多元函数微分学及应用(隐函数反函数)

隐函数定理与逆函数定理是微积分学中的两个重要定理。

它们在解决函数关系问题和求解方程的过程中有着重要的应用。

本文将阐述这两个定理的定义、性质及应用，并将举一些具体的例子来说明它们在实际问题中的应用。

一、隐函数定理隐函数定理是用来求解形如 $f(x,y)=0$ 的隐函数的定理。

它是微积分学中的一个重要结果，粗略地说，它告诉我们：如果一个函数可以表示为 $f(x,y)=0$ 的形式，且满足一定的条件，那么该函数在某个区域内必然存在、唯一存在一些函数关系 $y=g(x)$，使得 $f(x,g(x))=0$.具体来说，设函数 $z=f(x,y)$ 满足下列三个条件：(1) $f(x_0,y_0)=0$;(2) $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某一邻域内具有一阶连续偏导数；(3) $\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0$.则存在一个 $y$ 的函数 $g(x)$，在 $x_0$ 的某个邻域内连续可微，且满足 $y=g(x)$，并能表示成 $f(x,g(x))=0$ 的形式。

这个定理的物理意义在于，它说明了在某些复杂情况下，我们可以通过一些特殊的方法，将隐含在函数关系中的某个未知量，转化为某个已知量的函数。

这为我们研究一些实际问题提供了便利。

二、逆函数定理逆函数定理是微积分学中求全局反函数、研究反函数性质的重要工具。

它的表述如下：设 $y=f(x)$ 是一个连续可微、单调的函数，那么在点 $x_0$ 处若 $f'(x_0)\neq 0$，则其反函数 $x=g(y)$ 在点 $y_0=f(x_0)$ 处连续可微，并且有 $g'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$。

几何上讲，逆函数定理就是告诉我们：函数 $y=f(x)$ 在点$(x_0,y_0)$ 处的切线的斜率恰好等于其反函数 $x=g(y)$ 在点$(y_0,x_0)$ 处的切线的倒数。

多元函数微分学知识点梳理
第九章多元函数微分学
内容复
一、基本概念
1.多元函数的基本概念包括n维空间、n元函数、二重极限、连续等。

其中，偏导数和全微分也是重要的概念。

2.重要定理：
1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系为偏导数
连续→可微。

同时，偏导数存在和函数连续是可微的必要条件。

2）二元函数的极值必须满足必要条件和充分条件。

二、基本计算
一）偏导数的计算
1.偏导数值的计算有三种方法：先代后求法、先求后代法
和定义法。

2.偏导函数的计算包括简单的多元初等函数和复杂的多元
初等函数。

对于复杂的函数，可以使用链式法则，或者隐函数求导法。

3.高阶导数的计算需要注意记号表示和求导顺序。

二）全微分的计算
1.叠加原理可以用于计算全微分，即dz=∂z/∂x dx+∂z/∂y dy。

2.一阶全微分形式不变性对于自变量和中间变量均成立。

三、偏导数的应用
在优化方面，多元函数的极值和最值是常见的应用。

1.无条件极值可以用必要条件和充分条件来求解。

2.条件极值可以使用Lagrange乘数法来求解。

3.最值可以通过比较区域内部驻点处函数值和区域边界上最值的大小来确定。

第五讲 隐函数的求导公式授课题目：§8.4 隐函数的求导公式教学目的与要求：会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

教学重点与难点：重点：求由一个方程确定的隐函数的偏导数。

难点：求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

讲授内容：一、一个方程的情形隐函数存在定理1 设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有yx F F dx dy -=. （2） 公式（2）的推导：将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F 【x , f (x )】≡0,等式两边对x 求导得0=⋅∂∂+∂∂dxdy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得yx F F dx dy -= 例1 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ).y x F F dx dy y x -=-=，00==x dx dy ; 332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 1022-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数，一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数. 隐函数存在定理2 设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂ （4） 公式（4）的推导：将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F 【x , y , f (x , y )】≡0, 将它的两端分别对x 和y 求导, 得0=∂∂⋅+xz F F z x , 0=∂∂⋅+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得z x F F x z -=∂∂, z y F F yz -=∂∂. 例2. 设函数由方程3.=+-xy z e z 所确定, 求22x z ∂∂． 解 设F (x , y , z )= 3.-+-xy z e z , 则F x =y , F z =1-z e , zz z x e y e y F F x z -=--=-=∂∂11,3222222)1()1(1)1()(z z z z z z e e y e e y ye e x z e y x z -=--⋅=-∂∂--=∂∂ 二、方程组的情形 在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y x y u +=, 22y x x v +=．一般地，方程组 ⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F （5） 如何根据原方程组求u , v 对x 和,y 的偏导数？介绍二阶行列式、简要介绍解线性方程的克莱姆法则。

