多元函数微分学总结.pdf

第九讲 多元函数的微分一、主要知识点1．主要概念（以二元函数为主）（1）函数的极限与连续定义极限定义（εδ-定义）A y x f y y x x =→→),(lim 00：如果对于任意给定0ε>，总存在0δ>，使得对于适合不等式00pp δ<=<的一切点(,)p x y ，都有ε<-A y x f ),(成立．连续函数定义 设函数),(y x f z =在区域D 内有定义，且000(,)p x y D ∈，若),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→则称函数),(y x f 在点000(,)p x y 处连续． 注意：二元函数与一元函数的差异． （2）偏导数的定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，函数的偏导数为0(,)(,)lim x z f x x y f x y x x ∆→∂+∆-=∂∆，0(,)(,)lim y z f x y y f x y y y∆→∂+∆-=∂∆． 注意：分段函数在分段点的偏导数用偏导数定义计算． （3）全微分定义设函数),(y x f z =在点),(y x p 的某邻域内有定义，若()z A x B y o ρ∆=∆+∆+，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，全微分dy yzdx x z y B x A dz ∂∂+∂∂=∆+∆=． 2． 主要理论（1）定理1（求偏导数与次序无关的定理）若函数),(y x f z =的两个混合偏导数x y z y x z ∂∂∂∂∂∂22,在区域D 内连续，则xy z y x z ∂∂∂=∂∂∂22．（2）定理2（可微与偏导数存在关系定理）若函数),(y x f z =在点),(y x p 可微，则在该点处yzx z ∂∂∂∂,存在，且 dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=． （3）定理3（偏导连续与可微的关系定理）若函数),(y x f z =偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点),(y x p 的某邻域内存在且连续，则),(y x f 在点),(y x p 可微．3．主要公式（1） 全导数公式设函数),(v u f z =偏导数连续，而)(),(t v t u ψϕ==导数连续，则)](),([t t f z ψϕ=的全导公式为dtdvv f dt du u f dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=． （2）显函数 ),,(z y x f u =的偏导数求u 对x 的偏导数xu∂∂时，将z y ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． 求u 对y 的偏导数yu∂∂时，将z x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． 求u 对z 的偏导数zu∂∂时，将y x ,视作常数，利用一元函数求导公式及法则求之． （3）复合函数的偏导数1）设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===的偏导数连续，则)],(),,([y x y x f z ψϕ=偏导数为xv v x x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂． 2）设),,,(v u y x f z =，),(),,(y x v y x u ψϕ==的偏导数连续，则函数)],(),,(,,[y x y x y x f z ψϕ=的偏导数为x v v f x u u f x f x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂，yv v f y u u f y f y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂．注意：1）偏导函数yzx z ∂∂∂∂,的复合关系同原函数一样，求二阶偏导数方法同一阶方法类似．2）抽象函数的二阶偏导数的求法及其重要．（4）隐函数的偏导数1） 由方程0),(=y x F 确定的隐函数)(x y y =的导数公式为),(),(y x F y x F dx dyy x''-= ， (0),(≠y x F y )． 2）由方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x z z =的偏导数公式为),(),(,),(),(y x F y x F y z y x F y x F x zz y z x ''-=∂∂''-=∂∂ ， (0),(≠'y x F z )． 3）由三个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 确定的隐函数),(x y y =)(x z z =，求导数dx dz dx dy ,可通过解关于dxdzdx dy ,的线性方程组来完成，即解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=+'-='+'x z y x z y G dx dz G dxdy G F dxdz F dx dy F ''． 