饱和链烃的Hosoya指数与其分子结构的匹配多项式及根

第２７卷第４期　

２０１１年８月　大　学　数　学　

ＣＯＩ　ＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　ＶｏＩ．２７，№．４　

Ａｕｇ．２０１１　

饱和链烃的Ｈｏｓｏｙａ指数与其分子结构的　

匹配多项式及根　

张海良　，　吴丹霞　

（１．华东师范大学数学系，上海２００２１４；　２．台州学院数学与信息工程学院，浙江临海３１７０００）　

［摘　要］一个图的Ｈｏｓｏｙａ指数实际上是该图的匹配多项式的系数之和．我们计算了４Ｏ种饱和链烃的　Ｈｏｓｏｙａ指数和其分子结构图的匹配多项式以及匹配多项式的最大根，最后经过通过ＳＰＳＳ１０．０软件进行曲　线拟合发现各饱和链烃的沸点与Ｈｏｓｏｙａ指数具有对数函数的关系，如下：其沸点ｂ．Ｐ．（℃）一一９８．６７４　＋６４．５４８８＊Ｉｎ（Ｈ（Ｇ）），拟合优度ｒ一０．９８１５．而且比匹配多项式的根有更好的相关性．　［关键词］Ｈｏｓｏｙａ指数；匹配多项式；最大根；相关分析　［中图分类号］Ｏ１５７．５；Ｏ５Ｃ５０　［文献标识码］Ａ　［文章编号］１６７２—１４５４（２０１１）０４—００２３—０６　

１　引　言　

设Ｇ是有　个顶点的简单无向图，、厂（Ｇ），Ｅ（Ｇ）分别表示图Ｇ的顶点集和边集，ｌ　（Ｇ）ｌ表示顶　

点的个数，图Ｇ的一个匹配是指图Ｇ的一个生成子图，它的每个分支是孤立点或孤立边，ｔ一匹配是指其　

中有ｔ条边的匹配．文Ｅｌｉ中定义图的匹配多项式为　

ｕ（Ｇ，　）一∑（一１）　ｎ　３２　，　ｆ≥Ｏ　其中ａ　是Ｇ的ｔ匹配的数目．ａ。一１，ａ　一Ｉ　ｇ（Ｇ）Ｉ，ａ　为该图的边数．　

图Ｇ（Ｖ，Ｅ）的Ｈｏｓｏｙａ指数（以下简称Ｈ一指数）概念是由Ｅｌ本化学家Ｈｏｓｏｙａ于１９７１在日本的杂　志《Ｂｕｌｌ　Ｃｈｅｍ　Ｓｏｃ》提出的，它是研究物质分子结构于物理和化学性质的之间关系的拓扑参数见　

［１］一Ｅ８］．图Ｇ的两条边称为独立的，若它们没有公共顶点，Ｅ（Ｇ）的没有任何两条边相邻的子集称为　

独立边集，Ｈ一指数是独立边集的总和，包括空集，记为Ｈ（Ｇ），也就是说Ｈ（Ｇ）一＞：ｍ（Ｇ，　），ｍ（Ｇ，尼）　＝＝０　表示Ｇ中选足条边的独立集的匹配数，同时定义ｍ（Ｇ，０）一１，ｍ（Ｇ，１）一边数．　

２　相关定义　

２．１　Ｈ一指数的计算方法ｌ８］．　

Ｈ一指数的定义如下：Ｈ（Ｇ）一　ｍ（Ｇ，是）；式中ｍ（Ｇ，志）表示从分子图Ｇ中选取　条边的独立集的　ｋ一０　匹配数，在分子结构图Ｇ上，忌条两两互补相邻的边（即化学键）的组合方式；同时定义　（Ｇ，０）一１，　

ｍ（Ｇ，１）＝＝＝边数．以２，３一二甲基戊烷为例，Ｈ一指数的求算如下：　ｍ（Ｇ，Ｏ）一１，ｍ（Ｇ，１）一６；对于ｍ（Ｇ，２），两边互不相邻的组合方式数有１—４，１—５，１—６，２—４，２　

