多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

隐函数定理与逆函数定理是微积分学中的两个重要定理。

它们在解决函数关系问题和求解方程的过程中有着重要的应用。

本文将阐述这两个定理的定义、性质及应用，并将举一些具体的例子来说明它们在实际问题中的应用。

一、隐函数定理隐函数定理是用来求解形如 $f(x,y)=0$ 的隐函数的定理。

它是微积分学中的一个重要结果，粗略地说，它告诉我们：如果一个函数可以表示为 $f(x,y)=0$ 的形式，且满足一定的条件，那么该函数在某个区域内必然存在、唯一存在一些函数关系 $y=g(x)$，使得 $f(x,g(x))=0$.具体来说，设函数 $z=f(x,y)$ 满足下列三个条件：(1) $f(x_0,y_0)=0$;(2) $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内具有一阶连续偏导数；(3) $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$.则存在一个 $y$ 的函数 $g(x)$，在 $x_0$ 的某个邻域内连续可微，且满足 $y=g(x)$，并能表示成 $f(x,g(x))=0$ 的形式。

这个定理的物理意义在于，它说明了在某些复杂情况下，我们可以通过一些特殊的方法，将隐含在函数关系中的某个未知量，转化为某个已知量的函数。

这为我们研究一些实际问题提供了便利。

二、逆函数定理逆函数定理是微积分学中求全局反函数、研究反函数性质的重要工具。

它的表述如下：设 $y=f(x)$ 是一个连续可微、单调的函数，那么在点 $x_0$ 处若 $f'(x_0)\neq 0$，则其反函数 $x=g(y)$ 在点 $y_0=f(x_0)$ 处连续可微，并且有 $g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。

几何上讲，逆函数定理就是告诉我们：函数 $y=f(x)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处的切线的斜率恰好等于其反函数 $x=g(y)$ 在点$(y_0,x_0)$ 处的切线的倒数。

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

第五讲 隐函数的求导公式授课题目：§8.4 隐函数的求导公式教学目的与要求：会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

教学重点与难点：重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。

难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

讲授内容：一、一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. （2） 公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F 【x , f (x )】≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=，00==x dx dy ; 332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 1022-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂ （4） 公式（4）的推导：将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F 【x , y , f (x , y )】≡0, 将它的两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设函数由方程3.=+-xy z e z 所确定, 求22x z ∂∂． 解 设F (x , y , z )= 3.-+-xy z e z , 则F x =y , F z =1-z e , zz z x e y e y F F x z -=--=-=∂∂11,3222222)1()1(1)1()(z z z z z z e e y e e y ye e x z e y x z -=--⋅=-∂∂--=∂∂ 二、方程组的情形 在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=．一般地，方程组 ⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5） 如何根据原方程组求u , v 对x 和,y 的偏导数？介绍二阶行列式、简要介绍解线性方程的克莱姆法则。

本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。

如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。

6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。

可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。

7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。

定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。

无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。

如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。

解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。

趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。

16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。

第十八章隐函数定理及其应用一、主要内容与教学要求主要内容隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定理，隐函数求导。

隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。

几何应用。

条件极值与拉格朗日乘数法。

教学要求1 深刻理解隐函数、隐函数组概念，理解隐函数(组)定理的条件和结论。

2 掌握计算函数行列式，隐函数组（包括反函数组）的偏导数的方法。

3会求隐函数给出的平面曲线的切线与法线、隐函数组及参数方程给出的空间曲线的切线与法平面、隐函数给出的空间曲面的切平面与法线。

4 掌握应用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的方法，能将实际问题中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。

教学重点（1）隐函数组概念；（2）隐函数微分法；（3）多元函数条件极值的拉格朗日乘数法；（4）空间曲线的切线与法平面。

教学难点（1）隐函数组定理；（2）隐函数求导；（3）几何应用。

二、本章教材处理建议关于隐函数的存在性分析要借助于空间图形以便于直观认识。

要求学生深刻理解隐含书的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；隐函数组定理是个难点，结合隐函数存在唯一定理讲解透彻。

强调Jacobi行列式的作用，它相当于一元函数的导数；从理论上说，条件极值都可化为普通极值，从解题上说有很多的条件极值不能化为普通极值。

这是因为联系方程（组）的解不一定是初等函数，所以不能直接化成普通极值。

这说明拉格朗日乘数法的优越性。

§ 1 隐函数本节主要介绍由一个方程0),(=y x F 所确定的一元隐函数存在性定理及其求导法，顺便介绍由一个方程所确定的n 元隐函数存在性定理及其求导法.一、隐函数概念1. 隐函数定义以0),(=y x F 为例作介绍 （1） 隐函数是表达函数的又一种方法. 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy e u x y xyz ++=+=.这种形式的函数称为显函数. 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的. 这种形式的函数称为隐函数.定义及记号 （P144）2. 隐函数的两个基本问题（1） 隐函数的存在性; （2） 隐函数的解析性质.然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。