本章目录第一节多元函数的基本概念第二节偏导数第三节全微分第四节多元复合函数的求导法则第五节隐函数的求导公式（第五节掌握的不是很好）第六节多元函数微分学的几何应用第七节方向导数与梯度第八节多元函数的极值及其解法第九节二元函数的泰勒公式几道比较好的题第一节多元函数基本概念1、基本了解∈，是在一条数轴上看定义域那么在二元中，一元函数()y f x=的定义域是x R就是在一个平面上看定义域，有(,)=（其中x，y互相没关系。

如果有关z f x y系，那么y就可以被x表示，那么就成了一元函数了），定义为二元函数2x y R∈(,)2、多元函数的邻域二元邻域三元函数邻域3、内点4、外点5、边界点边界点：点的邻域既存在外点又存在内点边界点可以看成内点，也可以看成外点，看你怎么定义了。

6、聚点邻域内存在内点则称为聚点。

可见，边界点一部分也含内点，因此内点，边界点都是聚点。

7、开集不包括边界点的内点；一元函数的开区间就是开集8包含了边界点的内点；一元函数的闭区间就是闭集9一元中有半开半闭的区间二元也是，如10、连通集连通集就是连在一起的区域。

定义是，在定义域内两点可以用折线连起来连通集与非连通集，如：11、开区域：连通的开集；闭区域：连通的闭集12、有界点集这个圆的半径可以有限充分大。

无界点集：找不到一个有限大的圆包含该区域。

如平面第一象限就是无界的点集13、二元函数的定义域图像二元定义域要有x，y的范围。

解出f1(x)<y<f2(x)(很多时候是y与x复合的函数，所以最好是化成y在一边看大于还是小于)14、二元函数的图像：空间曲面即z=f(x,y)15、多元函数极限的定义注意是去心的，去边界的圆域一元需要左极限等于右极限，二元就各个方向的极限 都要相等了。

趋近的方式有时候甚至是有技巧的，一般先用y=kx 趋近，再试试y=kx^2。

16、多元函数的连续性 设在定义域内，若lim (,)(,)00(,)(,)00f x y f x y x y x y =→则称二元函数(,)f x y 在(,)00x y 点处连续。

第十八章隐函数定理及其应用一、主要内容与教学要求主要内容隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数（存在惟一性、可微性）定理，隐函数求导。

隐函数组概念，函数行列式，隐函数组定理，隐函数组求导，反函数组与坐标变换。

几何应用。

条件极值与拉格朗日乘数法。

教学要求1 深刻理解隐函数、隐函数组概念，理解隐函数(组)定理的条件和结论。

2 掌握计算函数行列式，隐函数组（包括反函数组）的偏导数的方法。

3会求隐函数给出的平面曲线的切线与法线、隐函数组及参数方程给出的空间曲线的切线与法平面、隐函数给出的空间曲面的切平面与法线。

4 掌握应用拉格朗日乘数法求多元函数条件极值的方法，能将实际问题中的某些极值问题抽象为数学中的条件极值问题。

教学重点（1）隐函数组概念；（2）隐函数微分法；（3）多元函数条件极值的拉格朗日乘数法；（4）空间曲线的切线与法平面。

教学难点（1）隐函数组定理；（2）隐函数求导；（3）几何应用。

二、本章教材处理建议关于隐函数的存在性分析要借助于空间图形以便于直观认识。

要求学生深刻理解隐含书的概念及意义，掌握二元方程确定可微隐函数的充分条件；隐函数组定理是个难点，结合隐函数存在唯一定理讲解透彻。

强调Jacobi行列式的作用，它相当于一元函数的导数；从理论上说，条件极值都可化为普通极值，从解题上说有很多的条件极值不能化为普通极值。

这是因为联系方程（组）的解不一定是初等函数，所以不能直接化成普通极值。

这说明拉格朗日乘数法的优越性。

§ 1 隐函数本节主要介绍由一个方程0),(=y x F 所确定的一元隐函数存在性定理及其求导法，顺便介绍由一个方程所确定的n 元隐函数存在性定理及其求导法.一、隐函数概念1. 隐函数定义以0),(=y x F 为例作介绍 （1） 隐函数是表达函数的又一种方法. 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如)sin sin (sin ,1zx yz xy e u x y xyz ++=+=.这种形式的函数称为显函数. 但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所决定的. 这种形式的函数称为隐函数.定义及记号 （P144）2. 隐函数的两个基本问题（1） 隐函数的存在性; （2） 隐函数的解析性质.然而需要指出的是：并不是任一方程都能确定出隐函数。

