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中考数学复习----《正方形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形2.正方形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②具有矩形与菱形的一切性质。
所以正方形的四条边都相等，四个角都是直角。
对角线相互平分且相等，且垂直，且平分每一组对角，把正方形分成了四个全等的等腰直角三角形。
正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，对角线所在直线是对称轴，过每一组对边中点的直线也是对称轴。
练习题1．（2022•黄石）如图，正方形OABC的边长为，将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点B1的坐标为（）A．（﹣2，0）B．（2，0）C．（0，2）D．（0，2）【分析】连接OB，由正方形的性质和勾股定理得OB＝2，再由旋转的性质得B1在y轴正半轴上，且OB1＝OB＝2，即可得出结论．【解答】解：如图，连接OB，∵正方形OABC的边长为，∴OC＝BC＝，∠BCO＝90°，∠BOC＝45°，∴OB＝＝＝2，∵将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°后点B旋转到B1的位置，∴B 1在y 轴正半轴上，且OB 1＝OB ＝2，∴点B 1的坐标为（0，2），故选：D ．2．（2022•广州）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为（ ）A ．26B ．23C ．2﹣3D ．226− 【分析】连接EF ，由正方形ABCD 的面积为3，CE ＝1，可得DE ＝﹣1，tan ∠EBC ＝＝＝，即得∠EBC ＝30°，又AF 平分∠ABE ，可得∠ABF ＝∠ABE ＝30°，故AF ＝＝1，DF ＝AD ﹣AF ＝﹣1，可知EF ＝DE ＝×（﹣1）＝﹣，而M ，N 分别是BE ，BF 的中点，即得MN ＝EF ＝． 【解答】解：连接EF ，如图：∵正方形ABCD 的面积为3，∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ＝，∵CE ＝1，∴DE＝﹣1，tan∠EBC＝＝＝，∴∠EBC＝30°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝60°，∵AF平分∠ABE，∴∠ABF＝∠ABE＝30°，在Rt△ABF中，AF＝＝1，∴DF＝AD﹣AF＝﹣1，∴DE＝DF，△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DE＝×（﹣1）＝﹣，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN＝EF＝．故选：D．3．（2022•贵阳）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（）A．4B．8C．12D．16【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，然后即可得到小正方形的周长．【解答】解：由题意可得，小正方形的边长为3﹣1＝2，∴小正方形的周长为2×4＝8，故选：B．4．（2022•青岛）如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形．若AB＝2，则OE 的长度为（ ）A ．26B ．6C ．22D ．23【分析】首先利用正方形的性质可以求出AC ，然后利用等边三角形的性质可求出OE ．【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，AB ＝2，∴AC ＝2，∵O 为正方形ABCD 对角线AC 的中点，△ACE 为等边三角形，∴∠AOE ＝90°，∴AC ＝AE ＝2，AO ＝，∴OE ＝×＝． 故选：B ．5．（2022•泰州）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 为一边作正方形DEFG ．设DE ＝d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2、d 3，则d 1+d 2+d 3的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．22D ．4【分析】连接AE ，那么，AE ＝CG ，所以这三个d 的和就是AE +EF +FC ，所以大于等于AC ，故当AEFC 四点共线有最小值，最后求解，即可求出答案．【解答】解：如图，连接AE ，∵四边形DEFG 是正方形，∴∠EDG ＝90°，EF ＝DE ＝DG ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝90°，∴∠ADE ＝∠CDG ，∴△ADE ≌△CDG （SAS ），∴AE ＝CG ，∴d 1+d 2+d 3＝EF +CF +AE ，∴点A ，E ，F ，C 在同一条线上时，EF +CF +AE 最小，即d 1+d 2+d 3最小，连接AC ，∴d 1+d 2+d 3最小值为AC ，在Rt △ABC 中，AC ＝AB ＝2，∴d 1+d 2+d 3最小＝AC ＝2， 故选：C ．6．（2022•黔东南州）如图，在边长为2的等边三角形ABC 的外侧作正方形ABED ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，则DF 的长为（ ）A ．23+2B ．5﹣33C ．3﹣3D ．3+1【分析】方法一：如图，延长DA 、BC 交于点G ，利用正方形性质和等边三角形性质可得：∠BAG ＝90°，AB ＝2，∠ABC ＝60°，运用解直角三角形可得AG ＝2，DG ＝2+2，再求得∠G ＝30°，根据直角三角形性质得出答案．方法二：过点E 作EG ⊥DF 于点G ，作EH ⊥BC 于点H ，利用解直角三角形可得EH ＝1，BH ＝，再证明△BEH ≌△DEG ，可得DG ＝BH ＝，即可求得答案．【解答】解：方法一：如图，延长DA、BC交于点G，∵四边形ABED是正方形，∴∠BAD＝90°，AD＝AB，∴∠BAG＝180°﹣90°＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∴AG＝AB•tan∠ABC＝2×tan60°＝2，∴DG＝AD+AG＝2+2，∵∠G＝90°﹣60°＝30°，DF⊥BC，∴DF＝DG＝×（2+2）＝1+，故选D．方法二：如图，过点E作EG⊥DF于点G，作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠DGE＝90°，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABED是正方形，∴BE＝DE＝2，∠ABE＝∠BED＝90°，∴∠EBH＝180°﹣∠ABC﹣∠ABE＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴EH＝BE•sin∠EBH＝2•sin30°＝2×＝1，BH＝BE•cos∠EBH＝2cos30°＝，∵EG⊥DF，EH⊥BC，DF⊥BC，∴∠EGF＝∠EHB＝∠DFH＝90°，∴四边形EGFH是矩形，∴FG＝EH＝1，∠BEH+∠BEG＝∠GEH＝90°，∵∠DEG+∠BEG＝90°，∴∠BEH＝∠DEG，在△BEH和△DEG中，，∴△BEH≌△DEG（AAS），∴DG＝BH＝，∴DF＝DG+FG＝+1，故选：D．7．（2022•随州）七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，AP⊥EF分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．则在剪开之前，关于该图形，下列说法正确的有（）①图中的三角形都是等腰直角三角形；②四边形MPEB是菱形；③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的．A．只有①B．①②C．①③D．②③【分析】①利用正方形的性质和中位线的性质可以解决问题；②利用①的结论可以证明OM≠MP解决问题；③如图，过M作MG⊥BC于G，设AB＝BC＝x，利用正方形的性质与中位线的性质分别求出BE和MG即可判定是否正确．【解答】解：①如图，∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF为△CBD的中位线，∴EF∥BD，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∵四边形ABCD为正方形，∴A、O、P、C在同一条直线上，∴△ABC、△ACD、△ABD、△BCD、△OAB、△OAD、△OBC、△OCD、△EFC都是等腰直角三角形，∵M，N分别为BO，DO的中点，∴MP∥BC，NF∥OC，∴△DNF、△OMP也是等腰直角三角形．故①正确；②根据①得OM＝BM＝PM，∴BM≠PM∴四边形MPEB不可能是菱形．故②错误；③∵E，F分别为BC，CD的中点，∴EF∥BD，EF＝BD，∵四边形ABCD是正方形，且设AB＝BC＝x，∴BD＝x，∵AP⊥EF，∴AP⊥BD，∴BO＝OD，∴点P在AC上，∴PE＝EF，∴PE＝BM，∴四边形BMPE是平行四边形，∴BO＝BD，∵M为BO的中点，∴BM＝BD＝x，∵E为BC的中点，∴BE＝BC＝x，过M作MG⊥BC于G，∴MG＝BM＝x，∴四边形BMPE的面积＝BE•MG＝x2，∴四边形BMPE的面积占正方形ABCD面积的．∵E、F是BC，CD的中点，∴S△CEF＝S△CBD＝S四边形ABCD，∴四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的（1﹣﹣﹣）＝．故③正确．故选：C．8．（2022•宁波）将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内，其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．正方形纸片的面积B．四边形EFGH的面积C．△BEF的面积D．△AEH的面积【分析】根据题意设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，根据矩形纸片和正方形纸片的周长相等，可得AP＝x+y，先用面积差表示图中阴影部分的面积，并化简，再用字母分别表示出图形四个选项的面积，可得出正确的选项．【解答】解：设PD＝x，GH＝y，则PH＝x﹣y，∵矩形纸片和正方形纸片的周长相等，∴2AP+2（x﹣y）＝4x，∴AP＝x+y，∵图中阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣2△ADH﹣2S△AEB＝（2x+y）（2x﹣y）﹣2ו（x﹣y）（2x+y）﹣2ו（2x﹣y）•x＝4x2﹣y2﹣（2x2+xy﹣2xy﹣y2）﹣（2x2﹣xy）＝4x2﹣y2﹣2x2+xy+y2﹣2x2+xy＝2xy，A、正方形纸片的面积＝x2，故A不符合题意；B、四边形EFGH的面积＝y2，故B不符合题意；C、△BEF的面积＝•EF•BQ＝xy，故C符合题意；D、△AEH的面积＝•EH•AM＝y（x﹣y）＝xy﹣y2，故D不符合题意；故选：C．9．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可以求得∠CDF的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．10．（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．