多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度． ２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法． ３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件． 二、要点解析问题１ 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．解析 )1(多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点P ，那么对于一元函数，点P 在区间上变化；对于二元函数),(y x f ，点),(y x P 将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成)(P f u =，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成)()(lim ,)(lim 00P f P f A P f P P P P ==→→．（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P 的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P 的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限2200limyx xyy x +→→， 容易看出，如果先让0→x 再让0→y ，那么00lim )lim(lim 02200==+→→→y x y yx xy， 同样，先让0→y 再让0→x ，也得到0)lim(lim 2200=+→→yx xyy x ， 但是如果让),(y x 沿直线)0(≠=k kx y 而趋于)0,0(，则有222202201)1(lim lim k k k x kx y x xy x kxy x +=+=+→→→， 它将随k 的不同而具有不同的值，因此极限2200limyx xyy x +→→ 不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数222222,0,(,)0,0,xy x y z f x y x y x y ⎧+≠⎪==+⎨⎪+=⎩000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆x xf x f f x x x ， 同样000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆yy f y f f y y y ， 所以),(y x f 在)0,0(点可导．然而，我们已经看到极限lim →→y x =),(y x f 2200limy x xyy x +→→不存在，当然),(y x f 在)0,0(不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数)0,0(x f '实质上是一元函数)0,(x f 在0=x 处关于x 的导数．它的存在只保证了一元函数)0,(x f 在点0=x 的连续．同理，偏导数)0,0(y f '的存在保证了),0(y f 在0=y 点的连续，从几何意义来看，),(y x f z =是一张曲面，)0,(x f z =，0=y 为它与平面0=y 的交线，),0(y f z =，0=x 为它与平面0=x 的交线．函数),(y x f z =在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数),(y x f z =即曲面本身一定在（0,0）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若),(y x f z =在),(00y x 可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式)(),(),(0000ρo y y x f x y x f z y x +∆'+∆'=∆其中当0→ρ时，)(ρo 0→，从而0lim 00=∆=∆=∆z y x ，因此函数在),(00y x 可微，那么它在),(00y x 必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若),(y x f 在),(00y x 不仅可导而且偏导数都连续，那么),(y x f 必在),(00y x 可微．函数),(y x f 的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：d (,)d (,)d x y z f x y x f x y y ''=+．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连续问题２ 如何求多元函数的偏导数？解析 求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x 求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x 的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用． 例1 设e sin ,xyz y =求yz x z ∂∂∂∂,． 解 直接求偏导数e sin xy zy y x∂=∂， e sin e cos xy xy zx y y y∂=+∂ ， 利用全微分求偏导数d sin de e d sin xy xy z y y =+e sin (d d )e cos d xy xy y y x x y y y =++ e sin d (e sin e cos )d xy xy xy y y x x y y y =++，所以e sin ,e sin e cos xy xy xy z zy y x y y x y∂∂==+∂∂． 例2 设(e ,sin ),xyz f y =求yzx z ∂∂∂∂,． 解 由复合函数求导法则，得1(e ,sin )e xy xy zf y y x∂=⋅∂， 12(e ,sin )e (e ,sin )cos xy xy xy zf y x f y y y∂=⋅+∂， 其中21,f f 分别表示(e ,sin )xyf y 对e ,sin xyy 的偏导数．问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析 不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．2y 例3 说明函数221),(y x y x f +-=在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．解 xx x x x f x f x x x ∆∆-=∆-∆-=∆-∆+→∆→∆→∆0200lim1)(1lim )0,0()0,0(lim ， 此极限不存在，所以在)0,0(处x f ')0,0(不存在．同理y y yf y f y y ∆∆-=∆-∆+→∆→∆00lim)0,0()0,0(lim ， 此极限不存在，所以，在点)0,0(处，y f ')0,0(不存在．但函数221),(y x y x f +-=≤f )0,0(1=，即),(y x f 在点)0,0(取得极大值1．问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析 在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： （1） 根据实际问题建立函数关系，确定定义域； （2） 求驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数22y x z +=的极小值（无条件极值）显然在)0,0(点取得，其值为零． 但是)0,0(显然不是此函数的约束条件01=-+y x 下的条件极小值点．事实上0,0==y x 根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点11(,)22处取得，其值为12，从几何上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面22y x z +=所有竖坐标中的最小者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面01=-+y x 上，即空间曲面⎩⎨⎧=-++=01,22y x y x z 上各点的竖坐标中最小者．我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后 化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条 件x y -=1代入函数22y x z +=，便将原来的条件 极值化成了一元函数122)1(222+-=-+=x x x x z的无条件极值．用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断． 例4 求522++=y x z 在约束条件x y -=1下的极值． 解 作辅助函数)1(5),,(22y x y x y x F --+++=λλ，则有λλ-='-='y F x F y x 2,2，解方程组20,20,10,x y x y λλ-=⎧⎪-=⎨--=⎪⎩ 得1,12x y λ===．现在判断11(,)22P 是否为条件极值点：由于问题的实质是求旋转抛物面522++=y x z 与平面x y -=1的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点11(,)22P 处取得极小值112z =． 问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？ 解析 二元函数(,)z f x y =在点),(y x 处的方向导数lf∂∂刻画了函数在这点当自变量沿着射线l 变化时的变化率，梯度 z grad 的方向则是函数在点),(y x 处方向导数最大的射线方向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助． 例5 求函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处函数值下降最快的方向． 解 负梯度方向是函数值下降最快的方向，因u u x ∂=∂grad i u y ∂+∂j zu ∂∂+k z y 2=i xyz 2+j 2xy +k ， (1,-1,2)24u=-+grad i j k ，故所求方向为(1,-1,2)24u =-=-+-grad a i j k ．三、例题精选 例6 求函数)1ln(2222y x y x z ---=的定义域，并作出定义域图形．解 要使函数有意义，需满足条件22220,10,11,x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨--≠⎪⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧≠<+≤),0,0(),(,1,2222y x y x x y定义域如图阴影部分所示．例7 设(,)e sin ,uf u v v =求 d (,)f xy x y +． 解一 因为 (,)e sin ,uf u v v = 所以 (,)e sin()xy f xy x y x y +=+，e sin()e cos()xy xy fy x y x y x∂=+++∂， e sin()e cos()xy xy fx x y x y y∂=+++∂， 所[]d (,)sin()cos()e d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]sin()cos()e d xyx x y x y y +++．解二 由复合函数求导法则得e sin()e cos()xy xyf f u f v x y y x y x u x v x∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂， e sin()e cos()xy xy f f u f v x y x x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂， 所以[]d (,)esin()cos()d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]e sin()cos()d xy x x y x y y +++．例8 设)(),,(u xF xy u y x f z +==，其中F 为可微函数，且xyu =，验证zxxyyuxy z yz y x z x+=∂∂+∂∂． 证 这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示．[]u F x y u F y x u u F x u F y x u u f x f x z d d )(d d )(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++=∂∂∂∂+∂∂=∂∂， 同理有u F x y u u F x x y u u f y f y z d d d d +=∂∂+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂， uFy xy u F y u xF xy y z y x z xd d d d )(++-+=∂∂+∂∂xy z u xF xy +=+=)(2． 例９ 设2(,,)e xf x y z yz =，其中),(y x z z =由方程0=-++xyz z y x 所确定，求(0,1,1)x f '-．解 2(,,)e xf x y z yz =对x 求偏导，并注意到z 是由方程所确定的y x ,的函数，得[]2,,(,)e 2e x x x z f x y z x y yz yz x∂'=+⋅∂①下面求xz∂∂，由0),,(=-++=xyz z y x z y x F 得11x z F z zy x F yx '∂-=-=-'∂-，代入①得 []21,,(,)e 2e 1x x x zyf x y z x y yz yz yx-'=-⋅-， 于是02011(1)(0,1,1)e 1(1)2e 1(1)5101x f -⋅-'-=⋅⋅--⋅⋅-⋅=-⋅．例10 求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的切平面方程． 