级二模)如图，四边形ABCD是菱形，点E在AB延长线上，联结AC，DE，DE分别交BC，AC于点F，G，且CD AE AC AG⋅=⋅．求证：(1)ABC∽AGE；(2)2AB GD DE=⋅【分析】(1)只要证明AB ACAG AE=，又∠BAC=∠GAE，即可证明，ABC∽△AGE；(2)只要证明，ADG∽△EDA，可得AD DGDE AD=，推出AD2=DE•DG即可证明；【详解】证明：(1)，CD AE AC AG ⋅=⋅，，CD AC AG AE=， ，四边形ABCD 是菱形，，AB CD =， ，AB AC AG AE =，，BAC GAE ∠=∠， ，ABC AGE ∽△△；(2)，ABC AGE ∽△△，，ACB E ∠=∠， ，四边形ABCD 是菱形，，AB AD =，//BC AD ，，ACB CAD E ∠=∠=∠，，ADG ADE ∠=∠，，ADG EDA ∽△△，，AD DG DE AD=， ，2AD DE DG =⋅，，2AB DE DG =⋅．【点睛】本题考查相似三角形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．3．(2020·上海九年级三模)已知：如图，点E 为□ABCD 对角线AC 上的一点，点F 在线段BE 的延长线上，且EF=BE ，线段EF 与边CD 相交于点G ．(1)求证：DF //AC ；(2)如果AB=BE ，DG=CG ，联结DE 、CF ，求证：四边形DECF 是矩形．【分析】(1)根据平行四边形的性质得到BO=DO ，根据三角形的中位线定理即可得到结论；(2)根据平行四边形的性质得到AB ∥CD ，由平行线的性质得到∠BAE=∠GCE ，求得∠GEC=∠GCE ，得到GE=CG ，推出四边形DECF 是平行四边形，得到DG=CG=FG=GE ，于是得到结论．【详解】证明：(1)四边形ABCD 是平行四边形，BO DO ∴=．EF BE =，OE ∴是BDF 的中位线． //DF OE ∴，即//AC DF ．(2)AB BE =，BAE BEA ∴∠=∠．四边形ABCD 是平行四边形，//AB CD ∴． BAE GCE ∴∠=∠．又BEA GEC ∠=∠，GEC GCE ∴∠=∠． GE CG ∴=．//DF AC ，∴△DFG ∽△CEG ，DG FG CG GE∴=． DG CG =，FG GE ∴=． ∴四边形DECF 是平行四边形．DG CG =，FG GE =，GE CG =． DG CG FG GE ∴===．DC EF ∴=． ∴四边形DECF 是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．4．(2020·上海大学附属学校九年级三模)已知：如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ，过点D 作AC 的平行线DE ，交BA 的延长线于点E ．求证：(1)△ABC ≌△DCB ；(2)DE·DC ＝AE·BD ．【分析】(1)根据三角形全等的判定条件找到相应的条件：AC ＝DB ，AB ＝DC ，BC ＝CB ，即可证明；(2)根据题意证明△ADE∽△CBD，对应边成比即可求证．【详解】证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB，∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD，(2)∵△ABC≌△BCD，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB，∴△ADE∽△CBD，∴DE︰BD＝AE︰CD，∴DE·DC＝AE·BD．【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，相似三角形的证明及性质．5．(2020·上海九年级二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．(1)求证：四边形ABCD为菱形；(2)如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证；(2)先由∠AEB＝∠CEB＝12∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，据此可证△FCD∽△F AE得FC CDFA AE，结合CD＝AD，AE＝CE可得答案．【详解】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；(2)∵∠AEB＝∠CEB＝12∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△F AE，∴FC CD FA AE=，∵CD=AD，AE=CE，∴FC ADFA CE=，即EC•CF=AF•AD．【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握判定定理．6．(2020·上海九年级二模)如图，在平行四边形ABCD中，BE、DF分别是平行四边形的两个外角的平分线，∠EAF＝12∠BAD，边AE、AF分别交两条角平分线于点E、F．(1)求证：△ABE∽△FDA；(2)联结BD、EF，如果DF2＝AD•AB，求证：BD＝EF．【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠HDF＝12∠HDC．根据平行四边形的性质得到AB∥CD．求得∠BAD＝∠CDH．等量代换得到∠BAE＝∠F，同理∠DAF＝∠E，于是得到结论；(2)作AP平分∠DAB交CD于点P，由角平分线的定义得到∠DAP＝12∠BAD，求得∠HDF＝∠DAP，推出DF∥AP，同理BE∥AP，根据相似三角形的性质得到BE＝DF，根据平行四边形的性质即可得到结论．【详解】解：(1)∵∠EAF ＝12∠BAD ，∴∠DAF+∠BAE ＝12∠BAD ， ∵DF 平分∠HDC ，∴∠HDF ＝12∠HDC ， 又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠BAD ＝∠CDH ，∴∠HDF ＝∠EAF ，∴∠HDF ＝∠DAF+∠BAE ，又∵∠HDF ＝∠DAF+∠F ，∴∠BAE ＝∠F ，同理：∠DAF ＝∠E ，∴△ABE ∽△FDA ；(2)作AP 平分∠DAB 交CD 于点P ，∴∠DAP ＝12∠BAD ， ∵∠HDF ＝12∠CDH ，且∠BAD ＝∠CDH ∴∠HDF ＝∠DAP ，∴DF ∥AP ， 同理：BE ∥AP ，∴DF ∥BE ，∵△ABE ∽△FDA ，∴=AD DF BE AB，即BE•DF ＝AD•AB ， 又∵DF 2＝AD•AB ，∴BE ＝DF ，∴四边形DFEB 是平行四边形，∴BD ＝EF ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7．(2020·上海杨浦·九年级二模)如图，已知在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M在线段OD上，联结AM并延长交边DC于点E，点N在线段OC上，且ON＝OM，联结DN与线段AE交于点H，联结EN、MN．(1)如果EN∥BD，求证：四边形DMNE是菱形；(2)如果EN⊥DC，求证：AN2＝NC•AC．【分析】(1)根据正方形性质及ON＝OM，求出MN∥CD，进而得出四边形DMNE是平行四边形，在证明出△AOM≌△DON即可得到平行四边形DMNE是菱形；(2)根据MN∥CD得到AN AMNC ME=，再由EN⊥DC得到EN∥AD，AC DCAN DE=，再由AB∥DC，得到AM ABME DE=，即可得到AN ACNC AN=，即为所求．【详解】证明：(1)如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD，∵ON＝OM，∴ON OMOC OD=，∴MN∥CD，又∵EN∥BD，∴四边形DMNE是平行四边形，在△AOM和△DON中，∵∠AOM＝∠DON＝90°，OA＝OD，OM＝ON，∴△AOM≌△DON(SAS)，∴∠OMA＝∠OND，∵∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OAM+∠OND＝90°∴∠AHN＝90°．∴DN⊥ME，∴平行四边形DMNE是菱形；(2)如图2，∵MN∥CD，∴AN AM NC ME=，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∠ADC＝90°，∴AD⊥DC，又∵EN⊥DC，∴EN∥AD，∴AC DC AN DE=，∵AB∥DC，∴AM ABME DE=，∴AN ACNC AN=，∴AN2＝NC•AC．【点睛】此题考查正方形相关知识，主要是利用平行线分线段成比例求解，难度较大．1．(2020·上海九年级二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，联结AD，以AD 为一边作△ADE ，满足AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ，联结EC ．(1)求证：CA 平分∠DCE ；(2)如果AB 2＝BD•BC ，求证：四边形ABDE 是平行四边形．【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠B ＝∠ACB ，证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形的性质得到∠B ＝∠ACE ，根据角平分线的定义证明结论；(2)根据相似三角形的判定定理得到△ABD ∽△CBA ，得到∠BAD ＝∠ACB ，分别证明AE ∥BD ，AB ∥DE ，根据平行四边形的判定定理证明．【详解】(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC ，即∠BAD ＝∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴∠B ＝∠ACE ，∴∠ACB ＝∠ACE ，∴CA 平分∠DCE ；(2)证明：∵AB 2＝BD•BC ，∴AB BC ＝BD AB ， 又∠B ＝∠B ，∴△ABD ∽△CBA ，∴∠BAD ＝∠ACB ，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠BAD ＝∠CAE ，∴∠CAE ＝∠ACB ，∴AE ∥BD ，∵AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB＝∠ADE，∴∠BAD＝∠ADE，∴AB∥DE，∵AE∥BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，掌握等腰三角形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．2．(2020·上海九年级二模)已知：如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠DAB＝90°，对角线AC、BD相交于点E，AC⊥BC，垂足为点C，且BC2＝CE•CA．(1)求证：AD＝DE；(2)过点D作AC的垂线，交AC于点F，求证：CE2＝AE•AF．【分析】(1)根据相似三角形的判定定理得到△BCE∽△ACB，根据相似三角形的性质得到∠CBE＝∠CAB，根据等角的余角相等得到∠BEC＝∠DAE，根据等腰三角形的判定定理证明；(2)根据平行线分线段成比例定理得到CE BEEF DE=，BE AEDE CE=，得到CE AEEF CE=，整理得到CE2＝AE•EF，根据等腰三角形的三线合一得到AF＝EF，证明结论．【详解】证明：(1)∵BC2＝CE•CA，∴BC CACE BC=，又∠ECB＝∠BCA，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE＝∠CAB，∵AC⊥BC，∠DAB＝90°，∴∠BEC+∠CBE＝90°，∠DAE+∠CAB＝90°，∴∠BEC＝∠DAE，∵∠BEC＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE；(2)过点D作AC的垂线，交AC于点F，如图，∵DF ⊥AC ，AC ⊥BC ，∴∠DFE ＝∠BCA ＝90°，∴DF ∥BC ，∴CE BE EF DE=， ∵DC ∥AB ，∴BE AE DE CE =，∴CE AE EF CE =，∴CE 2＝AE •EF ， ∵AD ＝DE ，DF ⊥AC ，∴AF ＝EF ，∴CE 2＝AE •AF ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、直角梯形的概念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3．(2020·上海九年级二模)已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使得AE ＝AB ，联结DE 、AC ．点F 在线段DE 上，联结BF ，分别交AC 、AD 于点G 、H ．(1)求证：BG ＝GF ；(2)如果AC ＝2AB ，点F 是DE 的中点，求证：AH 2＝GH •BH ．【分析】(1)由平行四边形的性质可得AB ＝CD ＝AE ，AB ，CD ，可证四边形ACDE 是平行四边形，可得1BG AB GF AE==，可得结论； (2)由“SAS ”可证，BEF ，，DEA ，可得，EBF ＝，EDA ，通过证明，AHG ，，BHA ，可得结论．【详解】证明：(1)，四边形ABCD 是平行四边形，，AB ＝CD ，AB ，CD ，，AB ＝AE ，，AE ＝CD ，，四边形ACDE 是平行四边形，，AC ，DE ，，1BG AB GF AE==，，BG ＝GF ； (2)，AB ＝AE ，，BE ＝2AE ，，AC ＝2AB ，，BE ＝AC ，，四边形ACDE 是平行四边形，，AC ＝DE ，，DE ＝BE ，，点F 是DE 的中点，，DE ＝2EF ，，AE ＝EF ，，DE ＝BE ，，E ＝，E ，AE ＝EF ，，，BEF ，，DEA (SAS )，，，EBF ＝，EDA ，，AC ，DE ，，，GAH ＝，EDA ．，，EBF ＝，GAH ．，，AHG ＝，BHA ，，，AHG ，，BHA ，，AH GH BH AH=．，AH 2＝GH •BH ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用相似三角形判定和性质是本题的关键．4．(2020·上海九年级二模)如图，已知AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AO 平分∠BAC ．点M 、N 分别在弦AB 、AC 上，满足AM ＝CN ．(1)求证：AB ＝AC ；(2)联结OM 、ON 、MN ，求证：MN OM AB OA=．【分析】(1)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，利用角平分线的性质和垂径定理即可得出答案；(2)联结OB ，OM ，ON ，MN ，首先证明BOM AON ≅，然后再证明NOM BOA ，根据相似三角形的性质即可得出答案．【详解】证明：(1)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，OE ⊥AC 于点E ，如图所示：∵AO 平分∠BAC ．∴OD ＝OE ．222222,AD AO OD AE AO OE =-=-， AD AE ∴=．,OD AB OE AC ⊥⊥，2,2AB AD AC AE ∴==， ∴AB ＝AC ；(2)联结OB ，OM ，ON ，MN ，如图所示，∵AM ＝CN ，AB ＝AC ∴BM ＝AN ．∵OA ＝OB ，∴∠B ＝∠BAO ．∵∠BAO ＝∠OAN ，∴∠B ＝∠OAN ，∴△BOM ≌△AON (SAS )，∴∠BOM ＝∠AON ，OM ＝ON ，∴∠AOB ＝∠MON ，∴△NOM ∽△BOA ， ∴MN OM AB OA=． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质及圆的有关性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．5．(2020·上海九年级二模)如图，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上(点F 与点C 、D 不重合)，BE EF ⊥，且45ABE CEF ∠+∠=︒．(1)求证：四边形ABCD 是正方形；(2)联结BD ，交EF 于点Q ，求证：DQ BC CE DF ⋅=⋅．【答案】(1)四边形ABCD 是正方形(过程见详解)(2)DQ BC CE DF ⋅=⋅(过程见详解)【分析】(1)本题借助辅助线利用45ABE CEF ∠+∠=︒，45FEM CEF ∠+∠=︒，找出∠DAC=45°得到DA=DC ，即可证明，(2)本题在(1)的条件下证明△CBE ~△DFQ ，即可求证．【详解】(1)分别作EP ⊥BC ，EM ⊥CD ，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABE=∠BEP ，又BE ⊥EF ，∴∠BEP+∠FEP=∠FEP+∠FEM=90°，∴∠BEP =∠FEM ，∵45ABE CEF ∠+∠=︒，∴45BEP CEF ∠+∠=︒，∴45FEM CEF ∠+∠=︒， 即∠CEM=45°，∴∠DAC=45°，∴DA=DC ，∴矩形ABCD 为正方形．(2)由(1)得：∠QDF=∠BCE=45°，45ABE EBQ ∠+∠=︒，∵45ABE CEF ∠+∠=︒，∴CEF EBQ ∠=∠，∴4545CEF EBQ ∠+=∠+， 即∠EBC=∠DFQ(三角形外角等于与其不相邻两内角和)，∴△CBE ~△DFQ ，∴DF DQ BC EC= ，∴DF ⨯EC=DQ ⨯BC ， 即DQ BC CE DF ⋅=⋅．【点睛】此题从特殊四边形下手，涵盖知识点包括相似三角形的证明及性质．6．(2020·上海九年级二模)已知：△ABC ，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上(点E 不与点A 、B 重合)，点F 在边AC 上，联结DE 、DF ．(1)如图1，当∠EDF =90°时，求证：BE =AF ；(2)如图2，当∠EDF =45°时，求证：22DE BE DF CF=．【分析】(1)连接AD ，证△BDE ≌△ADF (ASA )，即可得出结论；(2)证明△BDE ∽△CFD ．得出BE BD DE CD CF DF ==，得出2()BE BD DE CD CF DF⋅=，由BD ＝CD ，即可得出结论．【详解】(1)连接AD ，如图1所示：在Rt △ABC 中，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠B =∠C =45°．∵点D 是边BC 的中点，∴AD 12=BC =BD ，AD ⊥BC ，∠BAD =∠CAD =45°， ∴∠B =∠CAD ．∵∠EDF =90°，∴∠ADF +∠ADE =90°∵∠BDE +∠ADE =90°，∴∠BDE =∠ADF ， 在△BDE 和△ADF 中，B CAD BD AD BDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BDE ≌△ADF (ASA )，∴BE =AF ；(2)∵∠BDF =∠BDE +∠EDF ，∠BDF =∠C +∠CFD ，∴∠BDE +∠EDF =∠C +∠CFD ．又∵∠C =∠EDF =45°，∴∠BDE =∠CFD ，∴△BDE ∽△CFD ， ∴BE BD DE CD CF DF ==，∴2()BE BD DE CD CF DF⋅=， 又∵BD =CD ，∴22DE BE DF CF=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．7．(2020·上海九年级二模)如图，已知四边形ABCD 菱形，对角线AC BD 、相交于点O ，DH AB ⊥，垂足为点H ，交AC 于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G ．(1)求证：12DHO BCD ∠=∠； (2)求证：2HG AE DE CG =．【分析】(1)(1)先根据菱形的性质得OD=OB ，AB ∥CD ，BD ⊥AC ，则利用DH ⊥AB 得到DH ⊥CD ，∠DHB=90°，所以OH 为Rt △DHB 的斜边DB 上的中线，得到OH=OD=OB ，利用等腰三角形的性质得∠1=∠DHO ，然后利用等角的余角相等证明结论；(2)根据//AB CD ，推出12OH OG HG ==，再证AED CGO ∆∆∽，即可推出••OG AE CG DE =，即可证出结论.【详解】(1)∵四边形ABCD 是菱形，//,,,AB CD AB CD AC BD DO BO ∴=⊥=，12ACD BCD ∠=∠， DH AB ⊥，90DHA DHB ∴∠=∠=︒，//AB CD ，90DHA HDC ∴∠=∠=︒，90BDH BDC ∴∠+∠=︒，90COD ∠=︒，90ACD BDC ∴∠+∠=︒，90,DHB DO BO ∴∠=︒=，OD OH ∴=，BDH DHO ∴∠=∠，12DHO BCD ∴∠=∠．(2)//AB CD ，1HO OB OG OD ∴==，12OH OG HG ∴==， AD CD =，DCA DAC ∴∠=∠，,AED HDC DCA HGC HDC DHG ∠=∠+∠∠=∠+∠，又DHO DCA ∠=∠，AED HGC ∴∠=∠，AED ∴∆，CGO ∆，OG CG DE AE ∴=，••OG AE CG DE ∴=，1••2HG AE DE CG ∴=， ∴2HG AE DE CG =．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟记个性质定理是解题的关键．8．(2020·上海九年级二模)已知：如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，过点E 作AC 的垂线交边BC 于点F ，与AB 的延长线交于点M ，且AB AM AE AC ⋅=⋅．求证：(1)四边形ABCD 是矩形；(2)2DE EF EM =⋅．【分析】(1)由AB AM AE AC ⋅=⋅可得AB AE AC AM=，又∠CAB=∠EAM ，从而推出△ABC ∽△AEM ，继而推出∠ABC=∠AEM=90°，从而可得出结论；(2)先证明△EFB ∽△EBM ，从而推出EB EF EM EB=，得出2EB EF EM =⋅，又DE=BE ，从而可得出结果．【详解】证明：(1)∵AB AM AE AC ⋅=⋅，∴AB AE AC AM=， 又∠CAB=∠EAM ，∴△ABC ∽△AEM ，∴∠ABC=∠AEM=90°，又四边形ABCD 为平行四边形，∴四边形ABCD 为矩形；(2)∵四边形ABCD 为矩形，∴AE=BE=DE=CE ，∴∠EAB=∠EBA ，又∠EAB+∠M=90°，∠EBA+∠EBF=90°∴∠M=∠EBF ， 又∠FEB=∠BEM ，∴△EFB ∽△EBM ，∴EB EF EM EB=， ∴2EB EF EM =⋅，∴2DE EF EM =⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识，综合运用基本性质进行推理是解题的关键．