第2讲 空间图形的位置关系..
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第2讲 空间图形的位置关系 【选题明细表】 知识点、方法 题号 命题真假的判断 1、4、6、8 空间位置关系的证明 3、5、9、10、11 空间图形中有关的计算 2、7、12
一、选择题 1.(2012年高考四川卷)下列命题正确的是( C ) (A)若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 (B)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 (C)若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 (D)若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 解析:利用线面位置关系的判定和性质解答. 选项A错误,如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等,但两条母线相交; 选项B错误,△ABC的三个顶点中,A、B在α的同侧,而点C在α的另一侧,且AB平行于α,此时可有A、B、C三点到平面α距离相等,但两平面相交; 选项D错误,如教室中两个相邻墙面都与地面垂直,但这两个面相交, 对于C,如图,平面α∩平面β=直线m,直线a∥α,a∥β,过a作平面交α于c,作平面交β于d, ∵a∥α,a∥β, ∴a∥c,a∥d, ∴c∥d,∴c∥β. ∴c∥m, ∴a∥m,即答案C正确.故选C. 2.(2011年浙江金华十校联考)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,则AB与平面A1BC1所成角的正弦值为( D )
(A)322 (B)22 (C)42 (D)31 解析:直线AB与平面A1BC1所成角等于直线A1B1与平面A1BC1所成角,连接B1C,与BC1相交于点O,连接A1O.则容易证明BC1⊥平面A1B1O,所以平面A1BC1⊥平面A1B1O,所以直线A1B1与平面A1BC1所成角为∠B1A1O,故sin∠
B1A1O=OAOB11=22322=31.故选D.
3.对于四面体ABCD,给出下列四个命题: ①若AB=AC,BD=CD,则BC⊥AD;②若AB=CD,AC=BD,则BC⊥AD;③若AB⊥AC,BD⊥CD,则BC⊥AD;④若AB⊥CD,AC⊥BD,则BC⊥AD. 其中正确的是( B ) (A)①③ (B)①④ (C)仅④ (D)②③
解析:如图(1),取线段BC的中点E,连接AE,DE, ∵AB=AC,BD=CD, ∴BC⊥AE,BC⊥DE, ∴BC⊥平面ADE, ∵AD⊂平面ADE, ∴BC⊥AD,故①正确. 如图(2),上、下底面不为正方形的长方体中,四面体ABCD满足AB=CD,AC=BD,
则BC⊥AD不成立,故②错误; 如图(3),上、下底面不为正方形的长方体中,四面体ABCD中,AB⊥AC,BD⊥CD,
则BC⊥AD不成立,若成立,则BC⊥AD,与底面不是正方形矛盾,故③错误; 设点O为点A在平面BCD上的射影,如图(4),连接OB,OC,OD, ∵AB⊥CD,AC⊥BD, ∴OB⊥CD,OC⊥BD, ∴点O为△BCD的垂心, ∴OD⊥BC, ∴BC⊥AD,故④正确,故选B. 4.(2012年北京海淀模拟)已知平面α,β,直线l,若α⊥β,α∩β=l,则( D ) (A)垂直于平面β的平面一定平行于平面α (B)垂直于直线l的直线一定垂直于平面α (C)垂直于平面β的平面一定平行于直线l (D)垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直 解析:对于选项A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故选项A错误;对于选项B,垂直于直线l的直线与平面α垂直或斜交,故选项B错误;对于选项C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故选项C错误;对于选项D,由于l⊂α,l⊂β,所以垂直于l的平面一定与平面α、β都垂直,故选D. 5.将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图(2)),则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是( C ) (A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 解析:在题图(1)中的等腰直角三角形ABC中,斜边上的中线AD就是斜边上的高, 则AD⊥BC,翻折后如题图(2),AD与BC变成异面直线, 而原线段BC变成两条线段BD、CD, 这两条线段与AD垂直, 即AD⊥BD,AD⊥CD, 故AD⊥平面BCD, 所以AD⊥BC.故选C. 6.(2012年河南洛阳模拟)已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是( C ) (A)若m∥α,α∩β=n,则m∥n (B)若m⊥α,m⊥n,则n∥α (C)若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n (D)若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β 解析:对于选项A,若m∥α,α∩β=n, 则m∥n,或m,n是异面直线, 所以选项A错误; 对于选项B,n可能在平面α内,所以选项B错误; 对于选项D,m与β的位置关系还可以是m⊂β,m∥β,或m与β斜交,所以选项D错误; 由面面垂直的性质可知C正确.故选C. 二、填空题
7.(2012年武汉调研)如图,边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边的中点,若将△ABC沿AD折起之后,B、C两点的距离等于6,则二面角BADC的余弦值等于 . 解析:在等边三角形ABC中,AD⊥BC, 且BD=DC=2.
