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9 虚功原理和结构的位移计算习题
1. 引言
虚功原理是结构力学中一项重要的基本原理，它可以用于解决各种结构的位移计算问题。本文将通过一些习题来演示如何应用虚功原理进行位移计算。
2. 虚功原理简介
虚功原理是指在结构力学中，结构在虚位移下所进行的虚功等于零。虚位移是指结构在受力作用下的无限小位移，不违反实际情况下的几何和边界条件。利用虚功原理，可以建立结构的平衡方程，并求解未知的位移。
3. 习题一
考虑一个简支梁，受到一个集中力F作用在梁的中点。已知梁的长度L和截面的惯性矩I，求梁的最大挠度。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：
$$\\int_{0}^{L} M \\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta
\\cdot \\frac{L}{2} = 0$$ 未知驱动探索，专注成就专业
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其中M为弯矩，$\\delta$为虚位移。由弯矩与挠度之间的关系，可以得到：
$$M = -\\frac{F}{2}L + F \\cdot x$$
代入上述方程，得到：
$$\\int_{0}^{L} \\left(-\\frac{F}{2}L + F \\cdot x\\right)
\\cdot \\delta dL - F \\cdot \\delta \\cdot \\frac{L}{2} = 0$$
对上述方程两边进行积分并整理，可以得到：
$$\\frac{FL^3}{6EI} = \\delta$$
所以梁的最大挠度为$\\frac{FL^3}{6EI}$。
4. 习题二
考虑一个简支梁，长度为L，弹性模量为E，截面惯性矩为I，受到一个均布载荷q作用在梁上。已知梁的两端处的位移分别为0和$\\delta_1$，求梁上某一点的位移。
解答：根据虚功原理，可以得到以下方程：
$$\\int_{0}^{L} \\left(-M\\right) \\cdot \\delta dL -
第三章虚功原理和结构的位移
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第三章虚功原理和结构的位移
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（X）
题4图 题5图
5. 图示梁的跨中挠度为零。（）（V）
6. 在位移互等定理中，可以建立线位移和角位移的互等关系： 「2=：：21。这里-12 , ；：21与
只是数值相等而量纲不同。（）（X）
7. 三个刚片用不在同一直线上的三个虚铰两两相联，则所组成的体系是无多余约束的几何
不变体系。（）（V）
8. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结
构。（）（X）
9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。 （）
（V）
10. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中， 不仅指明了必需的约束数目，而且指明了
这些约束必须满足的条件。（）（V）
11. 在非荷载因素（支座移动，温度变化，材料收缩等）作用下，静定结构不产生内力，但
会有位移，且位移只与杆件相对刚度有关。 （）（X）
12. 虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的， 这两个状态中的任一个都可看作是虚设
的。（）（V）
13. 温度改变，支座位移，材料收缩和制造误差不会使静定结构产生内力， 因而也不产生位
移。（）（X）
14. 计算自由度W小于等于零是体系几何不变的充要条件。 （）（X） 1. 已知M P ,Mk图, 用图乘法 求位移的结果为:
2.
3.
4. (X)
题1图
图示结构中B点挠度不等于零。
图示桁架中腹杆截面的大小对 求图示A点竖向位移可用图乘法。 题2图
（）（V）
C点的竖向位移影响。 （）（X） %
1 ）/（ EI）。（ ） 第三章虚功原理和结构的位移
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15. 若体系计算自由度 W
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16. 平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。
17•三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。
结构力学虚功原理
结构力学虚功原理是指在静力学分析中，结构平衡的条件可以通过能量守恒原理来表示。根据虚功原理，结构在任何形变状态下，受力系统所作的虚功等于外界对结构所做的虚功。虚功是指由于结构内部力引起的位移所做的功。
根据虚功原理，结构的平衡可以通过计算结构内部力引起的位移所做的功来判断。具体而言，可以通过计算结构每个构件上的受力与位移的乘积，然后将它们求和，得到结构内部力所作的总虚功。如果结构处于平衡状态，则结构受力与位移之积的总和为零。
虚功原理的应用非常广泛。它可以用于计算结构的位移、应力、应变等重要参数。例如，在弹性力学中，可以利用虚功原理求解结构的位移和应力分布。在塑性力学中，虚功原理可以用来分析结构在超过弹性极限后的变形情况。此外，虚功原理还可以用于分析非线性和非弹性结构的行为。
通过应用虚功原理，可以对结构进行静态分析和设计。静态分析可以确定结构在受力条件下的平衡状态，进而计算各个构件的受力和位移。静态设计可以根据结构的受力和位移要求，确定结构的尺寸和材料，以满足结构的强度和刚度要求。
总之，结构力学虚功原理为结构分析和设计提供了重要的理论基础。通过虚功原理，可以建立结构平衡的数学模型，计算结构的位移、应力和应变等关键参数，为工程实践提供了可靠的理论支持和设计方法。
虚功原理 有限元
虚功原理是力学中的一个基本原理，它是运用能量守恒原理和虚位移原理进行问题求解的一种方法。虚功原理的应用十分广泛，特别是在有限元方法中，它是解答复杂结构力学问题的一种常用手段。
虚功原理的基本原理是：在刚体或弹性体的力学问题中，力系对于结构的作用机理可以使用能量方法来描述，即外力对物体所做的功等于内力弹性势能的变化。
在有限元方法中，虚功原理的应用可以被概括为以下几个步骤：
1. 确定系统的弹性势能表达式：根据材料力学性质和结构几何形状，建立并表达出结构的弹性势能。
2. 设定虚位移场：在结构的静力平衡方程中，引入一组满足边界条件的虚位移场，并将结构的位移表示为真实位移与虚位移的叠加。虚位移场是一个理想化的假设，它用于引导计算的进行。
3. 计算虚功：将虚位移场代入弹性势能表达式中，得到每个单元的虚功。
4. 构造系统的刚度方程：根据虚功原理，对每一个虚位移方向进行变分，得到相应的虚功。将这些虚功累加起来，并考虑结构边界条件和约束条件，得到整个系统的刚度方程。
5. 解刚度方程：使用适当的数值方法（如矩阵求解方法）求解刚度方程组，得到结构的位移响应。
6. 计算应力和应变分布：利用位移响应，通过一定的插值方法，计算出结构各点的应力和应变分布。
有限元方法利用虚功原理的优点在于，它可以解决复杂结构的力学问题，并且可以处理非线性材料、大变形和大变位等情况。虚功原理的运用使得有限元方法成为求解工程结构问题的一种强大工具。
需要注意的是，在使用虚功原理时，应注意选择合适的虚位移场，并保证其满足结构的边界条件和约束条件；同时，还需要进行适当的数值技巧处理，如选择合适的数值积分方法和数值求解方法，以提高计算的精确性和效率。
总结来说，虚功原理是有限元方法求解问题的基础，它通过能量守恒原理和虚位移原理，将原问题转化为求解刚度方程的问题，从而得到结构的位移响应和应力应变分布。虚功原理在结构力学中的应用是十分重要和广泛的，它为工程问题的解答提供了有效的途径。