9．(2020·上海九年级二模)如图，E F 、分别是正方形ABCD 的边DC CB 、的中点，以AE 为边作正方形AEHG ，HE 与BC 交于点Q ，联结AQ DF 、．(1)求证：AE DF ⊥；(2)设123,,,CEQ AED EAQ S S S S S S ∆∆∆===，求证123S S S +=．【分析】(1)先说明△ADE ≌△DCF,然后再利用同角的余角相等以及垂直的定义即可证明；(2)先证△ADE ∽△ECQ ，得出1 2QE CE DE AE AD AD ===，进而可得△AEQ ∽△ADE ∽△ECQ ，然后根据相似三角形的性质即可证明．【详解】(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形∴AD=DC ，∠ADE=∠DCF=90°在△ADE 和△DCF 中AD DC ADE DCF DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△DCF (SAS )∴∠EAD=∠CDF∵∠AED+∠EAD=90°∴∠AED+∠CDF=90°∴AE ⊥DF ；(2)∵∠ADE=∠C ，∠CEQ=∠EAD ，∴△ADE ∽△ECQ∵E 是CD 的中点∴1 2QE CE DE AE AD AD ===， ∵∠ADE=∠C=90°∴△AEQ ∽△ADE ∽△ECQ设CE DE a ==，则AD=2a ，∴1315S S =，234 5S S =，∴123 S S S +=． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定和性质，灵活应用全等三角形、相似三角形的判定和性质是解答本题的关键．10．(2020·上海九年级二模)如图，已知C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作正方形ACDE 和正方形CBGF ，点F 在CD 上，联结AF 、BD ，BD 与FG 交于点M ，点N 是边AC 上的一点，联结EN 交AF 与点H ．(1)求证：AF=BD；(2)如果AN GMAC GF=，求证：AF EN⊥．【分析】(1)根据SAS证明△ACF≌△DCB即可得到结论；(2)根据正方形的性质得到AE=AC，GF=GB，由AN GMAC GF=证得AN GMAE GB=得到△EAN∽△BGM，再证明△MBG∽△BDC，由△BDC≌△FAC，得到△EAN∽△ACF，推出∠CAF+∠ANE=90°，即可得到结论.【详解】(1)在正方形ACDE和正方形CBGF中，AC=CD，CF=CB，∠ACD=∠BCD=90°，∴△ACF≌△DCB，∴AF=BD；(2)在正方形ACDE和正方形CBGF中，AE=AC，GF=GB，∵AN GMAC GF=，∴AN GMAE GB=，∵∠EAN=∠G=90°，∴△EAN∽△BGM，∵CD∥BG，∴∠CDB=∠MBG，∵∠DCB=∠G=90°，∴△MBG∽△BDC，∵△BDC≌△FAC，∴△EAN∽△ACF，∴∠AEN=∠CAF，∵∠AEN+∠ANE=90°，∴∠CAF+∠ANE=90°，∴∠AHN=90°，∴AF EN⊥.【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，相似三角形的判定及性质. 11．(2020·上海九年级二模)如图，已知在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=AB ，点F 为CE 的中点，点G 在线段CD 上，联结DF ，交AG 于点M ，交EG 于点N ，且∠DFC=∠EGC ．(1)求证：CG=DG ；(2)求证：2CG GM AG =⋅．【分析】(1)首先证明△ECG ≌△DCF ，则有CG=CF ，因为CF=12CE ，则有CG=12CD ，则结论可证； (2)延长AG 、BC 交于点H ，首先证明△ADG ≌△HCG ，则有AG=HG ，然后根据直角三角形斜边中线有AG=HG=EG ，进而得出∠CDF=∠DAH ，进一步可证△ADG ∽△DMG ，则有MG DG DG AG=，即2DG GM AG =⋅，又因为CG=DG 即可证明结论． 【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，CE=AB ，∴AB=CD=EC ．又∵∠DFC=∠EGC ，∠FCD=∠GCE ，∴△ECG ≌△DCF ，∴CG=CF ．∵点F 为CE 的中点，∴CF=12CE ，∴CG=12CD ，即：CG=DG ． (2)延长AG 、BC 交于点H ．∵△ECG≌△DCF，∴∠CEG=∠CDF，DG=CG．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH．∴△ADG≌△HCG，∴AG=HG．∵AE⊥BC，∴∠AEC=90°，∴AG=HG=EG．∴∠CEG=∠H，∴∠CDF=∠DAH．又∵∠AGD=∠DGM，∴△ADG∽△DMG．∴MG DGDG AG=，∴2DG GM AG=⋅又，CG=DG，，2CG GM AG=⋅．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．12．(2020·上海九年级一模)已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D在斜边AB上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．(1)当∠ACD＝∠BCD时，求证：四边形DECF是正方形；(2)当∠BCD＝∠A时，求证：CD CF CA AD=．【分析】(1)由垂直的定义可得出，DEC＝，DFC，结合，ECF＝90°可得出四边形DECF为矩形，由，ACD ＝，BCD 可得出CD 平分，ACB ，利用角平分线的性质可得出DE ＝DF ，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF 是正方形；(2)由，BCD +，ACD ＝，ACB ＝90°，，BCD ＝，A 可得出，A +，ACD ＝90°，利用三角形内角和定理可求出，ADC ＝90°，由，DCF ＝，A ，，DFC ＝，ADC ＝90°可证出，CDF ，，ACD ，再利用相似三角形的性质可证出CD CF CA AD=． 【详解】证明：(1)，DE ，AC ，DF ，BC ，，，DEC ＝，DFC ＝90°，又，，ECF ＝90°，，四边形DECF 为矩形．，，ACD ＝，BCD ，，CD 平分，ACB ，，DE ＝DF ，，四边形DECF 是正方形．(2)，，BCD +，ACD ＝，ACB ＝90°，，BCD ＝，A ，，，A +，ACD ＝90°，，，ADC ＝180°﹣90°＝90°．，，DCF ＝，A ，，DFC ＝，ADC ＝90°，，，CDF ，，ACD ，，CD CF CA AD=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定，解题的关键是：(1)利用“邻边相等的矩形是正方形”，证出四边形DECF 是正方形；(2)利用“两角对应相等两三角形相似”证出△CDF ∽△ACD ．13．(2020·上海)如图，在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，AE 与CD 交于点F ，若AE 平分BAC ∠，AB AF AC AE ⋅=⋅．(1)求证：AFD AEC ∠=∠；(2)若//EG CD ，交边AC 的延长线于点G ，求证：CD CG FC BD ⋅=⋅．【分析】(1)先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；(2)先后证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【详解】(1)证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴AB AC AE AF=，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°−∠AEB＝180°−∠AFC，∴∠AEC＝∠AFD；(2)证明：∵∠CFE＝∠AFD＝∠CEF，∴CE＝CF，∵DC∥EG，∴∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，∴△BDC∽△GCE，∴BD GC GCDC CE CF==，∴CD•CG＝FC•BD．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．14．(2020·上海九年级一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边BC的中点，联结AD．过点C作CE⊥AD于点E，联结BE．(1)求证：BD2＝DE•AD；(2)如果∠ABC＝∠DCE，求证：BD•CE＝BE•DE．【分析】(1)证明△CDE∽△ADC推出CD DEAD CD=，可得CD2＝DE•DA即可解决问题．(2)利用相似三角形的性质首先证明AC＝BE，再证明△ACE∽△CDE，可得AC EC CD DE=，可得BE ECBD DE=即可解决问题．【详解】解：(1)证明：如图1中，∵CE⊥AD，∴∠CED＝∠ACD＝90︒，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC∴CD DEAD CD=，∴CD2＝DE•DA，∵DB＝CD，∴BD2＝DE•DA．(2)解：如图2中，∵BD2＝DE•DA，∴BD DA DE BD=，∵∠CDE＝∠ADB，∴△BDE∽△ADB，∴∠DEB＝∠ABC，∵∠ABD＝∠ECD，∴∠BED＝∠BCE，∵∠EBD＝∠CBE，∴△EBD∽△CBE，∴BE BDCB BE=，∴BE2＝BD•BC，∵CD＝BD，∴BE2＝2CD2，∵∠DCE+∠ACE＝90︒，∠CAD+∠ACE＝90︒，∴∠CAD＝∠ECD＝∠ABC，∵∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴AC CD BC AC=，∴AC2＝CD•CB＝2CD2，∴AC＝BE，∵△ACE∽△CDE，∴AC ECCD DE=，∴BE ECBD DE=，∴BD•CE＝BE•DE．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.15．(2020·上海九年级一模)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AE与CD 交于点F，若AE平分∠BAC，AB•AF＝AC•AE．(1)求证：∠AFD＝∠AEC；(2)若EG∥CD，交边AC的延长线于点G，求证：CD•CG＝FC•BD．【分析】(1)先证△BAE∽△CAF，推出∠AEB＝∠AFC，由等角的补角相等可得出结论；(2)先证明∠DCB＝∠CEG，∠G＝∠ACF＝∠B，推出△BDC∽△GCE，由相似三角形的性质可得出结论．【详解】(1)证明：∵AB•AF＝AC•AE，∴AB AC AE AF=，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴△BAE∽△CAF，∴∠AEB＝∠AFC，∴180°﹣∠AEB ＝180°﹣∠AFC ，∴∠AEC ＝∠AFD ；（2）证明：∵∠CFE ＝∠AFD ＝∠CEF ，∴CE ＝CF ，∵DC ∥EG ，∴∠DCB ＝∠CEG ，∠G ＝∠ACF ＝∠B ，∴△BDC ∽△GCE ， ∴BD GC GC DC CE CF==，∴CD •CG ＝FC •BD ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够灵活运用相似三角形的判定与性质．16．(2020·上海九年级一模)已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AE ∥BC ，BE 与AD 、AC 分别相交于点F 、G ， 2AF FG FE =⋅．(1)求证：△CAD ∽△CBG ；(2)联结DG ，求证：DG AE AB AG ⋅=⋅．【分析】(1)由2AF FG FE =⋅及∠AFG =∠EF A ，证得△F AG ∽△FEA ，结合AE ∥BC ，证得∠EBC =∠F AG ，从证得结论；(2)由(1)的结论得到=CA CD CB CG ，证得△CDG ∽△CAB ，结合AE ∥BC ，证得=AG GC AE CB ，继而证得结论.【详解】(1)∵2AF FG FE =⋅，∴=AF FE FG AF． 又∵∠AFG =∠EF A ，∴△F AG ∽△FEA ． ∴∠F AG =∠E ．∵AE ∥BC ，∴∠E =∠EBC ． ∴∠EBC =∠F AG ．又∵∠ACD =∠BCG ，∴△CAD ∽△CBG ．(2)∵△CAD ∽△CBG ，∴=CA CD CB CG． 又∵∠DCG =∠ACB ，∴△CDG ∽△CAB ， ∴=DG CG AB CB． ∵AE ∥BC ，∴=AE AG CB GC ． ∴=AG GC AE CB ，∴=DG AG AB AE， ∴DG AE AB AG ⋅=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用比例的性质以及中间比是解题的关键.17．(2020·上海九年级一模)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AM 为BC 边的中线，点D 在边AC 上，联结BD 交AM 于点F ，延长BD 至点E ，使得BD DE ＝AD DC，联结CE ． 求证：(1)∠ECD ＝2∠BAM ；(2)BF 是DF 和EF 的比例中项．【分析】(1)由等腰三角形的性质可得∠BAC＝2∠BAM，通过证明△ADB∽△CDE，可得∠BAC＝∠ECD＝2∠BAM；(2)由等腰三角形的性质可得BF＝CF，通过证明△DCF∽△CEF，可得DF CFCF EF=，可得结论．【详解】证明：(1)∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴∠BAC＝2∠BAM，∵BDDE＝ADDC，∠ADB＝∠CDE，∴△ADB∽△CDE，∴∠BAC＝∠ECD，∴∠ECD＝2∠BAM；(2)如图，连接CF，∵AB＝AC，AM为BC边的中线，∴AM是BC的垂直平分线，∴BF＝CF，且AB＝AC，AF＝AF，∵△ABF≌△ACF(SSS)∴∠ABF＝∠ACF，由(1)可知：△ADB∽△CDE，∴∠ABF＝∠E，∴∠ACF＝∠E，且∠EFC＝∠DFC，∴△DCF∽△CEF，∴DF CFCF EF=，且BF＝CF，∴BF2＝DF•EF，∴BF是DF和EF的比例中项．【点睛】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．18．(2020·上海九年级一模)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边CB 的延长线上，联结,CE EF ，2CE DE CF =•.(1)求证：D CEF ∠=∠；(2)联结AC ，交EF 于点G ，如果AC 平分ECF ∠，求证：AC AE CB CG •=•.【分析】(1)由∠FCE=∠CED ，2CE DE CF =⋅，可得：∆FCE ~∆CED ，即可得到结论；(2)先证∆ECG~∆DAC ，可得：EC CG DA AC=，结合AE=CE ，DA=CB ，即可得到结论. 【详解】(1)∵在平行四边形ABCD 中，∴AD ∥BC ，∴∠FCE=∠CED ，∵2CE DE CF =⋅，∴CF EC EC DE=，∴∆FCE ~∆CED ，∴D CEF ∠=∠； (2)∵AC 平分ECF ∠，∴∠ACE=∠ACB ，∵AD ∥BC ，∴∠ACB=∠CAE ，∴∠ACE=∠CAE ，∴AE=CE ，∵D CEF ∠=∠，∴∆ECG~∆DAC ，∴EC CG DA AC=，∴AC EC DA CG ⋅=⋅， ∵DA=CB ，∴AC AE CB CG ⋅=⋅【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，根据题意，找到对应角相等，对应边成比例，以及进行适当的等量代换，是解题的关键.19．(2020·上海)如图， ABC ∆中， AD BC ⊥，E 是 AD 边上一点，联结 BE ，过点 D 作DF BE ⊥，垂足为 F ，且AE DF EF CD ⋅=⋅，联结 AF 、CF ， C F 与边 AD 交于点 O ．求证：(1)EAF DCF ∠=∠；(2) AF BD AC DF ⋅=⋅.【分析】(1)证明△AEF ∽△CDF ，根据相似三角形的性质证明结论；(2)证明△AOF ∽△COD ，得到AO OC OF OD=，得到△AOC ∽△FOD ，根据相似三角形的性质得到∠ACF ＝∠EDF ，证明△BFD ∽△CFA ，根据相似三角形的性质证明结论．【详解】(1)证明：,AD BC DF BE ⊥⊥90ADB DFE ︒∴∠=∠=90,90DBE BED DBE BDF ︒︒∴∠+∠=∠+∠=BED BDF ∴∠=∠AEF CDF ∴∠=∠AE DF CD EF ⋅=⋅AE EF CD DF∴=AEF CDF ∴∆∆∽EAF DCF ∴∠=∠(2)证明：AEF CDF ∆∆∽，EFA DFC ∴∠=∠90AFO EFD ︒∴∠=∠=90DFB ︒∠=BFD AFC ∴∠=∠,EAF DCF AOF COD ∠=∠∠=∠AOF COD ∴∆∆∽AO OF OC OD ∴=AO OC OF OD ∴= 又AOC FOD ∠=∠AOC FOD ∴∆∆∽ACF EDF ∴∠=∠90DBE BED FDE BED ︒∠+∠=∠+∠=DBE EDF ∴∠=∠ACF DBE ∴∠=∠又BFD AFO ∠=∠BFD CFA ∴∆∆∽AF AC DF BD ∴=AF BD AC DF ∴⋅=⋅ 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．(2020·上海九年级一模)如图，已知ABC ∆和ADE ∆，点D 在BC 边上，,DA DC ADE B =∠=∠，边DE 与AC 相交于点F ．(1)求证：AB AD DF BC ⋅=⋅；(2)如果//AE BC ，求证：BD DF DC FE=． 【分析】(1)根据等边对等角得到ADE B ∠=∠，通过证明△ABC ∽△FDA 得对应边成比例，化比例式为等积式即可；(2)通过证明△AEF ∽△CDF 和△ABD ∽△EDA,根据相似三角形的性质列两个比例式，用等量代换即可得.【详解】(1)证明：∵AD=DC,∴∠DAC=∠C,∵∠ADE=∠B,∴△ABC ∽△FDA,∴AD DF BC AB,∴AB AD DF BC ⋅=⋅. (2)证明：∵AE ∥BC,∴∠E=∠EDC, ∠EAC=∠C,∴△AEF ∽△CDF,∴DF DC FE AE ,∴DF AD FE AE, ∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD, ∠ADE=∠B,∴∠BAD=∠EDC,∴∠BAD=∠E,∴△ABD ∽△EDA,∴BD AD AD AE, ∴BD AD CD AE ,∴BD DF DC FE =. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质的综合应用，借助中间比进行等量代换是解答此题的关键.21．(2020·上海九年级一模)如图，在ABC ∆中，点,,,D E F G 分别在,,AB AC BC 上，3AB AD =，2CE AE =，BF FG CG ==，DG 与EF 交于点H .(1)求证：FH AC HG AB •=•；(2)连接,DF EG ，求证：A FDG GEF ∠=∠+∠.【分析】(1)根据已知条件先证明DG ∥AC ，EF ∥AB ，可得∠HGF=∠C ，∠HFG=∠B ，即可证明△HFG ∽△ABC ，从而可得结论；(2)连接DF ，EG ，DE ，证明四边形DFGE 和ADHE 是平行四边形，即可证得结论.【详解】∵AB=3AD ，BF=FG=CG ，∴BD=2AD ，BG=2CG ， ∴2BD BG AD CG==,∴DG ∥AC, 同理可得，EF ∥AB ，∴∠HFG=∠ABC ，∠HGF=∠ACB ，∴△HFG ∽△ABC ，∴FH HG AB AC=，即FH AC HG AB •=•； (2)连接,DF EG ，DE,如图所示，∵EF ∥AB ，∴GH GF HD FB=, ∵GF=FB ∴GH GF HD FB==1，∴GH=HD ，同理可证，FH=EH ，∴四边形DFGE 是平行四边形，∴DF ∥EG ，∴∠FDG=∠EGD ，∴∠FHG=∠EGH+∠HEG ，∵∠DHE=∠FHG ，∴∠DHE=∠EGH+∠HEG=FDG GEF ∠+∠，由EF ∥AB ，DG ∥AC,得四边形ADHE 是平行四边形，∴∠A=∠DHE ，∴A FDG GEF ∠=∠+∠【点睛】此题主要考查了平行线分线段成比例的判定与性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握相减的判定与性质是解决此题的关键.22．(2020·上海九年级一模)已知：如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB 、 AC 上，DE ∥BC ，∠ABE=∠C ，(1)求证：2BE DE BC =⋅(2)当BE 平分∠ABC 时，求证：BD AE BE AB=【分析】(1)利用平行线的性质可知DEB EBC ∠=∠，则有BED CEB ，利用相似三角形的性质即可得出结论；(2)利用平行线的性质及角平分线的性质可知DAE EAB ，利用相似三角形的性质即可得出结论.【详解】解：(1)DE BC ∥DEB EBC ∴∠=∠ABE C ∠=∠BED CEB ∴BE DE BC BE∴=2BE DE BC ∴= (2)BE 平分ABC ∠ABE EBC ∴∠=∠DE BC ∥,DEB EBC C AED ABE ∴∠=∠∠=∠=∠ABE DEB ∠=∠BD DE ∴=,A A AED ABE ∠=∠∠=∠DAE EAB ∴DE AE BE AB∴= 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线定义，相似三角形的判定及性质，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键.23．(2020·上海九年级一模)如图,在⊙O 中,AB 、CD 是两条弦,⊙O 的半径长为rcm,弧AB 的长度为1l cm,弧CD 的长度为2l cm(温馨提醒:弧的度数相等,弧的长度相等,弧相等,有联系也有区别) 当1l =2l 时,求证:AB=CD【分析】利用弧长公式得出圆心角相等，再利用圆心角，弧，弦之间的关系即可证明.【详解】解：令∠AOB=α，∠COD=β.∵1l =2l ∴12180180r r απβπ=∵AB 和CD 在同圆中，r 1=r 2 ∴α=β∴AB=CD【点睛】本题主要考查弧长公式及圆心角，弧，弦之间的关系，掌握圆心角，弧，弦之间的关系是解题的关键.。

