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多元微积分学摘要：1.多元微积分学的基本概念2.多元函数的极限与连续3.偏导数4.全微分5.多元函数的泰勒公式6.隐函数定理与微分中值定理7.多元函数的极值与最值问题8.多元函数的曲线拟合与参数估计9.多元微积分学的应用正文：一、多元微积分学的基本概念多元微积分学是微积分学的一个重要分支，主要研究多元函数的极限、连续、微分、积分等性质。
在多元微积分学中，我们通常考虑两个或两个以上的变量，例如x, y, z 等。
多元微积分学的基本概念包括多元函数、多元函数的极限与连续、偏导数、全微分等。
二、多元函数的极限与连续在多元函数中，我们需要研究函数在某一点的极限与连续性。
多元函数的极限定义为函数在某一点的邻域内的函数值趋于某一值的趋势。
而连续性则表示函数在某一点的左右极限存在且相等。
三、偏导数偏导数是多元函数微分学的基础概念，用于研究多元函数在某一点的变化率。
偏导数可分为一阶偏导数和二阶偏导数。
一阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的变化率，而二阶偏导数表示函数在某一点的沿某一方向的曲率。
四、全微分全微分是多元函数微分学的另一个重要概念，用于研究多元函数在某一点的整体变化率。
全微分可以用于求解多元函数的泰勒公式，以及多元函数在某一点的隐函数定理与微分中值定理。
五、多元函数的泰勒公式多元函数的泰勒公式是多元微积分学中的一种重要公式，用于表示多元函数在某一点的近似值。
泰勒公式可以将多元函数展开为一个无穷级数，从而便于研究函数的性质。
六、隐函数定理与微分中值定理隐函数定理是多元微积分学中的一个重要定理，用于研究多元函数的隐函数。
微分中值定理则表示多元函数在某一点的平均变化率等于函数在该区间内某一点处的瞬时变化率。
七、多元函数的极值与最值问题多元函数的极值与最值问题是多元微积分学中的一个重要问题，研究如何求解多元函数在某一区域内的最大值与最小值。
这个问题可以通过求解多元函数的偏导数方程组来解决。
八、多元函数的曲线拟合与参数估计多元函数的曲线拟合与参数估计是多元微积分学中的一个重要应用，用于研究如何用多元函数来表示一组数据。
多元函数微积分知识点多元函数微积分是微积分学中的一个重要分支，主要研究有多个自变量的函数的导数、偏导数、微分、积分等问题。
它是单变量函数微积分的拓展与推广，涉及涉及多元函数的极限、连续性、可微性、可导性、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等内容。
本文将从多元函数的定义与性质、偏导数与全微分、多元复合函数的求导、隐函数的求导、多重积分等几个方面介绍多元函数微积分的知识点。
1.多元函数的定义与性质多元函数是指有多个自变量的函数，一般形式为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn是自变量，f是因变量。
多元函数的定义域是自变量可能取值的集合。
在多元函数中，可以分别将每个自变量视为其他自变量的常数，对应单变量函数的概念。
多元函数的性质包括定义域、值域、可视化、极值等。
2.偏导数与全微分偏导数是多元函数在其中一变量上的导数，其他变量视为常数。
偏导数的计算与单变量函数的导数计算类似，可以通过极限或者求偏导数的定义计算。
全微分是多元函数在特定点的一个线性逼近，可以用于计算函数值的近似值。
全微分的表示为df = (∂f/∂x1)dx1 + (∂f/∂x2)dx2 + ... + (∂f/∂xn)dxn，其中∂f/∂xi表示对变量xi的偏导数。
3.多元复合函数的求导多元复合函数是指多个函数通过复合而成的函数，其中一个函数的导数是另一个函数的自变量。
类似于链式法则，多元复合函数的求导需要使用偏导数和全导数的概念。
对于函数z = f(g(x, y)),链式法则可以表示为dz = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy = (∂f/∂g)(dg/dx)dx +(∂f/∂g)(dg/dy)dy。
4.隐函数的求导5.多重积分多重积分是多元函数的积分形式，与单变量函数的定积分类似。
多重积分有二重积分、三重积分等，分别对应二元函数、三元函数等的积分。
多重积分可以用于计算函数在区域内的面积、体积等。
多元函数微积分学总结多元函数微积分学是微积分学的一个重要分支，研究多个变量之间的关系以及对这些变量的变化进行分析和计算。
本文将对多元函数微积分学的主要内容进行总结，并介绍常见的方法和技巧。
一、空间坐标系和极坐标系在多元函数微积分学中，我们通常使用空间坐标系和极坐标系来描述多维空间中的点和曲线。
空间坐标系是由三个相互垂直的坐标轴x、y、z组成，用来表示三维空间中的点。
我们可以通过向量运算、平面的方程等方式来研究空间中的曲线、曲面以及相关的计算方法。
极坐标系是在平面上建立的坐标系，由极径r和极角θ组成。
极坐标系可以用来描述平面上的点和曲线，通过坐标变换的方法可以与空间坐标系进行转换。
