《数学分析》多元函数微分学

《数学分析》多元函数微分学多元函数微分学是数学分析的重要分支之一，研究的对象是多元函数。

在微积分领域，一元函数的微分学研究的是一元函数的导数及其应用，而多元函数微分学则研究的是多元函数的偏导数、全微分、方向导数等。

在多元函数微分学中，最基本的概念是偏导数。

对于一个多元函数，其偏导数就是固定其它变量，只对一个变量求导。

偏导数描述了函数在其中一方向上的变化率。

一元函数的导数可以理解为函数在一条直线上的变化率，而偏导数可以理解为函数在一个坐标轴上的变化率。

在多元函数微分学中，我们也可以定义高阶偏导数。

高阶偏导数描述了多元函数的曲率和变化率的变化。

高阶偏导数可以通过迭代地对偏导数求导得到。

除了偏导数以外，多元函数微分学还研究了全微分。

全微分是函数在其中一点的微小增量与自变量的增量之间的线性关系。

全微分可以用来近似表示函数的改变。

多元函数微分学还研究了方向导数。

方向导数是函数在其中一点沿着其中一方向的变化率。

方向导数可以用来描述函数在一些方向上的变化速率，其计算方法与偏导数类似。

在多元函数微分学中，还有许多重要的定理和应用。

例如，拉格朗日中值定理可以描述函数在一些区间上的变化率与端点的关系；极值定理可以帮助我们找到函数的最大值和最小值；隐函数定理可以帮助我们求解由方程组确定的隐函数。

多元函数微分学在各个科学领域具有广泛的应用。

在物理学中，多元函数微分学可以帮助我们描述物体运动的速度和加速度；在经济学中，多元函数微分学可以帮助我们描述生产函数和边际效益；在工程学中，多元函数微分学可以帮助我们分析电路、流体力学等问题。

总之，多元函数微分学是数学分析的重要分支，研究的是多元函数的偏导数、全微分、方向导数等。

多元函数微分学具有广泛的应用，是许多科学领域的基础。

《数学分析》多元函数微分学数学分析是数学中的一个重要分支，它主要研究的是函数的变化规律。

在数学分析中，多元函数微分学是一个重要的内容，它研究的是多元函数在其中一点的微分性质。

本文将介绍多元函数微分学的基本概念和定理，以及一些相关的应用。

一、多元函数的定义在数学中，多元函数是指定义在多维空间中的函数。

通常情况下，多元函数可以用一个或多个自变量来描述，例如二元函数可以写成f(x,y)，三元函数可以写成f(x,y,z)等。

多元函数在数学分析中有着重要的应用，因此多元函数微分学也是数学分析的重要内容之一二、偏导数的定义在多元函数微分学中，偏导数是一个重要的概念。

偏导数表示函数在其中一个方向上的变化率，可以通过对函数的自变量进行偏微分来得到。

偏导数的定义如下：对于一个具有多个自变量的函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其在点(a₁,a₂, ..., an)处关于第i个自变量的偏导数定义为：∂f/∂xi = lim(h→0) [f(a₁, ..., ai+h, ..., an) - f(a₁, ...,ai, ..., an)] / h其中偏导数表示在变量xi方向上的变化率，可以通过对xi进行微小改变来计算函数f的变化量。

三、偏导数的性质偏导数具有一些性质，其中最重要的是混合偏导数的性质。

对于一个具有多个自变量的函数f，它的混合偏导数可以通过对其各个自变量的偏导数进行求导得到。

混合偏导数的性质如下：∂/∂x(∂f/∂y)=∂/∂y(∂f/∂x)这个性质表明对于一个函数f，其混合偏导数与求导的顺序无关，这为我们在实际应用中提供了便利。

四、多元函数的微分多元函数的微分是多元函数微分学中的一个重要内容。

对于一个具有多个自变量的函数f，其在其中一点处的微分可以表示为：df = ∂f/∂x₁dx₁ + ∂f/∂x₂dx₂ + ... + ∂f/∂xn dxn其中dx₁, dx₂, ..., dxn表示自变量的微小变化量。