∵OE＝OF，∴△OEF为等腰直角三角形，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∵∠AFE＝25°，∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，∴∠F AO＝20°．在△AOF和△BOE中，，∴△AOF ≌△BOE （SAS ）．∴∠F AO ＝∠EBO ＝20°，∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，∴∠CBE ＝∠EBO +∠OBC ＝65°．故选：C ．11．（2022•益阳）如图，将边长为3的正方形ABCD 沿其对角线AC 平移，使A 的对应点A ′满足AA ′＝31AC ，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是 ．【分析】由正方形边长为3，可求AC ＝3，则AA ′＝AC ＝，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【解答】解：∵正方形ABCD 的边长为3，∴AC ＝3，∴AA ′＝AC ＝， ∴A ′C ＝2，由题意可得重叠部分是正方形，且边长为2，∴S 重叠部分＝4．故答案为：4．12．（2022•海南）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，AE ＝AF ，∠EAF ＝30°，则∠AEB ＝ °；若△AEF 的面积等于1，则AB 的值是 ．【分析】利用“HL”先说明△ABE与△ADF全等，得结论∠BAE＝∠DAF，再利用角的和差关系及三角形的内角和定理求出∠AEB；先利用三角形的面积求出AE，再利用直角三角形的边角间关系求出AB．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠D＝90°．在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．∴∠BAE＝∠DAF．∴∠BAE＝（∠BAD﹣∠EAF）＝（90°﹣30°）＝30°．∴∠AEB＝60°．故答案为：60．过点F作FG⊥AE，垂足为G．∵sin∠EAF＝，∴FG＝sin∠EAF×AF．∵S△AEF＝×AE×FG＝×AE×AF×sin∠EAF＝1，∴×AE2×sin30°＝1．即×AE2×＝1．∴AE＝2．在Rt△ABE中，∵cos∠BAE＝，∴AB＝cos30°×AE＝×2＝．故答案为：．13．（2022•广西）如图，在正方形ABCD中，AB＝42，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是．【分析】作辅助线，构建全等三角形，先根据翻折的性质得△EGH'≌△EGH，所以△EGH′的周长＝△EGH的周长，接下来计算△EGH的三边即可；证明△BME≌△FNE（ASA）和△BEO≌△EFP（AAS），得OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，利用三角函数和勾股定理分别计算EG，GH和EH的长，相加可得结论．【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，作EN⊥CD于N，过点F作FP⊥AC于P，连接GH，∵将△EFH沿EF翻折得到△EFH′，∴△EGH'≌△EGH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝4，∠BCD＝90°，∠ACD＝∠ACB＝45°，∴BD＝BC＝8，△CPF是等腰直角三角形，∵F是CD的中点，∴CF＝CD＝2，∴CP＝PF＝2，OB＝BD＝4，∵∠ACD＝∠ACB，EM⊥BC，EN⊥CD，∴EM＝EN，∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴∠MEN＝90°，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠BEM＝∠FEN，∵∠BME＝∠FNE，∴△BME≌△FNE（ASA），∴EB＝EF，∵∠BEO+∠PEF＝∠PEF+∠EFP＝90°，∴∠BEO＝∠EFP，∵∠BOE＝∠EPF＝90°，∴△BEO≌△EFP（AAS），∴OE＝PF＝2，OB＝EP＝4，∵tan∠OEG＝＝，即＝，∴OG＝1，∴EG＝＝，∵OB∥FP，∴∠OBH＝∠PFH，∴tan∠OBH＝tan∠PFH，∴＝，∴＝＝2，∴OH＝2PH，∵OP＝OC﹣PC＝4﹣2＝2，∴OH＝×2＝，在Rt△OGH中，由勾股定理得：GH＝＝，∴△EGH′的周长＝△EGH的周长＝EH+EG+GH＝2+++＝5+．故答案为：5+．14．（2022•无锡）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE 且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝．【分析】设CG＝x，则BG＝8﹣x，根据勾股定理可得AB2+BG2＝CE2+CG2，可求得x 的值，进而求出BG的长．【解答】解：连接AG，EG，∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝4，设CG＝x，则BG＝8﹣x，在Rt△ABG和Rt△GCE中，根据勾股定理，得AB2+BG2＝CE2+CG2，即82+（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝7，∴BG＝BC﹣CG＝8﹣7＝1．故答案是：1．15．（2022•江西）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为．【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，则长方形的对角线长＝＝．故答案为：．。
2019重庆中考数学第24题专题训练---正方形201902121、重庆第一中学2018-2019学年初2019级初三年级上学期第二次定时作业数学试题如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，CDE ∠的平 分线交AM 延长线于点F .（1）如图1，若点E 为线段AM 的中点，:1:2BM CM =，BE =AB 的长；（2）如图2，若G 为AE 中点，延长DG 至N ，使DG NG =，连接EN ，且EDG ENG ∠=∠，求证：BF DF +=．2、在正方形ABCD 中，点F 是BC 延长线上一点，过点B 作BE ⊥DF 于点E ，交CD 于点G ，连接CE . （1）若正方形ABCD 边长为3，DF =4，求CG 的长； （2）求证：EF+EG =2CE .GEA B CDF3、如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,O H 为CD 边上一点，连接BH 交AC 于K ,E 为BH 上一点，连接AE 交BD 于点.F（1）若AE BH ⊥于E ,且6,CK ==求AF 的长； （2）如图2，若=AE BE ,且,BEO EAO ∠=∠求证：.AEH图1 图24、重庆市南开（融侨）中学初2019级暑假作业数学综合练习如图，正方形ABCD 中，CB 的延长线上有一点E,连接AC 、AE. (1)如图1，若AC=4，∠CAE=75°，求△ACE 的面积； (2)如图2，连接BD 交AC 于点O ，在线段AB 上取点F ，使BE=BF ，连接CF ，过点B 作BG ∥CF ，交AE 于点G ，连接OG 、BG.求证：.BG AG +=5、重庆市南岸区11中、二外、珊瑚2018-2019学年度上期三校期末联考九年级数学如图1,以正方形ABCD 边AD 为边作等边三角形ADE ,EF ⊥AD 于点F ,连接BE 交AD 于G . (1)若正方形的边长为2,求AG 的长；(2)如图2，∠EAD 的平分线交BE 于点P ，连接CP ，求证:AP +PC6、在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E 为OB 上一点,连接CE,F 为CE 的中点.(1)如图1,连接AE,OF,若 AB=6,求OF 的长；(2)如图2,连接BF,作BG ⊥BF 交CA 的延长线于点G ，求证：.CG BE =7、已知正方形ABCD如图所示，连接其对角线AC，∠BCA的平分线CF交AB于点F，过点B作BM⊥C F于点N，交AC于点M，过点C作CP⊥CF，交AD延长线于点P．（1）若正方形ABCD的边长为4，求△ACP的面积；（2）求证：CP=BM+2FN．8、重庆巴蜀中学初2018届九年级下第二次周考如图1,正方形ABCD中,AE为过顶点A的任意一条射线,过C作CE⊥AE于E.(1)己知AB=6.AE=8,求CE的长；(2)如图2,过D作DF⊥AE于F,求证:DF=EF.图1 图29、重庆一中初2018级初三下期期中如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上一点，连接AM ，过点C 作CH ⊥AM 交AM 的延长线于点H ，延长CH 于点M 连接MN 、BN ． （1）若AB =4，AH =528，求线段CH 的长度； （2）若∠MAD =∠BMN ，求证：AM =MN +CN ．2019重庆中考数学第24题专题训练---正方形答案1、重庆第一中学2018-2019学年初2019级初三年级上学期第二次定时作业数学试题如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，CDE ∠的平 分线交AM 延长线于点F .（3）如图1，若点E 为线段AM 的中点，:1:2BM CM =，BE =AB 的长；（4）如图2，若G 为AE 中点，延长DG 至N ，使DG NG =，连接EN ，且EDG ENG ∠=∠，求证：BF DF +=．（1）:1:2BM CM ==,2BM x CM x ∴=设则∵正方形ABCD 3,90AB x ABC ∴=∠=︒Rt ABM AM ∆在中，∵点E 为线段AM 的中点2AM BM ∴== 2x ∴=36AB x ∴==（2）G AE 为中点AG EG ∴=AGD EGN AG EG AGD EGN DG NG ∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩在和中AGD EGN ∴∆≅∆ 4N ∴∠=∠ EDG ENG ∠=∠,34ED EN ∴=∠=∠ DG NG = 90EGD ∴∠=︒AF CDE ∠平分12∴∠=∠123452FDG CDA ∴∠=∠+∠=∠=︒,90A AH AF FD H FAH ⊥∠=︒过作交延长线于即//DG AH ∴45H FDG ∴∠=∠=︒AHF ∴∆为等腰直角三角形,AH AF FH ∴=90DAB HAF ∴∠=∠=︒ DAH BAF ∴∠=∠DAH BAF AH AF DAH BAF AD AB DAH BAF DH BF∆∆=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴∆≅∆∴=在和中BF DF DH DF FH ∴+=+==2、在正方形ABCD 中，点F 是BC 延长线上一点，过点B 作BE ⊥DF 于点E ，交CD 于点G ，连接CE . （1）若正方形ABCD 边长为3，DF =4，求CG 的长； （2）求证：EF+EG =2CE .解答：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴∠BCG =∠DCB=∠DCF=90°，BC=DC .∵BE ⊥DF∴∠CBG+∠F=∠CDF+∠F .∴∠CBG=∠CDF . ∴△CBG ≌△CDF .∴BG=DF=4.