二、多元函数的极限和连续性多元函数的极限和连续性是多元函数微积分学的基础概念。
类似于一元函数的极限和连续性，多元函数的极限和连续性也可以通过定义、性质等方式进行研究和计算。
对于多元函数的极限，我们需要考虑函数在不同方向上的极限以及函数在某点处的极限。
通过使用极限的定义和极限运算法则，我们可以判断多元函数在某点处的极限是否存在，并进行具体的计算。
多元函数的连续性与一元函数的连续性类似，即函数在某点附近的函数值和极限值之间存在一个足够小的常数δ，使得当自变量的取值在这个常数范围内时，函数值的变化足够小。
通过使用连续函数的定义和连续性的性质，我们可以判断多元函数在某点处是否连续，并进行具体的计算。
三、多元函数的偏导数和全微分多元函数的偏导数和全微分是研究多元函数变化的重要工具，在微积分学中有着广泛的应用。
对于多元函数的偏导数，我们可以通过定义和偏导数的性质来进行计算。
偏导数可以表示函数在某个方向上的变化率，它在多个方向上的值决定了函数的变化趋势和比例。
通过计算偏导数和一阶偏导数的矩阵，我们可以得到多元函数的梯度，进而进行更复杂的分析和计算。
多元函数的全微分则广义地描述了函数在某一点附近的变化情况。
全微分可以通过偏导数和偏导数向量的运算来进行计算，并可以表示函数值的一个线性近似。
多元函数的微积分多元函数的微积分是微积分学中的一个重要分支，它研究的是多个变量之间的关系。
与一元函数的微积分不同，多元函数的微积分需要考虑多个自变量对因变量的影响，因此在计算过程中需要运用到一系列的技巧和方法。
在多元函数的微积分中，我们首先要了解的是偏导数的概念。
偏导数是指在多元函数中，对于其中一个自变量求导时，将其他自变量视为常数进行求导。
通过偏导数，我们可以得到函数在某个点上关于某个自变量的变化率。
在计算偏导数时，我们可以通过使用极限的概念，将多元函数转化为一元函数进行求导。
除了偏导数，多元函数的微积分还涉及到多元函数的极值问题。
在一元函数的微积分中，我们可以通过求导来判断函数在某个点上的极值，而在多元函数中，我们需要使用偏导数来进行判断。
具体而言，我们可以通过计算函数的偏导数，并令其等于零，来求解函数的临界点。
通过判断二阶偏导数的正负，我们可以得到函数在临界点上的极值情况。
多元函数的微积分还涉及到多元积分的计算。
多元积分是对多元函数在一个区域上的求和或求平均的操作。
与一元函数的定积分类似，多元积分需要将函数分割成无穷小的小块，并对每个小块进行求和。
在多元积分中，我们可以使用重积分或累次积分的方法进行计算。
除了上述基本概念和技巧外，多元函数的微积分还涉及到一些高级的内容，如隐函数求导、参数方程求导、向量微积分等。
这些内容在工程、物理、经济等领域中都有广泛的应用。
总结起来，多元函数的微积分是研究多个变量之间的关系的数学工具，它包括了偏导数、极值问题和多元积分等内容。
通过学习多元函数的微积分，我们可以更深入地理解多元函数的性质，并应用于实际问题的求解中。
多元函数的微积分在现代科学和工程领域中具有重要的地位，它为我们研究和解决复杂的问题提供了强有力的工具。
第六章 多元函数微积分学§6.1空间解析几何习题 6-11.在空间直角坐标系中，指出下列各点所在的卦限:(2,2,3);(6,2,4);(1,5,3);(3,2,4);A B C D ------ (4,3,2);(2,3,1);(3,3,5);(1,2,3).E F G H ------2.写出坐标面上和坐标轴上的点的坐标的特征，并指出下列各点的位置:(2,0,3);(0,2,4);(0,0,3);(0,2,0);A B C D ---3.求点(,,)M a b c 关于(1)各坐标面;(2)各坐标轴;(3)坐标原点的对称点的坐标.4.求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程.5.求与原点和0(2,3,4)M 的距离之比为1:2的点的全体所构成的曲面的方程，它表示怎样的曲面？6. 指出下列方程组所表示的曲面222(1)4x y z ++=；7.指出下列方程组所表示的曲线:22225(1)3x y z x ⎧++=⎨=⎩； 22(2)20x y z +-=； 22(3)0x y -=； 22(4)0x y +=；22(5)1916x y +=；22(6)125yx -=；(7)0y -=；2(8)430y y -+=；2(9)4x y =； 222(10)0z x y --=.§6.2 多元函数的基本概念习题 6-21.设22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求(,)f x y .2.已知函数(,,)w u v f u v w u w +=+，试求(,,)f x y x y xy -+.3.求下列各函数的定义域:2(1)ln(21)z y x =-+; (2)z =22(3)z =;(4)z =; (5)ln()z y x =-;(6)u =4.