解析 此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为),,(000z y x ，则曲面过该点的法向量可由000,,z y x 表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出． 解 设曲面02132),,(222=-++=z y x z y x F平行于已知平面的切平面与曲面相切于),,(000z y x ，故该切平面的法向量n {}000000000(,,),(,,),(,,)x y z F x y z F x y z F x y z '''=过),,(000z y x 的切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x ，①该切平面与已知平面064=++z y x 平行，所以664412000z y x ==， ②又由于),,(000z y x 在曲面上，所以2132202020=++z y x ，③联立②与③式，解得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,2,1010101z y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.2,2,1020202z y x将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为 及46210,46210.x y z x y z ++-=+++=例11 求函数22324y xy x x z -+-=的极值． 解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点23820,220,z x x y x z x y y∂⎧=-+=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 解出{110,0,x y == {222,2.x y ==第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下：因此，函数的极大值为0)0,0(=z ． 例12 求曲线x y ln =与直线01=+-y x 之间的最短距离．解一 切线法．若曲线上一点到已知直线的距 离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相 切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线． 据此，我们先求x y ln =的导数1,y x'=令1='y （已知直线上的斜率为1），得 1=x ，这时0=y ，故曲线x y ln =上点)0,1(到直线01=+-y x 的距离最短，其值为2)1(110122=-++-=d ．解二 代入条件法（利用无条件极值求解）．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则点),(y x 到已知直线的距离为121+-=y x d ，将x y ln =代入上式得1ln 21+-=x x d ，易知)0(01ln >>-=x x x ，故()1ln 21+-=x x d ．①令1ln +-=x x u ，则xu 11-='，由0='u ，得1=x ，这是函数1ln +-=x x u 在),0(+∞内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在．于是由①式得所求的最短距离为()211ln 121=+-=d ．解三 拉格朗日乘数法．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则该点到直线的距离为121)1(1122+-=-++-=y x y x d ，令2d z =，则21212122+-+-+=y x xy y x z ， 显然，在上式中x y ln =，即0ln =-x y ． 引入辅导函数 )ln (212121),(22x y y x xy y x y x F -++-+-+=λ， 解方程组(,)10,(,)10,ln 0,x y F x y x y x F x y y x y x λλ'⎧=-+-=⎪'=--+=⎨⎪-=⎩①②③①②+，得0)11(=-xλ．因为0≠λ，故1=x ，代入③，得0=y ，于是)0,1(是唯一可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线x y ln =上点)0,1(到已知直线的距离最短，其值为()210121=+-=d ．四、 练习题 1．判断正误)1( ()()()000000,,,x x x y y x x x x y x f y x f y x f =====表达式成立； （ √ ）解析 ()00,y x f x 表示),(y x f 在),(00y x 对x 的偏导数；()00,y y x x x y x f ==表示),(y x f 对x 的偏导数在),(00y x 处的值；()00,x x x y x f =表示),(y x f 先固定0y y =后，函数),(0y x f 在0x x =处的导数．由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的．)2( 若),(y x f z =在()00,y x 处偏导数存在，则),(y x f z =在()00,y x 处一定可微；（ ⨯ ）解析 由可微的充分条件知，只有),(y x f z =在点()00,y x 处的两个偏导数存在且连续时，函数),(y x f z =在该点一定可微．例如=),(y x f 222,(,)(0,0)0,(,)(0,0)xy x y x y x y ⎧⎪≠⎨+⎪=⎩在（0，0）处偏导数存在，但不可微．)3( 若()00,y x 为),(y x f z =的极值点，则()00,y x 一定为驻点；（ ⨯ ）解析偏导数不存在的点也可能是极值点．例如 22y x z +=在（0，0）处取得极小值，但zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩在（0，0）处偏导数不存在，不是驻点．)4(00==∂∂y x xf 就是函数),(y x f 在)0,0(处沿x 轴方向的方向导数． （ √ ）解析 沿x 轴方向的方向导数 πcos 0cos 2f f f f l x y x∂∂∂∂=+=∂∂∂∂． 2．选择题)1( 设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-．解析 22),(yx xyy x f +=是关于x ，y 的对称函数，故),(),(y x f x y f =． )2(设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos x y -； )D ( e sin x y -．解析 e cos xz y x∂=∂，=∂∂∂y x z 2e sin x y -． )3(已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．解析 设 u y x =+，v y x =-，则 22),(y x y x y x f -=-+=))((y x y x -+变换为 uv v u f =),(．u v xvv f x u u f x f +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，u v y v v f y u u f y f -=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， 所以yfx f ∂∂+∂∂=y x v u v u v 222)()(-==-++． )4(函数xy y x z 333-+=的驻点为（ B ）； )A ()0,0(和)0,1(-； )B ()0,0(和)1,1(；)C ()0,0(和)2,2(；)D ()1,0(和)1,1(．解析 求两个偏导数22330,330,z x y x z y x y∂⎧=-=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ ⇒{0,0,x y ==与{1,1,x y ==所以驻点为)0,0(和)1,1(．)5(函数122+-=y x z 的极值点为（ D ）． )A ()0,0(； )B ()1,0(； )C ()0,1(；)D (不存在．解析 求两个偏导数20,20,zx x z y y∂⎧==⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 得驻点为（0，0），又因为222=∂∂=xz A ，02=∂∂∂=y x z B ，222-=∂∂=y z C ，则042>=-AC B ，所以，驻点不是极值点，极值点不存在． 3．填空题)1( 12+-=x y z 的定义域为 }1),{(2-≥x y y x ；解 要使函数有意义，应满足12+-x y ≥0，即y ≥12-x)2( 已知xy x y x x f +=+2),(，则=∂∂xfy x +2 ； 解 设 u y x =+，则xu y x x xy x y x x f =+=+=+)(),(2，关于x 的偏导数xuu f x f x f ∂∂∂∂+∂∂=∂∂)(=x u +=y x +2． )3( 设)ln(22y x z +=，则11d x y z===d d x y +；解 设 u y x =+22，则 u z ln =，所以d 12d z z u x x u x u∂∂==⋅∂∂， d 12d z z u y y u y u ∂∂==⋅∂∂， 从而 11d x y z===1111d d x x y y z z x y xy====∂∂+∂∂=d d x y +．)4( 曲面arctan()y z x =在点π(1,1,)4M 处的切平面方程为 π202x y z -+-= ；解 令 )arctan(),,(x yz z y x F -=，则 2222)(1y x y xy x y F x +=+--=，π(1,1,)412x F =， 222)(11y x x xy x F y +-=+-=，π(1,1,)412y F =-， 曲面的切平面方程为 11π(1)(1)()0224x y z ---+-= ，即 π202x y z -+-=．)5( 设e z z xy +=，则=∂∂y z 1ez x + ； 解一 令(,,)e zF x y z z xy =+-，则 1e zz F =+， x F y -=，所以=∂∂y z z y F F - =1ez x +． 解二 设),(y x z z =，两边对y 求偏导数，有y z ∂∂+e z y z ∂∂=x ， 即 y z ∂∂=1ez x+． 4．解答题)1(设可微函数,sin ),,(),,(x t t x u u x f z ===ϕ求xzd d ； 解 偏导数为d d z x =x z ∂∂+x u u z ∂∂⋅∂∂+d d z u t u t x∂∂⋅⋅∂∂ =x f ∂∂+x u f ∂∂⋅∂∂ϕ+t tu f cos ⋅∂∂⋅∂∂ϕ． )2(设)(22y x f z +=，且)(u f 可微，证明 0=∂∂-∂∂yz x x z y． 解 设 u y x =+22，则)(u f z =，从而x z ∂∂=d ()2d z uf u x u x∂'⋅=⋅∂， y z ∂∂=d ()2d z u f u y u y ∂'⋅=⋅∂， 则 yzx x z y ∂∂-∂∂=x u f y 2)(⋅'()2xf u y '-⋅=0， 所以，原结论成立．)3( 设)(22y z yf z x =+，其中f 为可微函数，求yz∂∂．解 令),,(z y x F =)(22yzyf z x -+，设yz u =，则 ),,(z y x F =)(22u yf z x -+， 从而 y uu F y F F y ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=)()()(2yz u f y u f -⋅'--=)()(u f u f y z -'， z uu F z F F z ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=yu f y z 1)(2⋅'-=)(2u f z '-，所以 y z ∂∂zy F F -=)(2)()(u f z u f u f yz'--'-=)(2)()(yz f z y z f y z y z f '-'-=． )4( 在曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 上求一点，使其在该点的切线平行与平面42=++z y x ，并写出切线方程；解 设所求点为（0t ，20t ，30t ），d d t t xt==1，d d t t y t==20t ，d d t t z t==320t ，故切线方程为 230200321t t z t t y t x -=-=-， 由于切线与平面平行，切线的方向向量s ={1，20t ，320t }与平面的法向量n ={1，2，1}垂直，有n s ⋅ ={1，20t ，320t }·{1，2，1}=1+40t +320t =0，解方程，得 0t =1-或31-， 当0t =1-时，切点为（1-，1，1-），切线方程为 31211+=--=+z y x ； 当0t =31-时，切点为（31-，91，127-），切线方程为31271239131+=--=+z y x ， 即 271291331+=--=+z y x ． )5(用a 元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的2.1倍，求水池的长与宽为多少米，才能使容积最大．解 设水池底面的长为x ，宽和高为y （如图），底面单位面积材料费为b ，则侧面单位面积材料费为b 2.1，有a y xyb bxy =++)22(2.12， 即 a by bxy =+24.24.3，长方体体积 2xy V =，应用条件极值，设 A =2xy +)4.24.3(2a by bxy -+λ，得偏导方程，有223.40,2(3.4 4.8)0,3.4 2.40,A y by x Axy bx by y A bxy by a λλλ⎧∂=+⋅=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎩ 整理，得 b a x 5174=，ba y 561=， 由于驻点（b a 5174，b a 561）唯一，而使容积最大的情况存在，所以当长方体长为ba5174，宽和高为ba561时，长方体水池容积最大．。