数学分析多元函数微分学数学分析是数学的一个基础学科，研究实数域上函数的性质、极限与连续性、刻划数学对象的一致变化规律以及相关的计算方法。

多元函数微分学是数学分析的重要分支，研究多元函数的导数、偏导数和微分，并为求解实际问题提供了强有力的工具。

多元函数是指依赖于多个自变量的函数，例如f(x,y)、g(x,y,z)等。

在多元函数微分学中，我们研究的对象不再是曲线或者平面上的函数，而是定义在空间中区域上的函数。

多元函数的导数是指函数在其中一点的变化率，而偏导数是多元函数沿着一些坐标轴方向的导数。

与一元函数的导数类似，我们可以通过极限的概念来定义多元函数的导数和偏导数。

为了简化计算，我们通常使用偏导数来求解多元函数的极值，这样的极值点被称为临界点。

多元函数的微分是指函数在其中一点的线性逼近，通过一阶偏导数来表示。

微分的概念在实际问题的应用中非常重要，例如物体的平衡条件、导弹的轨迹优化等。

微分可以帮助我们确定一些函数在给定点附近的性质，从而更好地理解和应用多元函数。

在多元函数微分学中，我们引入了梯度的概念，它是函数在其中一点处的方向导数最大的方向。

梯度不仅可以帮助我们理解函数的变化趋势，还可以应用于优化问题中，例如最小二乘法、无约束优化等。

除了导数、偏导数和微分，多元函数微分学还涉及到极限、连续性和泰勒展开等概念和定理。

多元函数的极限和连续性与一元函数类似，可以通过序列的方法来定义，并可以推广到多个变量的情况。

而泰勒展开则是将多元函数近似为一个多项式，从而简化计算和分析。

多元函数微分学不仅有着严密的理论基础，还有着广泛的应用。

在物理学、经济学、工程学等领域，许多实际问题都可以通过多元函数微分学的方法进行建模和求解。

例如机械结构的受力分析、经济学中的边际效用和边际成本分析等。

总之，多元函数微分学是数学分析的重要分支，研究多个自变量的函数的导数、偏导数和微分，并应用于实际问题的建模和求解中。

它不仅为我们理解数学对象的性质提供了重要的工具，还为现代科学和工程技术的发展做出了重要贡献。

Ch16 多元函数的极限与连续1．平面点集的一些概念(如邻域、聚点、开集、闭集等) ；R2上的完备性定理(柯西准则、闭区域套定理、聚点定理).2. 二元函数的定义域、几何意义.3．二元函数极限、累次极限，二元函数的连续性、闭区域上连续函数的性质.Ch17 多元函数微分学1．多元函数可微性与全微分的概念、几何意义，多元函数偏导数的概念、几何意义；2. 可微分的条件（函数连续、偏导存在、可微之间的关系）及验证；3．多元复合函数微分法(链式法则)、一阶微分形式的不变性、高阶偏导数及求法、方向导数与梯度；4. 二元函数的极值：无条件极值的求法（必要条件、充分条件）、条件极值及拉格朗日乘数法、闭区域上连续函数的最大、最小值的求法；Ch18 隐函数定理及其应用1．隐函数的概念、隐函数定理（条件、结论），隐函数的可微性定理及求导；2．隐函数组定理、由方程组确定的隐函数的导数（公式法、两边求导再解方程组法、一阶微分形式不变性法）；3．多元函数微分法的几何应用：空间曲线的切向量、切线和法平面，曲面的切平面、法线及法向量.Ch19 含参量的积分1. 含参量正常积分的概念，含参量正常积分的性质（连续性、可微性、可积性）及计算（求导、求积分）2．含参量反常积分的概念、一致收敛的概念与判别法（柯西准则、M判别法等）；3．含参量的无穷积分的性质（连续、可微、可积）、简单积分的计算；4．欧拉积分：Γ函数、B函数的定义、简单性质及计算；Ch20 曲线积分1. 第一型曲线积分的概念，性质与计算；2. 第一型曲线积分的应用：弧长、质量、质心；3. 第二型曲线积分的概念和计算、变力沿曲线作功；Ch21 重积分1．二重积分的概念、性质（包括对称性、轮换性）；2. 直角坐标系下二重积分的计算（x型、y型区域），用对称性简化计算；3. Green公式，用Green公式计算二重积分（闭曲线、非闭曲线，区域内有无奇异点），平面曲线积分与路径无关的四个等价条件及应用，求二元函数全微分表达式的原函数；4. 二重积分的变量变换、极坐标系下的二重积分计算（掌握定限方法）；5．三重积分的概念，直角坐标系下三重积分的计算（化为累次积分）；6. 用柱坐标、球坐标变换计算三重积分；7．重积分的应用：平面区域的面积，曲面的面积，立体的体积，物体的质量、质心；Ch22 曲面积分1、第一型曲面积分的概念与计算，曲面片的面积、质量、质心的计算；2、第二型曲面积分的概念，掌握第二型曲面积分的计算；3、高斯公式，用高斯公式计算第二型曲面积分（闭曲面和非闭曲面）；4. 斯托克斯公式，空间曲线积分与路径无关的四个等价条件及应用，求三元函数全微分表达式的原函数.试卷结构与题型1.考试采用闭卷笔试方法,考试时间150分钟,全卷满分100分。

