第四章动量定理

第四章动量定理与动量守恒定律第四章动量定理与动量守恒定律基本内容本章重点是掌握动量、冲量概念及其物理规律，并掌握这些规律的应⽤条件和⽅法。

本章难点是所研究的系统的划分和选取、守恒定律条件和审核、综合性⼒学问题的分析求解。

教学⽬的1. 掌握动量定理和动量守恒定律，并能分析、解决简单的⼒学问题。

2. 掌握运⽤守恒定律分析问题的思想和⽅法，能分析简单系统在平⾯内运动的⼒学问题。

3 理解质⼼的概念和质⼼运动定律。

4-1 质点和质点系的动量定理⼀、冲量质点的动量定理动量是描写物体机械运动状态的物理量。

在⽇常⽣活中,⼈们站在树下,抬头看见⼀⽚树叶落下即将砸到头顶,⼀定会满不在乎地敢于承当,⽽看到⼀颗⽯⼦飞来,⼀定会望⽽⽣畏地急忙躲开。

⼤家也知道,即使在钉⼦上⾯放上⼀个质量很⼤的物体,也很难把钉⼦压进⽊头⾥去。

可是,挥动⼩榔头敲钉⼦,就⽐较容易把钉⼦打进去。

这些现象都与动量概念有关。

可见，动量是描述⼀定运动状态下物体“运动量”的概念，⽐速度更能全⾯、确切地反映物体的运动状态，为状态量。

⽜顿在所著的<<⾃然哲学的数学原理>>⼀书中,把动量定义为质点的质量m 和其速度v 的乘积,即(1)它是⼀个⽮量，其⼤⼩为|m v |=mv ，⽅向为速度的⽅向。

在国际单位制中，动量的单位是千克⽶/秒。

符号是。

由⽜顿第⼆定律tm t d )(d d d v p F ==得)(d d d v p F m t ==上式的积分为1212 d )(21v v p p F m m t t t t-=-=? （4-1）式中1v 和1P 是质点在时刻1t 的速度和动量，2v 和2P 是质点在时刻2t 的速度和动量。

tF 为⼒对时间的积分，称为⼒的冲量，⽤符号I 表⽰。

式（3-1）的物理意义是：在给定时间间隔内，外⼒作⽤在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。

这就是质点的动量定理。

式（3-1）是质点动量定理的⽮量表达式，在直⾓坐标系中，其分量式为-==-==-==z z y x 2x x 12 12 1 d d d 212121mv mv t F I mv y mv t F I mv mv t F I z t t z y t t y t t x （4-2）动量定理在碰撞、打击等情形中特别有⽤．两物体碰撞时互相作⽤的⼒称为冲⼒．冲⼒的特点是作⽤时间极短，⽽⼒的⼤⼩变化则极⼤，这就是所谓⼒的脉冲。

高三一轮复习学案 编号：42 日期：2017.10.27动量定理知识点一、动量1．定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量，通常用p 来表示。

2．表达式：p ＝mv 。

3．单位：kg·m/s 。

4．标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同。

5．动量、动能的关联方程：E k ＝p 22m ，E k ＝12pv ，p ＝2mE k ，p ＝2E kv知识点二、冲量1．定义：力和力的作用时间的乘积叫做这个力的冲量。

2．公式：I ＝Ft 。

3．单位：冲量的单位是牛·秒，符号是N·s 。

4．方向：冲量是矢量，恒力冲量的方向与力的方向相同。

5．冲量和功的区别(1)冲量和功都是过程量。

冲量是表示力对时间的积累作用，功表示力对位移的积累作用。

(2)冲量是矢量，功是标量。

(3)力作用的冲量不为零时，力做的功可能为零；力做的功不为零时，力的冲量一定不为零。

知识点三、冲量和动量的比较【问题情境1】如图所示，竖直面内有一个固定圆环，MN 是它在竖直方向上的直径。

两根光滑滑轨MP 、QN 的端点都在圆周上，MP ＞QN 。

将两个完全相同的小滑块a 、b 分别从M 、Q 点无初速度释放，在它们各自沿MP 、QN 运动到圆周上的过程中，下列说法中正确的是( )A ．合力对两滑块的冲量大小相同B ．重力对a 滑块的冲量较大C ．弹力对a 滑块的冲量较小D ．两滑块的动量变化大小相同 【训练题组1】1．带电粒子a 、b 在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，它们的动量大小相等，a 运动的半径大于b 运动的半径。

