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结构力学结构位移计算05

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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3

结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3

6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算

结构力学§5-3、4 荷载作用下的位移计算与举例

结构力学§5-3、4 荷载作用下的位移计算与举例

3. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形 只考虑弯曲变形
MP M ∆ = Σ∫ ds o EI
l
（2）桁架 —只有轴向变形 只有轴向变形
FNP F N ∆=Σ L EA
（3）组合结构
FNP F N MP M ∆ = Σ∫ ds + Σ L o EI EA
l
（受弯构件） 受弯构件）
结 束
（第二版）作业：5—10 ，11, 13, 22 第二版）作业：
∆ CV
1 q q 1 qL x Lx − x 2 1.2 × − qx L L 2 2 2 2 2 dx = 2∫ 2 dx + 2∫ 2 0 0 EI GA 5qL4 κ qL2 = + 384 EI 8GA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL 弯曲变形： 弯曲变形： ∆ M = 384 EI
两者的比值： 两者的比值： 若高跨比为： 若高跨比为：
∆Q ∆M = 11.52
4
剪切变形： 剪切变形： ∆ Q =
EI h = 2.56 GAL2 L
2
κ qL2
8GA
h 1 = L 10
则： ∆
∆Q
M
= 2.56%
结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的跨度， 一般形的影响。
l
截面剪应力 非均布修正系数
dη = k
FQP GA
ds
FNP dλ = ds EA
l k FQP F Q l F FN MP M 1× ∆ = Σ ∫ ds + Σ ∫ ds + Σ ∫ NP ds o o o EI GA EA

结构力学 结构的位移计算

结构力学 结构的位移计算

k

F Ndu
Md

F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du

FNP d s EA
d

M Pds EI
d s

k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主

结构力学§5-5_图乘法

结构力学§5-5_图乘法

L M P M ds L FNP F N ds FNP F N L
o EI
o EA
EA1
（曲杆）
（曲杆）
（拉杆）
§5-5 图乘法
1.图乘原理公式
——将积分转变为图形相乘
y
dω
形心
积分式: L MP M ds
o EI
等直杆EI常数: 1
EI
L
o M P M ds
A
C dx
MP图 B
EI
L o
M
P
M
ds
1 EI
yC
乘积“＋、－”规定—— 与 yC 同侧为＋，不同侧为－
其中:
— M P 图的面积 (教材用A表示)
yC — M P 图形心位置所对应的 M 图中的竖标
2.图乘注意事项
1）杆件是直杆，EI必须是常数；
2） yC必须取自直线图 （ M P 均M为直线时可互换）；
3）M 图为折线或 M P 在基线两侧时都需分段图乘；
MM P EI
dx
1 EI
Ay0
1 2 ql 2 1
ql 3
EI
3
8
l
2
24 EI
Cy
1 EI
(
2 l 1 ql 2 38
)
l 4
B
Cy
1 EI
(
2 3
l 2
1 8
ql 2 )
(85
4l )
2
5 ql4 () 384 EI
分段图乘
[例2] 计算悬臂梁在集中荷载作用下的C点的竖向位移 C 。
o EI
o GA
o EA
2. 各种静定结构位移的计算公式 （1）梁、刚架 —只考虑弯曲变形

结构力学5-3结构位移计算的一般公式

结构力学5-3结构位移计算的一般公式
FQP FNP MP , 0 k , 按照材料力学有： EA GA EI A S2 截面系数： k 2 A 2 dA I b


F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。

结构力学教学 虚功原理与结构位移计算

结构力学教学 虚功原理与结构位移计算

解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l)
实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)
MP
FPb l
x
(0 x a)
MP
FP a(1
x) l
(a x l)
MM P ds FPab(
EI
2EI
)
§5-5 图乘法
图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图， 截面抗弯刚度EI为一常数。
§5-5 图乘法
例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。
解：荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 M 如图(b)
虚功方程为 1 M 0
解得
M
§5-2 结构位移计算的一般公式
例5-2 在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α
角的斜向位移分量△。
解：图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。
虚设力系如图(c) FQ sin
虚功方程为 1 FQ 0
解得 FQ
§5-2 结构位移计算的一般公式
AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。
解：虚设荷载如图(b)
图(a)中
MP
1 2
qx2
FNP qx sin
FQP qx cos
图(b)中
M x
FN sin FQ cos
M
AMPM B EI
ds qR4 ( 2 cos 1 cos3 )
2EI 3
3
N
A FNPFN ds qR2 ( 2 cos 1 cos3 )
M
MM P ds ql4
EI
8EI
Q k
FQ FQP ds 0.6 ql 2