多元函数微分学一、本章提要１．基本概念多元函数，二元函数的定义域与几何图形，多元函数的极限与连续性，偏导数，二阶偏导数，混合偏导数，全微分，切平面，多元函数的极值，驻点，条件极值，方向导数，梯度． ２．基本方法二元函数微分法：利用定义求偏导数，利用一元函数微分法求偏导数，利用多元复合函数求导法则求偏导数．隐函数微分法：拉格朗日乘数法． ３．定理混合偏导数与次序无关的条件，可微的充分条件，复合函数的偏导数，极值的必要条件，极值的充分条件． 二、要点解析问题１ 比较一元函数微分学与二元函数微分学基本概念的异同，说明二元函数在一点处极限存在、连续、可导、可微之间的关系．解析 )1(多元函数微分学的内容是与一元函数微分学相互对应的．由于从一元到二元会产生一些新的问题，而从二元到多元往往是形式上的类推，因此我们以二元函数为代表进行讨论．如果我们把自变量看成一点P ，那么对于一元函数，点P 在区间上变化；对于二元函数),(y x f ，点),(y x P 将在一平面区域中变化．这样，无论对一元、二元或多元函数都可以统一写成)(P f u =，它称为点函数．利用点函数，我们可以把一元和多元函数的极限和连续统一表示成)()(lim ,)(lim 00P f P f A P f P P P P ==→→．（２）二元函数微分学与一元函数微分学相比，其根本区别在于自变量点P 的变化从一维区间发展成二维为区域．在区间上P 的变化只能有左右两个方向；对区域来说，点的变化则可以有无限多个方向．这就是研究二元函数所产生的一切新问题的根源．例如，考察二元函数的极限2200limyx xyy x +→→， 容易看出，如果先让0→x 再让0→y ，那么00lim )lim(lim 02200==+→→→y x y yx xy， 同样，先让0→y 再让0→x ，也得到0)lim(lim 2200=+→→yx xyy x ， 但是如果让),(y x 沿直线)0(≠=k kx y 而趋于)0,0(，则有222202201)1(lim lim k k k x kx y x xy x kxy x +=+=+→→→， 它将随k 的不同而具有不同的值，因此极限2200limyx xyy x +→→ 不存在，从这里我们可以体会到，从一维跨入二维后情况会变得多么复杂．又如，在一元函数中，我们知道函数在可导点处必定连续，但是对于二元函数来说，这一结论并不一定成立．考察函数222222,0,(,)0,0,xy x y z f x y x y x y ⎧+≠⎪==+⎨⎪+=⎩000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆x xf x f f x x x ， 同样000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+='→∆→∆yy f y f f y y y ， 所以),(y x f 在)0,0(点可导．然而，我们已经看到极限lim →→y x =),(y x f 2200limy x xyy x +→→不存在，当然),(y x f 在)0,0(不连续．多元可导函数与一元可导函数的这一重大差异可能使初学者感到诧异，其实仔细想一想是可以理解的．因为偏导数)0,0(x f '实质上是一元函数)0,(x f 在0=x 处关于x 的导数．它的存在只保证了一元函数)0,(x f 在点0=x 的连续．同理，偏导数)0,0(y f '的存在保证了),0(y f 在0=y 点的连续，从几何意义来看，),(y x f z =是一张曲面，)0,(x f z =，0=y 为它与平面0=y 的交线，),0(y f z =，0=x 为它与平面0=x 的交线．函数),(y x f z =在（0,0）处的可导，仅仅保证了上述两条交线在（0,0）处连续，当然不足以说明二元函数),(y x f z =即曲面本身一定在（0,0）处连续．（３）在一元函数中，可微与可导这两个概念是等价的．但是对于二元函数来说，可微性要比可导性强，我们知道，二元函数的可导不能保证函数的连续，但若),(y x f z =在),(00y x 可微，即全微分存在，那么有全增量的表达式)(),(),(0000ρo y y x f x y x f z y x +∆'+∆'=∆其中当0→ρ时，)(ρo 0→，从而0lim 00=∆=∆=∆z y x ，因此函数在),(00y x 可微，那么它在),(00y x 必连续．函数是否可微从定义本身可以检验，但不太方便．然而我们有一个很简便的充分条件：若),(y x f 在),(00y x 不仅可导而且偏导数都连续，那么),(y x f 必在),(00y x 可微．函数),(y x f 的偏导数是容易求得的，求出两个偏导数后在它们连续的点处，全微分立即可以写出：d (,)d (,)d x y z f x y x f x y y ''=+．（４）二元函数的极限、连续、偏导、可微关系图：极限存在偏导数连续问题２ 如何求多元函数的偏导数？解析 求多元函数的偏导数的方法，实质上就是一元函数求导法．例如，对x 求偏导，就是把其余自变量都暂时看成常量，从而函数就变成是x 的一元函数．这时一元函数的所有求导公式和法则统统可以使用．对于多元复合函数求导，在一些简单的情况，当然可以把它们先复合再求偏导数，但是当复合关系比较复杂时，先复合再求导往往繁杂易错．如果复合关系中含有抽象函数，先复合的方法有时就行不通．这时，复合函数的求导公式便显示了其优越性．由于函数复合关系可以多种多样，在使用求导公式时应仔细分析，灵活运用． 例1 设e sin ,xyz y =求yz x z ∂∂∂∂,． 