∴在Rt △BCG 中，222BG BC CG =+∴CG =73422=-. …………………………4分 （2）过点C 作CM ⊥CE 交BE 于点M∵∠BCG=∠MCE =∠DCF =90° ∴∠BCM=∠DCE ，∠MCG=∠ECF ∵BC=DC ，∠CBG=∠CDF∴△CBM ≌△CDE ∴CM=CE∴△CME 是等腰直角三角形∴ME=CE 2 ，即MG+EG=CE 2 又∵△CBG ≌△CDF ∴CG=CF∴△CMG ≌△FCE ∴MG=EF∴EF+EG =2CEGEA B CDFM3、如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点,O H 为CD 边上一点，连接BH 交AC 于K ,E 为BH 上一点，连接AE 交BD 于点.F（1）若AE BH ⊥于E ,且6,CK ==求AF 的长； （2）如图2，若=AE BE ,且,BEO EAO ∠=∠求证：.AEH图1图2解答：4、重庆市南开（融侨）中学初2019级暑假作业数学综合练习如图，正方形ABCD中，CB的延长线上有一点E,连接AC、AE.(1)如图1，若AC=4，∠CAE=75°，求△ACE的面积；(2)如图2，连接BD交AC于点O，在线段AB上取点F，使BE=BF，连接CF，过点B作BG∥CF，交AE于点G，连接OG、BG.求证：.+=BG AG5、重庆市南岸区11中、二外、珊瑚2018-2019学年度上期三校期末联考九年级数学如图1,以正方形ABCD边AD为边作等边三角形ADE,EF⊥AD于点F,连接BE交AD于G.(1)若正方形的边长为2,求AG的长；(2)如图2，∠EAD的平分线交BE于点P，连接CP，求证解法一：解法二：6、在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,E 为OB 上一点,连接CE,F 为CE 的中点.(1)如图1,连接AE,OF,若 AB=6,求OF 的长；(2)如图2,连接BF,作BG ⊥BF 交CA 的延长线于点G ，求证：.CG BE =7、已知正方形ABCD 如图所示，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM⊥C F 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP⊥CF，交AD 延长线于点P ．（1）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（2）求证：CP=BM+2FN ．解：∵∠1=∠2=22.5°，又CP⊥CF，∴∠3+∠FCD=∠1+∠FCD=90°∴∠3=∠1=22.5°∴∠P=67.5°又∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ACP=45+22.5=67.5°∴∠P=∠ACP∴AP=AC又∵AB=4 ∴AP=42 ∴S △A P C =12AP•CD=82（2）∵在△PDC 和△FBC 中，{ ∠PDC=∠FBCCD=BC∠1=∠3∴△PDC≌△FBC∴CP=CF 在CN 上截取NH=FN ，连接BH∵FN=NH，且BN⊥FH∴BH=BF∴∠4=∠5∴∠4=∠1=∠5=22.5°又∠4+∠BFC=∠1+∠BFC=90°∴∠HBC=∠BAM=45°在△AMB 和△BHC 中，{ ∠1=∠4AB=BC∠HBC=∠BAM，∴△AMB≌△BHC，∴CH=BM∴CF=BM+2FN∴CP=BM+2FN．8、重庆巴蜀中学初2018届九年级下第二次周考如图1,正方形ABCD 中,AE 为过顶点A 的任意一条射线,过C 作CE ⊥AE 于E.(1)己知AB=6.AE=8,求CE 的长；(2)如图2,过D 作DF ⊥AE 于F,求证:DF=EF.图1 图29、重庆一中初2018级初三下期期中如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上一点，连接AM ，过点C 作CH ⊥AM 交AM 的延长线于点H ，延长CH 于点M 连接MN 、BN ．（1）若AB =4，AH =528，求线段CH 的长度； （2）若∠MAD =∠BMN ，求证：AM =MN +CN ．。
正方形一、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，即：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等；②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（2）对角线与边的夹角为︒45；（3）正方形是中心对称和轴对称图形，对称中心在两条对角线交点上；对称轴有四条；（4）正方形内任意一点P 到四个顶点的长也满足下列关系： 2222PD PB PC PA +=+二、正方形的判定（1）有一组邻边相等并且有一个角是直角 的平行四边形是正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（3）有一个角是直角的菱形是正方形。
（4）对角线垂直且相等的平行四边形是正方形。
特殊四边的中点四边形：ABCDP等腰梯形的中点四边形是菱形直角梯形的中点四边形是平行四边形梯形的中点四边形是平行四边形平行四边形的中点四边形是平行四边形矩形的中点四边形是菱形菱形的中点四边形是矩形正方形的中点四边形是正方形归纳：特殊四边形的中点四边形：◆平行四边形的中点四边形是平行四边形◆矩形的中点四边形是菱形◆菱形的中点四边形是矩形◆正方形的中点四边形是正方形◆等腰梯形的中点四边形是菱形◆直角梯形的中点四边形是平行四边形◆梯形的中点四边形是平行四边形一般四边形的中点四边形：决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和位置关系例题分析例1 下列叙述错误的是（）A.既是矩形又是菱形的四边形是正方形B.有一组邻边相等的矩形是正方形C.有一个角是直角的菱形是正方形D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形例2 如图1-3-1，正方形ABCD 的面积为256，点E 在AD 上，点F 在AB 的延长线上，EC ⊥FC ，∆CEF 的面积是200，则BF 的长是 .例 3 已知E 为边长是1的正方形ABCD 内一点，且AEB S ∆=0.1999，则CED S ∆= .例4 如图1-3-2，正方形ABCD 的边长AB=20，F 为AD 上的一点，连接CF ，作CE ⊥CF 交AB 的延长线于E ，作DG ⊥CF 交CF 于G ，若BE=15，则DG 的长为 .例5 如图1-3-3，正方形ABCD 中，E ，F 为BC ，CD 上的点，且∠EAF=45°，求证EF=BE+DF .1-3-11-3-21-3-3例6 如图1-3-4，正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 上的两个点，且BF=DE=1，从EF 的中点O 作EF 的垂直平分线，交CD 于G ，则OG = .例7 如图1-3-5，正方形ABCD 的边长为a ，E ，F ，G ，H 分别在正方形的四条边上，已知EF//GH ，EF=GH ，（1）若AE=AH=13a ，求四边形EFGH 的周长和面积；（2）求四边形EFGH 的周长的最小值.例8 如图1-3-6，已知E 是正方形ABCD 内一点，且∠ECD=∠EDC=15°，则AEB ∠= .90.DEC D DE A DE A AD AEB ∆︒''∆∆∠分析：利用旋转将以为中心顺时针旋转得到，再将以为轴对称即可得出度数1-3-41-3-61-3-51-3-81.在正方形ABCD 内有点P ，使∆PAB 、 ∆PBC 、∆PCD 、∆PDA 都是等腰三角形，那么具有这样性质的点是 个2.已知边长为4的正方形ABCD 中，F 是AD 的中点，E 点在AB 边上，且AE:EB=1:3，那么EFC S ∆= .3.一张边长为6的长方形纸片，按图1-3-7加以折叠，使得一角顶点落在对边上，则折痕长为 .4.若P 是边长为1的正方形ABCD 内一点，且0.31ABP S ∆=，则DCP S ∆= .5.边长为10的正方形，把边长增加同样的长度后，所得面积是625，则边长增加了 .6.如图1-3-8将正方形内接于等腰Rt ABC ∆，如果按照图甲的放法，可求得该正方形的面积是441，如果按照图乙的放法，那么只能放边长为 的正方形1-3-77.如图1-3-9，在面积为1的正方形ABCD 内取一点P ，使PBC ∆为等边三角形，求∆BPD 的面积.8.如图1-3-10，正方形OPQR 内接于∆ABC .已知∆AOR 、∆BOP 和∆CRQ 的面积分别是1、3和1.试求正方形OPQR 的面积.9.如图1-3-11，已知正方形AC 、BD 相交于点O ，BE 平分∠OBA ，CF ⊥BE 与F ，交OB 于G ，求证OE=OG.10.如图1-3-12，点P 在正方形ABCD 内，若PA:PB:PC=1：2：3，求∠APB 的度数.1-3-91-3-101-3-111-3-1211.如图1-3-13，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过,A C 作l 的垂线，垂足分别为,E F .若1AE =，3CF =，则AB 的长度为 .练习12（中，折叠与正方形的性质）如图1-3-14，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合。
中考数学复习----《正方形的判定》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.直接判定：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。
2.利用平行四边形判定：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
（定义判定）3.利用菱形与矩形判定：①有一个角是直角的菱形是正方形。
②对角线相等的菱形是正方形。
③邻边相等的矩形是正方形。
④对角线相互垂直的矩形是正方形。
练习题1、（2022•绍兴）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB＝2，∠ABC＝60°，E，F是对角线BD上的动点，且BE＝DF，M，N分别是边AD，边BC上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF；②存在无数个矩形MENF；③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形MENF．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【解答】解：连接AC，MN，且令AC，MN，BD相交于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OE＝OF，只要OM＝ON，那么四边形MENF就是平行四边形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN＝EF，OM＝ON，则四边形MENF是矩形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是菱形，∵点E，F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN＝EF，MN⊥EF，OM＝ON，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C．2、（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相平分的四边形是菱形D．对角线互相垂直的矩形是正方形【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．故选：D．3、（2022•攀枝花）如图，以△ABC的三边为边在BC上方分别作等边△ACD、△ABE、△BCF．且点A在△BCF内部．