若a 、b 的电荷量分别为q a 、q b ，质量分别为m a 、m b ，周期分别为T a 、T b 。

则一定有( )A ．q a ＜q bB ．m a ＜m bC ．T a ＜T bD.q a m a ＜q bm b2．质量为0.2 kg 的球竖直向下以6 m/s 的速度落至水平地面，再以4 m/s 的速度反向弹回。

动量定理的内容动量定理反应的是力在时间维度上的积累效果。

（1）基本概念描述：物体所受合外力的冲量，等于物体的动量变化量。

即F合t=I=Δp；（2）我们还可以这样来表述：对作用在物体上的各个力的冲量的代数和，等于动量的改变量。

在外力不恒定，或者各个力作用时间不同时，优先选择后者。

提醒：动量与冲量都是矢量，是有方向的，因此在解题时首先要规定好正方向。

动量定理的表达式基本表达式：F合t=I=Δp；当存在多个力做冲量时，我们还可以写成分力冲量代数和的形式：F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp动量定理的实际应用通过上文总动量定理的表达式分析，我们知道F合t=I=Δp，如果动量的变化量Δp相同时，时间t越大，合外力就越小。

我们汽车上用的安全气囊就是利用这一原理制作的。

如图所示，当汽车出现事故，比如高速行驶时意外撞到一棵大树上时，安全气囊就能帮助我们增加力的作用时间。

发生事故时，人的动量mv是非常大的，如果没有安全气囊来增加力的作用时间，人就会瞬间动量减少到零，根据动量定理可知，合外力（方向盘或其他物体对人的作用力）就会特别大。

类似的问题，在我们学校也有，那就是跳远的沙坑。

同学们借助下图想一想，为什么是跳沙坑，而不是直接跳到水泥地上？在看电影或电视剧的时候，我们总能看到这样的镜头，主人公从悬崖上跳海，总是死不了。

这是为啥呢？没有那个导演弱智到这个程度，敢排这样的场景：某人从悬崖上跳到岩石上，却没死。

这些，都是日常生活总动量定理的运用。

动量定理的表达式推广当存在多个力做冲量时，动量定理的表达式，我们还可以写成分力冲量代数和的形式：F1t1+F2t2+F3t3+……=I1+I2+I3+……=Δp这与动能定理的非常类似的。

动量定理的推导过程（1）匀变速直线运动过程中动量定理的推导过程物体做匀变速直线运动，则F合=ma；匀变速直线运动公式：v=v0+at；两边都乘以m，略作变形，有mv-mv0=mat；即，F合t=mat=I=mv-mv0=Δp；这就是动量定理的推导过程（2）非标准运动过程中动量定理的推导过程非标准运动过程中的动量定理的推导算是一个作业，同学们课下自己推导下。

动量定理相关知识(1)动量:运动物体的质量和速度的乘积叫做动量，即p=mv.是矢量，方向与v的方向相同.两个动量相同必须是大小相等，方向相同.(2)冲量:力和力的作用时间的乘积叫做该力的冲量，即I=Ft.冲量也是矢量，它的方向由力的方向决定.2.动量定理:物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化.表达式:Ft=p′-p 或Ft=mv′-mv(1)上述公式是一矢量式，运用它分析问题时要特别注意冲量、动量及动量变化量的方向.(2)公式中的F所有外力的合力.(3)动量定理的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系统.对物体系统，只需分析系统受的外力，不必考虑系统内力.系统内力的作用不改变整个系统的总动量.(4)动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于随时间变化的力.对于变力，动量定理中的力F应当理解为变力在作用时间内的平均值.3.动量守恒定律:一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变.表达式:m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′高考真题1、行驶中的汽车如果发生剧烈碰撞，车内的安全气囊会被弹出并瞬间充满气体，若碰撞后汽车的速度在很短时间内减小为零，关于安全气囊在此过程中的作用，下列说法正确的是（D）。