隐函数与反函数的导数计算在微积分中，隐函数和反函数是两个重要的概念。

隐函数指的是无法直接用解析式表示的函数，反函数指的是一个函数与其逆函数之间的关系。

导数则是描述函数变化率的工具。

本文将介绍隐函数和反函数的导数计算方法。

一、隐函数的导数计算当一个函数无法用解析式表示，其关系式中包含一个或多个未知变量时，就可以称之为隐函数。

对于隐函数的导数计算，我们可以使用隐式函数求导法。

为了说明隐函数的导数计算方法，假设有一个方程：F(x, y) = 0，其中y是x的一个函数。

我们可以应用链式法则来推导出隐函数的导数。

首先，对方程两边求导：dF(x, y)/dx = d(0)/dx由于y是x的一个函数，我们可以将dF(x, y)/dx表示为dF/dx +dF/dy * dy/dx，其中dy/dx表示隐函数的导数。

根据等式：dF(x, y)/dx = d(0)/dx我们可以得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0从中解出dy/dx，即隐函数的导数。

举例说明：对于方程x^2 + y^2 - 1 = 0，我们希望计算出该方程所隐含的函数y关于x的导数。

首先，对方程两边求导：2x + 2y * dy/dx = 0从中解出dy/dx，即可得到隐函数的导数：dy/dx = -x/y二、反函数的导数计算反函数指的是一个函数与其逆函数之间的关系。

如果函数f和g满足条件f(g(x)) = x，那么函数g就是函数f的反函数。

对于反函数的导数计算，我们可以通过一个定理来得到结论。

设有函数f与其反函数g，如果f在某一点a处可导且f'(a) ≠ 0，那么g在点b=f(a)处可导，并且g'(b) = 1/f'(a)。

举例说明：对于函数f(x) = 2x + 3与其反函数g(x) = (x - 3)/2，我们希望计算出反函数g的导数。

首先，计算函数f在某一点a处的导数：f'(a) = 2根据定理，反函数g在点b=f(a)处可导，并且其导数为g'(b) = 1/f'(a)，即：g'(b) = 1/2根据反函数的定义和导数的计算方法，可以得到g(x)的导数为：g'(x) = 1/2结论：隐函数的导数可以通过隐式函数求导法计算，使用链式法则进行推导；反函数的导数可以通过定理得到，即g'(b) = 1/f'(a)。

多元函数微分学总结第9章一、多元函数的基本概念1．邻域的概念（邻域、去心邻域、方形邻域）✧设是平面直角坐标系下一点，则✧点的邻域✧点的去心邻域✧方形邻域✧圆形邻域与方形邻域之间的关系2．平面上的点和点集之间的关系(1)内点、外点、边界点、聚点、孤立点(2)七条基本关系（结合课件）3．常见的平面点集开集和闭集连通集开区域和闭区域有界集和无界集4．二元函数的基本概念(1)函数的自然定义域（P。

57）(2)二元函数的图形（P。

57）5．多元函数的极限【关键点】正确理解自变量的变化趋势，课本P。

59并结合课件6．多元函数的连续性(1)概念（判断函数连续的三个前提条件缺一不可）(2)运算法则（四则运算法则、复合函数的连续性）(3)多元初等函数的连续性(4)有界闭区域上连续函数的性质（三大定理P。

62）二、多元函数的微分学1．偏导数和全微分的概念(1)函数的偏增量、函数的全增量(2)偏导数，函数的偏增量与自变量增量的比值的极限（偏导数的几何意义P。

66）(3)全微分，利用自变量增量、的线性函数近似表示函数的全增量，即，其中、不依赖于、，．(4)几个重要关系及注意事项1偏导数的记号是一个整体记号，不能看作分子与分母之商．（P。

66）2对一元函数而言，可微可导连续．3对多元函数而言，偏导数连续可微连续当自变量趋于其中一点时函数极限存在偏导数存在函数在其中一点有定义4设是可微函数，则．(5)高阶偏导数（P。