4）由四个变量两个方程所构成的方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ， 确定的隐函数(,),(,)u u x y v v x y ==，求偏导数yvx v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,，可通过解关于x v x u ∂∂∂∂, ),(yvy u ∂∂∂∂的线性方程组来完成，即解方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂+∂∂''-=∂∂'+∂∂'x v u x v u G x v G x u G F xv F x u F ' ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-=∂∂'+∂∂''-=∂∂'+∂∂'y v u y v u G y v G y u G F y vF y u F ． 4．主要计算方法（1）显函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数）；（2）隐函数求偏导数的方法（包含二阶偏导数，抽象函数，方程组）；二、例题分析1．二元函数极限、连续、偏导数与全微分之间的联系例1．设223222(,)()0x y f x y x y ⎧⎪=⎨+⎪⎩2222,0,0x y x y +≠+=，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但不可微分． 证明：（1）证明连续性因为32240cos sin 232222)0,0(),()0,0(),(cos sin lim )(lim),(lim rr y x yx y x f r r x r y y x y x θθθθ→==→→====+=2220lim sin cos 0r r θθ→==)0,0(f =． 所以),(y x f 在点)0,0(连续．（2）证明偏导数存在．因为 232200()0(0,0)(0,0)(()0)(0,0)limlim 0x x x x f x f x f x x∆→∆→∆⋅-+∆-∆+'===∆∆232200()0(0,0)(0,0)(0())(0,0)limlim 0y y y y f y f y f y y∆→∆→⋅∆-+∆-+∆'===∆∆所以函数(,)(0,0)f x y 在处偏导数存在且为0． （3）证明(,)f x y 在点(0,0)不可微．因为 223222()()[(0,0)(0,0)][()()]x y x y z f x f y z x y ∆∆''∆-∆-∆=∆=∆+∆，所以41])(2[)(lim ])()[()()(lim ])()[()()(lim224,0222220,02322220,0=∆∆=∆+∆∆∆=∆+∆∆∆∆=∆→∆→∆→∆→∆→∆x x y x y x y x y x x y x y x y x ρ于是函数)0,0(),(o y x f 在点不可微．说明：通常判断函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否可微，可以按以下步骤考虑：（1）考察函数(,)f x y 在点00(,)x y 是否连续．若不连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（2）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否存在．若两个偏导数有一个不存在，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 不可微；（3）若函数(,)f x y 在点00(,)x y 连续，偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，再考察偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 是否连续，若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 连续，则函数(,)f x y 在点00(,)x y 可微；（4）若偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 不连续，则利用全微分定义判别，如例1．练习题：设222222()sin 0(,)00x y x y f x y x y ⎧++≠⎪=⎨⎪+=⎩，证明函数),(y x f 在点)0,0(连续且偏导数存在，但是偏导数在点)0,0(不连续，而函数点)0,0(可微分．二元函数),(y x f z =连续，偏导存在与可微三者关系函数连续 偏导数存在2．多元复合显函数求导问题例2．设函数(,,)f x y z 是k 次齐次函数，即(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =，k 为某一常数，求证：(,,)f f f xy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 证明：令,,u tx v ty w tz ===，则(,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =化为(,,)(,,)k f u v w t f x y z =，上式两边对t 求导得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t -∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂， 又 ,u v w x y z t t t ∂∂∂===∂∂∂ 有 1(,,)k f f f x y z k t f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂上式两边同乘以t ，得(,,)k f f f txty tz kt f x y z u v w ∂∂∂++=∂∂∂ 即有 (,,)f f fu v w k f u v wu v w∂∂∂++=∂∂∂ 于是得 (,,)f f fxy z k f x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂． 