专题01 面积比转化本节压轴题解题的基本解题步骤一.寻找题目中的已知量和特殊条件：二、求解线段的长度：三.求解面积比：1.分别表示哪些图形的面积？2.面积比怎么求解？方案一.分别求出两个图形的面积，再求解比值；方案二.用面积转化求解比值。

教学重难点1.培养学生挖掘信息的能力，并能从题目中寻找有利条件；2.培养学生分析问题解决问题的能力；3.让学生学会把难题分解，从而分段击破；4.培养学生动态数学思维能力和综合能力。

例题讲解与具体思路分析1．（2019•虹口区一模）如图，在四边形ABCD中AD∥BC，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，点E为边AD 上一点，将ABE沿BE翻折，点A落在对角线BD上的点G处，连接EG并延长交射线BC于点F．，求EF的长；（1）如果cos∠DBC=23=y，求y关于x的函数关系式并写出x的取值范（2）当点F在边BC上时，连接AG，设AD＝x，S△ABGS△BEF围；（3）连接CG，如果△FCG是等腰三角形，求AD的长．过关演练1．（2019•青浦区一模）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AE 2＝AD •AB ，∠ABE ＝∠ACB ．（1）求证：DE ∥BC ；（2）如果S △ADE ：S 四边形DBCE ＝1：8，求S △ADE ：S △BDE 的值．2.（2019•松江区一模）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，点F 在线段DE 上，过点F 作FG ∥AB 、FH ∥AC 分别交BC 于点G 、H ，如果BG ：GH ：HC ＝2：4：3．求S △ADES △FGH 的值．3.（2019•闵行区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC=513．E为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，AGDG=y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果S四边形ABEFS四边形ABCD =23，求线段CE的长．。

2021年上海市中考数学压轴题总复习
中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。

从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。

预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。

1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=3
4
x+m与x轴、y轴分别交于点A和点
B（0，﹣1），抛物线y=1
2
x2+bx+c经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F 在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
2．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；
（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；
（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．。