求下列各极限:10(1)y x y →→(,)(0,0)(2)lim x y →; 22()(3)lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+; 222200(4)lim x y x y x y →→+; 00(5)x y →→;222222001cos()(6)lim ()x y x y x y x y e →→-++. 5.证明下列极限不存在:2222(,)(0,0)2(1)lim 32x y x y x y →-+; 100(2)lim(1)x yx y xy +→→+; (,)(0,0)(3)lim x y →6.研究下列函数的连续性:222(1)(,)2y x f x y y x+=-; 22(2)(,)ln()f x y xy x y =+.7.设22122,0,(,)10,0,x x ye x y f x y y e x y ⎧⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩任意任意，讨论(,)f x y 在(0,0)处的连续性. §6.3 偏 导 数习题6-31.求下列函数的偏导数:3223(1)3z x y x y xy =+-; 22(2)x y z xy+=; (3)z =sin (4)y z x =; (5)(1)y z xy =+; (6)(cos sin )x z e y x y =+; 2(7)sin()cos ()z xy xy =+; (8)ln tanx z y=; 222(9)sin()u x y z =++; (10)zx u y ⎛⎫= ⎪⎝⎭.2.设11x y z e⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，证明222z z xy z x y∂∂+=∂∂. 3.设(,)(f x y x y =+-(,1)x f x . 4.设2((,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，求(0,0)x f '，(0,0)y f '. 5.曲线2244x y z y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线与x 轴正向所成的倾角是多少？6.求下列函数的22z x∂∂，22zy ∂∂和2z x y ∂∂∂: (1)ln()z x x y =+; 2(2)xy z x ye =; (3)x z y =.7.设222(,,)f x y z xy yz zx =++，求(0,0,1)xx f ，(1,0,2)xz f ，(0,1,0)yz f -及(2,0,1)zzx f .8.设2()3y z xy x ϕ=+，其中函数()u ϕ可导，证明22z zx y xy x y ∂∂+=∂∂. 9.设ln()z x xy =，求32z x y ∂∂∂及32zx y∂∂∂. §6.4 全微分及其应用习题6-41.求下列函数的全微分:2(1)3xz x yy=+; (2)sin(cos )z x y =; (3)z =(4)yzu x =.2.求函数22ln(2)z x y =++在2,1x y ==时的全微分.3.设(,,)f x y z =d (1,1,1)f . 4.求函数yz x=在2,1,0.1,0.2x y x y ==∆=∆=-时的全增量z ∆和全微分d z . 5.求下列函数在各点的线性化.22(1)(,)1,(1,1)f x y x y =++; (2)(,)cos ,(0,2)x f x y e y π=.6.的近似值.7. 计算 2.98(1.007)的近似值.8.已知边长为6x =m 与8y =m 的矩形，如果x 边增加2cm ，而y 边减少5cm ，问这个矩形的对角线的近似值怎样变化？9.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长5m ，宽4m ,高3m ，厚20cm ，求所需材料的近似值与精确值.10.由欧姆定律，电流I ，电压V 及电阻R 有关系VR I=.若测得110V V =，测量的最大绝对误差为2V ，测得20A I =，测量的最大绝对误差为0.5A .问由此计算所得到的的最大绝对误差和最大相对误差是多少？§6.5 复合函数微分法习题6-51.设y z x =，而tx e =，21t y e =-，求d d z t. 2.设2x y z e -=，而sin x t =，3y t =，求d d zt.3.设2ln z u v =，而x u y =，32v x y =-，求z x∂∂，z y ∂∂. 4.设22()xy z x y =+，求z x ∂∂，z y∂∂. 5.设arctan()z xy =，x y e =，求d d z t. 6.求下列函数的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）:22(1)(,)u f x y xy =-; (2),x y u f y z ⎛⎫= ⎪⎝⎭; (3)(,,)u f x xy xyz =.7.