解 直接求偏导数e sin xy zy y x∂=∂， e sin e cos xy xy zx y y y∂=+∂ ， 利用全微分求偏导数d sin de e d sin xy xy z y y =+e sin (d d )e cos d xy xy y y x x y y y =++ e sin d (e sin e cos )d xy xy xy y y x x y y y =++，所以e sin ,e sin e cos xy xy xy z zy y x y y x y∂∂==+∂∂． 例2 设(e ,sin ),xyz f y =求yzx z ∂∂∂∂,． 解 由复合函数求导法则，得1(e ,sin )e xy xy zf y y x∂=⋅∂， 12(e ,sin )e (e ,sin )cos xy xy xy zf y x f y y y∂=⋅+∂， 其中21,f f 分别表示(e ,sin )xyf y 对e ,sin xyy 的偏导数．问题3 二元函数的极值是否一定在驻点取得？解析 不一定．二元函数的极值还可能在偏导数不存在的点取得．2y 例3 说明函数221),(y x y x f +-=在原点的偏导数不存在，但在原点取得极大值．解 xx x x x f x f x x x ∆∆-=∆-∆-=∆-∆+→∆→∆→∆0200lim1)(1lim )0,0()0,0(lim ， 此极限不存在，所以在)0,0(处x f ')0,0(不存在．同理y y yf y f y y ∆∆-=∆-∆+→∆→∆00lim)0,0()0,0(lim ， 此极限不存在，所以，在点)0,0(处，y f ')0,0(不存在．但函数221),(y x y x f +-=≤f )0,0(1=，即),(y x f 在点)0,0(取得极大值1．问题4 在解决实际问题时，最值与极值的关系如何？无条件极值问题与有条件极值问题有何区别？如何用拉格朗日乘数法求极值？解析 在实际问题中，需要我们解决的往往是求给定函数在特定区域中的最大值或最小值．最大、最小值是全局性概念，而极值却是局部性概念，它们有区别也有联系．如果连续函数的最大、最小值在区域内部取得，那么它一定就是此函数的极大、极小值．又若函数在区域内可导，那么它一定在驻点处取得．由于从实际问题建立的函数往往都是连续可导函数，而且最大（最小）值的存在性是显然的．因此，求最大、最小值的步骤通常可简化为三步： （1） 根据实际问题建立函数关系，确定定义域； （2） 求驻点；（3）结合实际意义判定最大、最小值．从实际问题所归纳的极值问题通常是条件极值．条件极值和无条件极值是两个不同的概念．例如，二元函数22y x z +=的极小值（无条件极值）显然在)0,0(点取得，其值为零． 但是)0,0(显然不是此函数的约束条件01=-+y x 下的条件极小值点．事实上0,0==y x 根本不满足约束条件．容易算出，这个条件极小值在点11(,)22处取得，其值为12，从几何上来看，它们的差异是十分明显的．无条件极小值是曲面22y x z +=所有竖坐标中的最小者，如图所示；而条件极小值是曲面对应于平面01=-+y x 上，即空间曲面⎩⎨⎧=-++=01,22y x y x z 上各点的竖坐标中最小者．我们所说的把条件极值化成无条件极值来处理，并不是化成原来函数的无条件极值，而是代入条件后 化成减少了自变量的新函数的无条件极值．例如把条 件x y -=1代入函数22y x z +=，便将原来的条件 极值化成了一元函数122)1(222+-=-+=x x x x z的无条件极值．用拉格朗日乘数法求出的点可能是极值点，到底是否为极值点还是要用极值存在的充分条件或其他方法判别．但是，若讨论的目标函数是从实际问题中得来，且实际问题确有其值，通过拉格朗日乘数法求得的可能极值点只有一个，则此点就是极值点，无需再判断． 例4 求522++=y x z 在约束条件x y -=1下的极值． 解 作辅助函数)1(5),,(22y x y x y x F --+++=λλ，则有λλ-='-='y F x F y x 2,2，解方程组20,20,10,x y x y λλ-=⎧⎪-=⎨--=⎪⎩ 得1,12x y λ===．现在判断11(,)22P 是否为条件极值点：由于问题的实质是求旋转抛物面522++=y x z 与平面x y -=1的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点11(,)22P 处取得极小值112z =． 问题5 方向导数和梯度对于研究函数有何意义？ 解析 二元函数(,)z f x y =在点),(y x 处的方向导数lf∂∂刻画了函数在这点当自变量沿着射线l 变化时的变化率，梯度 z grad 的方向则是函数在点),(y x 处方向导数最大的射线方向．因此沿梯度方向也是函数值增加最快的方向，所以梯度对寻找函数的最大值很有帮助． 例5 求函数z xy u 2=在点)2,1,1(-P 处函数值下降最快的方向． 解 负梯度方向是函数值下降最快的方向，因u u x ∂=∂grad i u y ∂+∂j zu ∂∂+k z y 2=i xyz 2+j 2xy +k ， (1,-1,2)24u=-+grad i j k ，故所求方向为(1,-1,2)24u =-=-+-grad a i j k ．三、例题精选 例6 求函数)1ln(2222y x y x z ---=的定义域，并作出定义域图形．解 要使函数有意义，需满足条件22220,10,11,x y x y x y ⎧-≥⎪-->⎨--≠⎪⎩ 即⎪⎩⎪⎨⎧≠<+≤),0,0(),(,1,2222y x y x x y定义域如图阴影部分所示．例7 设(,)e sin ,uf u v v =求 d (,)f xy x y +． 