05.静定结构的位移计算

05.静定结构的位移计算
3
A
计
例3:求图示桁架(各杆EA相同)k点 水平位移. 解：构造虚设的力状态
kx N P Nil EA
P
P
0
NP
0
P
a
2P
k
a
1

1 [( P )(1)a ( P )(1)a EA
Pa 2 P 2 2a ] 2(1 2 ) ( ) EA
1
2 2
2m
2m
2m
FB
0.67
1
0.33
0.25
1 .5
0 .5
1
二、变形体系的虚功原理和单位荷载法
（一）虚应变能
力状态的内力因位移状态的 相对变形而作虚功，这种虚 功称为虚应变能。
力状态
位移状态
V FN 1du2 FQ1dv2 M 1d2
V FN 1 2 dx FQ1 2 dx M1 2 dx
MP QP
q
[
q(l x)k q(l x) ]dx 0 GA 2 EI qkl2 ql 4 () 2GA 8EI
l 3
Mi
P 1
Qi lx
qkl2 ql 4 ip () 2GA 8EI ql 4 qkl2 设 : M , Q 8EI 2GA Q 4 EIk M GAl2 A bh, I bh3 / 12, k 6 / 5,
（二）变形体的虚功原理
一个具有理想约束的变形体体系，若发生满足约束允许的 微小位移和变形（可能的），则该变形体体系上任意平衡 外力力系（可能的），在该位移上所作的总外力虚功等于 变形虚功。
W=Ｖ
对于直杆构成的结构

结构力学位移计算公式

结构力学位移计算公式

结构力学位移计算公式结构力学是研究结构体系的力学性能和运动规律的学科，是工程力学的一个重要分支。

在结构力学中，位移是一个重要的物理量，它描述了结构体系在受外力作用下发生的变形情况。

位移计算公式是用来计算结构体系的位移的数学公式。

1.剪力梁位移计算公式：在剪力梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在剪力梁上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(G*A)其中，δ表示位移，F表示施加在剪力梁上的集中力，L表示剪力梁的长度，G表示剪力梁的剪切模量，A表示剪力梁的截面面积。

2.弹性梁位移计算公式：在弹性梁中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在弹性梁上施加一个力矩作用时，位移可以通过以下公式进行计算：θ=(M*L)/(E*I)其中，θ表示位移，M表示施加在弹性梁上的力矩，L表示弹性梁的长度，E表示弹性梁的弹性模量，I表示弹性梁的截面惯性矩。

3.压杆位移计算公式：在压杆中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在压杆上施加一个轴向力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在压杆上的轴向力，L表示压杆的长度，E表示压杆的弹性模量，A表示压杆的截面面积。

4.梁柱位移计算公式：在梁柱中，位移是一个表示结构体系纵向变形的物理量。

当在梁柱上施加一个集中力作用时，位移可以通过以下公式进行计算：δ=(F*L)/(E*A)其中，δ表示位移，F表示施加在梁柱上的集中力，L表示梁柱的长度，E表示梁柱的弹性模量，A表示梁柱的截面面积。

上述的位移计算公式是基于简化假设和力学理论推导得出的，适用于较为简单的结构体系。

在实际工程设计中，考虑到结构的复杂性和非线性效应，可能需要使用更为复杂的有限元分析等方法来计算位移。

在实际应用中，还需要根据具体情况进行适当的修正和调整，以获得更加准确的位移计算结果。

结构力学第五章 位移计算

结构力学第五章 位移计算
k FQ P FQ
M ( x ) x l , M P ( x ) q (l x ) 2 / 2
FP 1 x
MP
例 2：求曲梁B点的竖向位移(EI、EA、GA已知)
FP B FP=1 FP
FQ P M P
A
R
O
θ
R
FN P R
θ
FPF R sin , M k R R R3 M P P , i FP sin, FP R 设 : M Q N
3.变形体的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理 具有理想约束的质点系，在某一 位置处于平衡的必要和充分条件 是： 对于任何可能的虚位移，作用 于质点系的主动力所做虚功之 和为零。也即
FP1
FN 1
FP 2
m1 m
2
FN 2
→. → ΣFi δri=0
（2）刚体系的虚位移原理
去掉约束而代以相应 的反力，该反力便可看 成外力。则有：刚体系 处于平衡的必要和充分 条件是：
铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 (2) 超静定、动力和稳定计算
(3）施工要求
3.本章位移计算的假定 (1)
(2) (3)
线弹性 (Linear Elastic),
小变形 (Small Deformation), 理想联结 (Ideal Constraint)。