例3．已知函数(,)u u x y =，满足方程2222()0u u u u a x y x y∂∂∂∂-++=∂∂∂∂ （1）试选择参数α，β，利用变量(,)(,)x y u x y v x y e αβ+=，将原方程变形使得新方程中不含一阶偏导数项；（2）再令x y ξ=+，x y η=-，使新方程变换形式 解：（1）()x y x y x y u v v e v e v e x x xαβαβαβαα+++∂∂∂=+=+∂∂∂ 2222()()x y x yu v v v e v e x x x xαβαβααα++∂∂∂∂=+++∂∂∂∂ 222(2)x y v vv e x xαβαα+∂∂=++∂∂， ()x y u vv e y yαββ+∂∂=+∂∂， 22222(2)x yu v v v e y y yαβββ+∂∂∂=++∂∂∂ 将上述式子代入已知方程中，消去x yeαβ+变得到222222(2)(2)()0u u v va a a a v x y x yαβαβαβ∂∂∂∂-+++-++-++=∂∂∂∂， 由题意，令2020a a αβ+=⎧⎨-+=⎩，解出22a a αβ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故原方程为22220u ux y ∂∂-=∂∂．（2）令x y ξ=+，x y η=-，则v v v v vx x x ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂， v v v v vy y y ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂∂ 22222222v v v v v x x x x xξηξηξξηξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222222v v vξξηη∂∂∂=++∂∂∂∂ 同理 2222222v v v v y ξξηη∂∂∂∂=-+∂∂∂∂∂ 将上面式子代入22220u ux y∂∂-=∂∂中得到20vξη∂=∂∂． 例4．证明：若u =20d u ≥．（二阶全微分）记号：222222(),(),()dx dx dy dy dz dz ===，()0,()0,()0d dx d dy d dz ===． 证明：因为一阶全微分为xdx ydy zdzdu u++=则 22222()()u dx dy dz xdx ydy zdz dud u u ++-++=2222()()xdx ydy zdzu dx dy dz xdx ydy zdz u u ++++-++=222223()()u dx dy dz xdx ydy zdz u ++-++=22222223()()()x y z dx dy dz xdx ydy zdz u++++-++= 2223()()()0xdy ydx ydz zdy zdx xdz u -+-+-=≥于是有20d u ≥．练习题：1．设函数(,,),(,,),(,),(,)u f x y z x z s t y x t z s t ϕψω====偏导数存在，求,u u s t∂∂∂∂． 2．设函数(,)()z f x y x y g x ky =-+++，其中,f g 具有二阶连续偏导数，且"0g ≠，如果222"222224z z z f x x y y∂∂∂++=∂∂∂∂，求常数k 的值．（2120k k ++=，故1k =-） 3．设z =，求二阶全微分20d z ≥．（222223222()()()()x y dx dy xdx ydy x y ++-++）3．隐函数的求导问题例5．设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x G 所确定的y x ,的隐函数，求dxdy（其中),,(),,(t y x G t x f 为可微函数）． 解：设方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x G t x f y 确定t y ,皆为x 的函数，将方程组对x 求导数，得0x t dy t f f dx x G G dy G tx y dx t x∂⎧''=+⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪++=∂∂∂∂⎪⎩或 t x dy tf f dx xG dy G t G ydx t x x∂⎧''-=⎪∂⎪⎨∂∂∂∂⎪+=-∂∂∂∂⎪⎩解方程组，得1x t x t t t f f G G G G f f dy x t t x G G f dx f t y G Gy t''-∂∂∂∂-''-∂∂∂∂==∂∂'-'+∂∂∂∂∂∂． 例6．设(,,)u f x y z =，2(,,)0y x e z ϕ=，sin y x =，其中,f ϕ具有一阶连续偏导数，且0x ϕ∂≠∂，求dudx． 解：这是有显函数，隐函数构成的复合函数的求导问题，xy zx yxu从复合关系图看出复合关系后求导，有x y z du u u dy u dz dy dz f f f dx x y dx z dx dx dx∂∂∂'''=++=++∂∂∂ 由2(,,)0y x e z ϕ=两边对x 求导，得12320ydy dzx e dx dxϕϕϕ'''++= ， 又cos dyx dx=，代入上式得 1231(2cos )y dz x e x dx ϕϕϕ''=-+'于是123cos (2cos )y z x y f duf f x x e x dx ϕϕϕ'''''=+-+'． 例7．设(,)z z x y =是由方程(,)z z f xy e =确定的隐函数，求偏导数,z zx y∂∂∂∂． 