决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品 专题18创新型与新定义综合问题【考点1】几何综合探究类阅读理解问题【例1】综合与实践：阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 75︒的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 如图1，作Rt ABC ∆，使90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，延长CB 至点D ，使BD BA =，连接AD .设1AC =，则2BD BA ==，3BC =.tan 75tan DC DB BC DAC AC AC +︒=∠==23231+==+.请解决下列问题：(1)类比求解：求出tan 22.5︒的值；(2)问题解决：如图2，某住宅楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22.5︒时，住宅在建筑物的墙上留下高3m 的影子CE ；而当光线与地面的夹角是45︒时，住宅楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13m 的距离(B ，F ，C 在一条直线上).求住宅楼AB 的高度(结果保留根号)；(3)探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =；在Rt DEF ∆中，90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =.他将DEF ∆的斜边DF 与ABC ∆的斜边AC 重合在一起，并将DEF ∆沿CA 方向移动.在移动过程中，D ，F 两点始终在CA 边上(移动开始时点F 与点C 重合).探究在DEF ∆移动过程中，是否存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒？如果存在，直接写出CD 的长度；如果不存在，请说明理由.【答案】(1)21-；(2)住宅楼的高为()823m +.(3)存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒，CD 的长为22+.【分析】 (1)如图1，只需借鉴思路一或思路二的方法，即可解决问题；(2)在Rt ABF ∆中，设AB 为x m 得出13BC BF FC x =+=+，在Rt AEM ∆中，根据tan 22.5AM ME ︒=列出关于x 的方程32113x x -=-+求解即可； (3)因为在Rt DEF ∆中，90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =，所以=2FE ；假设在DEF ∆移动过程中，存在某个位置使得22.5ECD ∠=︒，因为45EFD ∠=︒，所以CF=FE=2，所以CD 的长为22+.【详解】(1)如图，延长CB 至点D ，使BD BA =，连接AD .在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45ABC ∠=︒，设1AC =，则1BC AC ==.∴2222112BD BA BC AC ==+=+=∴tan 22.5tan AC AC ADC DC BD BC ︒=∠==+ ()()2121212121-===++-.(2)如图，过点E 作EM AB ⊥，垂足为M .在Rt ABF ∆中，45AFB ∠=︒，设AB 为x m .∴BF AB x ==.∴13BC BF FC x =+=+.∵在Rt AEM ∆中，22.5AEM ∠=︒，∴3AM AB BM AB CE x =-=-=-，13ME BC x ==+. ∵tan 22.5AM ME ︒=， ∴32113x x -=+. ∴()()1321022132222222x ==--+ 16268232==. 答：住宅楼的高为()823m .(3)存在某个位置，使得22.5ECD ∠=︒，理由如下：当22.5ECD ∠=︒时，∵45EFD ∠=︒，∴∠ECF=∠CEF，∴CF=EF，∵90FED ∠=︒，45EFD ∠=︒，2DF =，∴2EF =22CD CF DF =+=+.【点睛】本题考查了学生综合运用数学知识的能力，解题的方法不唯一，可让学生采用不同的方法求解，培养学生的思维能力. 【变式1-1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB =AD ，CB =CD ，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；(2)性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；(3)解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．【答案】(1)四边形ABCD是垂美四边形．理由见解析.(2)见解析.(3)GE=73．【解析】(1)四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；(2)如图1，∵AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，AB2+CD2=AO2+BO2+DO2+CO2=AD2+BC2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；(3)连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，AG ACGAB CAE AB AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB≌△CAE(SAS)，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由(2)得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG2，BE2，∴GE2=CG2+BE2-CB2=73，∴GE73【名师点睛】(1)根据垂直平分线的判定定理证明即可；(2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可；(3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合(2)的结论计算．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．【变式1-2】综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究定义：如图1，在正方形ABCD中，以BC为直径作半圆O，以D为圆心，DA为半径作AC，与半圆O 交于点P.我们称点P为正方形ABCD的一个“奇妙点”．过奇妙点的多条线段与正方形ABCD无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究．性质探究：如图2，连接DP 并延长交AB 于点E ，则DE 为半圆O 的切线．证明：连接OP OD ，．由作图可知，DP DC OP OC ==，，又OD OD =．.OPD OCD SSS ∴≌（）90OPD OCD ∴∠=∠=︒，∴DE 是半圆O 的切线．问题解决：(1)如图3，在图2的基础上，连接OE .请判断∠BOE 和CDO ∠的数量关系，并说明理由；(2)在(1)的条件下，请直接写出线段DE BE CD ，，之间的数量关系；(3)如图4，已知点P 为正方形ABCD 的一个“奇妙点”，点O 为BC 的中点，连接DP 并延长交AB 于点E ，连接CP 并延长交AB 于点F ，请写出BE 和AB 的数量关系，并说明理由；(4)如图5，已知点E F G H ，，，为正方形ABCD 的四个“奇妙点”．连接AG BH CE DF ，，，，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”．请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系．【答案】(1)BOE CDO ∠=∠，理由见解析；(2)DE BE CD =+；(3)14BE AB =，理由见解析；(4)答案不唯一，如：ABH 的面积等于正方形EFGH 的面积；正方形EFGH 的面积等于正方形ABCD 面积的15等． 【分析】(1)先提出猜想，在图2以及上面结论的基础上，根据全等三角形的性质、四边形的内角和、邻补角的性质可得出BOP PDC ∠=∠，再由边边边定理可证得POE BOE ≌，然后利用全等三角形的性质、等式性质可得证结论；(2)由(1)可知OPD OCD ≌、POE BOE ≌，根据全等三角形的性质、线段的和差即可得到结论；(3)先提出猜想，添加辅助线构造出直角三角形，由(1)可知BOE CDO ∠=∠，则其正切值相等，再根据正方形的性质即可得证结论；(4)根据前面的结论结合赵爽弦图可证得 1===5RtDFC Rt DAG Rt ABH Rt BCE EFGH ABCD S S S S S S ==正方形正方形，即可提出猜想． 【详解】解：(1)结论：BOE CDO ∠=∠理由如下：∵OPD OCD ≌∴90OPD OCD ∠=∠=︒，POD COD ∠=∠，12CDO PDO PDC ∠=∠=∠ ∴360180POC PDC OPD OCD ∠+∠=-∠-∠=︒︒∵180POC BOP ∠+∠=︒∴BOP PDC ∠=∠在Rt POE △和Rt BOE △中∵OE OE =，OP OB =∴POE BOE ≌∴12POE BOE BOP ∠=∠=∠ ∵12CDO PDO PDC ∠=∠=∠ ∴BOE CDO ∠=∠；(2)∵由(1)可知，OPD OCD ≌、POE BOE ≌∴DP CD =，PE BE =∵DE DP PE =+∴DE BE CD =+∴线段DE 、BE 、CD 之间的数量关系是DE BE CD =+；(3)结论：14BE AB = 理由：连接OE 、OD ，如图：由(1)可知，BOE CDO ∠=∠∵90B OCD ∠=∠=︒∴tan tan BOE CDO ∠=∠∵点O 为BC 的中点 ∴12BE OC BO DC == ∴11112224BE BO BC BC ==⨯= ∵四边形ABCD 是正方形∴AB BC =∴14BE AB =； (4)延长DF 交BC 于点O ，连接DE 、OE ，如图：∵由前面的结论可知OED OCD ≌∴DE DC =∵此图为赵爽弦图即DF CE ⊥∴EF CF =同理可得FG DG =、GH AH =、HE BE =∵四边形EFGH 是正方形∴EF FG GH HE ===∴EF FG GH HE CF DG AH BE =======∴在Rt EHQ 和Rt DGQ 中，()90EQH DQG QHE QGD EH DG ⎧∠=∠⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩对顶角相等∴()Rt EHQ Rt DGQ AAS ≌∴Rt EHQ Rt DGQ S S =∴Rt DEFEFGH S S =正方形∴1===5Rt DFC Rt DAG Rt ABH Rt BCEEFGH ABCD S S S S S S==正方形正方形∴答案不唯一，例如，ABH的面积等于正方形EFGH的面积；正方形EFGH的面积等于正方形ABCD面积的15等等．【点睛】本题属于新定义问题，涉及到的知识点有全等三角形的判定和性质、正方形的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、邻补角的性质、对顶角的性质、线段的和差等知识点，考查了创新能力和知识的迁移能力，有一定的难度．【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题【例2】阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为a n．所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，…，a n，…，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示．如：数列1，3，5，7，…为等差数列，期中a1＝1，a2＝3，公差为d＝2．根据以上材料，解答下列问题：(1)等差数列5，10，15，…的公差d为______，第5项是______．(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d……，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+(______)d(3)求﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项？并说明理由．【答案】(1)5，25；(2)n﹣1；(3)第2018项，理由见解析．【分析】(1)根据题目中的材料，可以得到等差数列5，10，15，…的公差d和第5项的值；(2)根据题目中推导，可以得到等差数列的通项公式；(3)根据题意和题目中的数据，利用(2)中的结论，可以得到等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的公差和通项公式，从而可以求得﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第几项.【详解】解：(1)由题意可得，d＝15﹣10＝5，第5项是：15+5+5＝25，故答案为：5，25；(2)如果一个数列a1，a2，a3，…，a n，…，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2﹣a1＝d，a3﹣a2＝d，a4﹣a3＝d，…，a n﹣a n﹣1＝d，…．所以a2＝a1+d，a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d，a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d，……由此，请你填空完成等差数列的通项公式：a n＝a1+(n﹣1)d，故答案为：n﹣1；(3)﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项，理由：等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…，∴d＝﹣7﹣(﹣5)＝﹣7+5＝﹣2，∴a n＝﹣5+(n﹣1)×(﹣2)＝﹣2n﹣3，令﹣2n﹣3＝﹣4039，解得，n＝2018，即﹣4039是等差数列﹣5，﹣7，﹣9，…的第2018项.【点睛】此题考查数的计算规律，解题的关键是读懂题意，理解等差数列及等差数列公差的定义，由此正确计算各等差数列中的公差，得到数据的计算规律由此解决问题.【变式2-1】(2019•随州)若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为mn，易知mn=10m+n；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc=100a+10b+c．【基础训练】(1)解方程填空：①若2x+3x=45，则x=__________；②若7y–8y=26，则y=__________；③若93t+58t=131t，则t=__________；【能力提升】(2)交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm，则mn+nm一定能被__________整除，mn–nm一定能被__________整除，mn•nm–mn一定能被__________整除；(请从大于5的整数中选择合适的数填空)【探索发现】(3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数(例如若选的数为325，则用532–235=297)，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”．①该“卡普雷卡尔黑洞数”为__________；②设任选的三位数为abc(不妨设a＞b＞c)，试说明其均可产生该黑洞数．【答案】(1)①2．②4．③7．(2)11；9；10．【解析】(1)①∵mn=10m+n，∴若2x+3x=45，则10×2+x+10x+3=45，∴x=2，故答案为：2．②若7y–8y=26，则10×7+y–(10y+8)=26，解得y=4，故答案为：4．③由abc=100a+10b+c，及四位数的类似公式得若93t+58t=131t，则100t+10×9+3+100×5+10t+8=1000×1+100×3+10t+1，∴100t=700，∴t=7，故答案为：7．(2)∵mn+nm=10m+n+10n+m=11m+11n=11(m+n)，∴则mn+nm一定能被11整除，∵mn–nm=10m+n–(10n+m)=9m–9n=9(m–n)，∴mn–nm一定能被9整除．∵mn•nm–mn=(10m+n)(10n+m)–mn=100mn+10m2+10n2+mn–mn=10(10mn+m2+n2)∴mn•nm–mn一定能被10整除．故答案为：11；9；10．(3)①若选的数为325，则用532–235=297，以下按照上述规则继续计算，972–279=693，963–369=594，954–459=495，954–459=495，…故答案为：495．②当任选的三位数为abc时，第一次运算后得：100a+10b+c–(100c+10b+a)=99(a–c)，结果为99的倍数，由于a＞b＞c，故a≥b+1≥c+2，∴a–c≥2，又9≥a＞c≥0，∴a–c≤9，∴a–c=2，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891，再让这些数字经过运算，分别可以得到：981–189=792，972–279=693，963–369=594，954–459–495，954–459=495…，故都可以得到该黑洞数495．【名师点睛】本题是较为复杂的新定义试题，题目设置的问题较多，但解答方法大同小异，总体中等难度略大．【变式2-2】阅读下列材料：小明为了计算220172018+++++的值，采用以下方法：12222设220172018S12222=+++++①则220182019=++++②2S2222②-①得2019-=-2S S21∴2201720182019S1222221=+++++=-(1)291222++++= ;(2)210333+++= ;(3)求2n1a a a++++的和(0a>，n是正整数，请写出计算过程).【答案】(1)1021-; (2)11312-; (3)n+1或n11a1Sa+--=.【解析】【分析】(1)利用题中的方法设S=1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S=2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；(2)利用题中的方法设S=1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S=3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可；(3)利用(2)的方法计算．【详解】(1)设S=1+2+22+ (29)则2S=2+22+ (210)②-①得2S-S=S=210-1∴S=1+2+22+…+29=210-1；故答案为210-1(2)设S=3+3+32+33+34+…+310 ①，则3S=32+33+34+35+…+311 ②，②-①得2S=311-1，所以S=11312-，即3+32+33+34+ (310)11312-；故答案为11312-；(3)设S=1+a+a2+a3+a4+..+a n①，则aS=a+a 2+a 3+a 4+..+a n +a n+1②，②-①得：(a-1)S=a n+1-1，a=1时，不能直接除以a-1，此时原式等于n+1；a 不等于1时，a-1才能做分母，所以S=111n a a +--， 即1+a+a 2+a 3+a 4+..+a n =111n a a +--. 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，善用联想，利用类比的方法是解决这类问题的方法．【考点3】函数类新定义综合型问题【例3】已知函数12y kx k =+与函数2223,y x x =-+定义新函数21y y y =-(1)若2,k =则新函数y = ；(2)若新函数y 的解析式为22,y x bx =+-则k = ，b = ； (3)设新函数y 顶点为(),m n ．①当k 为何值时，n 有最大值，并求出最大值；②求n 与m 的函数解析式；(4)请你探究：函数1y 与新函数y 分别经过定点,A B ，函数2223y x x =-+的顶点为C ，新函数y 上存在一点D ，使得以点,,,A B C D 为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出k 的值．【答案】(1)261-+x x ；(2)5,12-；(3)①当32k =-时，174n =最大值；②24=--+n m m ；(4)1712=k 或1712k =-或3512k =- 【分析】(1)将k=2代入函数，然后用21y y -得到新函数；(2)先求出新函数，然后比较2个函数，利用对应位置的系数相同可求得；(3)①先用k 表示新函数的定点，得出m 、n 和k 的关系式，再利用配方法求得n 最大时k 的值； ②已求得m 、n 关于k 的关系式，将1k m =-代入n 中，化简可得m 、n 的关系式；(4)先求出定点A 、B 、C ，如下图，存在3处D 可构成平行四边形，利用平行四边形的特点求出点D 的坐标，进而得出k 的值．【详解】(1)当k=2时1222=42y x x =⋅⋅++221=2342y y y x x x =--+--=261-+x x(2)2221232kx (22)(3)y y y x x k x k x k =-=-+--=-++-∵新函数的解析式为：22,y x bx =+-∴b=(22)k -+，－2=(3－k)解得：k=5，b=－12(3)①新函数()2213y x k x k =-++-项点为(),m n . ()22132y x k k k ∴=----+.21,3 2.m k n k k =+⎧∴⎨=--+⎩ 223173224n k k k ⎛⎫∴=--+=-++ ⎪⎝⎭ 当32k =-时，174n =最大值 ∴新函数y 的顶点的绿坐标有最大值，最大值为174②21,3 2.m k n k k =+⎧⎨=--+⎩将1k m =-代入232n k k =--+得:24n m m ∴=--+(4)∵点A 是12y kx k =+的定点坐标1(21)y x k =+，当x=12-时，y=0 ∴A(12-，0)∵点B 是新函数2(22)(3)y x k x k =-++-上的定点2(21)(23)y x k x x =--+-+当x=12-时，y=174∴点B(12-，174) ∵点C 是2223y x x =-+的定点22(1)2y x =-+∴C(1，2)∵四边形ABCD 是平行四边形，存在如下图3种情况：根据平行四边形的性质，易知：图1中，点D(1，94-) 图2中，点D(1，254) 图3中，点D(-2，94) 当点D(1，94-)时，代入新函数2(22)(3)y x k x k =-++- 解得：k=1712同理可得1712k =-或3512k =-∴1712=k 或1712k =-或3512k =- 【点睛】本题考查二次函数的综合，难点在第(4)问，解题关键是先确定定点A 、B 和顶点C 的坐标，根据平行四边形的性质得出点D 的坐标．【变式3-1】特例感知(1)如图1，对于抛物线211y x x =--+，2221y x x =--+，2331y x x =--+，下列结论正确的序号是_________；①抛物线1y ，2y ，3y 都经过点(0,1)C ；②抛物线2y ，3y 的对称轴由抛物线1y 的对称轴依次向左平移12个单位得到； ③抛物线1y ，2y ，3y 与直线1y =的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念(2)把满足21n y x nx =--+(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图2.①“系列平移抛物线”的顶点依次为1P ，2P ，3P ，…，n P ，用含n 的代数式表示顶点n P 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：1C ，2C ，3C ，…，n C ，其横坐标分别为：1k --，2k --，3k --，…，k n --(k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.③在②中，直线1y =分别交“系列平移抛物线”于点1A ，2A ，3A ，…，n A ，连接n n C A ，11n n C A --，判断n n C A ，11n n C A --是否平行？并说明理由.【答案】(1)①②③(2)①2,124n n n P ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，21y x =+． 21k +③不平行，直线n n C A 的斜率(比例系数)为k n +，与n 取值有关(若两直线平行，则斜率会相等).【解析】(1)①当x =0,1231y y y ===，所以正确；②123,,y y y 的对称轴分别是直线112x =-，21x =-，332x =-，所以正确； ③123,,y y y 与1y =交点(除了点C )横坐标分别为–1，–2，–3，所以距离为1，都相等，正确．(2)①2224124n n n y x nx x +⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，所以顶点24,24n n n P ⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 令顶点n P 横坐标2n x =-，纵坐标244n y +=，22241142n n y x +⎛⎫==-+=+ ⎪⎝⎭， 即：n P 顶点满足关系式21y x =+. ②相邻两点之间的距离相等．理由：根据题意得；()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， ∴C n C n –1两点之间的铅直高度=()2211k nk k k nk k --++---+=． C n C n –1两点之间的水平距离=1()1k n k n --+---=．∴由勾股定理得C n C n –12=k 2+1，∴C n C n –121k +.③n n C A 与11n n C A --不平行．理由：根据题意得：()2,1n C k n k nk ----+，()211,1n C k n k nk k ---+--++， (),1n A n -，()11,1n A n --+．过C n ，C n –1分别作直线y =1的垂线，垂足为D ，E ，所以D (–k –n ，1)，E (–k –n +1，1).在Rt △DA n C n 中，tan ∠DA n C n =()2211()n n k nk C D k nk k n A D n k n k---++===+----， 在Rt △EA n –1C n –1中，tan ∠EA n –1C n –1=()22111111(1)n n k nk k C E k nk k k n A E n k n k-----+++-===+--+---+， ∵1k n +-≠k n +，∴tan ∠DA n C n ≠tan ∠EA n –1C n –1，∴n n C A 与11n n C A --不平行．【变式3-1】(2019•山东威海)(1)阅读理解如图，点A ，B 在反比例函数y =1x的图象上，连接AB ，取线段AB 的中点C ．分别过点A ，C ，B 作x 轴的垂线，垂足为E ，F ，G ，CF 交反比例函数y =1x的图象于点D ．点E ，F ，G 的横坐标分别为n ﹣1，n ，n +1(n >1)． 小红通过观察反比例函数y =1x 的图象，并运用几何知识得出结论： AE +BG =2CF ，CF >DF ， 由此得出一个关于11n -，11n +，2n，之间数量关系的命题： 若n >1，则__________．(2)证明命题小东认为：可以通过“若a ﹣b ≥0，则a ≥b ”的思路证明上述命题．小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b≥1，则a≥b”的思路证明上述命题．请你选择一种方法证明(1)中的命题．【解析】(1)∵AE+BG=2CF，CF>DF，AE=11n-，BG=11n+，DF=1n，∴11n-+11n+>2n．故答案为：11n-+11n+>2n．(2)方法一：∵11n-+11n+﹣2n=22222(1)(1)n n n n nn n n++--+-+=2(1)(1)n n n-+，∵n>1，∴n(n﹣1)(n+1)>0，∴11n-+11n+﹣2n>0，∴11n-+11n+>2n．方法二：∵11112n nn+-+=221nn->1，∴11n-+11n+>2n．【名师点睛】本题考查反比例函数图形上的点的坐标特征，反比例函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【变式3-2】定义一种新运算：a⊕b＝a(a b) b(a b)⎧≤⎨>⎩(1)请写出函数y＝x⊕1的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象；(2)观察(1)中图象，探究得到y的最小值是．【答案】(1)y ＝x(x 0)x(0x 1)1(x 1)-<⎧⎪⎨⎪>⎩，图象见解析； (2)0．【解析】【分析】(1)根据新运算可得到y= ()()111x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＞ ，分别讨论x ＜0和0≤x≤1时，去绝对值符号，即可得到函数y=x ⊕1的解析式，在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象，即可得到答案，(2)观察(1)中图象，即可得到当x=0时，y 有最小值，即可得到答案．【详解】解：(1)根据题意得：y ＝()()111x x x ⎧≤⎪⎨⎪⎩＞， 当x ＜0时，|x |＝﹣x ，当0≤x ≤1时，|x |＝x ，即y ＝()x(x 0)x 0x 11(x 1)-<⎧⎪⎨⎪>⎩，该函数图象如下图所示：(2)由图象可知：当x ＝0时，y 有最小值0．故答案为：(1)()()()00111x x x x x -⎧⎪≤≤⎨⎪⎩＜＞，图象见解析；(2)0．【点睛】本题考查函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是正确观察函数图象．【考点4】变换操作类阅读型问题【例4】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1) 概念理解：如图1，在四边形ABCD 中，添加一个条件，使得四边形ABCD 是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ．(2) 问题探究：如图2，小红画了一个ABC Rt ∆，其中90ABC ∠=︒，2AB =，1BC =，并将ABC Rt ∆沿B ∠的平分线BB '方向平移得到'''C B A ∆，连结AA '、BC '．小红要使平移后的四边形ABC A ''是“等邻边四边形”，应平移多少距离(即线段BB '的长)？(3) 应用拓展：如图3，“等邻边四边形”ABCD 中，AB AD =，90BAD BCD ∠+∠=︒，AC 、BD 为对角线，2AC =．试探究BC 、CD 、BD 的数量关系．【答案】(1)DA=AB(答案不唯一)；(2)应平移2或5或2或1422的距离；(3)BC2+CD2=2BD2．【解析】试题分析：(1)由“等邻边四边形”的定义易得出结论；(2)①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；(3)由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．解：(1)AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB(任写一个即可)；(2)①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，(I)如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；(II)如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；(III)当A′C′=BC′=时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=∠ABC=45°，∴∠BB′D=′∠ABB′=45°∴B′D=B，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=x，∵在Rt△BC′D中，BD2+(C′D)2=(BC′)2∴x2+(x+1)2=()2，解得：x1=1，x2=﹣2(不合题意，舍去)，∴BB′=x=(Ⅳ)当BC′=AB=2时，如图4，与(Ⅲ)方法一同理可得：BD2+(C′D)2=(BC′)2，设B′D=BD=x，则x2+(x+1)2=22，解得：x1=，x2=(不合题意，舍去)，∴BB′=x=；(3)BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，∵AB=AD，∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，∴△ABF≌△ADC，∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，∴∠BAD=∠CAF，==1，∴△ACF∽△ABD，∴==，∴BD，∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣(∠BAD+∠BCD)=360°﹣90°=270°，∴∠ABC+∠ABF=270°，∴∠CBF=90°，∴BC2+FB2=CF2=(BD)2=2BD2，∴BC2+CD2=2BD2．考点：1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定理的运用．【变式4-1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.(1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称、；(2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；(3)如图2，将∆ABC( BC >AB )绕顶点B 按顺时针方向旋转60︒，得到∆DBE ，连接AD 、DC ，四边形ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求∠DCB 的度数.【答案】(1)矩形，正方形(答案不唯一)；(2)C(3,4)，(4,3)；(3)∠DCB=30°.【解析】【分析】(1)根据矩形与正方形的性质可得答案；(2)利用勾股定理可得AB=5，然后在格点中找满足OC=5的点即可；(3)连接CE，根据旋转的性质可得△ABC≌△DBE，则BC=BE，因为∠CBE=60°，所以△BCE是等边三角形，则BC=CE，∠BCE=60°，根据勾股四边形的定义与勾股定理的逆定理可得∠DCE=90°，则可得∠DCB的度数.【详解】解：(1)矩形；正方形(答案不唯一)；(2)，则C点坐标如图为：(3,4)，(4,3)；(3)连接CE，由旋转的性质得：△ABC ≌△DBE ，则BC=BE ，AC=BD ，∵∠CBE=60°，∴△BCE 是等边三角形，∴BC=CE ，∠BCE=60°，∵四边形ABCD 为勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边， ∴， ∴，∴∠DCE=90°，∴∠BCD=∠DCE ﹣∠BCE=90°﹣60°=30°.【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，全等三角形-旋转，等边三角形的判定等，解此题的关键在于准确理解题中勾股四边形的定义，利用勾股定理及其逆定理进行证明.与计算.【变式4-2】根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．(1)某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”)．①四条边成比例的两个凸四边形相似；(__________命题)②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(__________命题)③两个大小不同的正方形相似．(__________命题)(2)如图1，在四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1中，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1，11AB A B =11BC B C =11CD C D ．求证：四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似． (3)如图2，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ∥AB 分别交AD ，BC 于点E ，F ．记四边形ABFE 的面积为S 1，四边形EFCD 的面积为S 2，若四边形ABFE 与四边形EFCD 相似，求21S S 的值．【解析】(1)①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等．②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例．③两个大小不同的正方形相似．是真命题．故答案为假，假，真．(2)如图1中，连接BD ，B 1D 1．∵∠BCD =∠B 1C 1D 1，且11BC B C =11CD C D ， ∴△BCD ∽△B 1C 1D 1，∴∠CDB =∠C 1D 1B 1，∠C 1B 1D 1=∠CBD ， ∵11AB A B =11BC B C =11CD C D ，∴11BD B D =11AB A B ， ∵∠ABC =∠A 1B 1C 1，∴∠ABD =∠A 1B 1D 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1， ∴11AD A D =11AB A B ，∠A =∠A 1，∠ADB =∠A 1D 1B 1， ∴11AB A B =11BC B C =11CD C D =11AD A D ，∠ADC =∠A 1D 1C 1，∠A =∠A 1，∠ABC =∠A 1B 1C 1，∠BCD =∠B 1C 1D 1， ∴四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1D 1相似．(3)如图2中，∵四边形ABCD 与四边形EFCD 相似，∴DE AE =EF AB ， ∵EF =OE +OF ，∴DE AE =OE OF AB+， ∵EF ∥AB ∥CD ，∴DE AD =OE AB ，DE OC OF AD AB AB==， ∴DE AD +DE AD =OE AB +OF AB ，∴2DE AD =DE AE， ∵AD =DE +AE ，∴2DE AE +=1AE， ∴2AE =DE +AE ，∴AE =DE ，∴21S S =1． 【名师点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，相似多边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．1．阅读理解：已知两点1122,,()(),M x y N x y ，则线段MN 的中点(),K x y 的坐标公式为：122x x x +=，122y y y +=．如图，已知点O 为坐标原点，点()30A -,，O 经过点A ，点B 为弦PA 的中点．若点(),P a b ，则有,a b 满足等式：229a b +=．设(),B m n ，则,m n 满足的等式是( )A ．229m n +=B ．223922m n -⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()()222323m n ++= D ．()222349m n ++=【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式求得点B 的坐标，然后代入,a b 满足的等式进行求解即可. 【详解】∵点()30A -,，点(),P a b ，点(),B m n 为弦PA 的中点， ∴32a m -+=，02b n +=， ∴23,2a m b n =+=， 又,a b 满足等式：229a b +=， ∴()222349m n ++=， 故选D ． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式．2．阅读理解：解方程2||20x x --=．解：(1)当0x ≥时，原方程可以化为220x x --=，解得122,10x x ==-<(不合题意，舍去)；(2)当0x <时，原方程可以化为220x x +-=，解得122,10x x =-=>(舍去)，∴原方程的解为122,2x x ==-．那么方程2|1|10x x ---=的解为( )A ．120,1x x ==B ．122,1x x =-=C ．121,2x x =-=D ．121,2x x ==【答案】B 【分析】根据绝对值的定义当x≥1时方程为x 2-x+1-1=0，求出方程的解；当x ＜1时方程为x 2+x-1-1=0，求出方程的解，即可求出答案． 【详解】当x≥1时，方程为x 2-x+1-1=0，∴x 1=0(舍去)，x 2=1；当x ＜1时，方程为x 2+x-1-1=0， ∴x 1=-2，x 2=1(舍去)， ∴方程的解是x 1=-2，x 2=1． 故选：B ． 【点睛】此题考查绝对值，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，能正确去绝对值符号是解题的关键．3．阅读理解：a ，b ，c ，d 是实数，我们把符号a b c d称为22⨯阶行列式，并且规定：a b a d b c c d=⨯-⨯，例如：323(2)2(1)62412=⨯--⨯-=-+=---.二元一次方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解可以利用22⨯阶行列式表示为：xy D x DD y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；其中1122a b D a b =，1122xc b D c b =，1122ya c D a c =.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组213212x y x y +=⎧⎨-=⎩时，下面说法错误的是( )A ．21732D ==-- B ．14x D =-C ．27yD =D ．方程组的解为23x y =⎧⎨=-⎩【答案】C 【解析】【分析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得. 【详解】A 、D=2132-=2×(-2)-3×1=﹣7，故A 选项正确，不符合题意； B 、D x =11122-=﹣2﹣1×12=﹣14，故B 选项正确，不符合题意；C 、D y =21312=2×12﹣1×3=21，故C 选项不正确，符合题意；D 、方程组的解：x=147x D D -=-=2，y=217y D D =-=﹣3，故D 选项正确，不符合题意，故选C ．【点睛】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.4．将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)…，我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m 组第n 个数字，则m +n ＝_____． 【答案】65 【分析】根据题目中数字的特点，可知每组的个数依次增大，每组中的数字都是连续的偶数，然后即可求出2020是多少组第多少个数，从而可以得到m 、n 的值，然后即可得到m +n 的值． 【详解】解：∵将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为(2)，(4，6)，(8，10，12)，(14，16，18，20)…， ∴第m 组有m 个连续的偶数， ∵2020＝2×1010， ∴2020是第1010个偶数， ∵1+2+3+ (44)44(441)2⨯+＝990，1+2+3+…+45＝45(451)2⨯+＝1035，∴2020是第45组第1010－990＝20个数， ∴m ＝45，n ＝20， ∴m +n ＝65． 故答案为：65． 【点睛】本题考查探索规律，认真观察所给数据总结出规律是解题的关键． 5．观察下列各式：11111122⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭，请利用你发现的规律，计算：2222222211111111111112233420182019+++++++++⋯+++，其结果为____． 【答案】201820182019． 【分析】根据题意找出规律，根据二次根式的性质计算即可． 【详解】2222222211111111111112233420182019++++++++++++11111111122320182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111201812233420182019=+-+-+-++- 201820182019=，故答案为201820182019．【点睛】本题考查的是二次根式的化简、数字的变化规律，掌握二次根式的性质是解题的关键．6．右表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……，我们把第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，……，第n 个数记为n a ，则4200a a +=_________．【答案】20110 【分析】根据所给数据可得到关系式()12n n n a +=，代入即可求值．由已知数据1，3，6，10，15，……，可得()12n n n a +=， ∴445102a ⨯==，200200201201002a ⨯==， ∴420020100+10=20110+=a a ． 故答案为20110． 【点睛】本题主要考查了数字规律题的知识点，找出关系式是解题的关键． 7．阅读理解：对于任意正实数a 、b ，∵()2≥0，∴a-2，∴a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立． 结论：在a+b(a 、b 均为正实数)中，若ab 为定值P ，则a+b，当且仅当a=b 时，a+b 有最小值．根据上述内容，回答下列问题：(1)若x ＞0，只有当x= 时，4x+有最小值为 ．(2)探索应用：如图，已知A(-2，0)，B(0，-3)，点P 为双曲线y=(x ＞0)上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状． (3)已知x ＞0，则自变量x 为何值时，函数y=取到最大值，最大值为多少？【答案】(1)，12；(2)最小值为12，四边形ABCD 是菱形；(3)．。