解一 因为 (,)e sin ,uf u v v = 所以 (,)e sin()xy f xy x y x y +=+，e sin()e cos()xy xy fy x y x y x∂=+++∂， e sin()e cos()xy xy fx x y x y y∂=+++∂， 所[]d (,)sin()cos()e d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]sin()cos()e d xyx x y x y y +++．解二 由复合函数求导法则得e sin()e cos()xy xyf f u f v x y y x y x u x v x∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂， e sin()e cos()xy xy f f u f v x y x x y y u y v y∂∂∂∂∂=+=+++∂∂∂∂∂， 所以[]d (,)esin()cos()d xyf xy x y y x y x y x +=++++[]e sin()cos()d xy x x y x y y +++．例8 设)(),,(u xF xy u y x f z +==，其中F 为可微函数，且xyu =，验证zxxyyuxy z yz y x z x+=∂∂+∂∂． 证 这是带有抽象符号的函数，其复合关系如图所示．[]u F x y u F y x u u F x u F y x u u f x f x z d d )(d d )(-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++=∂∂∂∂+∂∂=∂∂， 同理有u F x y u u F x x y u u f y f y z d d d d +=∂∂+=∂∂∂∂+∂∂=∂∂， uFy xy u F y u xF xy y z y x z xd d d d )(++-+=∂∂+∂∂xy z u xF xy +=+=)(2． 例９ 设2(,,)e xf x y z yz =，其中),(y x z z =由方程0=-++xyz z y x 所确定，求(0,1,1)x f '-．解 2(,,)e xf x y z yz =对x 求偏导，并注意到z 是由方程所确定的y x ,的函数，得[]2,,(,)e 2e x x x z f x y z x y yz yz x∂'=+⋅∂①下面求xz∂∂，由0),,(=-++=xyz z y x z y x F 得11x z F z zy x F yx '∂-=-=-'∂-，代入①得 []21,,(,)e 2e 1x x x zyf x y z x y yz yz yx-'=-⋅-， 于是02011(1)(0,1,1)e 1(1)2e 1(1)5101x f -⋅-'-=⋅⋅--⋅⋅-⋅=-⋅．例10 求曲面2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的切平面方程． 解析 此题的关键是找出切点．如果平面上的切点为),,(000z y x ，则曲面过该点的法向量可由000,,z y x 表示．要使所求的切平面与已知平面平行，一定有切平面的法向量与已知平面的法向量对应坐标成比例．于是切点的坐标可找出． 解 设曲面02132),,(222=-++=z y x z y x F平行于已知平面的切平面与曲面相切于),,(000z y x ，故该切平面的法向量n {}000000000(,,),(,,),(,,)x y z F x y z F x y z F x y z '''=过),,(000z y x 的切平面方程为0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x ，①该切平面与已知平面064=++z y x 平行，所以664412000z y x ==， ②又由于),,(000z y x 在曲面上，所以2132202020=++z y x ，③联立②与③式，解得⎪⎩⎪⎨⎧===.2,2,1010101z y x ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=.2,2,1020202z y x将这两组值分别代入①，最后得到切平面方程为 及46210,46210.x y z x y z ++-=+++=例11 求函数22324y xy x x z -+-=的极值． 解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点23820,220,z x x y x z x y y∂⎧=-+=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 解出{110,0,x y == {222,2.x y ==第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下：因此，函数的极大值为0)0,0(=z ． 例12 求曲线x y ln =与直线01=+-y x 之间的最短距离．解一 切线法．若曲线上一点到已知直线的距 离最短，则过该点平行与已知直线的直线必与曲线相 切；反之曲线上在该点处的切线必平行与已知直线． 据此，我们先求x y ln =的导数1,y x'=令1='y （已知直线上的斜率为1），得 1=x ，这时0=y ，故曲线x y ln =上点)0,1(到直线01=+-y x 的距离最短，其值为2)1(110122=-++-=d ．解二 代入条件法（利用无条件极值求解）．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则点),(y x 到已知直线的距离为121+-=y x d ，将x y ln =代入上式得1ln 21+-=x x d ，易知)0(01ln >>-=x x x ，故()1ln 21+-=x x d ．