A.增加了司机单位面积的受力大小B.减少了碰撞前后司机动量的变化量C.将司机的动能全部转换成汽车的动能D.延长了司机的受力时间并增大了司机的受力面积解析：A项，安全气囊增大了司机的受力面积，所以减少了司机单位面积的受力大小，故A项错误。

B项，碰撞前后司机的动量都是由碰撞前的动量减小到零，安全气囊无法减小司机动量的变化量，故B项错误。

C项，司机的动能会在碰撞过程中部分动能会转化为内能，不会全部转换成汽车的动能，故C项错误。

D项，安全气囊可以延长司机的受力时间并增大司机的受力面积，故D项正确。

综上所述，本题正确答案为D。

2、(多选题)如图，方向竖直向下的匀强磁场中有两根位于同一水平面内的足够长的平行金属导轨，两相同的光滑导体棒、静止在导轨上，时，棒以初速度向右滑动。

动力学的普遍定理之一。

动量定理的内容为：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量(用字母I表示)，即力与力作用时间的乘积，数学表达式为FΔt=mΔv。

公式中的冲量为所有外力的冲量的矢量和。

动量定理是一个由实验观测总结的规律，也可由牛顿第二定律和运动学公式推导出来，其物理实质也与牛顿第二定律相同，这也意味着它仅能在经典力学范围内适用。

而与动量定理相关的定律——动量守恒定律，大到接近光速的高速，小到分子原子的尺度，它依然成立。

动量守恒定律的定义为：如果一个系统不受外力或所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。

由此可见，动量定理和动量守恒定律是两个不同的概念，不能混为一谈。

中文名动量定理外文名theorem of momentum表达式Ft=mv'－mv=p'－p=I应用学科物理学适用领域范围经典力学目录1 常见表达式2 含义3 适用条件4 推导过程5 说明6 推广形式7 同相关定律定理含义区别8 应用9 微分形式的动量定理10 积分形式的动量定理11 参考文献常见表达式编辑（1）（2）(注：冲量，动量)含义编辑动量定理的含义为：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量。

[1](高中阶段此公式亦可写作)F指合外力，如果为变力，可以使用平均值；=既表示数值一致，又表示方向一致；矢量求和，可以使用正交分解法；适用条件编辑（1）在牛顿力学适用的条件下才可适用动量定理，即动量定理仅适用于宏观低速的研究对象。

对于微观粒子和以光速运动的物体，动量定理不再适用；（2）只适用于惯性参考系，若对于非惯性参考系，必须加上惯性力的冲量。

且v1，v2必须相对于同一惯性系。

[2]推导过程编辑将F = ma （动力学方程牛顿第二运动定律）——代入v = v₀+ at （运动学方程）得化简得mv- mv₀= Ft注：把mv做为描述物体运动状态的量，叫动量。

第04章动量定理明德砺志博学笃行第4章动量定理本章学时：3学时课程名称：大学物理（上册）主讲教师：谭毅第一篇力学第4章动量定理主讲教师：谭毅明德砺志博学笃行动量定理动量守恒定律火箭的发射碰撞第一篇力学第4章动量定理主讲教师：谭毅明德砺志博学笃行 4.1 动量定理一、冲量，动量，质点动量定理定义：力的冲量—I =∫tt21F dt质点的动量— p = m vd( m v ) d p = F = dt dt质点动量定理：（微分形式）（积分形式）主讲教师：谭毅dI = F dt = d pI =第一篇力学∫tt21F d t = p 2 ? p1第4章动量定理明德砺志博学笃行I =∫t t0Fdt = p ? p 0 = m v ? m v 0动量定理的分量式：t F dt = p ? p = mv ? mv x x 0x 0x ? ∫t 0x ? t ? ? ∫t Fy dt = p y ? p0 y = mv y ? mv0 y ? 0 ? t F dt = p ? p = mv ? mv z z 0z 0z ? ∫t 0 z ?说明：1.冲量的方向与动量增量的方向一致。

2. 计算物体冲量时，只须知道质点始末两态的动量的变化即可，无须确定各个外力。

第一篇力学第4章动量定理主讲教师：谭毅明德砺志博学笃行平均冲力I =∫t2 t1F d t = F ( t 2 ? t1 )F 运动员在投掷标枪时，伸直手臂，尽可能的延长手对标枪的作用时间，以提高标枪出手时的速度。