68的定理）(6)全微分的应用，多元函数的线性近似P。

78的公式(9)(7)多元复合函数的求导法则，链式法则（结合课件）✧确定变量之间的因果关系✧注意和的区别（P。

79）✧利用全微分的形式不变性简化计算（正确理解中间变量的微分P79例1、P。

82例6）(8)隐函数的求导公式1一个方程的情形（P。

83定理1、P。

85定理2）2方程组的情形，不必套用雅可比行列式，关键是掌握求隐函数组偏导数的方法（P。

87例4）(9)向量值函数的求导公式、几何意义及物理意义（P。

第十八章 隐函数定理及其应用§1 隐函数一、隐函数概念设X R ⊂,Y R ⊂, 函数:F X Y R ⨯→, 对方程(,)0F x y =,若存在集合I X ⊂,J Y ⊂,使得对任何x I ∈,存在唯一的y J ∈满足方程(,)0F x y =,则称(,)0F x y =确定了一个隐函数:f I J →, 记为()y f x =,x I ∈.此时, (,())0F x f x ≡,x I ∈恒成立. 相对地, 形如()y f x =的函数称为显函数.我们说隐函数的产生也是很自然的, 如函数73()y g x x x x ==++严格增, 因而其有反函数, 但不易求出显函数1()x g y -=, 此时只能说方程730y y y x ++-=能确定隐函数1()()dy g x f x -==. 当然, 显函数也可以写成隐函数的形式(,)()0F x y y f x =-=. 显函数的几何意义就是平面上的曲线. 而方程(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =在几何意义上就是曲面(,)z F x y =与平面0z =相交得到一条曲线(()y f x =), 此曲线投影到x 轴, 投影为I , 而对每个x I ∈,有唯一的点(,)x y 在该曲线上.注 并不是每一个方程都可以确定一个隐函数,如2210x y ++=.关于隐函数, 我们主要关心两个问题: 1) 隐函数的存在性;2) 隐函数的性质(如连续和可微性等). 二、隐函数存在的直观分析从几何上看, 方程(,)0F x y =确定函数()y f x =.相当于曲线(,)0F x y =与直线0x x =有且仅有一个交点, 这就要求0(,)0F x y =恰好有一个解, 当然至少要有一个解, 即1︒ 00(,)x y ∃, 使得00(,)0F x y =.其次, 若要求曲线(,)0F x y =连续, 则需要假设2︒ 在00(,)x y 的某邻域内, F 连续.最后, 从隐函数的定义, 对一个x , 只能有一个y 满足(,)0F x y =. 这相当于F 作为y 的函数是单射. 因而我们要求F 关于y 严格单调, 或者条件3︒00(,)0y F x y ≠, 且y F 连续 (此时在00(,)x y 的某邻域内,F 关于y 严格单调).如果要求确定的隐函数可微, 则当F 可微时, 由链式法则有0x y F F y '+⋅=, 此时/x y y F F '=-, 即隐函数()y f x =可微. 而要保证F 可微, 一般需假设4︒x F 连续. 三、一元隐函数定理下面我们给出一元隐函数定理. 定理 若下列条件满足1) 函数(,)F x y 在000(,)P x y 为内点的某一区域2D R ⊂上连续; 2) 00(,)0F x y =(初始条件);3) 在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y , 且00(,)0y F x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内, 方程(,)0F x y =唯一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+上的隐函数()y f x =, 满足1︒ 00()f x y =,00(,)x x x αα∈-+时, 0(,())()x f x U P ∈, 且(,())0F x f x =; 2︒ ()f x 在00(,)x x αα-+上连续.进一步, 若F 在D 上还存在连续的偏导数(,)x F x y , 则方程(,)0F x y =所确定的隐函数3︒ ()y f x =在00(,)x x αα-+内有连续导函数, 且(,)()(,)x y F x y f x F x y '=-.注 a) 为证1︒,2︒, 只需条件: 1) 00(,)0F x y =; 2) 在00(,)x y 的某邻域内F 连续; 3) F 关于y 严格单调.b) 定理中的条件充分而不必要. 如330y x -=在(0,0)不满足(0,0)0y F ≠,但仍确定函数y x =.c) 若条件改为00(,)0x F x y ≠, 则可确定函数()x g y =. 又若00(,)0x F x y ≠与00(,)0y F x y ≠同时成立, 则方程(,)0F x y =将同时确定函数()y f x =和()x g y =,使(,())((),)0F x f x F g y y ==,由于,x y 的对应关系唯一,故它们互为反函数, 且x y F dydx F =-将不变号(如果变号,dy dx 将有零点,在该点dx dy 不存在,与g 可微矛盾), 即隐函数严格单调.例1 反函数存在性定理及其导数.例2 设(,)sin 0F x y y y x ε=--=, 01ε<<. 求dy dx , 22d ydx.例3 讨论Descartes 叶形线3330x y axy +-=所确定的隐函数()y f x =的一阶与二阶导数.例4 设2212z y x =-, 其中()y f x =为方程3330x y xy +-=所确定的隐函数. 求dz dx ,22d z dx.例5 证明: 1) 在(0,0)附近方程2sin()0x y xy ++=可确定函数()y f x =;2) 求f 的导数; 3) (0)f 为极大值.四、n 元隐函数定理下面我们来讨论n 元隐函数定理.定理 设1) 函数12(,,,,)n F x x x y ⋅⋅⋅在以点0000012(,,,,)n P x x x y ⋅⋅⋅为内点的区域1n D R +⊂上连续;2) 000012(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=; 3) 偏导数12,,,,n x x x y F F F F ⋅⋅⋅在D 内存在且连续;4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ⋅⋅⋅≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内方程12(,,,,)0n F x x x y ⋅⋅⋅=唯一地确定了一个定义在000012(,,,)n Q x x x ⋅⋅⋅的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数) 12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅,使得1︒.当120(,,,)()n x x x U Q ⋅⋅⋅∈时, 12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈; 2︒.12(,,,)n y f x x x =⋅⋅⋅在0()U Q 内有连续偏导数12,,,n x x x f f f ⋅⋅⋅, 且11,x x yF f F =-22,,n n x x x x yyF F f f F F =-⋅⋅⋅=-.即若F 关于某个变量偏导数不等于0, 则存在以之为因变量的隐函数.例6 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐函数(,)z f x y =及其偏导数.例7 设方程(,,)0F x x y x y z +++=确定(,)z f x y =.求,x y z z .例8 求由方程(,,)0F x y y z z x ---=所确定的函数(,)z z x y =的微分.例9 设(,)u f x ut y ut =+-,求,,x y t u u u .例10 证明: 由方程()()y x z z ϕψ=+所确定的函数(,)z z x y =满足方程2222222()2()0z z z z z z z y x y x y x x y∂∂∂∂∂∂∂⋅-⋅⋅⋅+⋅=∂∂∂∂⋅∂∂∂∂.§2 隐函数组给出线性方程组111122220a xb yc ud v a x b y c u d v +++=⎧⎨+++=⎩ 何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =? 给定一般形式方程组(,,,)0(1)(,,,)0(2)F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩何时可从中解出(,)u f x y =, (,)v g x y =?一、隐函数组定理定理 1 设2,A B R ⊂, ,:F G A B R ⨯→. 00000(,,,)P x y u v =.若1) 00()()0F P G P ==;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈; 3) Jacobi 行列式(,)(,)F G J u v ∂=∂在0P 处值不为0,则存在00(,)x y 的邻域U 及U 上的唯一一组1C 类函数,f g , 使得(,)u f x y =, (,)v g x y =满足1︒ 000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡, (,,(,),(,))0G x y f x y g x y ≡, (,)x y U ∀∈,2︒ 1(,)(,)x F G u J x v ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G u J y v ∂=-⋅∂,1(,)(,)x F G v J u x ∂=-⋅∂,1(,)(,)y F G v J u y ∂=-⋅∂. [()11(,)()(,)xx v xvx v x v x vvF G G F F G u F G G F J J J x v F ψψ+⋅-∂=-==⋅-=-⋅∂]注 若定理条件3) 改为(,)0(,)P F G y v ∂≠∂, 则方程(1), (2)可确定的隐函数组为(,)(,)y y x u v v x u =⎧⎨=⎩. 更一般地, 可先求出,,,x y u v F F F F ,,,,x y u v G G G G , 如0u v uvF FG G ≠, 则可对(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩, 两边关于,x y 求偏导. 如对x 求偏导, 则x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v +⋅+⋅=⎧⎨+⋅+⋅=⎩,从而u x v x xu x v x xF u F v FG u G v G ⋅+⋅=-⎧⎨⋅+⋅=-⎩⇒(,)(,)(,)(,)x u x u x u v u vF F FG G G x v u F G F F u v G G -∂-∂==-∂∂, (,)(,)(,)(,)x F G u x v F G u v ∂∂=-∂∂, 类似可以求出,y y u v .例1 讨论方程组222(,,,)0(,,,)10 F x y u v u v x y G x y u v u v xy ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩, 在点0(2,1,1,2)P 附近能确定怎样的隐函数组, 并求其偏导数.例2 1) 已知01xu yv yu xv +=⎧⎨+=⎩, 求x u , y u , x v , y v ;2) 设2(,)(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨=-⎩, 求,u ux y ∂∂∂∂.3) 设函数(,)u u x y =由方程(,,,)(,,)0 (,)0 u f x y z t g y z t h z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩确定. 求,u u x y∂∂∂∂.二、反函数组定理给定(,)(,)u f x y v g x y =⎧⎨=⎩, 何时有(,)(,)x u v y u v ϕψ=⎧⎨=⎩?设(,,,)(,)0(,,,)(,)0 F x y u v f x y u G x y u v g x y v =-=⎧⎨=-=⎩,00000(,,,)P x y u v =, 由隐函数组定理条件为1) 00()()0F P G P ==, 即000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在0P 的某邻域内, 1,F G C ∈, 由于1u v F G ==-, 0v u F G ==连续, 故条件2)为在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈.3)0000(,)(,)(,)(,)0(,)(,)x y x yx y x y f f F G u v g g x y x y ∂∂==≠∂∂.