清华大学微积分多元连续函数24页PPT

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目录

1引言 ...............................................................1

2 多元函数的连续、偏导数及可微........................... ... ............1

2.1 多元函数的连续性.................................................1

2.2 多元函数的偏导数...................................................3

2.3 多元函数的可微性..................................................4

2.4 多元函数连续性、偏导数存在性、及可微间的关系....................... 7

2.4.1 二元函数连续性与偏导存在性间的关系............................7

2.4.2 二元函数的可微性与偏导存在性间的关系......................... 8

2.4.3 二元函数的连续性与可微性间的关系.............................10

3 小结.................................... .............................11

参考文献................................................................12

致谢辞..................................................................13

1 1 引言

对于一元函数而言，函数()yfx在0x极限存在、连续、可微，这三个概念的关系是很清楚的，即可微一定连续，但连续不一定可微，连续一定有极限，但有极限不一定连续.简单表示为：可微连续极限存在(且不可逆)

1 / 30 第七章 多元函数的微分法

前五章我们介绍了一元函数的极限,连续,导数和微分等基本概念.现在我们将把这些基本概念推广到依赖多个自变量的函数,即多元函数.本章主要讨论含两个自变量的函数即二元函数的情况.

§7.1 多元函数的基本概念

一、二元函数及其图形

在自然现象中常遇到依赖于两个变量的函数关系，举例如下：

例1 任意三角形的面积S与底x高y有下列关系: S=)0,0(21yxxy

底与高可以独立取值，是两个独立的变量(称为自变量)。在它们的变化范围内，当的值取定后，三角形的面积就有一个确定的值与之对应。

例2 从物理学中知道，理想气体的体积V与绝对温度T、压强P之间有下列关系:

),0,0(是常数RPTPRTV

T,P可以独立取值，是两个独立的变量，在它们的变化范围内，当T,P的值取定后，体积V就有一个确定的值与之对应。

以上两个例子的具体意义虽然不同，但却具有一个共同的特征，抽去它们的共性，就得到二元函数的定义如下：

定义1 设有三个变量x、y、z，若对于变量x、y在各自变化范围内独立取定的每一组值，变量z按照一定的规律，总有一个确定的值与之对应，则z称为x、y的二元函数，记作z＝f（x，y）。称x、y为自变量，z为因变量。自变量的变化范围称为函数的定义域。

当自变量x、y分别取值x0、y0时，因变量z的对应值z0称为函数z＝f（x，y）的当x=x0， y=y0时的函数值，记作z0= f（x0、y0）。

类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数。二元以及二元以上的函数都称为多元函数。

注意:二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域，围成区域的曲线叫做该区域的边界。不包括边界的区域叫做开区域，连同边界在内的区域叫做闭区域。如果区域可延伸到无限远，称这区域是无界的。如果区域总可被包围在一个以原点为中心而半径适当大的圆内，则称此区域是有界的。易见,例1、例2中函数的定义域都是无界的。

第五讲 多元微积分（上）

考纲要求

1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性.

4..掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.

5.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.

6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

7.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理.

8.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）.

一、多元微分学概念及其关系

问题1 二元函数(,)fxy在点00(,)xy处有极限、连续、可偏导、可微、偏导数连续之间有何关系？

答 首先要正确理解各概念.

二元函数(,)fxy在点00(,)xy处的极限00lim(,)xxyyfxyA表示(,)Pxy以任何方式趋近于000(,)Pxy，函数(,)zfxy趋近于常数A.

注：若找到两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，或者找到一种趋近方式，使),(lim00yxfyyxx不存在，则可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．

如果0000lim(,)(,)xxyyfxyfxy，则称函数(,)fxy在点00(,)xy处连续.

二元函数),(yxfz在点),(00yx处对x的偏导数

0000000(,)(,)(,)limxxfxxyfxyfxyx；

函数),(yxfz在点),(00yx处对y的偏导数为

0000000(,)(,)(,)limyyfxyyfxyfxyy.

20 第二部分 多元函数微分学

一、研究多元函数微积分的两个基本思想方法

1. 类比法 根据两个（两类）对象之间的某些方面的相似或相同，推出它们在其他方面的相似或相同。它是一种创新型的思维方法。

• 鲁班发明木工锯的故事。

• 从低维空间到高维空间。

空间 向量 加法 内积 正交 

3R ),,(321xxxx )(332211yxyxyxyx，， 31,iiiyxyx 031iiiyx 

3R ),,,(21nxxxx )(2211nnyxyxyxyx，，， niiiyxyx1, 01niiiyx 

• 从一元微积分到多元微积分

多元微积分中的重要概念和理论是一元微积分中相应概念和理论用类比法对多元函数的推广和发展，它们之间既有共同点，又有许多不同点。在学习中既要重视共同点，更要注重推广后出现的新情况和新问题，研究出现不同点的原因。

例1 一元函数的极限与重极限

例2 一元函数导数与偏导数和方向导数

例3 定积分与重积分，线、面积分

例4一元函数中，若),(],,[baDfbaCf，则在),(ba内0)(xf在

],[ba上)(xf常数。问该结论能推广到多元函数吗？例如，下列命题是否正确？ 21 设),(yxfz在区域D上连续，在D内可偏导，则在D内,0),(yxfx

,0),(yxfy在D上),(yxf恒为常数。

不一定。反例：0,0,0,,0,),(2232yxyxyxyxf在其定义域D内均有0),(yxfy，

但),(yxf的值与y有关。例如，.1)1,1(,1)1,1(ff

但若将命题中的D改为有界闭凸区域或2RD，则结论成立。因为在这类区域D内可利用一元函数的Lagrange 中值定理证明：在D内0),(yxfx（或0),(yxfy）在D上),(yxf不显含x（或y），即),(yxfz仅是y（或x）的函数，从而知命题正确。