—５，２—６，３—６，４—６，因此ＹＹｔ（Ｇ，２）一８；对于ｍ（Ｇ，３），三边互不相邻的组合方式数有：１—４—６，２—４　

［收稿日期］２００８—１０—１３；　［修改日期］２００８　１２—２３　［基金项目］台州学院青年项目（２０１０ＱＮ１１）

　２４　大　学　数　学　第２７卷　

一６，因此ｍ（Ｇ，３）一２；当ｋ＞３时，ｍ（Ｇ，　）一０．所以Ｈ（Ｇ）一１＋６＋８＋２—１７．对于直链烷烃，Ｈ（Ｇ）　

的表达式为　

Ｈ（Ｇ）＿［（　）　一（　）　］Ｊ／　（Ｎ为碳原子数目）　

与Ｆｉｂｏｎｏｃｃｉ数列形式相同，即直链烷烃的Ｈ一指数组成Ｆｉｂｏｎｏｃｃｉ数列嘲．　

１　３　５　６　

图１　２，３一二甲基戊烷的结构图　

２．２　匹配多项式求解的基本引理［　．　

ｉ）路的匹配多项式：“（Ｐ　，　）一∑（一１）ｒ　ｆ　一　１　ｚｍ一．　０　、　ｒ　，　ｋ　ｉｉ）令Ｇ的ｋ个分支为Ｇ　，Ｇ　，…，Ｇ　，则ｕ（Ｇ，－ｚ）一Ⅱｕ（Ｇ　，ｚ）．　ｉ＝１　ｉｉｉ）令Ｇ是任意一个图，并且假设　，　∈Ｅ（Ｇ），则　

ｄ　（Ｇ）一口　（Ｇ＼ｕｖ）＋ｎ　１（Ｇ＼｛Ｕ，　））和ｕ（Ｇ，ｚ）一ｕ（Ｇ＼ｕｖ，　）一　（Ｇ＼｛ｚ￡，　｝，　）．　

３主要结果及过程分析　

３．１利用Ｈ一指数的计算方法以及上述匹配多项式求解的一些基本引理分别计算了４ｏ余种饱和　

链烃及支链烃的匹配多项式与Ｈ一指数，再用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ４．０软件求解出匹配多项式的最大根　（其结　