给出以下结论：①四边形ADFE是平行四边形；②当∠BAC ＝150°时，四边形ADFE是矩形；③当AB＝AC时，四边形ADFE是菱形；④当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形ADFE是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【分析】①利用SAS证明△EFB≌△ACB，得出EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；根据两边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形ADFE是平行四边形，即可判断结论①正确；②当∠BAC＝150°时，求出∠EAD＝90°，根据有一个角是90°的平行四边形是矩形即可判断结论②正确；③先证明AE＝AD，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判断结论③正确；④根据正方形的判定：既是菱形，又是矩形的四边形是正方形即可判断结论④正确．【解答】解：①∵△ABE、△CBF是等边三角形，∴BE＝AB，BF＝CB，∠EBA＝∠FBC＝60°；∴∠EBF＝∠ABC＝60°﹣∠ABF；∴△EFB≌△ACB（SAS）；∴EF＝AC＝AD；同理由△CDF≌△CAB，得DF＝AB＝AE；由AE＝DF，AD＝EF即可得出四边形ADFE是平行四边形，故结论①正确；②当∠BAC＝150°时，∠EAD＝360°﹣∠BAE﹣∠BAC﹣∠CAD＝360°﹣60°﹣150°﹣60°＝90°，由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形ADFE是矩形，故结论②正确；③由①知AB＝AE，AC＝AD，四边形AEFD是平行四边形，∴当AB＝AC时，AE＝AD，∴平行四边形AEFD是菱形，故结论③正确；④综合②③的结论知：当AB＝AC，且∠BAC＝150°时，四边形AEFD既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．。
中考数学专题复习——正方形(详细答案) 中考数学复专题——正方形一．选择题（共4小题）1.如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）。
A。
等于B。
等于1C。
等于3/4D。
随点E位置的变化而变化2.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）。
A。
1/8B。
1/4C。
1/2D。
3/43.下列说法中，正确个数有（）①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角相等；③对角线互相垂直的四边形为菱形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形．A。
1个B。
2个C。
3个D。
4个4.下列说法中，正确的是（）A。
两条直线被第三条直线所截，内错角相等B。
对角线相等的平行四边形是矩形C。
相等的角是对顶角D。
角平分线上的点到角两边的距离相等二．填空题（共7小题）5.以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是60°。
6.如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△___由△DAM平移得到。
若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC=60°时，2BE=DM；②无论点M运动到何处，都有DM=HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°。
其中正确结论的序号为①和②。
7.如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE=DF=2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为9.8.如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（3，-2）。
9.在正方形ABCD中，AB=6，连接AC，BD，P是正方形边上或对角线上一点，若PD=2AP，则AP的长为2.1.如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，点B在y轴的正半轴上，点D在x轴的负半轴上。
第24课时矩形(jǔxíng)、菱形、正方形【课前热身】1. 矩形的两条对角线的一个交角为60 o，两条对角线的长度的和为8cm，那么这个矩形的一条较短边为 cm.2.边长为５cm的菱形，一条对角线长是6cm，那么另一条对角线的长是 .3. 假设正方形的一条对角线的长为2cm，那么这个正方形的面积为．4．在平面中，以下命题为真命题的是〔〕A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是菱形C．四个角相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直的四边形是平行四边形考点梳理考点一矩形的定义、性质和断定1.定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.性质：〔1〕矩形的四个角都是直角；〔2〕矩形的对角线；(3)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有条对称轴；它的对称中心是 .3.断定：〔1〕有的平行四边形是矩形；〔2〕有的四边形是矩形；〔3〕对角线平行四边形是矩形。
考点二菱形的定义、性质和断定1.定义：有一组邻边相等(xiāngděng)的平行四边形是菱形。
2.性质：〔1〕菱形的四边，对角线互相，并且每条对角线〔2〕菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形。
3.断定：〔1〕有的平行四边形是菱形；〔2〕四边形是菱形；〔3〕对角线的平行四边形是菱形。
考点二正方形的定义、性质和断定1.定义：有一个角是直角的菱形是正方形或者有一组邻边相等的矩形是正方形。
2.性质：〔1〕正方形四个角都是，四条边；〔2〕正方形两条对角线，并且每条对角线平分一组对角。
3.断定：〔1〕有一个角是直角的菱形是正方形；〔2〕有一组邻边相等的矩形是正方形。
【典型例题】例1.如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC．〔1〕求证：△ADC△E CD；〔2〕假设BD=CD,求证四边形ADCE是矩形．例2.如图，⊿ABC，按如下步骤(bùzhòu)作图：①分别以A、C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M、N；②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；③过C作CE//AB交MN于点E，连接AE、CD。
2024年中考数学二轮复习模块专练—正方形（含答案）一、正方形的性质1．正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；2.边的性质：对边平行，四条边相等；3.角的性质：四个角都是直角；4.对角线的性质：对角线垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角；两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形；5.对称性：是轴对称图形，有4条对称轴；是中心对称图形，对称中心也叫正方形的中心；二、正方形的判定1.在矩形的基础上判定（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线垂直的矩形是正方形；2.在菱形的基础上判定（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）对角线相等的菱形是正方形；三、中点四边形1.连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形；2.连接矩形各边中点得到的四边形是菱形；3.连接菱形各边中点得到的四边形是矩形；《义务教育数学课程标准》2022年版，学业质量要求：试卷第2页，共12页1.理解正方形的概念；2.理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系；3.掌握正方形的性质和判定；【例1】（2023·四川攀枝花·统考中考真题）1．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，点P 是对角线BD 上的一点，PF AD ⊥于点F ，PE AB ⊥于点E ，连接PC ，当:1:2PE PF =时，则PC =（）AB ．2CD ．52【变1】（2023·福建·统考中考真题）2．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数3y x =和n y x=的图象的四个分支上，则实数n 的值为（）A ．3-B ．13-C ．13D ．3【例1】（2022·四川攀枝花·统考中考真题）3．如图，以ABC 的三边为边在BC 上方分别作等边ACD 、ABE 、BCF △．且点A 在BCF △内部．给出以下结论：①四边形ADFE 是平行四边形；②当150BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是矩形；③当AB AC =时，四边形ADFE 是菱形；④当AB AC =，且150BAC ∠=︒时，四边形ADFE 是正方形．其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）．【变1】（2022·辽宁阜新·统考中考真题）4．已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE ，CF ．试卷第4页，共12页(1)如图1，求证：ADE V ≌CDF ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若4AB =，2DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG长度的最小值．【例1】（2022·广西玉林·统考中考真题）5．若顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形ABCD 的两条对角线,AC BD 一定是()A ．互相平分B ．互相垂直C ．互相平分且相等D ．互相垂直且相等【变1】（2023·山东临沂·统考一模）6．四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交点O ，点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形ABCD ，四边形MNPQ 可能不是平行四边形；②若AC BD =，则四边形MNPQ 一定是菱形；③若AC BD ⊥，则四边形MNPQ 一定是矩形；④若四边形ABCD 是菱形，则四边形MNPQ 也是菱形．所有正确推断的序号是．一、选择题（2023·重庆·统考中考真题）7．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，连接AE ，AF ，EF ，45EAF ∠=︒．若BAE α∠=，则FEC ∠一定等于（）A ．2αB ．902α︒-C ．45α︒-D ．90α︒-（2022·江苏泰州·统考中考真题）8．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为与点D 不重合的动点，以DE 一边作正方形DEFG .设DE =d 1，点F 、G 与点C 的距离分别为d 2，d 3，则d 1＋d 2＋d 3的最小值为()试卷第6页，共12页AB ．2C．D ．4（2022·内蒙古包头·中考真题）9．