[
M PM EI

FN P FN EA
]ds
2.桁架
kp FN P FN EA FN P FN l EA ds
3.组合结构
kp
这些公式的适 用条件是什么?

结构力学5结构位移计算

结构力学5结构位移计算

结构力学5结构位移计算结构位移计算是结构力学中的一项重要内容，它能够预测结构在加载过程中的变形情况，为结构设计和分析提供依据。

本文将从结构位移计算的基本原理、常用的分析方法和一些实例进行详细介绍。

一、结构位移计算的基本原理：结构位移计算的基本原理是根据力学原理和力平衡条件进行求解。

结构在受载过程中会产生内力和变形，而结构的内力与结构的变形有密切关系。

根据结构材料的本构关系和边界条件，通过求解相应的方程组，可以得到结构的位移。

二、常用的分析方法：1.解析法：解析法是一种基于数学分析的位移计算方法，通常适用于简单的结构。

该方法通过建立结构的力学模型，利用数学分析的方法求解相应的方程，得到结构的位移。

2.数值法：数值法是一种通过数值计算的方法进行位移计算的技术。

常用的数值法包括有限元法、有限差分法和有限体积法等。

这些方法通过将结构划分为很多小单元或控制体，在每个单元或控制体上建立适当的方程，通过数值迭代求解得到结构的位移。

三、结构位移计算的实例：1.简支梁的位移计算：考虑一个简支梁，长度为L，受到集中力F作用在中央，通过解析法可以得到梁的最大挠度为δ=F L^3/(48EI)，其中E是梁的杨氏模量，I是截面惯性矩。

2.悬臂梁的位移计算：考虑一个悬臂梁，长度为L，受到均布荷载w作用，可以通过数值法进行位移计算。

首先将梁划分为很多小单元，然后在每个单元上利用有限元法建立相应的方程组，通过数值迭代求解得到梁的位移分布。

最终可以得到梁的最大挠度和变形曲线。

结构位移计算是结构力学中的一个重要内容，它可以帮助工程师预测结构在加载过程中的变形情况，为结构设计和分析提供依据。

通过解析法和数值法进行位移计算，可以得到结构的位移分布和最大位移值。

在实际工程中，结构位移计算对于评估结构的稳定性和安全性具有重要意义。

结构力学课件位移计算的一般公式

结构力学课件位移计算的一般公式
P 1
变形协调的 位移状态(P)
平衡的力 状态(i)
l
iP
(N Q M )dx
0
i
l
iP
( N Q M )dx
0
i
对于由线弹性直杆组成的结构，有：
NP , kQP , M P
EA GA
EI
适用于线弹性 直杆体系,
ip
NP E
N A
i
kQPQi GA
MPMi EI
拉压变形（应变）： 弯曲变形（曲率）： 剪切变形（剪切角）：
N l
EA l
M 1 EI
k Q
GA
内力虚功：
当力状态的外力在结构位移状态的位移作虚 功时，力状态的内力也在位移状态的相对变形上 作虚功，这种虚功称为内力虚功（虚应变能）， 用“V”表示。
微段外力: 微段变形:
M
M dM
N
N dN
NP Nil EI
（4）拱
ip
MPMi
EI
NP Ni EA
ds
例:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.
解：
P
P
0
NP 0
P a
2P k
a
kx
NP Nil EA
1
1 2
1
2
Ni
1
1 [(P)(1)a (P)(1)a 2P 2 2a] 2(1 2) Pa ()
EA
EA
作业 (8)
两种应用： 虚位移原理：虚设位移状态求力——理论力学学过 虚力原理：虚设力状态求位移——支座移动时结构位移计算
A. 虚位移原理
例： 求 A 端的支座反力。
直线
A
B