第十七章 多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )一． 可微性与全微分：1． 可微性：由一元函数引入.))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.2． 全微分:例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1二. 偏导数:1. 偏导数的定义、记法:2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1.3. 求偏导数:例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 .例5 设 . 0, 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)sin cos (lim ),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f=)0,0(0)sin cos (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 200y y y yf y f y y →→=-= 不存在 .Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .三. 可微条件:1. 必要条件:Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微⇒) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆. (证)由于dy y dx x =∆=∆ , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例6 考查函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. [1]P 110 E5 .2. 充分条件:Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) [1]P 111 Th 3 若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点) , (00y x 可微.证 f y y x x f -∆+∆+) , (00) , (00y x[][]) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 0 1,0 ),() , (0000→<<∆+∆+∆∆+∆+=αθαθx x y x f y y y x x f x y []x x y x f y y x f x y ∆+∆+∆+=αβ),(),(0000 0→β y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=βα) , () , (0000.即f 在点) , (00y x 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例7 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 , 0, 0 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (可微, 但x f 和y f 在点) 0 , 0 (处不连续 . 证).0 , 0(),( , 01sin),(2222→→++=y x yx y x y x f ρ因此)(),(ρο=y x f ,即 )(00)0,0(),(ρο+∆+∆=-y x f y x f ,f 在点)0 , 0(可微,0)0,0( , 0)0,0(==y x f f . 但≠),(y x ) 0 , 0 (时, 有2222221cos1sin2),(yx y x x yx x y x f x ++-+=,沿方向,kx y = 2221||limlimkx xy x x x x +=+→→不存在, ⇒沿方向,kx y = 极限22221cos limyx y x x x ++→不存在; 又→),(y x ) 0 , 0 (时, 01sin222→+yx x ,因此,),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在, x f 在点) 0 , 0 (处不连续.由f 关于x 和y 对称,y f 也在点) 0 , 0 (处不连续 .四. 中值定理:Th 4 设函数f 在点) , (00y x 的某邻域内存在偏导数. 若),(y x 属于该邻域, 则存在)(010x x x -+=θξ和)(020y y y -+=θη, 10 , 1021<<<<θθ, 使得))( , ())( , (),(),(00000y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ. ( 证 ) 例8 设在区域D 内0==y x f f . 证明在D 内c x f ≡)(.五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1． 可微性的几何意义： 切平面的定义. [1]P 115.Th 5 曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 存在不平行于Z 轴的切平面的充要条件是函数),(y x f 在点),(000y x P 可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，则曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 处的切平面方程为 (其中),(000y x f z =)))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-， 法线方向数为()1 , ),( , ),( 0000-±y x f y x f y x ， 法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x . 例9试求抛物面 22by ax z +=在点),,(000z y x M 处的切平面方程和法线方程 .[1] P 115 E63.作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.例10 求96.308.1的近似值. [1] P 115 E7例11 应用公式C ab S sin 21=计算某三角形面积.现测得50.12=a , 30 , 30.8==C b . 若测量b a , 的误差为C , 01.0±的误差为1.0± . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. [1] P 116 E8 Ex [1]P 116—117 5—14 ；§ 2复合函数微分法 （ 5 时 ）简介二元复合函数 : ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P 327—328 . ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===;, ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=;, ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微, 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s ty yz tx xz tz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ( 证 ) [1] P 155称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P 156的例.对外m 元),,,(21m u u u f , 内n 元),,,(21n i k x x x u φ= ) , , 2 , 1(m k =, 有∑=∂∂∂∂=∂∂mk ikk i x u u f x f 1 ， n i , , 2 , 1 =. 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 y x v e u v u z y x +==+=+22 , , )ln(2. 求x z ∂∂和y z∂∂. [1] P 157 E1 例2 22uv v u z -=, y x v y x u sin , cos ==. 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例3 ())3(222y x yx z ++=, 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例4 设函数),,(w v u f 可微 . ),,(),,(xyz xy x f z y x F =. 求x F 、y F 和z F . 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :ⅰ> xx y = ; ⅱ> xx xx y cos sin ln )1(2++= . [1] P 158 E4例6 设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换θθsin , cos r y r x ==下 , 证明222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ. [1] P 157 E2 例7 设函数)(u f 可微 , )(22y x yf z -=. 求证xz yzxy x z y=∂∂+∂∂2. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8 )sin(y x e z xy+=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出x z ∂∂和yz∂∂. [1] P 160 E5Ex [1]P 160—161 1—5.三. 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法： 例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z∂∂∂. [1]P 167 E1 例10 xyarctgz =. 求二阶偏导数. [1]P 167 E2 2. 关于混合偏导数: [1]P 167—170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , [1]P 171例11 ) , (y xx f z =. 求22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. [1]P 171 E34. 验证或化简偏微分方程:例12 22ln y x z +=. 证明22x z ∂∂ + 22y z∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu y y u x变为极坐标形式. 解 xyarctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.r xy x x xr =+=∂∂22, r y y r =∂∂ , 2ry x -=∂∂θ ,2r x y =∂∂θ. θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ur y r u r x x u x r r u x u 2, θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r x r u r y y u y r r u y u 2; 因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂uu ry x u r y r u r xy u r x r u r xy x u y y u x 2222222 . 