如图，在矩形ABCD 中，AD AB >，点E ，F 分别在,AD BC 边上，EF AB ∥,AE AB =，AF 与BE 相交于点O ，连接OC ，若2BF CF =，则OC 与EF 之间的数量关系正确的是（）A．2OC =B2EF =C．2OC D ．OC EF =（2022·浙江绍兴·统考中考真题）10．如图，在平行四边形ABCD 中，22AD AB ==，60ABC ∠=︒，E ，F 是对角线BD 上的动点，且BE DF =，M ，N 分别是边AD ，边BC 上的动点．下列四种说法：①存在无数个平行四边形MENF ；②存在无数个矩形MENF ；③存在无数个菱形MENF ；④存在无数个正方形MENF ．其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（2023·湖南怀化·统考中考真题）11．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ⊥于点E ，3PE =．则点P 到直线AB 的距离为．（2023·四川宜宾·统考中考真题）12．如图，M 是正方形ABCD 边CD 的中点，P 是正方形内一点，连接BP ，线段BP 以B 为中心逆时针旋转90︒得到线段BQ ，连接MQ ．若4AB =，1MP =，则MQ 的最小值为．（2022·辽宁·统考中考真题）13．如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是OD 的中点，连接CE 并延长交AD 于点G ，将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，连接EF ，点H 为EF 的中点．连接OH ，则GE OH 的值为．（2023·浙江衢州·统考中考真题）14．如图，点A 、B 在x 轴上，分别以OA ，AB 为边，在x 轴上方作正方形OACD ，ABEF ．反比例函数()0k y k x=>的图象分别交边CD ，BE 于点P ，Q ．作PM x ⊥轴于点M ，QN y ⊥试卷第8页，共12页轴于点N ．若2OA AB =，Q 为BE 的中点，且阴影部分面积等于6，则k 的值为．三、解答题（2022·湖南邵阳·统考中考真题）15．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在对角线BD 上，且BE DF =，OE OA =．求证：四边形AECF是正方形．（2023·湖北十堰·统考中考真题）16．如图，ABCD Y 的对角线,AC BD 交于点O ，分别以点,B C 为圆心，11,22AC BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，连接,BP CP．(1)试判断四边形BPCO 的形状，并说明理由；(2)请说明当ABCD Y 的对角线满足什么条件时，四边形BPCO 是正方形？（2022·江苏镇江·统考中考真题）17．已知，点E 、F 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、AD 上．(1)如图1，当四边形EFGH 是正方形时，求证：AE AH AB +=；(2)如图2，已知AE AH =，CF CG =，当AE 、CF 的大小有_________关系时，四边形EFGH 是矩形；(3)如图3，AE DG =，EG 、FH 相交于点O ，:4:5OE OF =，已知正方形ABCD 的边长为16，FH 长为20，当OEH △的面积取最大值时，判断四边形EFGH 是怎样的四边形？证明你的结论．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）18．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，ABC 和BDE △都是等边三角形，点A 在DE 上．求证：以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC ，根据已知条件，可以证明DC AE =，120ADC ∠=︒，从而得出ADC △为钝角三角形，故以AE 、AD 、AC 为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，点A 在EG 上．试卷第10页，共12页①试猜想：以AE 、AG 、AC 为边的三角形的形状，并说明理由．②若2210AE AG +=，试求出正方形ABCD 的面积．（2022·四川乐山·统考中考真题）19．华师版八年级下册数学教材第121页习题19.3第2小题及参考答案．2．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．求证：CE DF =．证明：设CE 与DF 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90B DCF ∠=∠=︒，BC CD =．∴90BCE DCE ∠+∠=︒．∵CE DF ⊥，∴90COD ∠=︒．∴90CDF DCE ∠+∠=︒．∴CDF BCE ∠=∠．∴CBE DFC ≌△△．∴CE DF =．某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究(1)【问题探究】如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．试猜想EG FH 的值，并证明你的猜想．(2)【知识迁移】如图，在矩形ABCD 中，AB m =，BC n =，点E 、F 、G 、H 分别在线段AB 、BC 、CD 、DA 上，且EG FH ⊥．则EG FH=______．(3)【拓展应用】如图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=︒，60ABC ∠=︒，AB BC =，点E 、F 分别在线段AB 、AD 上，且CE BF ⊥．求CE BF 的值．（2023·辽宁丹东·统考一模）20．已知正方形ABCD 和等腰直角三角形AEF ，90EAF ∠=︒，连接BD ，BE ，BF ，DE ，点G ，H ，I 分别为线段BD ，BF ，DE 的中点，连接GH ，G I ，HI ．试卷第12页，共12页(1)如图1，当点B ，A ，F 在一条直线上时，请直接写出线段GH 与G I 的关系；(2)如图2，将AEF △绕点A 顺时针旋转()090αα︒<<︒，判断线段GH 与G I 的关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，若4AB =，3AE =，ADE V ，ABF △，GHI 的面积分别为1S ，2S ，S ．①请直接写出1S 与2S 大小关系；②直接写出124S S S +-的值．（2023·山东日照·统考中考真题）21．在平面直角坐标系xOy 内，抛物线()2520y ax ax a =-++>交y 轴于点C ，过点C作x 轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C ，D 的坐标；(2)当13a =时，如图1，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点P 为直线AD 上方抛物线上一点，将直线PD 沿直线AD 翻折，交x 轴于点(4,0)M ，求点P 的坐标；(3)坐标平面内有两点()1,1,5,1E a F a a ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，以线段EF 为边向上作正方形EFGH ．①若1a =，求正方形EFGH 的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x 轴的距离之差为52时，求a 的值．参考答案：1．C【分析】先证四边形AEPF 是矩形，可得PE AF =，90PFD ∠=︒，由等腰直角三角形的性质可得PF DF =，可求AF ，DF 的长，由勾股定理可求AP 的长，由“SAS ”可证ABP CBP △≌△，可得AP PC ==【详解】解：如图：连接AP ，四边形ABCD 是正方形，3AB AD ∴==，45ADB ∠=︒，PF AD ⊥ ，PE AB ⊥，90BAD ∠=︒，∴四边形AEPF 是矩形，PE AF ∴=，90PFD ∠=︒，PFD ∴ 是等腰直角三角形，PF DF ∴=，:1:2PE PF = ，:1:2AF DF ∴=，1AF ∴=，2DF PF ==，AP ∴=答案第2页，共37页AB BC = ，45ABD CBD ∠=∠=︒，BP BP =，(SAS)ABP CBP ∴△≌△，AP PC ∴==故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．2．A【分析】如图所示，点B 在3y x=上，证明AOC OBD ≌，根据k 的几何意义即可求解．【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点,A B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为,C D ，点B 在3y x =上，∵OB OA =，90AOB BDO ACO ∠=∠=∠=︒，∴90CAO AOC BOD ∠=︒-∠=∠．∴AOC OBD ≌．∴32AOC OBD S S == n =．∵A 点在第二象限，∴3n =-．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数的k 的几何意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．3．①②③④【分析】对于结论①，由等边三角形的性质可得，(SAS)EFB ACB ≌△△，则EF AC AD ==；同理，由CDF CAB ≌△△，得DF AB AE ==，由AE DF =，AD EF =即可得出四边形ADFE 是平行四边形；对于结论②，当150BAC ∠=︒时，36090EAD BAE BAC CAD ∠=︒-∠-∠-∠=︒，结合结论①，可知结论②正确；对于结论③，当AB AC =时，AE AD =，结合结论①，可知结论③正确；对于结论④，综合②③的结论知：当AB AC =，且150BAC ∠=︒时，四边形AEFD 既是菱形，又是矩形，故结论④正确．【详解】解析：①ABE 、CBF V 是等边三角形，BE AB ∴=，BF CB =，60FB EBA C =∠=︒∠，60EBF ABC ABF ∴∠=∠=︒-∠，(SAS)EFB ACB ∴≌△△，EF AC AD \==，同理由CDF CAB ≌△△，得DF AB AE ==，由AE DF =，AD EF =即可得出四边形ADFE 是平行四边形，故结论①正确；②当150BAC ∠=︒时，360360601506090EAD BAE BAC CAD ∠=︒-∠-∠-∠=︒-︒-︒-︒=︒，由①知四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形ADFE 是矩形，故结论②正确；③由①知AB AE =，AC AD =，四边形AEFD 是平行四边形，∴当AB AC =时，AE AD =，∴平行四边形AEFD 是菱形，故结论③正确；答案第4页，共37页④综合②③的结论知：当AB AC =，且150BAC ∠=︒时，四边形AEFD 既是菱形，又是矩形，∴四边形AEFD 是正方形，故结论④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟练掌握以上图形的判定方法是解题的关键．4．(1)见解析(2)①见解析②【分析】()1根据SAS 证明三角形全等即可；()2①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，证明BMG △是等腰直角三角形，求出BM 的最小值，可得结论．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒．DE DF = ，90EDF ∠=︒．ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE ∴V ≌()SAS CDF △；（2）①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ．90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒．ADE ≌CDF ，DAE DCF ∴∠=∠．DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒．90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒．四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒．ABM CBN ∴∠=∠．又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB ∴ ≌CNB ．MB NB ∴=．∴矩形BMGN 是正方形；答案第6页，共37页②解：作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M，∵90,90,DHA AMB ADH DAH BAM AD AB∠=∠=︒∠=︒-∠=∠=∴AMB ≌DHA ．BM AH ∴=．222AH AD DH =- ，4=AD ，DH ∴最大时，AH 最小，2DH DE ==最大值．BM AH ∴==最小值最小值．由()2①可知，BGM是等腰直角三角形，BG ∴==最小值【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．5．D【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．【详解】解：如图所示，点E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 边AD 、DC 、BC 、AB 的中点，∴11////,////,,22EF AC GH EH BD FG EF GH AC EH FG BD ====，∴四边形EFGH 是平行四边形，对于A 选项：对角线互相平分，四边形EFGH 仍是平行四边形，故不符合题意；对于B 选项：对角线互相垂直，则有EF EH ⊥，可推出四边形EFGH 是矩形，故不符合题意；对于C 选项：对角线互相平分且相等，则有EF EH =，可推出四边形EFGH 是菱形，故不符合题意；对于D 选项：对角线互相垂直且相等，则有EF EH ⊥，EF EH =，可推出四边形EFGH 是正方形，故符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定，熟练掌握三角形中位线及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定是解题的关键．6．②③【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可．【详解】解： 点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥且12MN AC =，PQ AC ∥且12PQ AC =，MN PQ ∴∥且MN PQ =，MNPQ∴是平行四边形，故①错误；点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴12MN AC=，12PN BD=，AC BD=，MN PN∴=，MNPQ是平行四边形，∴四边形MNPQ是菱形，故②正确；点M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA的中点，MN AC∴∥，MQ BD∥，AC BD⊥，MN MQ∴⊥，90QMN∴∠=︒，MNPQ是平行四边形，∴MNPQ是矩形，故③正确；若要四边形MNPQ是菱形，需满足AC BD=,当四边形ABCD是菱形，AC不一定等于BD，故④错误；综上，正确的有：②③，故答案为：②③．答案第8页，共37页【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．7．A【分析】利用三角形逆时针旋转90︒后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解．【详解】将ADF 绕点A 逆时针旋转90︒至ABH，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD =，90ABC D BAD C ∠=∠=∠=∠=︒，由旋转性质可知：DAF BAH ∠=∠，90D ABH ∠=∠=︒，AF AH =，∴180ABH ABC ∠+∠=︒，∴点H B C ，，三点共线，∵BAE α∠=，45EAF ∠=︒，90BAD HAF ∠=∠=︒，∴45DAF BAH α∠=∠=︒-，45EAF EAH ∠=∠=︒，∵90AHB BAH ∠+∠=︒，∴45AHB α∠=︒+，在AEF 和AEH 中AF AH FAE HAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，答案第10页，共37页∴45AHE AFE α∠=∠=︒+，∴45AHE AFD AFE α∠=∠=∠=︒+，∴902DFE AFD AFE α∠=∠+∠=︒+，∵90DFE FEC C FEC ∠=∠+∠=∠+︒，∴2FEC α∠=，故选：A ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度．8．C【分析】连接CF 、CG 、AE ，证()ADE CDG SAS ∆≅∆可得AE CG =，当A 、E 、F 、C 四点共线时，即得最小值；【详解】解：如图，连接CF 、CG 、AE，∵90ADC EDG ∠=∠=︒∴ADE CDG∠=∠在ADE ∆和CDG ∆中，∵AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩=∴AE CG++=++∴DE CF CG EF CF AE++=时，最小，当EF CF AE ACAC===∴d1＋d2＋d3的最小值为，故选：C．【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，正确构造全等三角形是解本题的关键．9．A==，【分析】过点O作OM⊥BC于点M，先证明四边形ABFE是正方形，得出MF CF OM再利用勾股定理得出OC=，即可得出答案．【详解】过点O作OM⊥BC于点M，90∴∠=︒，OMC四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=︒，90ABC BADEF AB∥∴∠AEF=180°-∠BAD=90°，∴∠=∠=∠=︒，ABC BAD AEF90∴四边形ABFE是矩形，答案第12页，共37页又∵AB =AE ，∴四边形ABFE 是正方形，45,AFB OB OF ∴∠=︒=，EF =BF ，12MF BF OM ∴==，2BF CF = ，MF CF OM ∴==，EF =2CF ，由勾股定理得OC ===，2OC ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可．【详解】如图，连接AC 、与BD 交于点O ，连接ME ，MF ，NF ，EN ，MN ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴OA =OC ，OB =OD∵BE =DF∴OE =OF∵点E 、F 时BD 上的点，∴只要M，N过点O，那么四边形MENF就是平行四边形∴存在无数个平行四边形MENF，故①正确；只要MN=EF，MN过点O，则四边形MENF是矩形，∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个矩形MENF，故②正确；只要MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是菱形；∵点E、F是BD上的动点，∴存在无数个菱形MENF，故③正确；只要MN=EF，MN⊥EF，MN过点O，则四边形MENF是正方形，而符合要求的正方形只有一个，故④错误；故选：C【点睛】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时明确题意，作出合适的辅助线．11．3⊥于Q，证明四边形四边形AEPQ是正方形，即可求解．【分析】过点P作PQ AB⊥于Q，【详解】解：如图所示，过点P作PQ AB答案第14页，共37页∵点P 是正方形ABCD 的对角线AC 上的一点，PE AD ⊥于点E∴四边形AEPQ 是矩形，45EAP ∠=︒∴AEP △是等腰直角三角形，∴AE EP=∴四边形AEPQ 是正方形，∴3PQ EP ==，即点P 到直线AB 的距离为3故答案为：3．【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键．12．1【分析】连接BM ，将BM 以B 中心，逆时针旋转90︒，M 点的对应点为E ，由P 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的半圆，可得：Q 的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当M 、Q 、E 三点共线时，MQ的值最小，可求ME ==，从而可求解．【详解】解，如图，连接BM ，将BM 以B 中心，逆时针旋转90︒，M 点的对应点为E， P 的运动轨迹是以M 为圆心，1为半径的半圆，∴Q 的运动轨迹是以E 为圆心，1为半径的半圆，如图，当M 、Q 、E 三点共线时，MQ 的值最小，四边形ABCD 是正方形，4CD AB BC ∴===，90C ∠=︒，M 是CM 的中点，2CM ∴=，BM ∴==由旋转得：BM BE =，ME ∴==MQ ME EQ∴=-1=，∴MQ的值最小为1．故答案：1．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．13【分析】以O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立直角坐标系，过E 作EM ⊥CD 于M ，过F 作FN ⊥DC ，交DC 延长线于N ，设正方形ABCD 的边长为2，从而求出E 的坐标，然后根据待定系数法求出直线CE 的解析式，即可求出G 的坐标，从而可求出GE ，根据旋转的性质可求出F 的坐标，进而求出H 的坐标，则可求OH ，最后代入计算即可得出答案．【详解】解：以O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立直角坐标系，过E 作EM ⊥CD答案第16页，共37页于M ，过F 作FN ⊥DC ，交DC 延长线于N，如图：设正方形ABCD 的边长为2，则C （1，1），D （﹣1，1），∵E 为OE 中点，∴E （12-，12），设直线CE 解析式为y ＝kx +b ，把C （1，1），E （12-，12）代入得：11122k b k b +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1323k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线CE 解析式为1233y x =+，在1233y x =+中，令x ＝﹣1得y ＝13，∴G （﹣1，13），∴GE∵将线段CE 绕点C 逆时针旋转90°得到CF ，∴CE ＝CF ，∠ECF ＝90°，∴∠MCE ＝90°﹣∠NCF ＝∠NFC ，∵∠EMC ＝∠CNF ＝90°，∴△EMC ≌△CNF （AAS ），∴ME ＝CN ，CM ＝NF ，∵E （12-，12），C （1，1），∴ME ＝CN ＝12，CM ＝NF ＝32，∴F （32，12-），∵H 是EF 中点，∴H （12，0），∴OH ＝12，∴GE OH ＝612＝3．