第一章 函数与极限习题课(08[1].12.5.)

第1章 函数与极限

V.同步练习

第1章 函数、极限与连续

1.1 函数及其性质

一、填空题

1.已知

2

5fxaxbx

且

183fxfxx

, 则a ；b ；

2.

cos21yx

的周期为 ；

3.

函数1

sin,0;

()

0,0.x

fxx

x













 的定义域为 ； 值域为 .

解答:1.

a 4 ;b -1

2. 周期为

；

3. 定义域为

,

; 值域为

1,1

;

二、 设

1,01,

()

2,12.x

fx

x









求函数)3(xf的定义域.

解 1, 01

(),

2, 12x

fx

x









1, 031

(3)

2, 132x

fx

x







1, 32

2, 21x

x









故函数)3(xf的定义域:].1,3[

三、已知函数322

3x

yfxm

xm







, 求它的反函数, 若函数

fx

的图形与它

的反函数的图形重合, 求m

.

解 由32x

y

xm



, 解得2

3my

x

y



. 故反函数为

12

3mx

fx

x



, 因

fx

的图形

与

1

fx

的图形重合, 则322

3xmx

xmx



, 解得3m

.

四、以下函数中哪些是初等函数, 说明理由:

1.yx

; 2. 

0x

yxx

；

3. sin,0

sin,2xx

y

xx









； 4. 1,

0,x

y

x





为有理数

为无理数.

解. 1.是,

因2

yxx

可看作2

,yuux两个幂函数的复合函数;

2. 是, 因lnxxx

yxe可看作,,lnu

yeuxvvx的复合函数;

3. 是, 因sin,0

sin

sin,2xx

yx

xx











;

4. 不是, 因不能由基本初等函数经有限次四则运算或复合运算且能由一个数学式子表示

五、设

1 高等数学部分习题解答

根据教学需要,我们对李进金教授主编的《高等数学》（上、下册）每章节提供的习题的部分（约1800条）作出解答如下。

选题的标准是：1. 尽可能覆盖所有典型性强的习题；2. 较多地覆盖难题，特别是证明题；3. 较多地覆盖应用题。

解答努力突出解题的思想方法, 结合必要的分析与综合, 阐明难点要点,力求表达清晰规范. 读者应在自己努力完成作业之后才（而不是之前就）来查这个解答, 以检验自己的解题水平.

第一章 函数与极限

习题1.1

7.求下列函数的反函数:

(1) 21xy, x[1,0]; (2) );2ln(1xy

解: (1) 首先注意到函数在[1,0]是单调的,其值域为[0, 1].因为y2 = 1x2, 所以x2 =

1y2, 开方得x = 21y, y[0,1]. 但据题设, x[1,0],所以只取 x =21y.

因此所求的反函数为y =21x, x[0,1].

(2) y = 1+ln(x+2)在定义域为(2,)为单调的, 其值域为(, ).把y = 1+ln(x+2)变形得ln (x+2) = y – 1, x = e y – 1 –2 , y(, ).

因此所求的反函数为y = e x – 1 –2, x(, ).

习题1.2

4. 讨论极限11arctanlim1xx是否存在.

解: 由于11arctanlim1xx=2, 11arctanlim1xx=2, 左右极限不相等, 因此11arctanlim1xx的极限不存在.

6. 分别用或  X语言叙述如下单侧极限的定义：

（1）Axfxx0lim，（2）Axfxlim.

解:(1) 设函数f (x)在点x0的右侧有定义. 如果存在这样的常数A：对任给的正数，总有某一正数，使得当00xxx时，f (x)都满足不等式

第一章 函数与极限

一、内容提要

（一）主要定义

【定义1.1】 函数 设数集,DR如果存在一个法则，使得对D中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称:fDR为定义在D上的函数,记作

(),yfxxD.

x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域.

【定义1.2】 数列极限 给定数列xn及常数a,若对任意0,总存在正整数N,使得当nN时,恒有xan成立,则称数列xn收敛于a,记为axnnlim.

【定义1.3】 函数极限

（1）对于任意0,存在0,当00xx时,恒有Axf.则称A为fx当0xx时的极限,记为Axfxx)(lim0.

（2） 对于任意0,存在0X,当xX时,恒有fxA().则称A为fx当x时的极限,记为lim()xfxA.

（3）单侧极限

左（右）极限 任意0,存在0,使得当000(0)xxxx时,恒有Axf.则称当00()xxxx时)(xf有左（右）极限A,记为00lim()(lim())xxxxfxAfxA 或00(0)((0))fxAfxA.

单边无穷极限 任意0,存在0X,使得当xX（xX）时,

恒有fxA(), 则lim()xfxA（lim()xfxA） .

【定义1.4 】 无穷小、无穷大 若函数()fx当0xx(或x)时的极限为零（|()|fx无限增大）,那么称函数()fx为当0xx(或x)时的无穷小（无穷大）.

【定义1.5】 等价无穷小 若lim0,lim0,lim1,则与是等价的无穷小.

【定义1.6】 连续 若)(xfy在点0x附近有定义,且)()(lim00xfxfxx,称()yfx在点0x处连续.否则0x为()fx的间断点.

- 1 - 第一章 函数、极限与连续

1.下列各极限正确的是( )

A.exxx)11(lim0 B.exxx)11(lim0 C.11sinlimxxx D.11sinlim0xxx

2.下列极限中，正确的是（ ）

A.cot0lim(1tan)xxxe B.01limsin1xxx

C.sec0lim(1cos)xxxe D.1lim(1)nnne

3.若1112()1xxefxe，则0x是()fx的（ ）

A.可去间断点 B.跳跃间断点 C.无穷间断点 D. 连续点

4.下列极限中，正确的是( )

A.22sinlimxxx B.1arctanlimxxx C.24lim22xxx D.1lim0xxx

5.若函数0)31ln(1020sin)(xxbxxxxaxxf为连续函数，则,ab满足( )

A.2,ab为任何实数 B.21ba C.32,2ab D.1ba

6.当0x时，xxsin2是关于x的 （ ）

A.高阶无穷小 B.同阶但不是等价无穷小

C.低阶无穷小 D.等价无穷小

7.若21)2(lim0xxfx，则)3(lim0xfxx( )

A.21 B.2 C.3 D.31 - 2 - 8.若2)2(lim0xxfx，则)21(limxxfx( )

A.41 B.21 C.2 D.4

9.0x时，2(1)xeaxbx是比2x高阶无穷小，则（ ）

A. 1,12ab B. 1,1ab C. 1,12ab D. 1,1ab