方程化简为0=∂∂θu. 例14 试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu y x u x u 化为02=∂∂∂ts u. 解tus u x t t u x s s u x u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ , t u b s u a y t t u y s s u y u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 22x u ∂∂=x∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt∂∂= =22s u∂∂+2t s u ∂∂∂2+22t u ∂∂.y x u ∂∂∂2=y∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt∂∂= =22s ua ∂∂+)(b a +t s u ∂∂∂2+b 22tu ∂∂.22y u ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22t u ∂∂. 因此 , =∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yuy x u x u)341(2a a ++=22s u ∂∂ + ()6442ab b a +++t s u ∂∂∂2 + )341(2b b ++22t u ∂∂. 令 03412=++a a , 1 , 31 , 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a 或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u 化简为02=∂∂∂t s u .Ex [1]P 183 1，2 .§3 方向导数和梯度 （ 3 时 ）一． 方向导数：1． 方向导数的定义：定义 设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义.l 为从点0P 出发的射线.),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点,以ρ表示P 与0P 两点间的距离.若极限 ρρρρfP f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在,则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数,记为P lf ∂∂或)(0P f l 、),,(000z y x f l .对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数. 易见,x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中ⅰ> l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; ⅱ> l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解 ⅰ> l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即)0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x .3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ,37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 ,.3137lim )()(lim 23000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f lft P ρρ ⅱ> 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的 射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 ,.1051059lim )()(lim 2000-=-=-=∂∂++→→tt t P f P f lft P ρρ2. 方向导数的计算:Th 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微, 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在, 且 =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦. ( 证 ) [1]P 163对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注：由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )(⋅αcos , βcos , γcos ),可见, )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影.例2 ( 上述例1 )解 ⅰ> l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31.)(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z .因此 ,l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+. ⅱ> l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 ,l f∂∂=10510321011-=⋅-⋅.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例3 [1]P 164 E2 .二. 梯度 ( 陡度 ):1. 梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf =()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见, 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算:ⅰ> grad =+)(c u grad u .ⅱ> grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .ⅲ> grad (u v ) = u grad v +v grad u .ⅳ> grad 2uvgradu ugradv u v -=. ⅴ> grad f (u ) = gradu u f )('.证ⅳ> 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv uy x y x []=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -.Ex [1]P 165 1，2 ，3 ，6 .§4 Taylor 公式和极值问题 （ 4 时 ）一． 中值定理： 凸区域 . Th 1 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续, 在D 的所有内点处可微. 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++. 证 令 , ) , ()(tk b th a f t ++=Φ.在闭凸区域上的情况: [1]P 173—174.推论 若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二. Taylor 公式:Th 2 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数, 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ 证 [1]P 175 例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.) 08.1 (96.3 [1]P 175—176 E4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 [1]P 176 E5Ex [1]P 183 5，6，7⑴⑷.2． 极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设0P 为函数)(P f 的极值点. 则当)(0P f x 和存在时,有)(0P f x =)(0P f y 0=. (证)函数的驻点、不可导点 ， 函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a . ⅰ> ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;ⅱ> ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .ⅲ> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式, 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;ⅱ> 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;ⅲ> 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;ⅳ> 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上, 有以下定理.Th 4 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数, 0P 是驻点. 则ⅰ> ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点; ⅱ> ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;ⅲ> ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;ⅳ> ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例3—7 [1]P 179—182 E6—10 .四． 函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解 令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f . 在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y , 2)1,0(=f ; 在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点;在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f ,驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=.Ex [1]P 184 8⑴⑵，9⑴⑵，10，11 .。