设22()y z f x y =-，其中f 为可导函数，验证211z z zx x y y y∂∂+=∂∂. 8.设函数222(,)u f x y z x y z =++++，其中f 具有二阶连续偏导数，求222222u u uu x y z∂∂∂∆=++∂∂∂.9.设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y ∂∂∂. 10.求下列函数的22zx∂∂，2z x y ∂∂∂，22z y ∂∂（其中f 具有二阶连续偏导数）. (1)(,)u f xy y =; 2(2),y u f x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.11.设(,)z f x y =二次可微，且cos u x e v =，sin u y e v =，试证:222222222u z z z z e x y u v -⎛⎫∂∂∂∂+=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭. 12.设()()u x x y y x y ϕφ=+++，其中函数,ϕφ具有二阶连续导数，验证:2222220u u ux x y y ∂∂∂-+=∂∂∂∂. §6.6 隐函数微分法习题7-61.已知arctany x =，求d d y x. 2.设20x y z ++-=,求z x ∂∂，zy∂∂. 3.设函数(,)z x y 由方程,0z z F x y y x ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，证明z zxy z xy x y∂∂+=-∂∂. 4.设222z x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，其中f 可导，求z x ∂∂，zy ∂∂.5.设(,)u v Φ具有连续偏导数，证明由方程(,)0cx az cy bz Φ--=所确定的隐函数(,)z f x y =满足z zab c x y∂∂+=∂∂. 6.设320z xz y -+=，求22z x∂∂，22zy ∂∂.7.设5431z xz yz -+=，求2(0,0)zx y∂∂∂.8.设22201x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩，求d d x z ，d d yz . 9.设22300x y z z x y z z ⎧+++=⎨+++=⎩，求d d z x ，d d y x . 10.设sin cos u ux e u v y e u v⎧=-⎨=-⎩，求u x ∂∂，v x ∂∂，u y ∂∂，v y ∂∂. 11.设x yexy +=，证明:222223d [(1)(1)]d (1)y y x y x x y -+-=--.§6.7 多元函数的极值及其求法习题6-71.求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.2.求函数22222(,)()2()f x y x y x y =+--的极值.3.求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值.4.求函数(,)sin cos cos(),0,2f x y x y x y x y π=++-≤≤的极值.5.求由方程222224100x y z x y z ++-+--=确定的函数(,)z f x y =的极值.6.欲围一个面积为602m 的矩形场地，正面所用材料每米造价10元，其余三面每米造价5元，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？7.将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才能使圆柱体的体积最大？8.抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长与最短距离.9.某工厂生产两种产品A 与B ，出售单价分别为10元与9元，生产x 单位的产品A与生产y 单位的产品B 的总费用是22400230.01(33)x y x xy y +++++（元）.求取得最大利润时两种产品的产量.10.为了测定刀具的磨损速度，按每隔一小时测量一次刀具厚变的方式，得如下表所示的实测数据试根据这组实测数据，建立变量y 和t 之间的经验公式()y f t =.§6.8 二重积分的概念与性质习题6-81.设1221(),D I x y d σ=+⎰⎰其中}{1(,)11,22,D x y x y =-≤≤-≤≤又2222(),D I x y d σ=+⎰⎰}{1(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤；试用二重积分几何意义说明1I 与2I 的关系．2.