如图,折起之后,AD⊥BD,AD⊥CD, 所以∠BDC为二面角BADC的平面角. 在△BDC中,
cos∠BDC=DCBDBCDCBD2222
=222622222 =41. 答案: 41 8.(2012年江西抚州一中月考)已知m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列命题: ①若m∥α,则m平行于α内的无数条直线; ②若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n; ③若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β; ④若α∥β,m⊂α,则m∥β. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号) 解析:由线面平行的定义及性质知①正确;对于②,若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m、n可能平行,也可能异面,故②错误; 对于③,由nmm//,可知n⊥α, 又n⊥β,所以α∥β,故③正确; 由面面平行的性质知④正确. 答案:①③④
9.(2012年温州市八校联考)如图,正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A'ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题: ①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上; ②恒有平面A'GF⊥平面BCED; ③三棱锥A'FED的体积有最大值; ④直线A'E与BD不可能垂直. 其中正确的命题的序号是 . 解析:对于命题①,由题意知,A'G⊥DE,FG⊥DE, 故DE⊥平面A'FG, 所以平面A'FG⊥平面ABC, 则A'F在平面ABC内投影在直线AF上,故该命题正确; 对于命题②,由于DE⊥平面A'GF,DE⊂平面BCED, 所以平面A'GF⊥平面BCED,故命题②正确; 对于命题③,当A'G⊥平面ABC时,此时A'到平面FED距离最大,三棱锥A'FED的体积取最大值,故命题③正确; 对于命题④,当A'E在平面ABC上的射影与直线BD垂直时,易证A'E与BD垂直,故该命题不正确. 答案:①②③ 三、解答题 10.(2012年福州市高中毕业班综合练习)已知四棱锥PABCD的三视图如图所示,△PBC为正三角形.
(1)在平面PCD中作一条与底面ABCD平行的直线,并说明理由; (2)求证:AC⊥平面PAB; (3)求三棱锥APBC的高. (1)解:分别取PC、PD中点E、F,连接EF,则EF即为所求,下证之: ∵E、F分别为PC、PD中点, ∴EF∥CD. ∵EF⊄平面ABCD,CD⊂平面ABCD, ∴EF∥平面ABCD.(作法不唯一) (2)证明:由三视图可知,PA⊥平面ABCD, BC=2AD=2CD=2,四边形ABCD为直角梯形. 过点A作AG⊥BC于G,连接AC, 则AG=CD=1,GC=AD=1. ∴AC=22CDAD=2, AB=22BGAG=22)12(1=2, ∴AC2+AB2=BC2,故AC⊥AB. ∵PA⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴PA⊥AC. ∵PA∩AB=A,∴AC⊥平面PAB. (3)解:∵△PBC为正三角形, ∴PB=BC=2. 在Rt△PAB中,PA=22ABPB=2. ∴PABCV=31S△PAB·AC=31×(21×2×2)×2=32,
PBCAV=31S△PBC·h=31×(43×22)·h =33h(其中h为三棱锥APBC的高). ∵PABCV=PBCAV,∴h=36. 即三棱锥APBC的高为36.
11.(2012年北京东城模拟)如图所示,在棱长为2的正 方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点. (1)求证:EF∥平面ABC1D1; (2)求证:EF⊥B1C; (3)求三棱锥B1EFC的体积EFCBV1.
证明:(1)连接BD1, 在△DD1B中,E,F分别为D1D,DB的中点, 则EF∥D1B. 又D1B⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1, ∴EF∥平面ABC1D1. (2)由题意易得AB⊥B1C,B1C⊥BC1, 又AB,BC1⊂平面ABC1D1,AB∩BC1=B, ∴B1C⊥平面ABC1D1. 又BD1⊂平面ABC1D1, ∴B1C⊥BD1.