解法1：设(,,)(,)z F x y z f xy e z =-，求偏导数1x F f y''=⋅，1y F f x ''=⋅，21z z F f e '=⋅-， 应用公式得112211x z zz F yf yf zx F f e e f '''∂=-=-='''∂--，112211y z zz F xf xf zy F f e e f '''∂=-=-='''∂--． 方法2：直接应用复合函数求导法则，方程两边关于x 求偏导数，此时z 是,x y 得函数，于是12(,)(,)z z z z zf xy e y f xy e e x x∂∂''=⋅+⋅∂∂， 从上述方程中解出z x ∂∂，即得121z yf zx e f '∂='∂-．方程两边关于y 求偏导数，此时z 是,x y 得函数， 于是12(,)(,)z z z z z f xy e x f xy e e y y∂∂''=⋅+⋅∂∂，从上述方程中解出zy∂∂，即得121zxf z y e f '∂='∂-． 方法3：应用一阶全微分形式不变性12(,)()z z dz df xy e f d xy f de ''==⋅+⋅ 112z f ydx f xdy f e dz '''=⋅+⋅+⋅，移项得 211(1)zf e d z y f d x x f d y '''-⋅=⋅+⋅， 解出112211z z yf yf dz dx dy e f e f ''=+''--，因此121z yf z x e f '∂='∂-，121z xf zy e f '∂='∂-． 例8．设sin ,sin u xu v x y v y+=+=，求22,,,du dv d u d v ． 解：方程组sin sin u v x yy u x v+=+⎧⎨=⎩对x 求微分，得s i nc o s s i n c o sd u d v d x d y u d y y u d u v d x x v d v+=+⎧⎨+=+⎩ （1）解方程组的1[(s i n c o s )(s i n c o s )]c o s c o sd u v x v d xu x v d y x v y u =+--+ 1[(s i n c o s )(s i n c o s )]c o s c o sd v u y u d yv y u d x x v y u=+--+ （1） 式方程组再微分一次，得222222cos 2cos sin cos 2cos sin d u d v y ud u udydu y udu x vd v vdxdv x vdv ⎧+=⎨+-=+-⎩（2） 解方程组（2），得221[(2cos sin )(2cos sin )]cos cos d u d v vdx x vdv dv udy y udu du x v y u=-=---+．例9．设函数(,)z f x y =有连续的一阶偏导数，(,)w w u v =是由方程组2211w x y u x y v x y z e ++⎧=+⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩所确定的隐函数，试将方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为,w w u v ∂∂∂∂所满足的关系式． 解：由方程组可以看出(,,),(,)w x y z f x y w e w w u v ++===，则1321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e x x u x v x u x v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 2321()(2)w x y w x y z w u w v w w z z e e y y u y v y u y v++++∂∂∂∂∂∂∂=++=+-∂∂∂∂∂∂∂ 因此 左边22()()w x y y x z z v y x∂=-+-∂，右边()y x z =-， 于是方程()()z z y x y x z x y x y∂∂-=-≠∂∂化为 22()0w x y z v y x∂-=∂， 又由于3322220x y x y y x x y--=≠，故0w v ∂=∂． 例10．设)(u f 有连续的二阶导数，且)sin (y e f z x=满足方程z e y z x z x 22222=∂∂+∂∂，求)(u f ．解：设sin x u e y =，则'()'()sin '()x z u f u f u e y uf u x x∂∂===∂∂， '()'()cos x z u f u f u e y y y∂∂==∂∂， 222"()'()z f u u f u u x∂=+∂，（u u x ∂=∂）， 2222'()sin cos "()'()"()cos x x x z u f u e y e yf u uf u f u e y y y∂∂=-+=-+∂∂，所以 22222"()x z z e f u x y∂∂+=∂∂． 由已知条件，得22"()()x x e f u e f u =，即"()()0f u f u -=，这是二阶常系数线性微分方程，其特征方程为210r -=，特征根为1r =±，则12()u u f u c e c e -=+为所求．练习题：1．已知ty y e x =+，而t 是由方程2221y t x +-=所确定的,x y 的函数，求dy dx． （22()tytydy t xye dx t y t e +=+-） 2．设2222221x y z a b c++=，求全微分2,dz d z ． 3．设函数222),(z y x r r f u ++==，在0>r 内满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ， 其中)(r f 为二阶可导函数，且1)1()1(='=f f ，试将方程化为以y 为自变量的常微分方程，并求)(r f ．（1()2f r r=-+）。