利用二重积分定义证明：(1) Dd σσ=⎰⎰（σ为区域D 的面积）； (2)(,)(,)DDkf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰（其中k 为常数）； (3)12(,)(,)(,)DD D f x y d f x y d f x y d σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰（12D D D =⋃，12,D D为两个无公共内点的闭区域）．3.根据二重积分性质比较下列积分大小： (1) 2()Dx y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域是由x 轴，y 轴与直线1x y +=所围成； (2)2()D x y d σ+⎰⎰与3()Dx y d σ+⎰⎰，其中积分区域是由圆周22(2)(1)2x y -+-=所围成； (3)()Dln x y d σ+⎰⎰和3()Dln x y d σ+⎰⎰，其中}{(,)D x y x y e =+≥. 4.利用二重积分的性质估计下列积分的值：(1)()DI xy x y d σ=+⎰⎰，其中}{(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤；(2)22sin sin DI x yd σ=⎰⎰，其中}{(,)0,0D x y x y ππ=≤≤≤≤； (3)(1)DI x y d σ=++⎰⎰，其中}{(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤；(4)22(49)DI xy d σ=++⎰⎰,其中}{22(,)4D x y x y =+≤.§6.9 二重积分的计算(一)习题6-91.计算下列二重积分：(1) 22()Dx y d σ+⎰⎰，其中:1,1D x y ≤≤；(2)(32)D x y d σ+⎰⎰,其中区域D 由坐标轴以及2x y +=围成；(3) 323(3)Dx x y y d σ++⎰⎰,其中D ：01,01x y ≤≤≤≤；(4) cos()Dx x y d σ+⎰⎰其中D 是顶点分别为(0,0)，(,0)π和(,)ππ的三角区域.2.画出积分区域并计算二重积分：(1)Dσ⎰⎰，其中D是由2,y x y ==(2) 2Dxy d σ⎰⎰,其中D 是圆周224x y +=及y 轴所围成的右半闭区域；(3) 22()Dx y d σ-⎰⎰，其中D ：0sin ,02y x x π≤≤≤≤(4) x y De d σ+⎰⎰,其中D :1x y +≤;(5) 22()Dx y x d σ+-⎰⎰,其中D 是由2,y y x ==及2y x =所围成的闭区域；(6) sin Dx d x σ⎰⎰，其中D 由,,22xy x y x ===所围成； (7) 1Dxd y σ+⎰⎰,其中D 由21,2,0y x y x x =+==围成； (8) 22Dx d yσ⎰⎰,其中D 由22,1,2xy y x x ==+=围成；(9) 226Dx y dxdy ⎰⎰， 其中D 由2,,2y x y x y x ==-=-围成的在x 轴上方的区域.3.改变下列二次积分的次序：(1) 1(,)ydy f x y dx ⎰⎰；(2) 2220(,)yydy f x y dx ⎰⎰；(3)1(,)dy f x y dx ⎰；(4) 212(,)xdx f x y dy -⎰；(5) ln 1(,)exdx f x y dy ⎰⎰；(6)sin 0sin2(,)xx dx f x y dy π-⎰⎰；(7)12201()()xxdx f x dy dx f x dy -+⎰⎰⎰⎰.4.证明：211(,)()()yx dy f x y dx e e f x dx =-⎰⎰.5.如果二重积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰的被积函数(,)f x y 是两个函数1()f x 及2()f y 的乘积，即12(,)()()f x y f x f y =⋅，积分区域{}(,),D x y a x b c y d =≤≤≤≤，证明此二重积分恰为两个单积分的乘积：1212()()()()b da c Df x f y dxdy f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.6.设(,)f x y 在D 上连续，其中D 是由直线,,()y x y a x b b a ===>围成的区域，证明：(,)(,)bxbbaaaydx f x y dy dy f x y dx =⎰⎰⎰⎰.7.设()f x 在[]0,1上连续，并且10()f x dx A =⎰，求11()()xdx f x f y dy ⎰⎰.8.用二重积分表示由曲面220,1,1z x y z x y =++=+=所围成的立体体积. 9.计算由四个平面0,0,1x y x y ==+=所围成的柱面被平面0z =及抛物面226x y z +=-所截得的立体体积.10.求由曲面22222,62z x y z x y =+=--围成的立体体积.