《数学分析》第四章多元函数微分学《数学分析》第四章多元函数微分学主要涉及多元函数的导数、偏导数、全微分以及极值等概念与性质。

多元函数微分学是微积分的一个重要分支，掌握了多元函数的微分学理论，将能够深入研究多元函数的性质、求解极值问题以及应用于物理、经济等领域。

第四章首先介绍了多元函数的导数。

多元函数的导数与一元函数类似，是函数在其中一点附近的变化率。

导数的定义也与一元函数的导数相似，但多元函数的导数是一个向量，称为梯度。

在多元函数中，梯度的方向是函数值增长最快的方向。

然后，第四章讨论了多元函数的偏导数。

偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数。

偏导数的计算方法与求一元函数导数的方法相似，只需将其他自变量视为常数。

多元函数的偏导数可以通过偏导数的存在性与连续性判断函数的可导性，并可应用于求函数在其中一点的切线方程、法向量等问题。

接着，第四章介绍了多元函数的全微分。

全微分是多元函数在其中一点附近的近似线性变化量，是多元函数的微分的推广。

全微分可以近似地表示函数在其中一点的微小变化。

全微分的计算方法与一元函数的微分类似，但需要考虑多个自变量的变化。

最后，第四章讨论了多元函数的极值。

多元函数的极值点与一元函数的极值点类似，是函数取得极大值或极小值的点。

通过求解多元函数的偏导数，可以得到函数的驻点。

通过求解偏导数的二阶导数，可以判断函数在驻点处的极值性，并应用于优化问题的求解。

在实际应用中，多元函数微分学可用于研究空间曲线的切线与法平面，解决最优化问题，研究约束条件下的极值问题等。

例如，在经济学中，多元函数微分学可用于分析生产函数的边际产出与边际成本，在物理学中，可用于研究位移、速度、加速度等物理量之间的关系。

总之，多元函数微分学是微积分领域中的一个重要分支，它深入研究了多元函数的导数、偏导数、全微分以及极值等概念与性质。

掌握了多元函数微分学理论，将能够深入研究多元函数的性质、解决最优化问题，并应用于实际问题中。

第十七章 多元函数微分学2复合函数微分法一、复合函数的求导法则定义1：设函数x=φ(s,t)与y=ψ(s,t)定义在st 平面的区域D 上，z=f(x,y)定义在xy 平面的区域D 1上，{(x,y)|x=φ(s,t),y=ψ(s,t), (s,t)∈D}⊂D 1， 则函数z=F(s,t)=f(φ(s,t),ψ(s,t)), (s,t)∈D 是以f 为外函数，φ,ψ为内函数的复合函数. 其中x,y 称为函数F 的中间变量，s,t 为F 的自变量.定理17.5：若函数x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)∈D 可微， z=f(x,y)在点(x,y)= (φ(s,t),ψ(s,t))可微，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))在点(s,t)可微，且它关于s 与t 的偏导数分别为：t)(s,sz ∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.证：∵x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微， ∴△x=s x ∂∂△s+t x ∂∂△t+α1△s+β1△t; △y=s y ∂∂△s+ty∂∂△t+α2△s+β2△t ， 其中当△s,△t →0时，α1,α2,β1,β2→0， 又由z=f(x,y)在点(x,y)可微，∴△z=xz ∂∂△x+y z∂∂△y+α△x+β△y ，其中当△x,△y →0时，α,β→0，补充定义：当△x=0,△y=0时, α=β=0，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆∆∂∂∆∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂∆t β+s α+t t y +s sy βy z t β+s α+t t x +s s x αx z =z 2211=t β+s αt t y y z + t x x z s s y y z s x x z ∆∆+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂+∆⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂，其中 α=x z ∂∂α1+y z ∂∂α2+s x ∂∂α+sy∂∂β+αα1+βα2,β=x z ∂∂β1+y z ∂∂β2+t x ∂∂α+ty∂∂β+αβ1+ββ2,由x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)可微知，x=φ(s,t),y=ψ(s,t)在点(s,t)都连续， 即当△s,△t →0时，△x △y →0时，从而α,α1,α2,β,β1,β2→0，于是， 当△s,△t →0时，α,β→0，即z=F(s,t)在(s,t)可微，从而得：(链式法则)t)(s,sz∂∂=t)(s,y )(x,sx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,sy y z ∂∂∂∂，t)(s,tz ∂∂=t)(s,y )(x,tx x z ∂∂∂∂+t)(s,y )(x,ty y z ∂∂∂∂.注：1、若只求复合函数f(φ(s,t),ψ(s,t))关于s 或t 的偏导数，则内函数只需具有关于s 或t 的偏导数，但对外函数f 的可微性假设不能省略.如：函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x yx 2222222，有f x (0,0)=f y (0,0)=0，但f 在(0,0)处不可微. 