①令1ln +-=x x u ，则xu 11-='，由0='u ，得1=x ，这是函数1ln +-=x x u 在),0(+∞内唯一驻点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在．于是由①式得所求的最短距离为()211ln 121=+-=d ．解三 拉格朗日乘数法．设),(y x 为曲线x y ln =上任意一点，则该点到直线的距离为121)1(1122+-=-++-=y x y x d ，令2d z =，则21212122+-+-+=y x xy y x z ， 显然，在上式中x y ln =，即0ln =-x y ． 引入辅导函数 )ln (212121),(22x y y x xy y x y x F -++-+-+=λ， 解方程组(,)10,(,)10,ln 0,x y F x y x y x F x y y x y x λλ'⎧=-+-=⎪'=--+=⎨⎪-=⎩①②③①②+，得0)11(=-xλ．因为0≠λ，故1=x ，代入③，得0=y ，于是)0,1(是唯一可能的极值点，由问题本身可知，距离的最小值一定存在，故曲线x y ln =上点)0,1(到已知直线的距离最短，其值为()210121=+-=d ．四、 练习题 1．判断正误)1( ()()()000000,,,x x x y y x x x x y x f y x f y x f =====表达式成立； （ √ ）解析 ()00,y x f x 表示),(y x f 在),(00y x 对x 的偏导数；()00,y y x x x y x f ==表示),(y x f 对x 的偏导数在),(00y x 处的值；()00,x x x y x f =表示),(y x f 先固定0y y =后，函数),(0y x f 在0x x =处的导数．由偏导数定义及偏导数意义可知，三个表达式是相等的．)2( 若),(y x f z =在()00,y x 处偏导数存在，则),(y x f z =在()00,y x 处一定可微；（ ⨯ ）解析 由可微的充分条件知，只有),(y x f z =在点()00,y x 处的两个偏导数存在且连续时，函数),(y x f z =在该点一定可微．例如=),(y x f 222,(,)(0,0)0,(,)(0,0)xy x y x y x y ⎧⎪≠⎨+⎪=⎩在（0，0）处偏导数存在，但不可微．)3( 若()00,y x 为),(y x f z =的极值点，则()00,y x 一定为驻点；（ ⨯ ）解析偏导数不存在的点也可能是极值点．例如 22y x z +=在（0，0）处取得极小值，但zx z y∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩在（0，0）处偏导数不存在，不是驻点．)4(00==∂∂y x xf 就是函数),(y x f 在)0,0(处沿x 轴方向的方向导数． （ √ ）解析 沿x 轴方向的方向导数 πcos 0cos 2f f f f l x y x∂∂∂∂=+=∂∂∂∂． 2．选择题)1( 设22),(y x xyy x f +=，则下列式中正确的是（ C ）；)A ( ),(,y x f x y x f =⎪⎭⎫⎝⎛； )B (),(),(y x f y x y x f =-+；)C ( ),(),(y x f x y f =； )D ( ),(),(y x f y x f =-．解析 22),(yx xyy x f +=是关于x ，y 的对称函数，故),(),(y x f x y f =． )2(设e cos xz y =，则=∂∂∂yx z2（ D ）； )A ( e sin x y ； )B ( e e sin x x y +；)C ( e cos x y -； )D ( e sin x y -．解析 e cos xz y x∂=∂，=∂∂∂y x z 2e sin x y -． )3(已知22),(y x y x y x f -=-+，则x f∂∂=∂∂+yf （ C ）； )A ( y x 22+； )B ( y x -； )C ( y x 22- )D ( y x +．解析 设 u y x =+，v y x =-，则 22),(y x y x y x f -=-+=))((y x y x -+变换为 uv v u f =),(．u v xvv f x u u f x f +=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂，u v y v v f y u u f y f -=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂， 所以yfx f ∂∂+∂∂=y x v u v u v 222)()(-==-++． )4(函数xy y x z 333-+=的驻点为（ B ）； )A ()0,0(和)0,1(-； )B ()0,0(和)1,1(；)C ()0,0(和)2,2(；)D ()1,0(和)1,1(．解析 求两个偏导数22330,330,z x y x z y x y∂⎧=-=⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ ⇒{0,0,x y ==与{1,1,x y ==所以驻点为)0,0(和)1,1(．)5(函数122+-=y x z 的极值点为（ D ）． )A ()0,0(； )B ()1,0(； )C ()0,1(；)D (不存在．解析 求两个偏导数20,20,zx x z y y∂⎧==⎪∂⎨∂=-=⎪∂⎩ 得驻点为（0，0），又因为222=∂∂=xz A ，02=∂∂∂=y x z B ，222-=∂∂=y z C ，则042>=-AC B ，所以，驻点不是极值点，极值点不存在． 