第五章 位移计算习题解答

第五章 位移计算习题解答

∆������������=
������ 4
(逆时针)，∆������������=
������ 2
(向下)
5-4：图示刚架的 A 支座向下发生了 a 的移动，C 支座向右发生了 b 的移动，求 由此引起铰 D 两侧截面的相对转角 D 和 E 点的竖向位移 EY 。
D
E
4m
Aa B
C
b 2m 2m 2m 2m
6 12
17 23
图 5-7-1
取如图所示的角为θ角，所以
sinθ
=
ℎ √4������2 +
ℎ2
，cosθ
=
2������ √4������2 +
ℎ2
，tanθ
=
ℎ 2������
(1)杆件在实际荷载作用下的轴力
������������1 = ������������3 = ������������6 = ������������13 = ������������20 = ������������23 = ������������24 = 0
1)
������ 6 =5−5 以 B 为坐标原点，建立坐标系
(1 < ������ < 5)
EB 段：
���̅���3
=
−
������ 5
(0 < ������ < 1)
所以
∆������������ =
1 ������������
1
∫ 15������
0
∙
������������������
+
1 5������������
图 5-4
解：由于此结构为静定结构，所以支座位移不会引起结构内力。由于 B 点无竖 向支座，所以在 A 点沉降作用下 ABDE 同时下降 a，E 点竖向位移与 C 点位移 b 无关，所以铰 D 两侧截面的相对转角∆������φ和 E 点的竖向位移∆EY的值为：

结构力学第五章结构位移计算

结构力学第五章结构位移计算

M K ads
QK ads
N K ads RK Ca
( a , a , a , Ca )
(MK ,QK , N K ,RK )
经分析：
a ds t0ds ;
ads 0
;
ads


t h
ds
;
RCA 0
将以上各式代入求位移的一般公式，可得温度改变位移计算式：
y
d
MP(x)
dx
MK(X)

y yo
o
xA
Bx
xo
M K M P ds l EI
1 EI
B
A M K M Pdx
1 EI
B
A x tgM Pdx

1 tg
EI
b
a xM Pdx

1
tg
B
xd
EI
A

1 EI
tg

x0 P

1 EI
P
y0
（Mp图）
（Mk1图）
（Mk2图）
CV
M K M P ds 1 [( 6 6) ( 2 300) ( 2 6 45) ( 6 ) (6 6) (300)] 13860 0.0924m()
l EI
EI 2
3
3
2
EI
C

1 EI
[(300 6)(1) ( 2
位移状态，则前者的外力由于后者的位移所做的虚外功T等于前者的切割 面内力由于后者的变形所作的虚变形功V”。
用式子表达就是下面的虚功方程：
T=V
虚功方程也可以简述为：“外力的虚功等于内力的虚变形功”。 其具体表达式为：

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算

结构位移计算的一般公式
叠加法：总位移Δ是微元段变形引起的微小位移dΔ之叠加； Δ = ∫dΔ = ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
多个杆件：每根杆件产生的位移效应的叠加 Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds 变形+支座位移：叠加法 支座位移产生的位移Δ=- ∑FRK· cK
另一种形式： 1 ·Δ+ ∑FRK· cK = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds =
=
外力虚功
W
=
Wi
内力虚功
变形体的虚力方程
Page 23
14:33
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
l
Page 19
d θ
M M
ds
14:33
LOGO
结构体位移计算的单位荷载法
局部变形时的位移计算公式
微元段的局部变形
1 相对轴向位移 dλ = εds
ds变形
相对轴向位移 dη = γ0ds
相对转角 dθ = ds/R = κds
⑴ 这些相对位移dλ、 dη和dθ 分别对应的广义力是B点的轴力FN， 剪力FQ ，及弯矩M； 这些微小变形在A端产生的位移dΔ如何求？ 单位荷载法！ ⑵ 设单位位移在B点产生的的轴力，剪力及弯矩分别为 FN ， FQ 和M，利用虚力原理，有
Page
2
LOGO
应用虚力原理求刚体体系的位移
结构位移计算概述
位移：结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置 移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移； 思考：变形和位移的差别？ 变形：结构在外部因素作用下发生的形状变化；