若以f(x,y)为外函数，x=t, y=t 为内函数，则得 以t 为自变量的复合函数z=F(t)=f(t,t)=2t , ∴dt dz =21, 这时用链式法则， 将得到错误的结果：0t tz=∂∂=0t (0,0)tx x z =∂∂∂∂+t (0,0)tx yz =∂∂∂∂=0·1+0·1=0.2、若f(u 1,…,u m )在点(u 1,…,u m )可微，u k =g k (x 1,…,x n ) (k=1,2,…,m)在点(x 1,…,x n )具有关于x i (i=1,2,…,n)的偏导数，则复合函数关于自变量x i的偏导数为：i x z∂∂=∑=∂∂∂∂m1k ik k x u u z (i=1,2,…,n).例1：设z=ln(u 2+v), 而u=2y x e +, v=x 2+y ，求x z ∂∂,yz ∂∂. 解：x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x v v z ∂∂∂∂=2y x 2e v u u 2+⋅++x 2v u 12⋅+=yx e x 2e 22y 22x y 22x 22+++++;y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂=2y x 2ye 2v u u 2+⋅++v u 12+=yx e 1ye 42y 22x y 22x 22+++++.例2：设u=u(x,y)可微，在极坐标变换x=rcos θ, y=rsin θ下，证明：2r u ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂. 解：∵r x ∂∂=cos θ, r y ∂∂=sin θ; θx ∂∂=-rsin θ, θy∂∂=rcos θ; 又 r u ∂∂=r x x u ∂∂∂∂+r y y u ∂∂∂∂=x u ∂∂cos θ+y u ∂∂sin θ;θu ∂∂=θy y u ∂∂∂∂+θx x u ∂∂∂∂=y u ∂∂rcos θ-xu ∂∂rsin θ;∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+y u x u ∂∂∂∂sin2θ; 22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂sin 2θ+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂cos 2θ-y u x u ∂∂∂∂sin2θ; ∴2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂.例3：设z=uv+sint, 其中u=e t ,v=cost, 求dtdz. 解法一：dt dz =dt du u z ∂∂+dt dv v z ∂∂+dtdt t z ∂∂=ve t -usint+cost=e t (cost-sint)+cost. 解法二：z=uv+sint=e t cost+sint ，∴dtdz=(e t cost+sint)’=e t (cost-sint)+cost.例4：用多元复合微分法计算下列一元函数的导数.(1)y=x x; (2)y=cosxsinx )lnxx (12++.解：(1)令y=u v , u=x, v=x ， 则dx dy =dx du u y ∂∂+dxdv v y ∂∂=vu v-1+u v lnu=x x (1+lnx). (2)令y=uvw, u=sinx+cosx, v=1+x 2, w=lnx ，则dx dy =dx du u y ∂∂+dx dv v y ∂∂+dx dw w y ∂∂=-2uvw (cosx-sinx)+u w ·2x+x 1u v =22cosx)(sinx )lnx x (1++(sinx-cosx)+ cosx sinx 2xlnx ++cosx )x (sinx x 12++.例5：设u=f(x,y,z), y=φ(x,t), t=ψ(x,z)都有一阶连续偏导数，求x u ∂∂,zu ∂∂. 解：∵u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴x u ∂∂=x f ∂∂+dx d φy f ∂∂+dxd ψdt d φy f ∂∂. 又u=f(x,y,z)=f(x,φ(x,ψ(x,z)),z); ∴z u ∂∂=dz d ψdt d φy f ∂∂+zf ∂∂.例6：设f(x,y)在R 2上可微，且满足方程y·f x (x,y)=x·f y (x,y). 证明：在极坐标中f 只是r 的函数，即θf∂∂=0. 证：设u=f(x,y), x=rcos θ, y=rsin θ，则有θf ∂∂=θx x f ∂∂∂∂+θyy f ∂∂∂∂=-f x (x,y)rsin θ+f y (x,y)rcos θ=-yf x (x,y)+x·f y (x,y)=0.二、复合函数的微分定义2：或以x 和y 为自变量的函数z=f(x,y)可微，则其全微分为： dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy. 如果x,y 作为中间变量又是自变量s,t 的可微函数：x=φ(s,t),y=ψ(s,t)，则复合函数z=f(φ(s,t),ψ(s,t))是可微的，其全微分为： dz=s z ∂∂ds+t z ∂∂dt= ⎝⎛∂∂∂∂s x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂s y y z ds+ ⎝⎛∂∂∂∂t x x z +⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂t y y z dt =⎝⎛∂∂∂∂ds s x x z +⎪⎭⎫∂∂dt t x + ⎝⎛∂∂∂∂ds s y y z +⎪⎭⎫∂∂dt t y , 又x,y 是(s,t)的可微函数，因此有：dx=s x ∂∂ds+t x ∂∂dt; dy=s y ∂∂ds+t y ∂∂dt ；∴dz=xz∂∂dx+y z ∂∂dy ，结果与非复合函数完全相同，即多元函数有一阶(全)微分形式不变性.例7：设z=e xy sin(x+y), 利用微分形式不变性求dz, 并导出xz∂∂与y z ∂∂. 解：令z=e u sinv, 即u=xy, v=x+y, 则dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=e u sinvdu+e u cosvdv. 