3．填空题)1( 12+-=x y z 的定义域为 }1),{(2-≥x y y x ；解 要使函数有意义，应满足12+-x y ≥0，即y ≥12-x)2( 已知xy x y x x f +=+2),(，则=∂∂xfy x +2 ； 解 设 u y x =+，则xu y x x xy x y x x f =+=+=+)(),(2，关于x 的偏导数xuu f x f x f ∂∂∂∂+∂∂=∂∂)(=x u +=y x +2． )3( 设)ln(22y x z +=，则11d x y z===d d x y +；解 设 u y x =+22，则 u z ln =，所以d 12d z z u x x u x u∂∂==⋅∂∂， d 12d z z u y y u y u ∂∂==⋅∂∂， 从而 11d x y z===1111d d x x y y z z x y xy====∂∂+∂∂=d d x y +．)4( 曲面arctan()y z x =在点π(1,1,)4M 处的切平面方程为 π202x y z -+-= ；解 令 )arctan(),,(x yz z y x F -=，则 2222)(1y x y xy x y F x +=+--=，π(1,1,)412x F =， 222)(11y x x xy x F y +-=+-=，π(1,1,)412y F =-， 曲面的切平面方程为 11π(1)(1)()0224x y z ---+-= ，即 π202x y z -+-=．)5( 设e z z xy +=，则=∂∂y z 1ez x + ； 解一 令(,,)e zF x y z z xy =+-，则 1e zz F =+， x F y -=，所以=∂∂y z z y F F - =1ez x +． 解二 设),(y x z z =，两边对y 求偏导数，有y z ∂∂+e z y z ∂∂=x ， 即 y z ∂∂=1ez x+． 4．解答题)1(设可微函数,sin ),,(),,(x t t x u u x f z ===ϕ求xzd d ； 解 偏导数为d d z x =x z ∂∂+x u u z ∂∂⋅∂∂+d d z u t u t x∂∂⋅⋅∂∂ =x f ∂∂+x u f ∂∂⋅∂∂ϕ+t tu f cos ⋅∂∂⋅∂∂ϕ． )2(设)(22y x f z +=，且)(u f 可微，证明 0=∂∂-∂∂yz x x z y． 解 设 u y x =+22，则)(u f z =，从而x z ∂∂=d ()2d z uf u x u x∂'⋅=⋅∂， y z ∂∂=d ()2d z u f u y u y ∂'⋅=⋅∂， 则 yzx x z y ∂∂-∂∂=x u f y 2)(⋅'()2xf u y '-⋅=0， 所以，原结论成立．)3( 设)(22y z yf z x =+，其中f 为可微函数，求yz∂∂．解 令),,(z y x F =)(22yzyf z x -+，设yz u =，则 ),,(z y x F =)(22u yf z x -+， 从而 y uu F y F F y ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=)()()(2yz u f y u f -⋅'--=)()(u f u f y z -'， z uu F z F F z ∂∂⋅∂∂+∂∂=)(=yu f y z 1)(2⋅'-=)(2u f z '-，所以 y z ∂∂zy F F -=)(2)()(u f z u f u f yz'--'-=)(2)()(yz f z y z f y z y z f '-'-=． )4( 在曲线⎪⎩⎪⎨⎧===32,,t z t y t x 上求一点，使其在该点的切线平行与平面42=++z y x ，并写出切线方程；解 设所求点为（0t ，20t ，30t ），d d t t xt==1，d d t t y t==20t ，d d t t z t==320t ，故切线方程为 230200321t t z t t y t x -=-=-， 由于切线与平面平行，切线的方向向量s ={1，20t ，320t }与平面的法向量n ={1，2，1}垂直，有n s ⋅ ={1，20t ，320t }·{1，2，1}=1+40t +320t =0，解方程，得 0t =1-或31-， 当0t =1-时，切点为（1-，1，1-），切线方程为 31211+=--=+z y x ； 当0t =31-时，切点为（31-，91，127-），切线方程为31271239131+=--=+z y x ， 即 271291331+=--=+z y x ． )5(用a 元钱购料，建造一个宽与深相同的长方体水池，已知四周的单位面积材料费为底面单位面积材料费的2.1倍，求水池的长与宽为多少米，才能使容积最大．解 设水池底面的长为x ，宽和高为y （如图），底面单位面积材料费为b ，则侧面单位面积材料费为b 2.1，有a y xyb bxy =++)22(2.12， 即 a by bxy =+24.24.3，长方体体积 2xy V =，应用条件极值，设 A =2xy +)4.24.3(2a by bxy -+λ，得偏导方程，有223.40,2(3.4 4.8)0,3.4 2.40,A y by x Axy bx by y A bxy by a λλλ⎧∂=+⋅=⎪∂⎪∂⎪=++=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎩ 整理，得 b a x 5174=，ba y 561=， 由于驻点（b a 5174，b a 561）唯一，而使容积最大的情况存在，所以当长方体长为ba5174，宽和高为ba561时，长方体水池容积最大．。