结构力学第五章位移计算

结构力学第五章位移计算

解得：
bc/a
这就是著名的单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
单位位移法的虚功方程
平衡方程
单位荷载法的虚功方程
几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。
解：去掉A端约束并代以反力 X，构相应的虚位移状态.
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是
实由际受外力力状虚态功的总平衡和方为程零，即： MX BX 0FP C 0
(将2)虚位X 移/ 与C实际a /力b状代态入无得关:,故可设X bFxP / a 1
(通3)常求解取时关键一步是1找出虚位移状态的位移关系。
2.广义力 (Generalized force) 广义位移(Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=Σ[FP× ]
FP---广义力; ---广义位移
例: 1)作虚功的力系为一个集中力
2)作虚功的力系为一个集中力偶
FP
W FP
3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
K
1
K KC
K
c2
FR1
FR 3
c1
c3
FR 2
由刚体虚功原理:
We Fi i 1 kc FR1C1 FR2C2 FR3C3 0
第五章 静定结构位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§5-1结构位移计算概述
线位移
A
位移

05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok

05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok

如： 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束：为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如：1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时，显然13杆可沿水平方向移动， 同时刚结点1也可能发生转角，要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程，简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数，rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji，Rip，>0，=0，<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=

结构力学 静定结构的位移计算

结构力学 静定结构的位移计算

(a)
(b)
例7-2-1
C B
(a)
a L
b
C`
(b)
δP
C
B` δ B ( δ B =1) B
分析： 分析： 静定结构可利用刚体的虚功原理 （虚位移方程）求力
解 (1)去掉B支座链杆 (2)按拟求支座反力让机构发生单 位虚位移见图(b) (3)写出虚位移方程 FBy × 1 − FP δ P = 0 (4)求解虚位移方程
(a)
解 （1 ）
x
x
qL/2
x
1
x
qL qL/2
1 1
(b)
(c)
两种状态下任意 （2） 截面的弯矩函数
qx AB杆：M ( x) = qLx − 2 杆
2
M ( x) = x
qL BC杆： M ( x) = x 杆 2
M ( x) = x
（3 ）
∆ BH
L L qL MMP qx 2 = ∑∫ dx = [ ∫ (qLx − ) xdx + ∫ x 2 dx] 0 0 2 EI 2 1 2 4
(7-4-1)
(1)梁和刚架， (1)梁和刚架，主要考虑弯 梁和刚架 曲变形的影响，位移公式： 曲变形的影响，位移公式：
MM P ∆ = ∑∫ ds EI
(7-4-2)
(2)桁架，只考虑轴向变形的 桁架， 桁架 位移公式： 影 响，位移公式：
F N FNP ∆ = ∑∫ ds EA
(7-4-3)
解
结点的竖向位移∆ （1）求D结点的竖向位移∆DV 结点的竖向位移
1）计算 FNP
C
A D
B
(b) FNP 图（kN）
2）计算 F N

《结构力学》静定结构的位移计算

《结构力学》静定结构的位移计算

03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
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第三章 结构位移计算
练习. 已知条件如图，求中点C点的竖向位移
q
A
B
EI C
l/2
l/2
ql 2 /8
MP
M
l/4
分几段、分几 块？ 图形面积及形 心怎样确定？
各段竖标 yc怎 样确定?
如何定义正结构位移计算
练习. 已知条件如图示，求距右支座l/3处C点的竖
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l
l/2
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1 2
ql
2
3 8
ql
2
1
1 8
ql
2
1
3
1
2
方法 1：分为三段， C 然后分块图乘
MP
12
7ql 3 128EI
方法 2：抛开结构， 仅考虑图形，分两段 进行。
M
哈工大 土木工程学院
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第三章 结构位移计算
练习. 已知 EI 为常数，求A、B两点的相对位移 AB
A
B
q
h
C
D
l
哈工大 土木工程学院
向位移。
q A
EI
C
B 计算方法： 分段+分块
2l/3
l/3
方法1：视为两段简支梁
MP
ql 2/9
B
11ql 4 972EI
()
方法2：视为两段悬臂梁
M 2l/9
哈工大 土木工程学院
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第三章 结构位移计算
例. 已知 EI 为常数，求D铰两侧相对转角位移
ql 2/2
q
A
EI B EI D EI