故答案为：3．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，两点间距离公式等知识，以O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，建立直角坐标系是解题的关键．14．24【分析】设4OA a =，则2AB a =，从而可得()4,0A a 、()6,0B a ，由正方形的性质可得()4,4C a a ，由QN y ⊥轴，点P 在CD 上，可得,44k P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于Q 为BE 的中点，BE x ⊥轴，可得1==2BQ AB a ，则()6,Q a a ，由于点Q 在反比例函数()0k y k x =>的图象上可得26k a =，根据阴影部分为矩形，且长为4k a，宽为a ，面积为6，从而可得124=6ak a ⨯⨯，即可求解．【详解】解：设4OA a =，∵2OA AB =，∴2AB a =，∴==6OB AB OA a +，∴()6,0B a ，答案第18页，共37页在正方形ABEF 中，2AB BE a ==，∵Q 为BE 的中点，∴=12=BQ AB a ，∴()6,Q a a ，∵Q 在反比例函数()0k y k x =>的图象上，∴2=6=6k a a a ⨯，∵四边形OACD 是正方形，∴()6,6C a a ，∵P 在CD 上，∴P 点纵坐标为4a ，∵P 点在反比例函数()0k y k x =>的图象上，∴P 点横坐标为=4k x a，∴,44k P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵===90HMO HNO NOM ∠∠∠︒，∴四边形OMHN 是矩形，∴=4k NH a，MH a =，∴64OMHN k S NH MH a a =⨯=⨯= ，∴24k =，故答案为：24．【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．15．证明过程见解析【分析】菱形的两条对角线相互垂直且平分，再根据两条对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形即可证明四边形AECF 是正方形．【详解】证明：∵四边形ABCD 是菱形∴OA =OC ，OB =OD 且AC ⊥BD ，又∵BE =DF∴OB -BE =OD -DF即OE =OF∵OE =OA∴OA =OC =OE =OF 且AC =EF又∵AC ⊥EF∴四边形DEBF 是正方形．【点睛】此题考查了菱形的性质和正方形的判定，解题的关键是掌握上述知识．16．(1)平行四边形，见解析(2)AC BD =且AC BD⊥【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到11,22BP AC OC CP BD OB ====，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可．（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可．【详解】（1）四边形BPCO 是平行四边形．理由如下：∵ABCD Y 的对角线,AC BD 交于点O ，∴,AO OC BO OD ==，∵以点,B C 为圆心，11,22AC BD 长为半径画弧，两弧交于点P ，答案第20页，共37页∴11,22BP AC OC CP BD OB ====∴四边形BPCO 是平行四边形．（2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，∴AC BD =且AC BD ⊥时，四边形BPCO 是正方形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．17．(1)见解析(2)AE CF=(3)平行四边形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质证得BEF AHE ∠=∠，根据角角边证明AEH BFE △≌△．（2）当AE CF =，证得AEH FCG △≌△，EBF △是等腰直角三角形，∠HEF =∠EFG =90°，即可证得四边形EFGH 是矩形．（3）利用正方形的性质证得AEGD 为平行四边形，过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，由平行线分线段成比例，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则可表示出HN ，从而把△OEH 的面积用x 的代数式表示出来，根据二次函数求出最大值，则可得OE =OG ，OF =OH ，即可证得平行四边形．【详解】（1）∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，∴90AEH AHE ∠+∠=°．∵四边形EFGH 为正方形，∴EH EF =，90HEF ∠=︒，∴90AEH BEF ∠+∠=︒，∴BEF AHE ∠=∠．在AEH △和BFE △中，∵90A B ∠=∠=︒，AHE BEF ∠=∠，EH FE =，∴AEH BFE △≌△．∴AH BE =．∴AE AH AE BE AB +=+=；（2）AE CF =；证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴90A B ∠=∠=︒，AB =BC =AD =CD ，∵AE =AH ，CF =CG ，AE =CF ，∴AH =CG ，∴AEH FCG △≌△，∴EH =FG ．∵AE =CF ，∴AB －AE =BC －CF ，即BE =BF ，∴EBF △是等腰直角三角形，∴∠BEF =∠BFE =45°，∵AE =AH ，CF =CG ，∴∠AEH =∠CFG =45°，∴∠HEF =∠EFG =90°，∴EH ∥FG ，答案第22页，共37页∴四边形EFGH 是矩形．（3）∵四边形ABCD 为正方形，∴AB CD ∥．∵AE DG =，AE DG ∥，∴四边形AEGD 为平行四边形．∴AD EG ∥．∴EG BC ∥．过点H 作HM BC ⊥，垂足为点M ，交EG 于点N ，∴HN HO HM HF=．∵:4:5OE OF =，设4OE x =，5OF x =，HN h =，则2051620h x -=，∴()44h x =-．∴21144(4)8(2)3222S OE HN x x x =⋅⋅=⋅⋅-=--+．∴当2x =时，OEH △的面积最大，∴1482OE x EG OG ====，15102OF x HF OH ====，∴四边形EFGH是平行四边形．【点睛】此题考查了正方形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，有一定的综合性，解题的关键是熟悉这些知识并灵活运用．18．(1)钝角三角形；证明见详解(2)①直角三角形；证明见详解；②S 四边形ABCD =5【分析】（1）根据等边三角形性质得出，BE =BD ，AB =CB ，∠EBD =∠ABC =60°，再证△EBA ≌△DBC （SAS ）∠AEB =∠CDB =60°，AE =CD ，求出∠ADC =∠ADB +∠BDC =120°，可得△ADC 为钝角三角形即可；（2）①以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形，连结CG ，根据正方形性质，得出∠EBG =∠ABC ，EB =GB ，AB =CB ，∠BEA =∠BGE =45°，再证△EBA ≌△GBC （SAS ）得出AE =CG ，∠BEA =∠BGC =45°，可证△AGC 为直角三角形即可；②连结BD ，根据勾股定理求出AC=，然后利用正方形的面积公式求解即可．【详解】（1）证明：∵△ABC 与△EBD 均为等边三角形，∴BE =BD ，AB =CB ，∠EBD =∠ABC =60°，∴∠EBA +∠ABD =∠ABD +∠DBC ，∴∠EBA =∠DBC ，在△EBA 和△DBC 中，EB DB EBA DBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBA ≌△DBC （SAS ），∴∠AEB =∠CDB =60°，AE =CD ，∴∠ADC =∠ADB +∠BDC =120°，答案第24页，共37页∴△ADC 为钝角三角形，∴以AE 、AD 、AC为边的三角形是钝角三角形．（2）证明：①以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形．连结CG ，∵四边形ABCD 和四边形BGFE 都是正方形，∴∠EBG =∠ABC ，EB =GB ，AB =CB ，∵EG 为正方形的对角线，∴∠BEA =∠BGE =45°，∴∠EBA +∠ABG =∠ABG +∠GBC =90°，∴∠EBA =∠GBC ，在△EBA 和△GBC 中，G EB B EBA GBC AB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBA ≌△GBC （SAS ），∴AE =CG ，∠BEA =∠BGC =45°，∴∠AGC =∠AGB +∠BGC =45°+45°=90°，∴△AGC 为直角三角形，∴以AE 、AG 、AC 为边的三角形是直角三角形；②连结BD ，∵△AGC 为直角三角形，2210AE AG +=，由（2）可知，AE =CG ，∴AC 2210AG CG +=，∴四边形ABCD 为正方形，∴AC =BD 10，∴S 四边形ABCD =211522AC BD AC ⋅==．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，正方形的性质，勾股定理是解题关键．19．(1)1；证明见解析(2)n m 32【分析】（1）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，利用答案第26页，共37页正方形ABCD ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°求证△ABM ≌△ADN 即可．（2）过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，利用在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，求证△ABM ∽△ADN ．再根据其对应边成比例，将已知数值代入即可．（3）先证ABC ∆是等边三角形，设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，利用勾股定理求得CN 的长，然后证NCE ABF ∆∆∽，利用相似三角形的对应边对应成比例即可求解．【详解】（1）1EG FH=，理由为：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EG 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在正方形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ，在△ABM 和△ADN 中，∠BAM ＝∠DAN ，AB ＝AD ，∠ABM ＝∠ADN∴△ABM ≌△ADN∴AM ＝AN ，即EG ＝FH ，∴1EG FH=；（2）解：过点A 作AM ∥HF 交BC 于点M ，作AN ∥EC 交CD 的延长线于点N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形AMFH 是平行四边形，四边形AEGN 是平行四边形，∴AM ＝HF ，AN ＝EG ，在矩形ABCD 中，BC ＝AD ，∠ABM ＝∠BAD ＝∠ADN ＝90°，∵EG ⊥FH ，∴∠NAM ＝90°，∴∠BAM ＝∠DAN ．