§6.10 二重积分的计算（二）习题 6-101.把(,)Df x y dxdy ⎰⎰化为极坐标形式的二次积分，其中积分区域D 为:(1)222(0)x y a a +≤>； (2)2222(0)a x y b a b ≤+≤<<；(3)222x y x +≤； (4)01,01y x x ≤≤-≤≤.2.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分：(1)11(,)dx f x y dy ⎰⎰； (2)20(,)xdx f x y dy ⎰；(3)11(,)xdx f x y dy -⎰； (4) 21(,)x dx f x y dy ⎰⎰.3.化下列积分为极坐标形式并计算积分值：(1)22200)adx x y dy +⎰； (2) 211222()xxdx x y dy -+⎰⎰；(3)220)ady x y dx +⎰.4. 计算下列二重积分：(1) 22x y Ded σ+⎰⎰,其中D 是由224x y +=所围成的闭区域；(2) 22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰,其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) arctanDyd xσ⎰⎰,其中D 是由22224,1x y x y +=+=及直线0,y y x ==所围成的在第一象限内的闭区域；(4)Dσ，其中D 是由x a =,y x a =+,y a =,3y a =及x 轴围成；(5)22()x y x yx y dxdy +≤++⎰⎰.5.选用适当坐标计算下列各题：(1)22Dx d yσ⎰⎰,其中D 是由2,,1x y x xy ===所围成的闭区域； (2)Dσ,其中D 是由圆周221x y +=及坐标轴围成的在第一象限的闭区域；(3) 22()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由直线,,3(0)y x y x a y a a ==+=>所围成的闭区域；(4)Dσ，其中D 是由圆环形闭区域：2222a x y b ≤+≤；(5) ()Dx y d σ+⎰⎰，其中D ：2220x y ax +-≤；(6) ()Dx y d σ+⎰⎰,其中D 是由22,4,12y x x y x y =+=+=所围成的区域.6.进行适当变量代换，化二重积分()Df xy dxdy ⎰⎰为单积分，其中D 为由曲线1,2,,4(0,0)xy xy y x y x x y ====>>所围成的闭区域.7.做适当变量代换证明等式：11()()Df x y dxdy f u du -+=⎰⎰⎰，其中闭区域D ：1x y +≤.总习题六1.求函数(0)z a =>的定义域. 2.求下列极限:21(1)lim 1x x yx y x +→∞→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; 22(2)limx y x yx xy y →∞→∞+-+.3.试判断极限24200lim x y x yx y →→+是否存在. 4.讨论二元函数1()cos ,0(,)0,0x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)处的连续性. 5.求下列函数的偏导数:20(1)d xyt z e t -=⎰; (2)arctan()z u x y =-.6.设r =2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂.7.求函数u =的全微分.8.求(,,)y z x u x y z x y z =的全微分.9.设arctan22()yxz x y e-=+，求d z ，2zx y∂∂∂.10.设2222222,0(,)0,0x yx y f x y x yx y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩，求(,)x f x y 及(,)y f x y . 11.设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在点(0,0)处的可微性.12.设222222221()sin ,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩，问在点(0,0)处， (1)偏导数是否存在？ (2)偏导数是否连续？(3)是否可微？说明理由.13.设2()1ax e y z u a -=+，sin y a x =，cos z x =，求d d yx.14.设()z xy xF u =+，而yu x=，()F u 为可导函数，证明z z x y z xy x y ∂∂+=+∂∂. 15.设(,,)z f u x y =，yu xe =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求2zx y∂∂∂. 