又du=ydx+xdy, dv=dx+dy,∴dz=e xy sin(x+y)(ydx+xdy)+e xy cos(x+y)(dx+dy)=e xy [ysin(x+y)+cos(x+y)]dx+e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)]dy. 并可得：xz ∂∂=e xy[ysin(x+y)+cos(x+y)]；y z ∂∂=e xy [xsin(x+y)+cos(x+y)].习题1、求下列复合函数的偏导数或导数： (1)设z=arctan(xy), y=e x , 求dxdz；(2)设z=xy y x 22+exyy x 22+, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (3)设z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtdz；(4)设z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u z ∂∂,v z ∂∂；(5)设u=f(x+y,xy), 求x u ∂∂,y u ∂∂；(6)设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y ,y x , 求x u ∂∂,y u ∂∂,z u∂∂. 解：(1)dx dz =x z ∂∂+dx dy y z ∂∂=22yx 1y ++ 22y x 1x +e x =2x2xe x 1x )(1e ++. (2)令u=x yy x 22+, 则z=ue u ,∴x z ∂∂=x u du dz ∂∂=(1+u)e u (y 1-2x y )=232222yx )y x )(y xy (x -++e xyy x 22+；y z ∂∂=y u du dz ∂∂=(1+u)e u (x 1-2y x )=322222yx )x y )(y xy (x -++e xyy x 22+.(3)dt dz =dtdxx z ∂∂+ dt dy y z ∂∂=(2x+y)·2t+(x+2y)·1=2t(2t 2+t)+t 2+2t=4t 3+3t 2+2t.(4)u z ∂∂=u x x z ∂∂∂∂+u y y z ∂∂∂∂=2xlny·v 1+y x 2·3=2v 2u ln(3u-2v) +2v)-(3u v 3u 22； v z ∂∂=v x x z ∂∂∂∂+v y y z ∂∂∂∂=2xlny·⎪⎭⎫ ⎝⎛-2v u +y x2·(-2)=-32v 2u ln(3u-2v)-2v)-(3u v 2u 22.(5)∵du=f 1d(x+y)+f 2d(xy)=f 1dx+f 1dy+f 2ydx+f 2xdy=(f 1+yf 2)dx+(f 1+xf 2)dy ； ∴xu∂∂=f 1+yf 2；y u ∂∂=f 1+xf 2.(6)∵du=f 1d ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x +f 2d ⎪⎭⎫ ⎝⎛z y =211y x dy f -ydx f +222zydzf -zdy f =y f 1dx+(z f 2-21y xf )dy-22zyf dz ； ∴x u ∂∂=y f 1；y u ∂∂=z f 2-21y xf ；z u∂∂=-22zyf .2、设z=(x+y)xy , 求dz.解： 令u=x+y, v=xy ，则z=u v ，且du=dx+dy ，dv=ydx+xdy. ∴dz=u z ∂∂du+vz∂∂dv=vu v-1(dx+dy)+u v (ydx+xdy)lnv =xy(x+y)xy-1dx+xy(x+y)xy-1dy+y(x+y)xy (lnx+lny)dx+x(x+y)xy (lnx+lny)dy =[xy(x+y)xy-1+y(x+y)xy (lnx+lny)]dx+[xy(x+y)xy-1+x(x+y)xy (lnx+lny)]dy. 3、设z=)y -f(x y 22，其中f 为可微函数，验证：xz x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.证：令u=x 2-y 2, 则x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f x y 22'-; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=(u)f (u)f y 2f(u)22'+; ∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=(u)f (u)f y 22'-+(u)f (u)f y 2yf(u)2'+=(u)yf f(u)2=yf(u)1；又2y z =2y )f(u y=yf(u)1；∴x z x 1∂∂+y z y 1∂∂=2y z.4、设z=siny+f(sinx-siny), 其中f 为可微函数，证明：xz ∂∂secx+y z∂∂secy=1.证：令u=sinx-siny ，则x z ∂∂=xuu z ∂∂∂∂=f ’(u)cosx; y z ∂∂=y z ∂∂+y u u z ∂∂∂∂=[1-f ’(u)]cosy;∴xz ∂∂secx+y z∂∂secy=f ’(u)cosxsecx+[1-f ’(u)]cosysecy= f ’(u)+1-f ’(u)=1.5、设f(x,y)可微，证明：在坐标旋转变换x=ucos θ-vsin θ, y=usin θ+vcos θ之下(旋转角θ为常数)，(f x )2+(f y )2是一个形式不变量，即 若g(u,v)=f(ucos θ-vsin θ,usin θ+vcos θ)，则必有(f x )2+(f y )2=(g u )2+(g v )2. 证：g u =u x x f ∂∂∂∂+u y y f ∂∂∂∂=f x cos θ+f y sin θ；g v =v x x f ∂∂∂∂+vy y f ∂∂∂∂=-f x sin θ+f y cos θ； ∴(g u )2+(g v )2=(f x cos θ+f y sin θ)+(-f x sin θ+f y cos θ)2=(cos 2θ+sin 2θ)(f x )2+(sin 2θ+cos 2θ)(f y )2+2f x cos θ·f y sin θ-2f x sin θ·f y cos θ =(f x )2+(f y )2.6、设f(u)是可微函数，F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t). 