∴△ABM ∽△ADN ，∴AM AB AN AD=，∵AB m =，BC AD n ==，AM ＝HF ，AN ＝EG ，∴HF m EG n =，∴EG n FH m=；故答案为：nm （3）解：∵60ABC ∠=︒，AB BC =，∴ABC ∆是等边三角形，答案第28页，共37页∴设AB BC AC a ===，过点CN AB ⊥，垂足为N ，交BF 于点M ，则12AN BN a ==，在Rt BCN ∆中，2CN a ===，∵CN AB ⊥，CE BF ⊥，∴90ABF BMN ∠+∠=︒，90ECN CMF ∠+∠=︒，又∵CMF BMN ∠=∠，∴ABF ECN ∠=∠，∵CN AB ⊥，90DAB ∠=︒，∴90DAB CNE ∠=∠=︒，∴NCE ABF ∆∆∽，∴CE CN BF AB =，即2CE BF a ==．【点睛】此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大，是一道难题．20．(1)GH GI =且GH GI⊥(2)GH GI =且GH GI ⊥，理由见详解(3)①12S S =，②258【分析】（1）连接DF ，延长BE 交DF 于P ，可证BAE DAF ≌ ，结合三角形中位线即可求解；（2）连接DF 交BE 于Q ，AD 与BE 交于M ，可证BAE DAF ≌ ，结合三角形中位线即可求解；（3）①过F 作FO BA ⊥，交BA 的延长线于O ，过E 作EN AD ⊥，可证FAO EAN ≌ ，即可求解；②可求218S BE =，由12EAF ABD BFED S S S S S +=-- 四边形即可求解．【详解】（1）解：GH GI =且GH GI ⊥，如图，连接DF ，延长BE 交DF 于P，四边形ABCD 是正方形，AB AD ∴=，90BAC ∠=︒，BAE DAF ∴∠=∠，AEF 是等腰直角三角形，AE AF ∴=，在BAE 和DAF △中AB AD BAE DAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAE DAF ∴≌ (SAS )，BE DF ∴=，ABE ADF ∠=∠，点G ，H ，I 分别为线段BD ，BF ，DE 的中点，答案第30页，共37页12GI BE ∴=，GI BE ∥，12GH DF =，GH DF ∥，GI GH ∴=；90ABE BEA ∠+∠=︒ ，BEA DEP ∠=∠，90ABE DEP ∴∠+∠=︒，90ADF DEP ∴∠+∠=︒，BE DF ∴⊥，BE GH ∴⊥，GI GH ∴⊥；故GH GI =且GH GI ⊥．（2）解：GH GI =且GH GI ⊥，如图，连接DF 交BE 于Q ，AD 与BE 交于M，由（1）得：，AE AF =，90BAM EAF ∠=∠=︒，BAM DAE EAF DAE∴∠+∠=∠+∠BAE DAF∴∠=∠在BAE 和DAF △中AB AD BAE DAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAE DAF ∴≌ (SAS )，BE DF ∴=，ABE ADF ∠=∠，点G ，H ，I 分别为线段BD ，BF ，DE 的中点，12GI BE ∴=，GI BE ∥，12GH DF =，GH DF ∥，GI GH ∴=；90ABM BMA ∠+∠=︒ ，BMA DMQ ∠=∠，90ABM DMQ ∴∠+∠=︒，90ADF DMQ ∴∠+∠=︒，BE DF ∴⊥，BE GH ∴⊥，GI GH ∴⊥；故GH GI =且GH GI ⊥．（3）解：①12S S =，如图，过F 作FO BA ⊥，交BA 的延长线于O ，过E 作EN AD ⊥，90ANE OAF ∴∠=∠=︒，90FAO OAE ∴∠+∠=︒，90EAN OAE ∠+∠=︒，FAO EAN ∴∠=∠，。
中考数学复习第二部分空间与图形第二十四课时正方形练习一、精心选一选1.(20xx·海南)面积为2的正方形的边长在( B )A.0和1之间B.1和2之间C.2和3之间D.3和4之间2.( 20xx·陕西)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M'、N',则图中的全等三角形共有( C )A.2对B.3对C.4对D.5对第2题图第3题图第4题图3.(20xx·郴州)如图,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF为直角三角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是( C )A.7B.8C.7D.74.(20xx·贵州)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC 边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是( B )A.3B.4C.5D.6二、细心填一填5.(20xx·怀化)如图,在正方形AB CD中,如果AF=BE,那么∠AOD的度数是90°.第5题图第6题图6.(20xx·北海)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE=8.三、用心解一解7.(20xx·上海)已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:四边形ABCD是正方形.解:( 1)在△ADE与△CDE中,,∴△ADE≌△CDE,∴∠ADE=∠CDE,∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBD,∴∠CDE=∠CBD,∴BC=CD,∵AD=CD,∴BC=AD,∴四边形ABCD为平行四边形,∵AD=CD,∴四边形ABCD是菱形;(2)∵BE=BC,∴∠BCE=∠BEC,∵∠CBE∶∠BCE=2∶3,∴∠CBE=180°×=45°,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABE=45°,∴∠ABC=90°,∴四边形ABCD是正方形.。
初三数学中考复习正方形专题练习题含答案2019 初三中考数学复习正方形专题练习题1. 已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )A．BC＝CD B．AB＝CD C．AD＝BC D．AC＝BD2. 下列说法不正确的是( )A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的矩形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的菱形是正方形3. 在四边形ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( )A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDC．AD∥BC，∠A＝∠CD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB 于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( ) A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF5. 如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE的长为( )A．2 B．3 C．2 2 D．2 36. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )A.对角线互相平分B.内角和为360°(1)BM ＝CN ；(2)BM⊥CN.15. 如图，正方形ABCD 中，G 为BC 边上一点，BE ⊥AG 于E ，DF ⊥AG 于F ，连结DE.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，求EF 的长．参考答案：1---10 ABBDC CCDBC11. 45°12. 4 13. 2－114. 解：(1)∵MN∥AB，∴∠OMN ＝∠OAB，∠ONM ＝∠OBA，∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA，∴∠OMN ＝∠ONM，∴OM ＝ON ，∴AM ＝OA －OM ＝OB －ON ＝BN ，在△ABM 和△BCN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ∠MAB＝∠NBC AM ＝BN，∴△ABM ≌△BCN(SAS)，∴BM ＝CN(2)由△ABM≌△BCN 得，∠ABM ＝∠BCN，又∵∠ABM＋∠CBM＝90°，∴∠BCN ＋∠CBM＝90°，∴CN ⊥BM15. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∵DF ⊥AG ，BE ⊥AG ，∴∠BAE ＋∠DAF＝90°，∠DAF ＋∠ADF＝90°，∴∠BAE ＝∠ADF，在△ABE 和△DAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE＝∠ADF，∠AEB ＝∠DFA，AB ＝AD ，∴△ABE≌△DAF(AAS)(2)设EF＝x，则AE＝DF＝x＋1，由题意2×12×(x＋1)×1＋12×x×(x＋1)＝6，解得x＝2或－5(舍弃)，∴EF＝2。
第24正方形
备考演练
一、精心选一选
1.(2016·海南)面积为2的正方形的边长在( B )
A.0和1之间
B.1和2之间
C.2和3之间
D.3和4之
间
2.( 2016·陕西)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中
点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于
两点M'、N',则图中的全等三角形共有( C )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
第2题图第3题图第4题图
3.(2016·郴州)如图,在正方形ABCD中,△ABE和△CDF为直角三
角形,∠AEB=∠CFD=90°,AE=CF=5,BE=DF=12,则EF的长是( C )
A.7
B.8
C.7
D.7
4.(2016·贵州)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶
点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,则线段CH
的长是( B )
A.3
B.4
C.5
D.6
二、细心填一填
5.(2015·怀化)如图,在正方形AB CD中,如果AF=BE,那么∠AOD 的度数是90°.
第5题图第6题图
6.(2015·北海)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE=8.
三、用心解一解
7.(2017·上海)已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形
(2)如果BE=BC,且∠CBE∶∠BCE=2∶3,求证:四边形ABCD是正方形.
解:( 1)在△ADE与△CDE中,,
∴△ADE≌△CDE,∴∠ADE=∠CDE,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠CBD,∴∠CDE=∠CBD,∴BC=CD,
∵AD=CD,∴BC=AD,∴四边形ABCD为平行四边形,
∵AD=CD,∴四边形ABCD是菱形
(2)∵BE=BC,∴∠BCE=∠BEC,
∵∠CBE∶∠BCE=2∶3,∴∠CBE=180°×=45°,
∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABE=45°,∴∠ABC=90°,∴四边形ABCD是正方形.。