16.设()x yu x y x y+=≠-，求m n m n z x y +∂∂∂（m ，n 为自然数）.17.设(,)z z x y =为由方程xyz =z x ∂∂和z y∂∂. 18.设方程,0x y F z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定了函数(,)z z x y =，求z x ∂∂，z y ∂∂.19.设z 为由方程(,)0f x y y z ++=所确定的函数，求d z ，22zx ∂∂.20.设333z xyz a -=，求2zx y∂∂∂. 21.设222222320z x y x y z ⎧=+⎨++=⎩，求d d y x ，d d zx . 22.求函数3322(,)ln(1)1154x y f x y x y =+++--的极值.23.将正数a 分成三个正数,,x y z ，使m n p f x y z =最大，其中,,m n p 均为已知数.24.某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为1p 和2p ，销售量分别为1q 和2q ，需求函数分别为11240.2q p =-和22100.05q p =-，总成本函数为123540()C q q =++.试问:厂家如何确定商品在两个市场的售价，才能使获得的总利润最大？最大总利润为多少？25.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种产品的广告.根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间的关系有如下的经验公式:221212121514328210R x x x x x x =++---.(1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略; (2) 若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略.26.计算二重积分：(1)(1)sin Dx yd σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为(0,0),(1,0),(1,2)和()0,1的梯形闭区域；(2)22()Dx y d σ-⎰⎰，其中{}(,)0sin ,0D x y y x x π=≤≤≤≤；(3),Dσ其中D 是圆周22x y Rx +=所围成的闭区域；(4)2(369)Dy x y d σ+-+⎰⎰,其中{}222(,)D x y x y R =+≤. 27.交换二次积分的次序：(1)()1440(,)y dy f x y dx -⎰⎰；(2)110(,)dx f x y dy ⎰；(3)123301(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰.28.证明：()()0()()()ay am a x m a x dy e f x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰；29.把积分(,)Df x y dxdy ⎰⎰表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区域{}(,)1,11D x y x y x =≤≤-≤≤.30.计算二重积分：(1)22D x d yσ⎰⎰，其中D 是由2xy =，21y x =+和2x =所围成的闭区域； (2)226Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由y x =，y x =-和22y x =-所围成的在x 轴上方的闭区域；(3)3Dy d xσ⎰⎰，其中D：221,0x y y +≤≤≤(4)Dσ⎰⎰,其中D 是由圆心在点(,)a a ，半径为a 且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的闭区域2222(5)(2sin 34).x y a I x x y dxdy +≤=+++⎰⎰31.交换二次积分的次序：(1)2sin(,)xdx f x y dy π⎰⎰； (2)20(,)(0)adx f x y dy a >⎰；. 32.证明： ()()0()()()ayam a x m a x dy ef x dx a x e f x dx --=-⎰⎰⎰.33.证明：221()()()()1b x b n n aaa dx x y f y dyb y f y dy n ---=--⎰⎰⎰. 34.证明：()201()()()2xvux f t dt du dv x t f t dt ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.35. 计算 22[1()]DI x yf x y dxdy =++⎰⎰，其中D 由31,1,x y y x ===围成，f 是连续函数.。
