结构力学第五章结构位移计算

FQP FNP MP , 0 k , 按照材料力学有： EA GA EI A S2 截面系数： k 2 A 2 dA I b


F Q FQP F N FNP MM P ds k ds ds 所以： K EA GA EI
⑴ 梁和刚架： K ⑶ 组合结构： K
例5-1 求C点的竖向位移和转角。
⒉ 求C点截面的转角。
由于简支梁在全跨均布荷载作用 下变形与内力都是对称的，所以梁中 点应无转角发生。 其虚拟力状态中的内力是反对称 的，按照式(5-5)进行积分同样可求得 转角位移：
C 0
1 2
1 2
M图
例5-2 求图示曲杆B端的竖向位移。 已知：EI、EA、GA均为常数，矩形截面，
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
yB F Q FQP MM P F N FNP ds ds k ds EI EA GA
例5-3 求图示桁架支座结点B的水平位移。各杆EA相同。
FP
0
2FP
FP
b h, h 1 , G 0.4 E R 10
解：⑴ 实际状态的内力。 M P FP R sin FNP FP sin , FQP FP cos ⑵ 虚拟状态的内力。
M R sin , F N sin , F Q cos
⑶ B端的竖向位移。
2FP
FP
0
0
0
0
1
0
1
0
FNP 图
解：⑴ 施加单位荷载。 ⑵ 求实际状态的内力。 ⑶ 求虚拟状态的内力。 ⑷ 求结点B的水平位移。

相对竖向位移
c)
11
FP
d)

D
A
D
A左、右截面相对转角
e)
Al
D BV
D AV
B
AB

D AV
DBV l
AB杆转角
12
3、一个微杆段的位移
ds
A
dv= g0 ds
g0
dθ= ds/R =kds
vu
A’
θ
微段刚体位移
ds du= eds
g0
dv
ds
ds
微段相对位移 微段相对位移 微段相对位移 （轴向变形） （剪切变形） （弯曲变形）
EI
式中，FN、FQ、M分别为微段上的轴力、剪力、弯矩； EA、GA、EI分别为抗拉压、抗剪、抗弯刚度；
μ 为考虑剪应力分布不均匀系数，如对于矩形截面μ =1.2， 圆
形截面μ =10/9，薄壁圆环形截面、工字形或箱形截面μ
=A/A1（A1为腹板面积）。
二、结构位移产生的原因
1）荷载作用； 2）温度变化或材料胀缩； 3）支座沉陷或制造误差。
2
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
3
本章任务
学习任意平面杆件结构在任意外因（ 荷载、温 度、支移 等）作用下，引起任意形式位移（线 位移、角位移 ）的计算原理及计算方法。
一、结构的位移
在荷载等外因作用下结构都将产生形状的改变，称为 结构变形。 结构变形引起结构上任一横截面位置和方向的改变， 称为位移是结构某一截面相对于初始状态位置的变化.
设FP=1，称为虚单位荷载法。
2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静
力平衡求解几何问题。
3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位

F
N
图
⑵作单位荷载作用下的轴力图和弯矩图。 ⑶求D点竖向位移。

yD
10
2
2
20
2a 10
1 2 a a 2
1 2
a
20 0 .1 5 a

0 .1 5 a



1 2
a
2
M 图
2 5 a ( )
Kt

t0 A
F

N

பைடு நூலகம்
t
§5-6 静定结构在非荷载因素作用下的位移计算
5-6-1 由于温度变化、制造误差等引起的位移
中 性 轴 处 温 度 变 化 ： t0 h1 t 2 h 2 t 1 h
截 面 对 称 于 中 性 轴 时 ： t0
t1 t 2 2
杆 件 上 下 侧 温 度 变 化 之 差 ： t t 2 t1
F P i ii
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
1
ij
1
ji
5-7-3 反力互等定理
r ji r ij
rii 0 r ji 1 rij 1 r jj 0
§5-7 线性弹性体的互等定理 5-7-1 功的互等定理 5-7-2 位移互等定理
F Pi
ij
F Pj
ji
ji
ij
5-7-3 反力互等定理 5-7-4 反力与位移互等定理
r ji r ij r ji ij
r ji 1 1 ij 0

温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
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q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
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D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
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3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评