4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，（1）求直线AD 和BC 之间的距离；5．如图，在菱形中，ABCD AB 6．问题提出（1）如图①，在中，ABCt=N （1）当_______秒时，点落在(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线(b>0)3y x b =+FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出围．9．如图，在平面直角坐标系中，点，(1,2)A (5,0)B 轴正半轴于点，连结，．C AO AB （1）求点的坐标；C 10．如图，射线AM 上有一点CD ⊥AM ，且CD ＝AC ．过D 4311．已知：如图，四边形，，ABCD AB DC CB AB ⊥，动点从点开始沿边匀速运动，运动速度为8CD cm =Q D DA 开始沿边匀速运动，运动速度为．点和点AB 2/cm s P Q 1xoy （1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE（1）求证：DE＝BO；（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．①求点E的坐标；②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P（1）求A ，B ，C 三点坐标；（2）如图1，点D 为AC 中点，点E 在线段BD 上，且BE=2DE ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 坐标；（3）如图2，将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG △ACG 内一点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在它们的左侧作等边△边△AGQ ，求PA+PC+PG 的最小值，并求当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标（直接写出结果即可）．（1）如图1，连接BE ，若∠ACD=22°，求∠MBE 的度数；（2） 如图2，连接DO 并延长，交⊙O 于点F ，连接AF ，交CD 于点N ．①求证：DM 2+CN 2=CM 2；②如图3，当AD=1，AB=时，请直接写出线段ME 的长．1017．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于B 、C 两点（点228y ax ax a =--x 点C 右侧），与轴交于点，连接，．y A AB 25AB =（1）求抛物线的解析式；22．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0x y =>4α由已知，215(3,2),(,1),(3)D M k k N k k k --+，12四边形是正方形，PQMN 3，，90BQF ∠=︒45B ∠=︒4 56BC=CF=6-3x，∵∠QAF=QDE，∠AHD=∠QED由折叠的性质得：AH=DH，∵D在BC上，AE AH∴△AEF∽△BAD，AB AE AE AF4则，，DM AB ⊥4==MN ACMN === AD AB3当时，63CE CP ==∵，33OC =∴，133OP =293OP =∴1233030P P -（，），（9，∵CD∥EH，EH∥FG，∴CD∥FG，∴∠DCN＝∠CNG＝42°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCN＝90【点睛】。