因而我们可得到下面的反函数组定理. 定理2 若1) 000(,)u f x y =, 000(,)v g x y =;2) 在00(,)x y 的某邻域内1,f g C ∈; 3)00(,)(,)0(,)x y u v x y ∂≠∂,则存在00(,)u v 的邻域U 及唯一的一组1C 函数(,)x u v ϕ=,(,)y u v ψ=.((,)u v U ∈), 使得1︒ ((,),(,))u f u v u v ϕψ=, ((,),(,))v g u v u v ϕψ=, 000000(,),(,)x u v y u v ϕψ==; 2︒(,)(,)1(,)(,)u v x y x y u v ∂∂⋅=∂∂. [(,)/(,)x v u v u y x y ∂∂∂=∂∂∂, (,)/(,)x u u v vy x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v u x x y ∂∂∂=-∂∂∂, (,)/(,)y u u v v x x y ∂∂∂=∂∂∂.]例3 设sin cos u ux e u vy e u v ⎧=+⎨=-⎩, 求,,,x y x y u u v v .例4 求cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩的反函数组.例5 求sin cos sin sin cos x r y r z r θϕθϕθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的反函数组.例6 利用sin cos x r θϕ=, sin sin y r θϕ=, cos z r θ=变换2221u u x u y u z ∆=++.例6 已知经过代换2u x yv x ay =-⎧⎨=+⎩后, 方程60zz xy yy z z z +-=化为方程0uv z =,求a 的值.§3 几何应用一、平面曲线的切线与法线平面曲线()y f x =, 在000(,)P x y 处的切线方程000()()y y f x x x '-=-. 若平面曲线由方程(,)0F x y =给出, (,)F x y 在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件, 故其在0P 附近可确定连续可微函数()y f x =(或()x g y =). 注意到()y f x =与(,)0F x y =表示的是同一曲线, 故曲线(,)0F x y =在0P 处的切线和法线方程分别为000()()y y f x x x '-=-与0001()()y y x x f x -=--' (或000()()x x g y y y '-=-与0001()()x x y y g y -=--') 又()xy F f x F '=-(或()y xF g y F '=-), 则曲线(,)0F x y =在000(,)P x y 处的切线方程: 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, 法线方程: 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=.例1 求Descartes 叶形线 332()90x y xy +-= 在(2,1)处的切线与法线方程.二、空间曲线的切线与法平面 1、 曲线由参数方程给出.设 :(),(),()L x x t y y t z z t ===, ()t αβ≤≤. (1) 下面求L 在其上某点0000(,,)P x y z 处的切线与法线方程, 这里00()x x t =,00()y y t =,00()z z t =,0()t αβ≤≤.假设(1)中三个函数均在0t 处可导且222000(())(())(())0x t y t z t '''++≠,在L 上0P 附近任取一点(,,)P x y z =000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆, 从而连接0P 与P 的割线方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆, 其中00()()x x t t x t ∆=+∆-, 00()()y y t t y t ∆=+∆-, 00()()z z t t z t ∆=+∆-, 又000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆, 令0t ∆→, 则0P P →, 且曲线L 在0P 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. 进而曲线L 在0P 处的法平面方程为000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.2、曲线由两曲面给出设曲线L 的方程为 (,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩ (2)设1,F G C ∈, 且0(,)0(,)P F G J x y ∂=≠∂. 则由隐函数组定理, 在0P 附近能确定唯一的连续可微函数()x z ϕ=, ()y z ψ=使得1)00()x z ϕ=, 00()y z ψ=,2)1(,)(,)dx F G dz J z y ∂=-⋅∂, 1(,)(,)dy F G dz J x z ∂=-⋅∂. 故曲线L 在0P 处的切线方程为000001P P x x y y z z dx dy dz dz ---==, 即 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂,而L 在0P 处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂.例 2 求曲线22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截得的曲线在点(3,4,5)处的 切线与法平面方程.三、曲线的切平面与法线方程设曲面方程由 (,,)0F x y z = (3)给出, 其在0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件. 设000(,,)z F x y z 0≠, 则方程(3)在0P 附近确定唯一1C 函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =且x z F z x F ∂=-∂, y zF zy F ∂=-∂, 从而该曲面在0P 处有切平面与法线其方程分别为000000000000000(,,)(,,)()()(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=----,即 000000()()()()()()0x y z F P x x F P y y F P z z -+-+-= 与000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==. 例3 求椭球面222236x y z ++=在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程.例4 =(0)a >的切平面在坐标轴上截距之和为常数.§4 条件极值一、条件极值极值问题↔定义域↔条件的限制例 1 设计一个容量为V 的长方形开口水箱, 试问水箱的长x , 宽y , 高z 分别为多少时其表面积最小.(,,)2()S x y z xz yz xy =++ (0,0,0)x y z >>>满足条件 xyz V = ———— 条件极值问题条件极值问题 求(目标)函数()u f x =, 12(,,,)n n x x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在 (约束)条件()0i g x =, 1,2,,i m =⋅⋅⋅, m n <下的极值.设{,()0,1,2,,}i E x D g x i m =∈==⋅⋅⋅, a E ∈. 若存在开球(,)B a r D ⊂,使(,)x E B a r ∈⋂时,()()f x f a ≥(或()()f x f a ≤), 则称f 在a 达到(满足条件()0i g x =)的条件极小(极大)值.例1的解二、条件极值的必要条件 (3n =,2m ≥来讨论)设3D R ⊂为开域, 12,,:f g g D R →为1C 函数, 123(,,)x x x x D =∈. 若f 在点123(,,)a a a a =处达到条件极值, 且111123222123rank 2ag g g xx x g g g x x x ∂∂∂⎛⎫ ⎪∂∂∂⎪= ⎪∂∂∂ ⎪∂∂∂⎝⎭,(1grad ()g a ,2grad ()g a 线性无关). 则存在12,R λλ∈, 使得1212()()()0j j jg g fa a a x x x λλ∂∂∂++=∂∂∂, 1,2,3j =. 即a 是Lagrange 函数1122L f g g λλ=++的驻点.三、Lagrange 乘法求()u f x =, 1(,,)n n x x x D R =⋅⋅⋅∈⊂在条件()0i g x =, (1,2,,)i m =⋅⋅⋅下的极值.方法为1︒ 作Lagrange 函数1111(,,,,,)()()()n m m m L x x f x g x g x λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+, x D ∈.2︒ 令0 (1,,)iLi n x ∂==⋅⋅⋅∂, 0 (1,,)j L j m λ∂==⋅⋅⋅∂, 求驻点. (m n +个方程, m n +个未知量)3︒ 求D 中使1,,,m f g g ⋅⋅⋅不为1C 的点, 及使1rank(grad ,,grad )m g g m ⋅⋅⋅<的点.(这些点与驻点成为可能的极值点).4︒ 用无条件极值方法判断上述可能点是否为极值点. 例2 重解例1.例3 求抛物面22x y z +=被平面1x y z ++=截成一个椭圆, 求该椭圆到原点的最长和最短距离.例4 求(,,)f x y z xy yz =+在条件222x y +=, 2y z +=下的极值.例5 求平面一点00(,)x y 到直线0Ax By C ++=的最短距离.例6 求(,,)f x y z xyz =在条件1111x y z r++= (,,,)x y z r R +∈下的极小值, 并证明11113()a b c-++≤, ,,a b c R +∀∈.例7 求目标函数222000(,,)()()()f x y z x x y y z z =-+-+-在约束条件Ax By ++0Cz D +=下的最小值.例8 求1212(,,,)n n f x x x x x x ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅在12n x x x a ++⋅⋅⋅+=约束条件下的最大值.例9 已知12(,,),(,,),(,)G x y z G x y z f x y 都是可微的,(,)(,,(,))i i g x y G x y f x y =, 1,2i =.求证:121112221(,)(,)x y xy z xyzf fg g G G G x y G G G --∂=∂.例11 183P , 5.例10 183P 11二次型, 特征值问题.例12 183P , 12.例13 184P , 14.若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==有连续的偏导数, 而(,),(,)x x s t y y s t ==有连续偏导数, 则(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v x y s t x y s t ∂∂∂=⋅∂∂∂. [设(),()y f x x t ϕ==, 则dy dy dx dt dx dt=⋅.]Jacobi 行列式的几何意义一元 ()y f x =, 0x , 0x x x =+∆, 00()()y f x x f x ∆=+∆-称||||y x ∆∆为f 在0x 到0x x +∆的平均伸缩系数.若0x ∆→, 极限00000()()||limlim |()|||x x f x x f x y f x x x∆→∆→+∆-∆'==∆∆, 则称0|()|f x '为映射f 在0x 处的伸缩系数. (导数的几何意义)若函数组(,),(,)u u x y v v x y ==在开区域G 存在连续的偏导数且(,)x y G ∀∈,(,)(,)0(,)u v J x y x y ∂=≠∂. 函数组将xy 平面的开区域G 变换成uv 平面上的开区域1G ,点00(,)x y G ∈映为点10000((,),(,))u x y v x y G ∈, 则包含点00(,)u v 的面积微元d σ'与对应的包含点00(,)x y 的面积微元d σ之比为00|(,)|J x y . 即0000(,)(,)|(,)|(,)x y d u v J x y d x y σσ'∂==∂.。