`第八章 多元函数微分学8.1基本知识点要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法.5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法.7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。

8.了解二元函数的二阶泰勒公式.9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

8.2基本题型及解题思路分析题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。

（1）基本概念①二元函数极限的定义：设()(,)f P f xy =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若∃常数A ，对于∀0ε>，总∃0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作000(,)(,)lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。

②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。

第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念2、多元函数的极限✧00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=（或0lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义✧ 掌握判定多元函数极限不存在的方法：（1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言函数极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，若00(,)(,)lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等，此时也可断言极限不存在。

✧ 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商，等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似：例1．用εδ-定义证明2222(,)(0,0)1lim ()sin0x y x y x y →+=+例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数222222()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。

例3 设222222,0(,)0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ ，讨论(,)(0,0)lim (,)x y f x y →是否存在？例4（07年期末考试 一、2，3分）设2222422,0(,)0,0⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩xy x y x y f x y x y ，讨论(,)(0,0)lim (,)→x y f x y 是否存在？例5．求222(,)(0,0)sin()lim x y x y x y →+3、多元函数的连续性0000(,)(,)lim(,)(,)x y x y f x y f x y →⇔=✧ 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

✧ 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”例1． 讨论函数33222222,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 在（0，0）处的连续性。

多元函数微分学总结第9章一、多元函数的基本概念1．邻域的概念（邻域、去心邻域、方形邻域）✧设是平面直角坐标系下一点，则✧点的邻域✧点的去心邻域✧方形邻域✧圆形邻域与方形邻域之间的关系2．平面上的点和点集之间的关系(1)内点、外点、边界点、聚点、孤立点(2)七条基本关系（结合课件）3．常见的平面点集开集和闭集连通集开区域和闭区域有界集和无界集4．二元函数的基本概念(1)函数的自然定义域（P。

57）(2)二元函数的图形（P。

57）5．多元函数的极限【关键点】正确理解自变量的变化趋势，课本P。

59并结合课件6．多元函数的连续性(1)概念（判断函数连续的三个前提条件缺一不可）(2)运算法则（四则运算法则、复合函数的连续性）(3)多元初等函数的连续性(4)有界闭区域上连续函数的性质（三大定理P。

62）二、多元函数的微分学1．偏导数和全微分的概念(1)函数的偏增量、函数的全增量(2)偏导数，函数的偏增量与自变量增量的比值的极限（偏导数的几何意义P。

66）(3)全微分，利用自变量增量、的线性函数近似表示函数的全增量，即，其中、不依赖于、，．(4)几个重要关系及注意事项1偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商．（P。

66）2对一元函数而言，可微可导连续．3对多元函数而言，偏导数连续可微连续当自变量趋于其中一点时函数极限存在偏导数存在函数在其中一点有定义4设是可微函数，则．(5)高阶偏导数（P。

68的定理）(6)全微分的应用，多元函数的线性近似P。

78的公式(9)(7)多元复合函数的求导法则，链式法则（结合课件）✧确定变量之间的因果关系✧注意和的区别（P。

79）✧利用全微分的形式不变性简化计算（正确理解中间变量的微分P79例1、P。

82例6）(8)隐函数的求导公式1一个方程的情形（P。

83定理1、P。

85定理2）2方程组的情形，不必套用雅可比行列式，关键是掌握求隐函数组偏导数的方法（P。

87例4）(9)向量值函数的求导公式、几何意义及物理意义（P。

高等数学下册复习提纲第八章 多元函数微分学本章知识点（按历年考试出现次数从高到低排列）：复合函数求导（☆☆☆☆☆）条件极值-——拉格朗日乘数法(☆☆☆☆） 无条件极值(☆☆☆☆）曲面切平面、曲线切线(☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆）一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算(☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆)1. 多元复合函数高阶导数例 设),,cos ,(sin yx e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数,求xy zx z ∂∂∂∂∂2及。