隐函数与反函数的导数计算在微积分中，隐函数和反函数是两个重要的概念。

隐函数指的是无法直接用解析式表示的函数，反函数指的是一个函数与其逆函数之间的关系。

导数则是描述函数变化率的工具。

本文将介绍隐函数和反函数的导数计算方法。

一、隐函数的导数计算当一个函数无法用解析式表示，其关系式中包含一个或多个未知变量时，就可以称之为隐函数。

对于隐函数的导数计算，我们可以使用隐式函数求导法。

为了说明隐函数的导数计算方法，假设有一个方程：F(x, y) = 0，其中y是x的一个函数。

我们可以应用链式法则来推导出隐函数的导数。

首先，对方程两边求导：dF(x, y)/dx = d(0)/dx由于y是x的一个函数，我们可以将dF(x, y)/dx表示为dF/dx +dF/dy * dy/dx，其中dy/dx表示隐函数的导数。

根据等式：dF(x, y)/dx = d(0)/dx我们可以得到：dF/dx + dF/dy * dy/dx = 0从中解出dy/dx，即隐函数的导数。

举例说明：对于方程x^2 + y^2 - 1 = 0，我们希望计算出该方程所隐含的函数y关于x的导数。

首先，对方程两边求导：2x + 2y * dy/dx = 0从中解出dy/dx，即可得到隐函数的导数：dy/dx = -x/y二、反函数的导数计算反函数指的是一个函数与其逆函数之间的关系。

如果函数f和g满足条件f(g(x)) = x，那么函数g就是函数f的反函数。

对于反函数的导数计算，我们可以通过一个定理来得到结论。

设有函数f与其反函数g，如果f在某一点a处可导且f'(a) ≠ 0，那么g在点b=f(a)处可导，并且g'(b) = 1/f'(a)。

举例说明：对于函数f(x) = 2x + 3与其反函数g(x) = (x - 3)/2，我们希望计算出反函数g的导数。

首先，计算函数f在某一点a处的导数：f'(a) = 2根据定理，反函数g在点b=f(a)处可导，并且其导数为g'(b) = 1/f'(a)，即：g'(b) = 1/2根据反函数的定义和导数的计算方法，可以得到g(x)的导数为：g'(x) = 1/2结论：隐函数的导数可以通过隐式函数求导法计算，使用链式法则进行推导；反函数的导数可以通过定理得到，即g'(b) = 1/f'(a)。