试求：F x (0,0)与F t (0,0). 解：令u=x+2t, v=2x-2t ，则F u |(0,0)=f ’(0)；F v |(0,0)=f ’(0).又F x =x u u F ∂∂∂∂+x v v F ∂∂∂∂=F u +3 F v ; F t =t u u F ∂∂∂∂+tvv F ∂∂∂∂=2F u -2 F v ; ∴F x (0,0)=F u |(0,0)+ 3F v |(0,0)=4f ’(0)；F t (0,0)=2F u |(0,0)-2F v |(0,0)=0.7、若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0), 则称F(x,y,z)为k 次齐次函数. 试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数F(x,y,z)为k 次齐次函数的充要条件是：xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z).并证明：z=222yx xy +-xy 为2次齐次函数.证：(1)令a=tx,b=ty,c=tz.[必要性]由F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z), (t>0)，两边对t 求导得：t a a F ∂∂∂∂+t b b F ∂∂∂∂+tc c F ∂∂∂∂=kt k-1F(x,y,z)，即 xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kt k-1F(x,y,z)，令t=1，则有 xF x (x,y,z)+yF y (x,y,z)+zF z (x,y,z)=kF(x,y,z). [充分性]设f(x,y,z,t)=k t1F(tx,ty,tz), (t>0)，求f 关于t 的偏导数得 t f∂∂=1k t1+{[xF a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)]t-kF(a,b,c)}； ∵F a (a,b,c)+yF b (a,b,c)+zF c (a,b,c)=kF(a,b,c)，∴tf∂∂=0. 即f 与t 无关，只是x,y,z 的函数，可记g(x,y,z)=f(x,y,z,t)， ∴t k g(x,y,z)=F(tx,ty,tz), (t>0). 当t=1时，g(x,y,z)=F(x,y,z)， ∴F(tx,ty,tz)=t k F(x,y,z). (2)∵当t>0时，z(tx,ty)=2223y x t xy t +-t 2xy=t 2(222y x xy +-xy)=t 2z(x,y)；∴z(x,y)为2次齐次函数.8、设f(x,y,z)具有性质f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)，证明：(1)f(x,y,z)=x n f(1,kx y ,m xz)；(2)xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z). 证：(1)由f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z), 令t=x 1，则f(1,k x y ,m x z )=n x1f(x,y,z)，即有f(x,y,z)=x n f(1,k x y ,m xz).(2)令a=tx, b=t k y, c=t m z ，对f(tx,t k y,t m z)=t n f(x,y,z)两边关于t 求偏导数得： xf a (a,b,c)+yf b (a,b,c)+f c (a,b,c)=nt n-1f(x,y,z)，当t=1时，即有 xf x (x,y,z)+kyf y (x,y,z)+mzf z (x,y,z)=nf(x,y,z).9、设由行列式表示的函数D(t)=)t (a )t (a )t (a )t (a nn n11n 11⋯⋯⋯⋯⋯, 其中a ij (t) (i,j=1,2,…,n)的导数都存在. 证明：dt dD(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a . 证：记x ij =a ij (t) (i,j=1,2,…,n), f(x 11,x 12,…,x ij ,…,x nn )=nnn11n11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯.由行列式定义知f 为n 2元的可微函数且D(t)=f(a 11(t),…,a ij (t),…,a nn (t))，又由复合函数求导法则知D ’(t)=dt dx x f ij n1j ,i ij ∑=∂∂=∑=∂∂n 1j ,i ijx f a ’ij (t)，记nnn11n 11x x x x ⋯⋯⋯⋯⋯中x ij 的代数余子式为A ij ，则f(x 11,…,x ij ,…,x nn )=∑=n1j ,i ij ij A x .又ij x f ∂∂=A ij ，∴D ’(t)=∑∑==n 1i n1j ij (t)A a ’ij (t)，其中A ij (t)是将A ij 的元素x hl 换为a hl (t)后得到的n-1阶行列式，恰为行列式)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a nn n2n1in i2i11n 1211⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯中a ’ij (t)的代数余分式，于是知 D ’(t)=∑=⋯⋯⋯⋯⋯'⋯''⋯⋯⋯⋯⋯n1k nn n2n1k n k 2k 11n 1211)t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a )t (a .。