由柯尼希定理所想到的

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由柯尼希定理所想到的
质点组的动能为质心的动能与各质点对质心动能之和，这个关系叫柯尼希定理。用公式
表示是：


niiiCkvmmvE1
2'2

212

1

其中，m表示质点组的总质量，im表示其中第i个质点的质量，'iv表示第i个质点相
对质心的速度。

第一部分 等效重心法的应用
等效重心（质心）法是用一个有质量（等于质点组的总质量）的点来替代整个质点组的
处理问题的方法。它往往可以使复杂的问题简单化，因此在解题的过程中如果能正确的使用，
往往会事半功倍。
我们可能非常熟悉这样一个题目：
题一：如图所示，长为L的轻杆的左端和中间分别固定着一个质量为m的小球，将杆
拉至水平，然后无初速度释放。忽略一切阻力作用。问：当杆摆至竖直时，两球的速度分别
为多大？

我们可以用等效重心法和非等效重心法来解这道题，其结果是不同的。即，等效重心法
的解是错的。导致这个错误的原因就是二者到最低位置时，只考虑了重心的动能而没有考虑
两球相对于质心的动能。
但是，在其他一些时候，则各质点相对于质心的速度都是零（比如物体平动）。那么，
各质点相对于质心的动能也为零。用等效重心法就可以了，看下面的这道题：
题二：如图所示，倾角为的光滑斜面上有两个质量均为m的小球，中间有轻质细杆
（长为l）相连，下部的小球离地面高度为h，放手后自静止滑下，求两球在水平面上一起
运动的速度。（接触面光滑，无能量损失，小球的大小忽略不计）

通过这两个题目我们可以有这样一个经验，不用等效重心法往往可以避免错误的发生。
但不用这个方法又让人感到可惜，因为它的解题过程毕竟是简洁的。另外还有一些题目不得
不用等效重心法，比如：
题三：如图所示，一匀质链条对称的搭在一光滑的小定滑轮上。书籍链条的质量为m，长度
为l，现给其一微小扰动，使它由止滑离小定滑轮。则它刚滑离小定滑轮时的速度是多少？

h

2

题四：如图所示，质量为m，长为l的均质链条一半搭在倾角为30的斜面上。现由静
止释放，则链条刚离开斜面时的速度为多少？

总的来说，等效重心法是个不错的方法，不能因为有时候求出来的结果不对就否定它。
而应该了解它，进行正确的应用，避免错误的发生。

第二部分 恢复系数的意义

1m与2m两个小球发生正碰，碰前1m、2m的速度分别为1
v
和2v；碰后它们的速度分

别为'1v和'2v。则恢复系数定义为：

21
'1'
2

vvvve





碰撞中动量是守恒的，即水平方向外力之和为零。由质心运动定理可知，质心将做匀速
直线运动，即质心的动能不变。结合柯尼希定理我们知道，碰撞前后质点组的动能发生变化，
必然是质点相对质心的动能发生了变化。
质心的动能：







21

2
2211

2
21
2211
21

2
21
2211

21

2
21221221212121mmvmvmmmvmvmmmdtmmrmrmdmmdtdrmmvmmECCkC








































两球碰前相对于质心的动能：


3





2

21
21

21

21
2
2211
2222
11

222211'12'

2122121212121vvmmmmmmvmvmvmvmEvmvmEvmkCkniii








前

同理可知，两球碰后相对质心的动能：

2
'1'22121'

21vvmmmmEk


前

则：

‘
‘

21
'1'

2

前后k
k

EEvvvve




这就是恢复系数的意义。如果我们把碰撞分成两个过程：一个形变形成的过程，一个形
变恢复的过程。那么，‘前kE指形变形成阶段系统损失的动能；而‘后kE指形变恢复阶段系统
恢复的动能。
若动能（形变）一点也不恢复，则为完全非弹性碰撞，此时0‘后kE，因而：0e；

若动能（形变）能恢复一部分，则为非完全弹性碰撞，此时‘‘前后kkEE，因而：10e；
若动能（形变）能完全恢复，则为完全弹性碰撞，此时‘‘前后kkEE，因而：1e。
从‘前kE和‘后kE的表达式也可以看出，完全弹性碰撞前后相对速度的绝对值不变。

二零零九年六月二十四日中午