第十八章隐函数定理及其应用教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。

教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。

教学时数：14学时§1 隐函数一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.1.隐函数及其几何意义: 以为例作介绍.2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性质.二.隐函数存在条件的直观意义:三.隐函数定理:Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理) 若满足下列条件:ⅰ> 函数在以为内点的某一区域D上连续;ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件)ⅲ> 在D内存在连续的偏导数;ⅳ> .则在点的某邻域()D内, 方程唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数, 使得⑴,时()且.⑵函数在区间内连续 .( 证)四.隐函数可微性定理:Th 2 设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件, 又设在D内存在且连续 . 则隐函数在区间内可导, 且. ( 证)例1 验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件, 并求隐函数的导数 . P149例1例2 . 其中为由方程所确定的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿)例3 ( 反函数存在性及其导数) 设函数在点的某邻域内有连续的导函数, 且, . 用隐函数定理验证存在反函数, 并求反函数的导数. P151例4五. 元隐函数: P149 Th3例4. 验证在点存在是的隐函数, 并求偏导数 . P150 例3§２隐函数组一．隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组入手介绍隐函数组，一般形式为*二.隐函数组定理:分析从上述线性方程组中解出和的条件入手, 对方程组*在一定条件下拟线性化, 分析可解出和的条件, 得出以下定理 .Th 1 ( 隐函数组定理) P153 Th 4.例1P154例1.三.反函数组和坐标变换:1.反函数组存在定理:Th 2 (反函数组定理) P155 Th 52.坐标变换: 两个重要的坐标变换.例2 , 3 P156—157例2 , 3 .§3 几何应用一.平面曲线的切线与法线: 设平面曲线方程为. 有.切线方程为,法线方程为.例1求Descartes叶形线在点处的切线和法线 . P159例1.二.空间曲线的切线与法平面:1.曲线由参数式给出: .切线的方向数与方向余弦.切线方程为.法平面方程为.2. 曲线由两面交线式给出: 设曲线的方程为点在上. 推导切线公式. [1]P209.切线方程为.法平面方程为.例2P161例2 .三.曲面的切平面与法线:设曲面的方程为, 点在上. 推导切面公式.1]P211.切平面方程为.法定义域线方程为.例3P162例3 .§4 条件极值一.条件极值问题: 先提出下例:例要设计一个容积为的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高, 使水箱的表面积最小 . 分别以、和表示水箱的长、宽和高, 该例可表述为: 在约束条件之下求函数的最小值 .条件极值问题的一般陈述 .二. 条件极值点的必要条件:设在约束条件之下求函数的极值 . 当满足约束条件的点是函数的条件极值点, 且在该点函数满足隐函数存在条件时, 由方程决定隐函数,于是点就是一元函数的极限点, 有.代入, 就有,( 以下、、、均表示相应偏导数在点的值 . )即—, 亦即(, ) ,).可见向量(, )与向量, )正交. 注意到向量, )也与向量, )正交, 即得向量(, )与向量, )线性相关, 即存在实数, 使(, ) + , ).亦即二.Lagrange乘数法:由上述讨论可见, 函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组的解.倘引进所谓Lagrange函数, ( 称其中的实数为Lagrange乘数) 则上述方程组即为方程组以三元函数, 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 .四、用Lagrange乘数法解应用问题举例:例1求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积 . P166例1例2抛物面被平面截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . P167例2例3求函数在条件下的极小值. 并证明不等式, 其中为任意正常数.168 例3第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。