第4章动量定理主讲教师：谭毅F 0 t1It2t第一篇力学明德砺志博学笃行例篮球 m=1kg ，相对以 v=6 ms-1，α=60o 撞在篮板上，设碰撞时间Δt =0.01 s 求：篮板受到的平均作用力。

解：球受力αv2y第一篇力学篮板受平均作用力。

第4章xαv1I x mv 2 x ? mv 1x = Fx = Δt Δt 2 mv cos α = =600 N Δt Fy =IyΔt=0F ′ = ? 600 i N动量定理主讲教师：谭毅明德砺志博学笃行为什么同是一个物体掉下来，态度却如此不同呢？第一篇力学第4章动量定理主讲教师：谭毅明德砺志博学笃行二、质点系动量定理pi i Fi质点系fi j· · · · · · ·fj i·F i 为质点 i 受的合外力，f ij 为质点 i 受质点 j 的内力，jpi 为质点 i 的动量。

动量定理
（1）内容：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化.
表达式：Ft=mv′－mv=p′－p,或Ft=△p
动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力.它可以是恒力,也可以是变力.当合外力为变力时,F是合外力对作用时间的平均值.p为物体初动量,p′为物体末动量,t为合外力的作用时间.
（2）F△t=△mv是矢量式.在应用动量定理时,应该遵循矢量运算的平行四边表法则,也可以采用正交分解法,把矢量运算转化为标量运算.假设用Fx（或Fy）表示合外力在x（或y）轴上的分量.（或）和vx（或vy）表示物体的初速度和末速度在x（或y）轴上的分量,则
Fx△t=mvx－mvx0
Fy△t=mvy－mvy0
上述两式表明,合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量.在写动量定理的分量方程式时,对于已知量,凡是与坐标轴正方向同向者取正值,凡是与坐标轴正方向反向者取负值；对于未知量,一般先假设为正方向,若计算结果为正值.说明实际方向与坐标轴正方向一致,若计算结果为负值,说明实际方向与坐标轴正方向相反.。

动量定理定义动量定理是力学中的基本定理之一，它描述了物体的动量与作用力之间的关系。

根据动量定理，当一个物体受到外力作用时，它的动量将发生变化，而这个变化的大小等于作用力的大小乘以作用时间。

动量是描述物体运动状态的物理量，它定义为物体的质量乘以其速度。

动量的大小与物体的质量和速度成正比，如果质量或速度增大，动量也会增大。

动量的方向与物体的运动方向一致。

根据动量定理，当一个物体受到外力作用时，它的动量会发生变化。

动量的变化率等于作用力的大小乘以作用时间。

换句话说，物体的动量变化等于作用力对物体施加的冲量，即力在时间上的积分。

动量定理可以用数学表达式来表示，公式为：Δp = F · Δt其中，Δp表示动量的变化量，F表示作用力，Δt表示作用时间。

动量定理的应用非常广泛。

在运动学中，我们可以利用动量定理来描述物体在外力作用下的运动规律。

在动力学中，动量定理可以用来研究物体间的碰撞和反弹等问题。

在工程领域，动量定理可以应用于设计和优化运输工具、机械设备等。

动量定理也有一些重要的推论。

根据动量定理，如果作用力为零，物体的动量将保持不变。

这就是著名的动量守恒定律。

根据动量守恒定律，当物体间不存在外力作用时，它们的总动量保持不变。

这个定律在碰撞问题的研究中非常有用。

动量定理的应用可以帮助我们理解和解决很多实际问题。

比如，我们可以利用动量定理来分析交通事故中的力的大小和方向，从而判断事故的严重程度。

我们也可以利用动量定理来设计更安全和高效的运输工具，提高运输效率。

总结一下，动量定理是力学中的基本定理之一，描述了物体的动量与作用力之间的关系。

根据动量定理，物体受到外力作用时，它的动量将发生变化，而这个变化的大小等于作用力的大小乘以作用时间。

动量定理的应用非常广泛，可以帮助我们研究物体的运动规律、解决实际问题和设计更优化的工程设备。