果见附件表１）　

表１　

名　称　乙烷　

丙烷　

正丁烷　

正戊烷　

异丁烷　

２一甲基戊烷　异戊烷　

新戊烷　

３一甲基戊烷　

２，３～二甲基丁烷　

２，２～二甲基丁烷　

庚烷　

２一甲基已烷　３一甲基已烷　

２，３～二甲基戊烷　２，２一二甲基戊烷　

２，４一二甲基戊烷　－　

３，３－＿Ｚ．甲基戊烷　文献值（沸点）　

一８８．６　４２．１　

—０．５Ｏ　

３６．１Ｏ　

一１１．７　６０．３Ｏ　

２７．９Ｏ　

９．５０　

６３．３Ｏ　５８．ＯＯ　

４９．７０　９８．４Ｏ　

９０．００　９２．００　

８９．８Ｏ　７９．２Ｏ　

８０．５Ｏ　

８６．１０　计算值　

８７．６７　

４３．２７　

４．４０　

４１．３５　

１５．３７　６３．２５　

３１．４６　

４．４Ｏ　

６８．８５　

５６．９３　４９．７２　

１Ｏ１．６２　

９３．Ｏ９　

９６．１２　８９．８４　

７８．４１　８２．５４　

８６．３４　匹配最大根　Ｈ指数的对数　

２．０Ｏ　

３．００　

５．００　

８．０Ｏ　

４．０Ｏ　１１．ＯＯ　

７．ＯＯ　

５．００　

１２．Ｏ０　１０．００　

９．００　２１．ＯＯ　

１８．ＯＯ　

１９．ＯＯ　

ｌ７．００　

１４．Ｏ０　１５．ＯＯ　

１６．ＯＯ　Ｏ．６９　１．１０　

１．６１　

２．Ｏ８　

１．３９　

２．４０　

１．９５　

１．６１　

２．４８　２．３Ｏ　

２．２Ｏ　

３．０４　

２．８９　

２．９４　２．８３　

２．６４　

２．７１　

２．７７　第４期　张海良，等：饱和链烃的Ｈｏｓｏｙａ指数与其分子结构的匹配多项式及根　２５　

３一乙基戊烷　

２，２，３一三甲基戊烷　

辛烷　

２一甲基庚烷　

３一甲基庚烷　

４一甲基庚烷　

２，２一二甲基已烷　

２，３一二甲基已烷　

２，４一二甲基已烷　

２，５一二甲基已烷　

３，３－二甲基已烷　３，４－二甲基已烷　

３一乙基已烷　

３一乙基～２一甲基戊烷　

３一乙基一３一甲基戊烷　

２，３，３一三甲基戊烷　

２，３，４一三甲基戊烷　

２，２，３一三甲基戊烷　

２，２，４一三甲基戊烷　

２，２，３，３一四甲基丁烷　

２，２，５一三甲基已烷　

癸烷　

十一烷　９３．５０　

１０９．８　

１２５．７　１１７．６　

１１８．Ｏ　

１１７．７　

１０６．８　

ｌｌ５．６　

１０９．４　

ｌＯ９．Ｏ　

１１２．０　

１ｌ７．７　

１１７．５　

１１５．６　

１１８．２　

９９．２Ｏ　

１１３．４　

１１０．０　

ｌｌ４．７　

１０６．５　

１２４．０　

１７４．１　

１９４．５　９８．９６　２０．００　

１０４．１３　２２．００　

１２６．４１　３４．００　

１１８．４９　２９．００　１２１．８４　３１．０Ｏ　

１２０．２Ｏ　３Ｏ．ＯＯ　１０６．５０　

ｌ１４．８６　

１１２．９１　

１１０．８８　

１１Ｏ．８８　１１８．４９　

１２３．４２　

１１６．７１　

１ｌ６．７ｌ　

１Ｏ６．５０　１Ｏ８．７５　

１Ｏ４．１３　

９６．１２　

８９．８４　

１２３．４２　

ｌ７１．７９　

１９４．９８　２３．Ｏ０　

２７．Ｏ０　

２６．ＯＯ　

２５．００　

２５．００　

２９．ＯＯ　

３２．ＯＯ　

２８．ＯＯ　

２８．ＯＯ　

２３．ＯＯ　

２４．ＯＯ　

２２．ＯＯ　

ｌ９．０Ｏ　

１７．００　

３２．０Ｏ　

８９．ＯＯ　

１４４．ＯＯ　３．００　

３．０９　

３．５３　

３．３７　

３．４３　３．４０　

３．１４　

３．３Ｏ　

３．２６　

３．２２　

３．２２　

３．３７　

３．４７　

３．３３　

３．３３　

３．１４　

３．１８　

３．Ｏ９　

２．９４　

２．８３　

３．４７　

４．４９　

４．９７　

３．２分别将文献［１２］中的４Ｏ余种烷烃的沸点与Ｈ一指数，沸点与匹配最大根运用统计学Ｓｐｓｓｌ０．０　进行回归分析，得到如下回归方程：　

沸点：　沸点一一９８．６７４＋６４．５４８８×Ｉｎ（Ｈ（Ｇ）），　沸点：　沸点一一４１０．０８９３＋３２２．６５４６×口一１６．５１３×　。．　

３．２．１　沸点与Ｈ一指数的相关性分析如下．　（１）　

（２）　

首先，将所搜集的数据用Ｓｐｓｓｌ０．０软件作出散点图（见图２（ａ））；其次，运用Ｓｐｓｓ　１０．０软件进行图　

形的模型拟合，发现各种模型中用对数函数拟合时，其相关系数最高（见图２（ｂ））．　

沸点　．　

Ｈ推敞　（ａ）　Ｈ指数　（ｂ）　

图２饱和链烃的Ｈ指数与沸点的散点图和曲线拟合圈　ｏｂ●ｅｒｖ　ａ　１．

ｏ￣ｒｂ