反函数与隐函数的求导反函数求导：在微积分中，反函数的求导是一种重要的数学操作。

考虑一个函数f(x)，如果存在另一个函数g(x)满足f(g(x)) = x，那么g被称为f的反函数。

在求反函数的导数时，可以利用链式法则来进行计算。

设函数y = f(x)，其中f(x)具有反函数g(x)，那么有以下公式：1. 如果f在x处可导，且f'(x) ≠ 0，则有g'(x) = 1 / f'(g(x))。

证明过程如下：根据反函数的定义，有f(g(x)) = x。

对等式两边同时求导，可以得到：f'(g(x)) * g'(x) = 1。

将上式转换后即可得到g'(x) = 1 / f'(g(x))。

举例说明，如果f(x) = sin(x)，那么f的反函数是g(x) = arcsin(x)。

根据公式可以得到g'(x) = 1 / f'(g(x)) = 1 / cos(g(x)) = 1 / cos(arcsin(x)) = 1 / √(1 - x^2)。

隐函数求导：隐函数是多元函数的一种特殊形式，它的表达式中包含一个或多个未明确表示的变量。

在求解隐函数时，需要运用隐函数定理以及求偏导数的技巧。

给定一个方程F(x, y) = 0，其中x和y是变量。

如果存在一个函数y = f(x)，满足F(x, f(x)) = 0，那么f被称为方程的一个隐函数。

在求隐函数的导数时，可以通过对方程两边求导，并运用求导法则解方程。

举例说明，考虑方程x^2 + y^2 - 1 = 0。

我们要求解关于y的隐函数，即y = f(x)。

首先对方程两边分别求导，得到：2x + 2y * f'(x) = 0。

然后解方程y * f'(x) = -x，得到：f'(x) = -x / y。

通过上述的求导过程，我们得到了隐函数在每个点x处的导数f'(x)。

总结：反函数和隐函数的求导是微积分中的重要内容。

多元函数微分学简介多元函数微分学是微积分的重要分支之一，研究的对象是多元函数的导数和微分。

与一元函数微分学相比，多元函数微分学涉及到多个自变量的情况，因此需要对每个自变量进行偏导数的求解。

在多元函数微分学中，我们首先要了解多元函数的概念。

多元函数是指具有多个自变量的函数，常用的表示方法为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为函数值。

多元函数可以用来描述现实世界中的各种现象和问题，如经济学中的供求关系、物理学中的场和力等等。

与一元函数中的导数类似，多元函数的导数是描述函数在某一点附近的变化率的概念。

在多元函数中，我们需要求解偏导数来描述函数在每个自变量方向上的变化率。

偏导数的求解方法与一元函数中的导数求解方法类似，只需将其他自变量视为常数进行求解即可。

对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其偏导数的定义如下：∂f/∂x1 = lim(h→0) [f(x1+h, x2, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xn)] / h∂f/∂x2 = lim(h→0) [f(x1, x2+h, ..., xn) - f(x1, x2, ..., xn)] / h...∂f/∂xn = lim(h→0) [f(x1, x2, ..., xn+h) - f(x1, x2, ..., xn)] / h其中，∂f/∂x1表示对x1的偏导数，h表示自变量的微小增量。

通过求解偏导数，我们可以得到多元函数在每个自变量方向上的变化率。

在多元函数微分学中，还有一个重要的概念是全微分。

全微分是描述多元函数在某一点附近的变化量与自变量的关系。

对于一个多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其全微分的定义如下：df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn其中，df表示函数值的微小增量，dx1, dx2, ..., dxn表示自变量的微小增量，∂f/∂x1, ∂f/∂x2, ..., ∂f/∂xn表示偏导数。

《高等数学B》第八章多元函数微分学第五节隐函数的求导公式隐函数的求导公式是多元函数微分学中的重要内容，它用于求解由隐函数所表示的依赖关系中各个变量之间的导数关系。

在高等数学B的第八章多元函数微分学的第五节中，我们将对隐函数的求导公式进行详细的讲解。

隐函数求导的基本概念是指，当我们无法将一个方程直接表示为一些变量的函数形式时，采用隐函数的方法来表示。

例如，研究一个平面上的曲线，其方程可能为x^2+y^2=1，这时我们无法将y表示为x的函数形式，需要通过隐函数的方法来描述。

假设我们有一个方程F(x,y)=0。

为了求解这个方程中各个变量之间的导数关系，我们需要使用隐函数的求导公式。

隐函数的求导公式有两个主要的表达形式，分别是全导数形式和偏导数形式。

全导数形式的隐函数求导公式如下：如果F(x,y)=0确定了y作为x的隐函数，则有dy/dx = (-∂F/∂x) / (∂F/∂y)偏导数形式的隐函数求导公式如下：如果F(x,y)=0确定了y作为x的隐函数，则有∂F/∂x + ∂F/∂y * dy/dx = 0这两个形式的隐函数求导公式本质上是等价的，只是表达方式不同。

在实际使用中，我们可以根据具体的问题需求选择使用哪种形式。

一般情况下，全导数形式的隐函数求导公式更加方便使用，因为它可以直接得到dy/dx的表达式。

在使用隐函数的求导公式时，需要注意以下几点：1.隐函数的求导公式适用于隐函数与自变量之间存在函数依赖关系的情况。

如果隐函数表达式中各个变量之间不存在函数依赖关系，即不能确定y作为x的隐函数，那么隐函数的求导公式不成立。

2.在使用隐函数的求导公式时，需保证方程F(x,y)=0是连续可导的。

如果方程不满足这个条件，则隐函数的求导公式不适用。

3.在具体计算的过程中，需要注意使用链式法则等导数计算法则进行化简。

隐函数的求导公式是多元函数微分学中的重要工具，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。

通过隐函数的求导公式，我们可以推导出很多重要的结果和定理，例如隐函数存在定理、隐函数的导数等。

第八章多元函数的微积分学上册研究了一元函数微积分学，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。

一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。

多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。

一、教学目标与基本要求(1)理解多元函数的概念。

(2)了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

(3)理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，以及全微分在近似计算中的应用。

(4)掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

(5)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

(6)了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们的方程的求法。

(7)理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。

了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。

(8)理解二重积分积分的概念，了解并会应用重积分的性质。

(9)熟练掌握利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法。

二、教学内容的重点及难点：重点：1．多元函数的极限与连续；2．偏导数的定义；全微分的定义3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则4．多元函数的极值与最值的求法5．二重积分概念，二重积分的计算。

难点：1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系；2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的求导法则；4．条件极值的求法5．对二重积分概念的理解，将重积分化为累次积分时的定限及更换积分次序三、教学内容的深化和拓宽：1．多元函数微分学的几个概念的深刻背景；2．多元复合函数的求导法则的应用；3．由一个方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微分学的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，并由此得到梯地的概念6．利用多元函数微分学的知识研究无条件极值与条件极值。