绝密★启用前决胜2021年上海市中考数学压轴题全揭秘精品试题数学试题考生注意：1.本试卷共25题。

2.试卷满分150分，考试时间100分钟。

3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一．选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）【分析】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义进行判断即可．【详解】最简二次根式：被开方数中不含能开方开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式AB a b +，错误；C a b +=D 244b a b +=+，错误．故答案选：A【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式需要满足的条件是解题关键．2.下列方程中，有实数根的是（ ）A. 210x +=B. 210x -= 1=- D. 101x =- 【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分数方程的定义进行判断即可．【详解】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 计算：A ：21040x +=⇒∆=-<，方程无实根，错误；B ：21040x -=⇒∆=>，方程有两个不等实根，正确；C 10=-<,二次根式无意义，方程无解，错误；D ：101x =-，分式方程需满足分母不为0，此方程无解，错误． 故答案选：B【点睛】本题一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分数方程的定义，掌握相关的定义与计算是解题关键．3．下列函数中，函数值y 随自变量x 增大而减小的是（ ）A ．y ＝4xB ．y =12x ﹣5C ．y ＝3x +6D ．y ＝﹣1.6x +4【解答】当k ＜0时，函数值y 随自变量x 增大而减小，故选：D ．4．甲、乙两人在相同的条件下，各射靶10次，经过计算：甲、乙射击成绩的平均数都是8环，甲的方差是1.2，乙的方差是2.8．下列说法中正确的是（ ）A ．甲的众数与乙的众数相同B ．甲的成绩比乙稳定C ．乙的成绩比甲稳定D ．甲的中位数与乙的中位数相同【解答】∵甲的方差是1.2，乙的方差是2.8，∴S 甲2＜S 乙2，∴甲的成绩比乙稳定；故选：B ．5.下列命题中，假命题是（ ）A. 顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形B. 顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形C. 顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形D. 顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形【分析】根据平行四边形、特殊的平行四边形的判定、中位线定理、中点四边形的定义进行判定即可．【详解】观察图形：,,,E F G H 分别为,,,AC AB BD CD 的中点，根据中位线定理：1//,//,2EF BC GH BC EF GH BC == A ：顺次联结任意四边形四边中点所得的四边形是平行四边形,正确；B ：顺次联结对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形，正确；C ：顺次联结对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形，正确；D ：顺次联结两组邻边互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是平行四边形，错误． 故答案选：D ．【点睛】本题考查中位线定理应用、平行四边形、特殊的平行四边形的判定，掌握四边形的判定是解题关键．6．已知，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝135°，CD ⊥AB ，且CD ＝1．若以点A 为圆心，√3为半径作⊙A ，以点B 为圆心，1为半径作⊙B ，则⊙A 与⊙B 的位置关系是（ ）A ．内切B ．外切C ．相交D ．外离【解答】在30°的直角三角形ACD 中，因为CD ＝1，则AC ＝2，AD =√3，在等腰直角三角形BCD 中，求得BD ＝CD ＝1，则AB =√3−1，因为⊙A 的半径﹣⊙B 的半径=√3−1＝AB ，所以两圆内切．故选：A ．二．填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：（﹣x 3y ）2＝ ．【解答】（﹣x 3y ）2＝x 6y 2，故答案为：x 6y 2．8．已知f （x ）＝x 2﹣1，那么f （﹣1）＝ ．【解答】当x ＝﹣1时，f （﹣1）＝（﹣1）2﹣1＝0．故答案为：0．9.分解因式：223m m +-=_______．【答案】()()31m m +-【分析】根据十字相乘法分解因式即可．【详解】根据十字相乘法分解因式可得：223m m +-=()()31m m +- 【点睛】本题考查因式分解，掌握十字相乘法分解因式是解题关键．10.方程组22205x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是_______．【答案】12x y =⎧⎨=⎩或12xy =-⎧⎨=-⎩ 【分析】先将y 用含x 的式子表示，再代入解一元二次方程即可．【详解】22205x y x y -=⎧⎨+=⎩①②由①得：2y x =③将③代入②得：()2225x x +=解得：1x =± ，将1x =±代入③得：2y =±∴12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩故答案为：12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，掌握代入消元是解题关键．11．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是 ．【解答】∵在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，∴掷的点数大于4的概率为26=13， 故答案为：13． 12．用1块A 型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B 型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A 、B 两种型号的钢板共 块．【解答】设需用A 型钢板x 块，B 型钢板y 块，依题意，得：{4x +3y =37①x +2y =18②， （①+②）÷5，得：x +y ＝11．故答案为：11．13．碚碚用新买的50元5G 电话卡打长途电话，按通话时间3分钟内收1.2元，3分钟后每超过1分钟加收0.3元钱的方式缴纳话费．若通话时间为t 分钟（t 大于等于3分钟），那么电话费用w （元）与时间t （分钟）的关系式可以表示为 ．【解答】由题意得：w ＝1.2+0.3（t ﹣3）＝0.3t +0.3（t ≥3）．故答案为：w ＝0.3t +0.3（t ≥3）．14．小明为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，他随机调查了该小区50户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这50户家庭各类生活垃圾的投放总量是100千克，并画出各类生活垃圾投放量分布情况的扇形图（如图所示），根据以上信息，估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约 千克．【解答】估计该小区300户居民这一天投放的可回收垃圾共约30050×100×15%＝90（千克）， 故答案为：90．15.如图，O 的弦AB 和直径CD 交于点E ，且CD 平分AB ，已知AB=8，CE=2，那么O的半径长是______．【分析】连接OB ，设半径为r ，根据勾股定理进行计算即可．【详解】如图：连接OB∵CD 平分AB ，=8AB∴4AE BE ==设半径为r∵2CE =∴2OE r =-在Rt OEB ∆中：()22224r r =-+解得：=5r故答案为：5【点睛】本题考查了勾股定理，转化相关线段之间的关系是解题关键．16．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，如果AC →=x →，那么CD →= （用x →表示）．【解答】在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∴∠ABC ＝60°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∴∠A ＝∠ABD ，∴AD ＝BD ，DB ＝2DC ，∴AD ＝2DC ，∴CD =13AC ，∴CD →=−13x →，故答案为−13x →．17．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AD 的中点．将△ABE 沿直线BE 翻折，点A 落在点F 处，联结DF ，那么∠EDF 的正切值是 ．【解答】如图所示，由折叠可得AE ＝FE ，∠AEB ＝∠FEB =12∠AEF ，∵正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，∴AE ＝DE =12AD =12AB ，∴DE ＝FE ，∴∠EDF ＝∠EFD ，又∵∠AEF 是△DEF 的外角，∴∠AEF ＝∠EDF +∠EFD ，∴∠EDF =12∠AEF ，∴∠AEB ＝∠EDF ，∴tan ∠EDF ＝tan ∠AEB =AB AE =2．故答案为：2．18.如图，在ABCD 中，AD=3，AB=5，4sin 5A =，将ABCD 绕着点B 顺时针旋转()090θθ︒<<︒后，点A 的对应是点'A ，联结'AC ，如果'A C BC ⊥，那么cos θ的值是______．【分析】作'A C BC ⊥，连接'A B 与DC 交于G ,作'CH A B ⊥于H ,得出HBC A ∠=∠,从而得出G 为'A B 的中点，从而转化相关线段关系即可．【详解】如图：作'A C BC ⊥，连接'A B 与DC 交于G ,作'CH A B ⊥于H ∵43,5,sin 5AD AB A ===∴'3,5BC BA ==∴''44,sin 5AC A BC =∠= ∴'A BC A GCB ∠=∠=∠ ∴'52AG GC GB === 在'Rt A BC ∆中，根据等面积法得出：''125AC BC CH A B == ∴710GH ==∴7710cos 5252HGC ∠== 又∵'HGC ABA θ∠=∠=∠∴7cos 25θ= 故答案为：725 【点睛】本题考查了旋转与直角三角形相关的知识，掌握相关的角度转化和线段之间的关系是解题关键．三．解答题（共7小题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：116tan 60|23-⎛⎫+-⎪⎝⎭【解答】原式＝321+= 20．（本题满分10分） 解不等式组：()3247133x x x x ⎧-->--⎪⎨---≤⎪⎩，并将解集在数轴上表示出来．【分析】将不等式分别求解，再找出公共部分即可．【详解】()3247133x x x x ⎧-->--⎪⎨---≤⎪⎩①② 由①得：364x x -+>--，解得：5x <由②得：371x x --≤-，解得：4x ≥-∴不等式的解集为：45x -≤<，在数轴上表示为：【点睛】本题考查不等式组的解法，掌握不等式组的解法以及公共部分的寻找是解题关键．21．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，已知经过点M （1，4）的直线y ＝kx +b （k ≠0）与直线y ＝2x ﹣3平行．（1）求k ，b 的值；（2）若直线y ＝2x ﹣3与x 轴交于点A ，直线y ＝kx +b 交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，求△MAC 的面积．【解答】（1）∵直线y ＝kx +b （k ≠0）与直线y ＝2x ﹣3平行，∴k ＝2，∵直线y ＝2x +b 经过点M （1，4），∴2×1+b ＝4，∴b ＝2．∴k ＝2，b ＝2；（2）连接AC ，AM ，在直线y ＝2x ﹣3中，当y ＝0时，2x ﹣3＝0，解得x ＝1.5，∴点A 坐标是（1.5，0）在y ＝2x +2中，当y ＝0时，2x +2＝0，解得x ＝﹣1，当x ＝0时，y ＝2，∴点B的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，2）．∴AB＝OA+OB＝1.5+|﹣1|＝2.5，∴S△MAC＝S△AMB﹣S△ABC=12×2.5×4−12×2.5×2＝2.5．22．（本题满分10分）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？【分析】设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，根据数量=总价÷单价结合用10000元购买科普类图书比用9000元购买文学类图书数量少100本，可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．【详解】解：设科普类图书平均每本的价格为x元，则文学类图书平均每本的价格为（x-5）元，根据题意得：1000090001005x x=--，化简得x2+5x-500=0，解得：x=20或x=-25（舍去），经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意．答：科普类图书平均每本的价格为20元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及解一元二次方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．23.已知：△ABC，ACAB=，∠BAC=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF.（1）如图6-1，当∠EDF =90°时，求证：BE =AF ；（2）如图6-2，当∠EDF =45°时，求证：.CFBE DF DE =22证明：（1）联结AD （如图6-1）.在Rt △ABC 中，∵︒=∠90BAC ，CD BD =，∴AD BD =,BC AD ⊥，︒=∠=∠45CAD BAD . ····································································· 1分 在△ABC 中，∵AC AB =，∴C B ∠=∠. ·················································································· 1分 ∵︒=∠90BAC ，∴︒=∠+∠90C B .∴︒=∠=∠45C B .又∵︒=∠45CAD ，∴CAD B ∠=∠. ··················································································· 1分 ∵︒=∠+∠90ADE BDE ，︒=∠+∠90ADE ADF ，∴ADF BDE ∠=∠. ······························· 1分 在△BDE 和△ADF 中，∵CAD B ∠=∠,AD BD =,ADF BDE ∠=∠,∴△BDE ≌△ADF . ············································································································· 1分 ∴AF BE =. ······················································································································· 1分（2）∵EDF BDE BDF ∠+∠=∠，CFD C BDF ∠+∠=∠，∴=∠+∠EDF BDE CFD C ∠+∠.又∵︒=∠=∠45EDF C ，∴=∠BDE CFD ∠. ·············· 1分 又∵C B ∠=∠，∴△BDE ∽△CFD . ··················································································· 1分 ∴DF DE CF BD CD BE ==. ··········································································································· 2分 ∴2)(DFDE CF BD CD BE =⋅. ········································································································· 1分 又∵CD BD =，∴.22CFBE DF DE = ························································································· 1分 方法2. 如图6-2，联结AD ，过点D 作AB DG ⊥，AC DH ⊥，垂足分别为G 、H .证出△BDE ∽△CFD ，累计得到 ·························································································· 2分∴.S S DF DE CFDBDE △△=22 ··············································································································· 1分 写出DH CF DG BE DH CF DG BE S S CFD BDE⋅⋅=⋅⋅=2121△△. ················································································ 1分 证出DH DG =， ··············································································································· 1分∴.22CF BE DFDE = ··················································································································· 1分 24.如图7，在平面直角坐标系中，抛物线2yx bx 经过点A (2，0)．直线122y x =-与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标；（2）将抛物线2yx bx 向右平移，使平移后的抛物线经过点B ，求平移后抛物线的表达式； （3）将抛物线2y x bx 向下平移，使平移后的抛物线交y 轴于点D ，交线段BC 于点P 、Q ，（点P 在点Q 右侧），平移后抛物线的顶点为M ，如果DP ∥x 轴，求∠MCP 的正弦值．解：（1）由题意，抛物线2yx bx 经过点A (2，0)， 得042b ， 解得 2b ···················································································· （2分） ∴抛物线的表达式是22y x x =-. ···················································································· （1分） 它的顶点C 的坐标是（1，-1）. ························································································· （1分）（2）∵直线122y x =-与x 轴交于点B ， ∴点B 的坐标是(4，0) . ···························· （1分） xOy B CA xyo①将抛物线22y x x =-向右平移2个单位，使得点A 与点B 重合，此时平移后的抛物线表达式是231（）y x =--.································································· （2分） ②将抛物线22y x x =-向右平移4个单位，使得点O 与点B 重合，此时平移后的抛物线表达式是251（）y x =--.································································· （1分） （3）设向下平移后的抛物线表达式是：22y x x n =-+，得点D （0，n ）.∵DP ∥x 轴，∴点D 、P 关于抛物线的对称轴直线1x对称，∴P （2，n ）. ∵点P 在直线BC 上，∴12212n =⨯-=-. ∴平移后的抛物线表达式是：222y x x =--. ································································· （2分） ∴新抛物线的顶点M 的坐标是（1，-2）. ········································································ （1分） ∴MC //OB ，∴∠MCP =∠OBC ．在Rt △OBC 中，sin OC OBCBC ， 由题意得：OC =2，25BC， ∴5sin sin 25MCP OBC . ·············································································· （1分）即∠MCP 25.如图1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，cosC ＝，DC ＝5，BC ＝6，以点B 为圆心，BD 为半径作圆弧，分别交边CD 、BC 于点E 、F ．（1）求sin ∠BDC 的值；（2）联结BE ，设点G 为射线DB 上一动点，如果△ADG 相似于△BEC ，求DG 的长；（3）如图2，点P 、Q 分别为边AD 、BC 上动点，将扇形DBF 沿着直线PQ 折叠，折叠后的弧D'F'经过点B 与AB 上的一点H （点D 、F 分别对应点D'，F'），设BH ＝x ，BQ ＝y ，求y 关于x的函数关系式（不需要写定义域）．【分析】（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．想办法求出BJ，BD即可解决问题．（2）分两种情形分别求解：①当△ADG∽△BCE时．②当△ADG∽△ECB时，分别利用相似三角形的性质求解即可．（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意BQ＝QJ＝y，求出QK，KJ，在Rt△QKJ中，利用勾股定理即可解决问题．解：（1）如图1中，连接BE，过点D作DK⊥BC于K，过点B作BJ⊥CD于J．在Rt△CDK中，∵∠DKC＝90°，CD＝5，cos∠C＝＝，∴CK＝3，∵BC＝6，∴BK＝CK＝3，∵AD∥BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝90°∵DK⊥BC，∴∠A＝∠ABC＝∠DKB＝90°，∴四边形ABKD是矩形，∴AD＝BK＝3，∴DB＝DC＝5，DK＝＝＝4，∵S△DCB＝•BC•DK＝•CD•BJ，∴BJ＝，∴DJ＝＝＝，∵BD＝BE，BJ⊥DE，∴DJ＝JE＝，∴EC＝CD﹣DJ＝JE＝5﹣＝，∴sin∠BDC＝＝＝．（2）如图2中，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠DBC，∵DB＝DC，∴∠DBC＝∠C，∴∠ADG＝∠C，∵△ADG相似△BEC，∴有两种情形：当△ADG∽△BCE时，∴＝，∴＝，∴DG＝，当△ADG∽△ECB时，＝，＝，∴DG＝．（3）如图3中，过点B作BJ⊥PQ交于J，连接BJ，JH，JQ，过点J作JG⊥BH于G，过点Q作QK⊥JH于K．由题意：QB＝QJ＝y，BJ＝BD＝5，∵JB＝JH，JG⊥BH，∴BG＝GH＝x，∴JG＝＝，∵∠GBQ＝∠BGK＝∠QKG＝90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ＝GK＝y，QK＝GB＝x，在Rt△QKJ中，∵JQ2＝QK2+KJ2，∴y2＝x2+（﹣y）2，∴y＝．。