解y x e f x f xz+⋅'+⋅'=∂∂31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x zx y z ++++⋅''+-⋅''+'+⋅''+-⋅''=∂∂∂=∂∂∂])sin ([cos ])sin ([33323131222析 1）明确函数的结构（树形图)这里yx e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构图，可以知道：对x的导数，有几条线通到“树梢”上的x ,结果中就应该有几项，而每一项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是,“按线相乘，分线相加”.2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31yx y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构相同,仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数。

所以1f '对y 求导数为zu vwxx y yy x e f y f yf +⋅''+-⋅''=∂'∂13121)sin (。

多元函数微分学知识点梳理2页一、偏导数定义：对于多元函数$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，当其自变量$x_i$在某一点固定而其他自变量发生变化时，函数值的变化量与$x_i$的变化量之比，称为$f$对$x_i$的偏导数，记为$\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$。

计算方法：将$x_i$看作变量，其他自变量视为常数，对$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$以$x_i$为自变量求导。

二、全微分定义：当$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$的某一邻域内具有一阶连续偏导数时，存在常数$A,B$，使得$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+\alpha\Delta x+\beta\Delta y$$其中$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow0}\alpha=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0,\Delta y\rightarrow 0}\beta=0$，则称$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微分，$\Delta z$称为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全增量，$A\Delta x+B\Delta y$称为$\Delta z$的一次主部，记作$dz$，称为$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$的全微分。

计算方法：$$df=\dfrac{\partial f}{\partial x}dx+\dfrac{\partial f}{\partial y}dy$$三、隐函数及其求导法定义：设有方程$F(x,y)=0$，如果在点$(x_0,y_0)$的某一邻域内，恒有一函数$y=\varphi(x)$，使得$F(x,\varphi(x))=0$，则称方程$F(x,y)=0$在该邻域内以$x$为自变量，$y$为因变量确定着一函数$\varphi(x)$。

第9章多元函数微分学知识点总结1.多元函数的偏导数：-定义：对于多元函数来说，当变量除了要考虑沿着自变量方向变化外，还要考虑其他自变量是否保持不变，用偏导数来表示。

-计算方法：求各个偏微分时，将其他自变量视为常数，只对需要求的变量求导即可。

2.全微分：-定义：全微分是多元函数在其中一点上沿各个偏导数方向的和所对应的微分形式。

-计算方法：使用偏导数对各个自变量求导数，并乘以相应的变化量，再相加得到全微分。

3.方向导数：-定义：方向导数是函数在其中一点上沿着指定方向的变化率，表征了函数沿着该方向上变化的快慢程度。

-计算方法：先对多元函数求偏导数，然后将其与方向向量进行点积运算，再乘以方向向量的模长。

4.梯度：-定义：梯度是一个向量，其方向是函数在其中一点增大最快的方向，大小表示函数在该点变化率的大小。

-计算方法：求多元函数在其中一点的各个偏导数，并写成一个向量，即为该点的梯度。

5.方向导数与梯度的关系：-定理：函数在其中一点上的方向导数等于该点的梯度向量与方向向量的点积。

6.极值点：-定义：多元函数的极值点是指函数取得极大值或极小值的点。

-判定方法：通过求偏导数等于零的点，再利用二阶导数进行判定。

7.拉格朗日乘数法：-定义：拉格朗日乘数法是求解给定条件下多元函数的极值问题的一种方法。

-使用方法：通过构造拉格朗日函数，利用偏导数为零和给定条件进行求解。

8.海森矩阵：-定义：海森矩阵是多元函数的二次导数在其中一点上的矩阵形式。

-计算方法：对多元函数的各个偏导数再次求偏导数，并按照顺序组成矩阵。

9.二次型：-定义：二次型是多元函数二阶偏导数在其中一点上的二次齐次多项式。

-判定方法：通过海森矩阵的特征值进行判别，判断其正负来决定函数在该点上的行为。

以上是第9章多元函数微分学的主要知识点总结。

掌握了这些知识点，我们可以更好地理解多元函数的变化规律，求解问题时也能够更有效地运用微分学的方法进行分析和计算。