2021上海市中考数学精品模拟试卷（后附教师版答案详解）（满分150分，答题时间120分钟）一、选择题〔共6小题，每题4分，共24分。

下列选项中有且只有一个选项是正确的，选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上〕1．若x+y＝2，z﹣y＝﹣3，则x+z的值等于（）A．5B．1C．﹣1D．﹣52．小红连续5天的体温数据如下（单位：℃）：36.6，36.2，36.5，36.2，36.3．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．中位数是36.5℃B．众数是36.2°CC．平均数是36.2℃D．极差是0.3℃3．不等式组{2x−1≤3，x+1＞2的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．4．下列等式成立的是（）A．3+4√2=7√2B．√3×√2=√5C．√36=2√3D．√(−3)2=35.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D6．如图，在⊙O中，AB为直径，∠AOC＝80°．点D为弦AC的中点，点E为BĈ上任意一点．则∠CED 的大小可能是（）A．10°B．20°C．30°D．40°二、填空题〔共12小题，每题4分，共48分。

请将结果直接填入答题纸相应位置上〕7．计算：（π﹣1）0+|﹣2|＝．8．分解因式：xy2﹣4x＝．9．若一次函数y＝2x+2的图象经过点（3，m），则m＝．10．方程2x+10＝0的解是．11．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是．12．二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为．13．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是．14．某鸡腿生产公司的质检人员从两批鸡腿中各随机抽取了6个，记录相应的质量（g）如表，若甲、乙两个样本数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2S乙2（填“＞“、“＝”、“＜”）15．如图，在▱ABCD中，∠B＝60°，AB＝10，BC＝8，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得DF=14DE，以EC、EF为邻边构造▱EFGC，连接EG，则EG的最小值为．16．如图，在△ABC中，D、E为边AB的三等分点，EF∥DG∥AC，H为AF与DG的交点．若AC＝6，则DH＝．17．如图，等边三角形纸片ABC 的边长为6，E ，F 是边BC 上的三等分点．分别过点E ，F 沿着平行于BA ，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF 的周长是 ．18．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，将∠A 向内翻折，点A 落在BC 上，记为A 1，折痕为DE ．若将∠B 沿EA 1向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为B 1，则AB ＝ ．三、解答题〔共7小题，满分共78分〕19．计算：（12）﹣2﹣|√2−3|+2tan45°﹣（2021﹣π）020．解分式方程：2311xx x x +=--． 21．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A =√33，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，CD =√3，求AB 的长？22．某商店代理销售一种水果，六月份的销售利润y （元）与销售量x （kg ）之间函数关系的图象如图中折线所示．请你根据图象及这种水果的相关销售记录提供的信息，解答下列问题： （1）截止到6月9日，该商店销售这种水果一共获利多少元？（2）求图象中线段BC 所在直线对应的函数表达式．23．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线BD 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）求证：四边形BNDM 是菱形；（2）若BD ＝24，MN ＝10，求菱形BNDM 的周长．24. 如图，已知点()1,2A 、()()5,0B n n >，点P 为线段AB 上的一个动点，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点P ．小明说：“点P 从点A 运动至点B 的过程中，k 值逐渐增大，当点P 在点A 位置时k 值最小，在点B 位置时k 值最大．”（1）当1n =时．①求线段AB 所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k 的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n 的取值范围．25．如图1，已知点O 在四边形ABCD 的边AB 上，且2OA OB OC OD ====，OC 平分BOD ∠，与BD 交于点G ，AC 分别与BD 、OD 交于点E 、F ．（1）求证：//OC AD ； （2）如图2，若DE DF =，求AE AF值；（3）当四边形ABCD 的周长取最大值时，求DEDF的值．2021上海市中考数学精品模拟试卷（满分150分，答题时间120分钟）一、选择题〔共6小题，每题4分，共24分。

专题19 计算题专项训练1．(2020·上海中考真题)解不等式组：1076713x xxx>+⎧⎪+⎨-<⎪⎩【答案】2＜x＜5．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【详解】解：由题意知：1076713①②>+⎧⎪⎨+-<⎪⎩x xxx，解不等式①，移项得：3x＞6，系数化为1得：x>2，解不等式②，去分母得：3x-3＜x+7．移项得：2x<10，系数化为1得：x<5，∴原不等式组的解集是2＜x＜5．故答案为：2＜x＜5．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．2．(2020·上海中考真题)计算：1327(12)﹣2+|3．【答案】0．【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．【详解】原式=133(3)+2﹣4+32﹣4+3=0．【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．3．(2020·上海九年级一模)计算：()2232cos 453tan 302sin 60cos60cot 30-︒+︒︒-︒-︒【答案】2-【分析】利用特殊锐角三角函数值计算求解即可.【详解】解：原式=223232122⎛-+ ⎝⎭=-⨯--⎝⎭ 【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的计算，熟知特殊锐角三角函数值是解题的关键. 4．(2020·上海大学附属学校九年级三模)解方程组：222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩【答案】121242,22x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 【分析】将第二个方程进行因式分解得到()(2)0+-=x y x y ，然后令因式2x y -和因式x y +分别为0即可求解.【详解】解：由题意可知： 222-620x y x xy y =⎧⎨--=⎩①② 对方程②进行因式分解得：()(2)0+-=x y x y即20x y -=或0x y +=∴原方程组化为2620x y x y -=⎧⎨-=⎩ 或 260x y x y -=⎧⎨+=⎩解得1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩ 故原方程组的解为：1142x y =⎧⎨=⎩或2222x y =⎧⎨=-⎩. 【点睛】本题考查了因式分解的方法及二元方程组，熟练掌握常见的二元一次方程组的解法是解决此类题的关键.5．(2020·上海九年级二模)解不等式组：3(2)8(6)121123x x x x -≤-+⎧⎪+-⎨<+⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1＜x ≤2，数轴见解析【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【详解】解：()()3286121123x x x x ⎧--+⎪⎨+-<+⎪⎩①②，解不等式∴，得：2x ，解不等式∴，得：1x >-，将不等式解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为12x -<．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．6．(2020·上海九年级二模)先化简，再求值：2224112a a a a a -÷----，其中2a =． 【答案】12a -． 【分析】先根据分式的运算法则化简分式，再将a 的值代入计算即可．【详解】解：原式=2(1)(1)12(2)2a a a a a a +-⨯---- =122a a a a +--- =12a -，将2a =代入上式得，原式=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握基本运算法则是解题的关键．1．(2020·上海九年级二模)解不等式组：26233122x x x x ⎧⎛⎫-<- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨-⎪-⎪⎩并把解集在数轴上表示出来．【答案】﹣1≤x ＜3，见解析【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式①，得：x ＜3，解不等式②，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x ＜3，将不等式组的解集表示在数轴上如下：【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2．(2020·上海九年级二模)计算：12012()122tan 601)3π-+--+︒-（【答案】4【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，分数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【详解】原式)1=2121-+-3=-3=-=4．【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，分数指数幂以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．(2020·上海九年级二模)计算：110311)183-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭． 【答案】【分析】先利用零次幂的运算法则，绝对值的意义，负整指数的运算法则以及分数指数幂的运算法则进行化简，再进行加减运算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题是实数的混合运算，考查了零次幂的运算法则，绝对值的意义，负整指数的运算法则以及分数指数幂的运算法则，掌握基本运算法则是解题的关键．4．(2020·上海九年级二模)方程组22205x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是_______． 【答案】12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩ 【分析】先将y 用含x 的式子表示，再代入解一元二次方程即可．【详解】22205x y x y -=⎧⎨+=⎩①②由①得：2y x =③将③代入②得：()2225x x +=解得：1x =± ，将1x =±代入③得： 2y =±∴12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩ 故答案为：12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩ 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，掌握代入消元是解题关键．5．(2020·上海九年级二模)解方程组：222;1.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩【答案】121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ 【分析】用代入法解方程.【详解】，由①得x=2+y ③，将③代入②得22(2(2))1y y y y -+-=+， 解得13y =，21y =-，将13y =、21y =-分别代入③，得 15=x ，21x =，∴原方程组的解是 121251,31x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩. 【点睛】此题考查解二元二次方程组，根据方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键. 6．(2020·上海九年级二模)解方程组：222,{230.x y x xy y -=--=【答案】1111x y =⎧⎨=-⎩2231x y =⎧⎨=⎩【详解】x 2-2xy -3y 2="0"(x -y)2-4y 2=0又因：x -y=2代入上式4-4y 2=0y=1或y=-1再将y=1、y=-1分别代入x -y=2则 x=1、x=3∴1111x y =⎧⎨=-⎩2231x y =⎧⎨=⎩ 7．(2020·上海九年级一模)解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】先将第2个方程变形为x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩①②， 由∴得：x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，原方程组可化为2860x y x y +=⎧⎨+=⎩或280x y x y +=⎧⎨-=⎩，故原方程组的解为11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．8．(2020·上海九年级一模)计算：24sin 30tan 60cot 30tan45--【分析】把特殊的锐角三角函数值代入计算即可．21432⨯-=；【点睛】本题主要考查了特殊的锐角三角函数值，掌握特殊的锐角三角函数值是解题的关键.9．(2020·上海)计算：22sin 30tan 60cot 45cos 60cos30sin 45︒︒︒︒︒︒⋅-+-+1．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．【详解】解：原式＝11122222⨯-+⎛- ⎝⎭22． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值的相关运算，牢记特殊三角函数值是解题的关键. 10．(2020·上海市民办协和双语学校九年级一模)计算：13tan 3045cos60︒︒︒-【答案】1．【分析】将特殊角的三角函数值代入，根据实数的运算法则求值即可.【详解】原式=131221=1．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值、熟练掌握实数的运算法则是解题的关键. 11．(2020·上海)计算：22cot 602tan 30tan 60sin 452sin 30︒︒︒︒︒++-【答案】52【分析】根据特殊角的三角函数值即可代入求解.【详解】解：原式222331222+⎛=+- ⎝⎭⨯ 132=+52=【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 12．(2020·上海九年级一模)计算：2tan 45cos60cot 602sin 30︒-︒+︒︒【答案】56【分析】先将特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后根据实数混合运算的法则进行计算即可. 【详解】解：2tan 45cos60cot 602sin 30︒-︒+︒︒2112122-=+⎝⎭⨯ 1123=+ 56=【点睛】本题考查的是特殊三角函数值，熟记特殊角度的三角函数值是解答此题的关键. 13．(2020·上海九年级一模)已知：::2:3:5a b c =.(1)求代数式323a b c a b c-++-的值； (2)如果324a b c -+=，求,,a b c 的值.【答案】(1)1；(2)6,9,15a b c ===【分析】(1)设a=2k ，b=3k ，c=5k (k 0)≠，代入代数式323a b c a b c-++-，即可求出答案； (2)把a 、b 、c 的值代入，求出即可．【详解】∵::2:3:5a b c =∴设a=2k ，b=3k ，c=5k (k 0)≠，(1)36358=1234958a b c k k k k a b c k k k k-+-+==+-+-；(2)∵324a b c -+=∴6k -3k+5k=24，∴k=3，∴a=2×3=6，b=3×3=9，c=5×3=15.【点睛】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力．14．(2020·上海九年级一模)2sin60°•tan45°+4cos 230°﹣tan60°【答案】3【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【详解】2sin60°•tan45°+4cos 230°﹣tan60°＝×1+4×2＝3．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 15．(2020·上海九年级一模)计算：2cos30°+tan45°-2sin30°-cot30°【答案】0【分析】将特殊角的三角函数值代入即可【详解】2cos30°+tan45°-2sin30°-cot30°+1-2×12-1=0【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键. 16．(2020·上海九年级二模)解方程： 24211422xx x x ．【答案】x ＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：4x ﹣2x ﹣4＝x 2﹣4﹣x +2，即x 2﹣3x +2＝0，解得：x ＝1或x ＝2，经检验x ＝2是增根，所以，分式方程的解为x ＝1．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．17．(2020·上海九年级一模)2318-【答案】-3.【分析】根据绝对值的性质，二次根式的混合运算，进行运算即可1243-+=-【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则18．(2020·上海九年级二模)解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+= 的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=． 原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩ 解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩ 223,3.x y =⎧⎨=⎩ 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．19．(2020·上海九年级三模)解方程：213221x x x x --=-∴ 【答案】11x =-∴213x = 分析：首先21x y x-=，然后将方程转化为y 的一元二次方程，从而求出y 的值，然后根据y 的值求出x 的值． 详解：设21x y x-=，则原方程化为2230y y --=∴ 解得123,1y y ==-∴ 当13y =时，得1x =- ， 当11y =-时，得13x =∴ 经检验，11x =-∴213x =是原方程的解． 点睛：本题主要考查的是分式方程的解法以及换元思想的应用，属于中等难度的题型．学会换元思想是解题的关键．20．(2020·上海九年级二模)解不等式组31222236255134x x x x x --+⎧+<⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】47x ≥，数轴见解析 【分析】本题可根据不等式组分别求出x 的取值，然后画出数轴，数轴上相交的点的集合就是该不等式的解集．若没有交点，则不等式无解 【详解】解：31222,2362551,34x x x x x --+⎧+<⎪⎪⎨-⎪+≤⎪⎩①② 解不等式①，得1x <． 解不等式②，得47x ≥． 所以不等式组的解集为47x ≥． 将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题可分别解完不等式后可以利用数轴或口诀“比大的小，比小的大，中间找”得到最终结果，此题考查利用数形结合解不等式组，是对学生基本运算方法、运算法则、基本性质的运用能力的考查．21．(2020·上海九年级二模)先化简，再求值：22111121x x x x x x --÷+--+，其中x． 【答案】11x x -+，﹣3【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x 的值代入计算可得．【详解】 解：原式21(1)1(1)(1)1x x x x x x -=-++-- 111x x x =-++ 11x x -=+，当1x =时，原式==3=．【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．。

2020-2021上海中考数学压轴题专题复习一一直角三角形的边角关系的综合一、直角三角形的边角关系1. 如图，海上观察哨所 B 位于观察哨所 A 正北方向，距离为25海里.在某时刻，哨所 A 与哨所B 同时发现一走私船，其位置 C 位于哨所A 北偏东53。

的方向上，位于哨所 B 南偏 东37°的方向上.（1） 求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离；（2） 若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时，恰好在 D 处成功拦【答案】（1）观察哨所 A 与走私船所在的位置 C 的距离为15海里；（2）当缉私艇以每 小时6jTl⅛里的速度行驶时，恰好在 D 处成功拦截. 【解析】 【分析】Z ACB=90o ,再解 Rt∆ ABC,利用正弦函数定义得出【详解】tan37 0 ≈2, tan76 σ ≈)AC 即可；（2）过点C 作CM 丄AB 于点M, 易知，D 、 C 、M 在一条直线上.解Rt∆ AMC ,求出DM 、 AD, CM 、AM ・解Rt∆ AMD 屮，求出据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶 得出CD.设缉私艇的速度为X 海里/小时，根AD 所用的时间列出方程，解方程即可.（1）先根据三角形内角和定理求出(1)在厶 ABC ψ,ACB 180AC在 RtVABC 中，Sin B —,所以AB答：观察哨所A 与走私船所在的位置 BAC 180 37 53 90 .ACAB Sin 37 25 -3 515 （海里）•（2）过点C 作CM AB ,垂足为C 的距离为15海里•M ，在 RtVACM ψ, CMAC Sin CAM由题意易知， 415 -12 ,5D 、 C 、 M 在一条直线上. 截•（结果保留根号）≈, cos37 =sin53AM AC COS CAM 在Rt∆ ADM ψ, tan15 -3 9 .5MD DAM --------AM所以MD AM tan76所以AD AM2 MD292 36217, CD MD MC 24 ,设缉私艇的速度为 V 海里/小时，则有9户,解得V16V经检验，V 6yn⅛原方程的解.答：当缉私艇以每小时 6yr 海里的速度行驶时，恰好在 D 处成功拦截此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形 的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想.2. （6分）某海域有 A, B 两个港口， B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口 里，有一艘船从 A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东向的C 处，求该船与 B 港口之间的距离即 CB 的长（结果保留根号）・【答案】MV 2 +叭石 【解析】试题分析：作 AD 丄BC 于D,于是有Z ABD=450 ,得到AD=BI^i r V 求出Z C=60o , 正切的定义求出 CD 的长，得到答案.试题解析：作 AD 丄 BC 于 D, ,.∙ ZEAB=30o , AE// BF, /. Z FBA=30o ,又 Z FBC=75o ,AD 30A Z C=60 , o在 Rt∆ ACDψ, Z C=60 , 0品则 ta nC=6/), Λ CD= V J 」°\压, ΛBC=ui V 7 + 1°\用.故该船与B港口之间的距离CB 的长为IG v 7 +叭五海里.60海75°方根据AZ ABD=45 , o又 AB=60, ・・・AD=B⅛∖l2,VZ BAC=Z BAE+ZCAE=75 , o ZABC=45 ,【点睛】考点：解直角三角形的应用 ■方向角问题.3. 已知Rt∆ABC 中，AB 是O O 的弦，斜边AC 交∈） O 于点D,且AD=DC,延长CB 交©O 于点E.明理由；（2）如图2,过点E 作∈） O 的切线，交AC 的延长线于点F.①若CF=CD 时，求SinZ CAB 的值;【解析】 试题分析：（1）连接肛、DE,如图1,根据圆周角定理可得Z ADE=Z ABE=90o ,由于 AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;（2）连接AE 、ED,如图2,由Z ABE=90o 可得AE 是Θ O 的直径，根据切线的性质可得ZAEF=90 , 0从而可证到AADEs Δ AEF,然后运用相似三角形的性质可得Zl h=AD?AF ・① 当CF=CD 时，可得川门从而有 EC=AELCD,在Rt∆ DEC 中运用三角函数可得E 五个点屮，是否存在某两点间的距离等于线段CE 的长？请说②若 CF=aCD ( a>0)时, 果) 试猜想SinZ CAB 的值.（用含a 的代数式表示，直接写出结【答案】（1） AE=CE;£（2）①•「②CF=aCD ( a> 0)时，同①即可解决问题.试题解析：(1)AE=CE.理由：连接 AE 、DE,如图 1, Y ZABC=90o , .∙. Z ABE=90,二 Z ADE=Z ABE=90o , V AD=DC, AAE=CE; (2)连接AE 、ED,如图2,・・・Z ABE=90o ,：. AE 是G) O 的直径，T EF 是Θ OO 的切线，AE ADAZAEF=90, ° ・・・ Z ADE=Z AEF=90, 0又 T Z DAE=Z EAF, .∙. Δ ADE^ z5⅛F<1,ζ Λ , Λ^^2=AD7AF.① 当 CF=CD 时，AD=DC=CF, AF=3DC,・0"=DC?3DC 』"「， ΛAE⅛^DC, V EC=AE,HLfLbZ 3IAEC=∖'⅞C,・•・ SinZ CAB=SinZ CElj^=V^f = 3 ; ② 当 CF=aCD ( a>0)时，SinZCAB= λ + 2 .VCF=aCD, AD=DC, AAF=AD+DC+CF= ( a+2) CD f A fc =DC? ( a+2) DC= ( a+201 .∖AE=∖ il + 2DC,・・・ EC=AE, .:2DC,DC _ DC2图1考点：1.圆的综合题；2.探究型；3.存在型•4. 如图，AB 是∈) O 的直径，弦CD 丄AB 于H,过CD 延长线上一点E 作C)O 的切线交AB 的延长线于切点为G,连接AG 交CD 于K. (1) 求证：KE=GE;(2) 若KG 2=KD7GE,试判断AC 与EF 的位置关系，并说明理由；3在(2)的条件下，若 SinE=2 AK=2V 5,求FG 的长.FC 3 SinZCED=,根据圆周角定理可得Z CAB=Z DEC,即可求出SinZ CAB 的值；②当25√Z【答案】（1）证明见解析；（2） AC〃EF,证明见解析；（3） FG= H .【解析】试题分析：（1）如图1,连接OG.根据切线性质及CD丄AB,可以推出ZKGE=Z AKH=Z GKE,根据等角对等边得到KE=GE;（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD,由Z KGE=Z GKE,及KG?=KD?GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得岀△ GKD与厶EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到Z C=Z AGD,可推知Z E=Z C,从而得到AC〃EF；（3）如图3所示，连接OG, OC,先求出KE=GE,再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt∆ OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度.试题解析：（1）如图1,连接OG.图1VEG为切线，AZ KGE+Z OGA=90 , 0VCD 丄AB,AZ AKH+Z OAG=90 , °XV OA=OG,AZ OGA=Z OAG,・・・ Z KGE=Z AKH=Z GKE,AKE=GE ・（2） AC〃EF,理由为连接GD,如图2所示.又・.・Z KGE=Z GKE,Λ∆ GKD^ ∆EGK,AZ E=Z AGD,XV Z C=Z AGD,AZE=ZC,・・・AC〃EF；(3)连接OG, OC,如图3所示,VEG为切线，AZ KGE+Z OGA=90 ,VCD 丄AB,AZ AKH+Z OAG=90 ,又・.・OA=OG,AZ OGA=Z OAG,・・・ Z KGE=Z AKH=Z GKE, AKE=GE.3VSinE=SinZ ACH=,设AH=3t,贝IJ AC=5t, CH=4t,VKE=GE, AC∕/ EF,ACK=AC=5t,AHK=CK-CH=t.即(r-3t) 2+ ( 4t) 2=r 2 VEF 为切线， ΛΔOGF 为直角三角形,25在 Rt∆ OGF 中，OG=I*=b ' ,I ------------- 25= = DΠmΣ7W ~Γ~ 百\・・・FG=3【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键.5. 已知：Δ ABC 内接于Θ O, D 是弧BC ±一点,OD 丄BC,垂足为H. (1 )如图1,当圆心O 在AB 边上时，求证：AC=2OH;(2) 如图2,当圆心O 在AABC 外部时，连接AD 、CD, AD 与BC 交于点P,求证：ZACD=Z APB ；(3) 在(2)的条件下，如图3,连接BD, E 为C)O 上一点，连接DE 交BC 于点Q 、交AB 于点N,连接OE, BF 为OO 的弦，BF 丄OE 于点R 交DE 于点G,若ZACD- ZABD=2ZBDN, AC=⅞亦，BN⅛√ξ , tan ZABGi ,求 BF 的长.(馴)【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 24. 【解析】试题分析：(1)易证 OHABC 的中位线，可得 AC=20H; ( 2 ) Z APB=Z PAC+Z ACP,ZACD=Z ACB+Z BCD,又 T ZPAC =Z BCD,可证 Z ACD=ZAPB; ( 3 )连接 AO 延长交于 OO 于点I,连接IC, AB 与OD 相交于点 M ,连接OB,易证ZGBN=ZABC,所以BG=BQ.在Rt∆ AHK 屮，根据勾股定理得 即(3t) 2+t 2= ('√5 ) 2,解得 设G)O 半径为r,在RtΔOCH 中, 由勾股定理得：OH 2+CH 2=OC 2, 即(3t) 2+t 2= 设。

专题02 图形的运动模块一：图形的平移例1.如图，Rt ABC ∆中直角边AB = 6，BC = 8，沿边AC 将向下平移至'''Rt A B C ∆．已知阴影部分两边长'3AA =，CD = 4，则阴影部分的面积为______．例2.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，6)，将OAB ∆沿x 轴向左平移得到'''O A B ∆，点A 的对应点'A 落在直线34y x =-上，则点B 与其对应点'B 间的距离为______．AB O xy例3.(2020崇明二模) 如图，将ABC ∆沿BC 边上的中线AD 平移到'''A B C ∆的位置，已知ABC ∆的面积为16，阴影部分三角形的面积为9，如果'1AA =，那么'A D 的长为_____．例4.如图，ABC ∆和DBC ∆是两个具有公共边的全等的等腰三角形，AB = AC = 3cm ，BC = 2cm ．将DBC ∆沿射线BC 平移一定的距离得到111D B C ∆，连接1AC 、1BD ．如果四边形11ABD C 是矩形，那么平移的距离为______cm ．例5.已知ABC ∆中，AB = AC = 5，BC = 6(如图所示)，将ABC ∆沿射线BC 方向平移m 个单位得到DEF ∆，顶点A 、B 、C 分别与D 、E 、F 对应，若以点A 、D 、E 为顶点的三角形是等腰三角形，且AE 为腰，则m 的值是________．模块二：图形的旋转A B C D B 1 C 1D 1AB CD E例1.在下列图形中，中心对称图形是( )A ．等腰梯形B ．平行四边形C ．正五边形D ．等腰三角形例2.如图，ABC ∆是等边三角形，若点A 绕点C 顺时针旋转30°至点'A ，联结'A B ，则'ABA ∠度数是______．例3.将矩形ABCD (如图)绕点A 旋转后，点D 落在对角线AC 上的点'D ，点C 落到'C ，如果AB = 3，BC = 4，那么'CC 的长为_______．例4.(2020闵行二模)如图，已知在△ABC 中，AB=AC=4，∠BAC=30°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点B 1处，点C 落在点C 1处，且BB 1⊥AC ．联结B 1C 和C 1C ，那么△B 1C 1C 面积等于______．例5.(2020长宁、金山区一模)如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，2AB =，4BC =，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP △绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合，点B 的对应点是点B '，则BB '的长等于_____．例6.如图，底角为α的等腰ABC ∆绕着点B 顺时针旋转，使得点A 与边BC 上的点D 重合，点C 与点E 重合，联结AD 、CE ．已知3tan 4α=，AB = 5，则CE =______． 的AB CA ’模块三：图形的翻折1、翻折与轴对称图形(1)把一个图形沿一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．(2)轴对称图形是一个图形关于某直线对称；轴对称是两个图形关于某条直线对称．2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称．(2)轴对称的图形的性质：两个图形关于一条直线成轴对称，这两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，它们的形状相同，大小不变；在成轴对称的两个图形中，分别连接两对对应点，取中点，连接两个中点所得的直线就是对称轴．例1.窗花是我国的传统艺术，下列四个窗花图案中，不是轴对称图形的是( )A． B． C．D．例2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )A． B． C． D．例3.下列四边形中，是轴对称但不是中心对称的图形是( )A．矩形B．菱形C．平行四边形D．等腰梯形例4.(2020松江二模) 如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，将矩形ABCD沿着直线BC 翻折，点A、点D的对应点分别为A′、D′, 如果直线A′D′与⊙O相切，那么的值为.例5.(2020宝山二模)如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为________．例6.(2020黄浦区一模)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，将△BCE沿BE折叠后得到△BEF、且点F在矩形ABCD的内部，将BF延长交AD于点G．若17DGGA，则ADAB= __ ．ABBC例7.(2020杨浦区一模)如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为______.例8.如图，梯形ABCD中，AD // BC，90∠=︒，AD = 2，BC = 5，E是AB上一点，将BCE∆B沿着直线CE翻折，点B恰好与D点重合，则BE =______．1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A．正五边形B．正六边形C．等腰三角形D．等腰梯形2.如图，将周长为8的ABC∆，则四边形ABFD的周∆沿BC方向平移1个单位长度得到DEF长为______．3.(2020宝山二模)如图，在△ABC 中，AB=AC=5，3tan =4B ，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得到11A BC ∆，当点1C 在线段CA 延长线上时1ABC ∆的面积为_________．4.(2020奉贤二模) 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝35°，CD 是斜边AB 上的中线，如果将△BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么∠CAE 的度数是 度．5.(2020金山二模) 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，把△ABC 绕C 点旋转得到△A'B'C ，其中点A'在线段AB 上，那么∠A'B'B 的正切值等于 ．6.(2020静安二模)如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为这个四边形的“等分周长线”．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A ＝90°，DC ＝AD ，∠B 是锐角，cot B ＝，AB ＝17．如果点E 在梯形的边上，CE 是梯形ABCD 的“等分周长线”，那么△BCE 的周长为 ．A B C DE F7.(2020黄浦二模) 已知等边△ABC 的重心为G ，△DEF 与△ABC 关于点G 成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S 1，△ABC 的面积记作S 2，那么的值是 8．(2020黄浦二模)已知⊙O 的直径AB ＝4，⊙D 与半径为1的⊙C 外切，且⊙C 与⊙D 均与直径AB 相切、与⊙O 内切，那么⊙D 的半径是 ．9.(2020虹口区一模)如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，sinC ＝，AB ＝9，AD ＝6，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将△BEF 沿着EF 所在直线翻折，使BF 的对应线段B ′F 经过顶点A ，B ′F 交对角线BD 于点P ，当B ′F ⊥AB 时，AP 的长为 ．10.(2020松江区一模)如图，矩形ABCD 中，AD ＝1，AB ＝k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A BC D '''．联结AD '，分别交边CD ，A B '于E 、F ．如果AE F '，那么k ＝ ．11.如图，钝角ABC ∆中，3tan 4BAC ∠=，BC = 4，将三角形绕着点A 旋转，点C 落在直线AB 上的点'C 处，点B 落在点'B 处，若C 、B 、'B 恰好在一直线上，则AB 的长为______．12.如图，Rt ABC∆绕点C逆时针旋转，旋转后的图形是''∆，A B C∆中，90BAC∠=︒，将ABC点A的对应点'A落在中线AD上，且点'A是ABCA B与BC相交于点E.那么∆的重心，''BE CE=．:13.如图，在ABC∆沿直∆的中线，将ABCCAB∆中，90∠=︒，AB = 6，AC = 4，CD是ABC线CD翻折，点'B是点B的对应点，点E是线段CD上的点，如果'∠=∠，那么CECAE BAB的长是________．14.如图，扇形OAB的圆心角为2α，点P为AB上一点，将此扇形翻折，当点O和点P重合时折痕恰巧过点B，且65ABPB=，则α正切值为______15.在矩形ABCD中，AD = 15，点E在边DC上，联结AE，ADE∆沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG AD⊥，垂足为点G，如图，如果AD = 3GD，那么DE =______．。