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思维导图在初中数学教学中的运用分析发布时间：2021-01-22T15:24:10.427Z 来源：《创新人才教育》2021年2期作者：陆厍宁[导读] 思维导图是由英国著名心理学家东尼?巴赞提出的一项思维工具，它主要通过图形、线条的形式将人类左脑中逻辑、顺序、文字、条例以及右脑中的图像、想象、空间、整体等进行直观性表达，实现人脑中思维过程的再现，以便于人们对自身思维的整理、延伸及拓展，提高学习及工作的效率。
广西壮族自治区来宾市忻城县民族中学陆厍宁 546200摘要：思维导图是由英国著名心理学家东尼?巴赞提出的一项思维工具，它主要通过图形、线条的形式将人类左脑中逻辑、顺序、文字、条例以及右脑中的图像、想象、空间、整体等进行直观性表达，实现人脑中思维过程的再现，以便于人们对自身思维的整理、延伸及拓展，提高学习及工作的效率。
基于此，以下对思维导图在初中数学教学中的运用进行了探讨，以供参考。
关键词：思维导图；初中数学教学；运用分析引言:思维导图指通过图文并重的形式对主题关键词、图像、颜色等进行表现，从而帮助人以更具联系性的方式进行记忆与思考，是一种将思维形象化的方法。
随着思维导图的不断发展与推广，其在现代教育中逐渐得到了广泛应用，是当前学校各科的重要教学方法。
将思维导图运用于初中数学教学，能够从多个方面促进教学优化与改善，故而在教学中探索行之有效的导图运用方法已然成为当下教师的重要任务。
一、通过思维导图的运用，强化初中数学概念教学的效果在初中数学课堂教学中，概念教学是非常关键的一个教学内容，对于学生数学知识、技能的掌握以及解题能力的培养具有重要的促进作用。
但是数学概念作为初中数学教学中最为抽象、枯燥的一项学习内容，一直以来都是学生数学学习过程中的重点和难点部分。
数学概念教学的效率直接影响着初中数学课堂教学的效率。
但是在以往的初中数学概念教学中，教师只是片面的要求学生通过死记硬背的方式进行数学概念的记忆，而不注重学生对数学概念的内涵是否进行了深刻的理解，从而导致学生对一些数学概念一直是一知半解，影响了学生数学知识体系的整体构建和后续数学学习的效率。
初中数学八年级上册思维导图一、数的开方1. 平方根：如果一个正数x的平方等于a，那么x是a的平方根，记作x=√a。
正数a的平方根有两个，它们互为相反数，分别记作+√a 和√a。
0的平方根是0，负数没有平方根。
2. 立方根：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，记作x=³√a。
每个实数都有唯一的立方根。
3. 开方运算：开方运算是求一个数的平方根或立方根的运算。
对于正数a，开方运算可以表示为√a或³√a。
二、实数1. 实数的概念：实数包括有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数比的数，无理数是不能表示为两个整数比的数。
2. 实数的分类：实数可以分为正实数、负实数和0。
正实数是大于0的实数，负实数是小于0的实数，0既不是正实数也不是负实数。
3. 实数的运算：实数可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
在运算过程中，需要遵循实数的运算规律，如交换律、结合律和分配律。
三、勾股定理1. 勾股定理的内容：勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
即a²+b²=c²，其中a、b是直角边，c是斜边。
2. 勾股定理的应用：勾股定理可以用来解决直角三角形中的边长问题，也可以用来解决一些与直角三角形相关的实际问题。
3. 勾股定理的证明：勾股定理的证明有多种方法，其中一种常见的证明方法是使用几何图形的面积关系。
四、一次函数1. 一次函数的概念：一次函数是指函数的图像是一条直线，其一般形式为y=kx+b，其中k是斜率，b是截距。
2. 一次函数的性质：一次函数的图像是一条直线，斜率k表示直线的倾斜程度，截距b表示直线与y轴的交点。
3. 一次函数的应用：一次函数可以用来描述一些线性关系，如物体的速度与时间的关系、正比例关系等。
五、不等式1. 不等式的概念：不等式是表示两个数之间大小关系的数学表达式，如a>b、a<b、a≥b、a≤b等。
2. 不等式的性质：不等式可以进行加减、乘除运算，但在乘除运算中需要注意符号的变化。
巧用思维导图教学提升初中数学复习课效率发布时间：2022-04-25T10:06:07.115Z 来源：《教学与研究》2022年1月第1期作者：庄光新[导读] 数学是一门复杂的学科，尤其是对于初中数学而言，教师在教学方面也会遇到较多的难处庄光新苏州工业园区朝前路实验学校 215125摘要：数学是一门复杂的学科，尤其是对于初中数学而言，教师在教学方面也会遇到较多的难处。
初中数学的学习需要学生们具有较强的逻辑，缜密的思维，持之以恒的耐心，并且从各方面验证，要想学好数学这门学科，这三者缺一不可。
但是就目前学生们的学习状态分析，教学效果并不理想，尤其是在进行复习时，学生们并不能将注意力完全集中在数学课堂之上，因此，就需要教师运用思维导图教学方法来提升数学复习课的教学效率。
关键词：初中数学；复习教学；思维导图引言：初中数学与小学数学的不同之处主要体现在知识范围与思维方式两个方面，要学好初中数学，一定要让自己的思维更富逻辑性，要学会用数学的眼光去发现问题，分析问题和解决问题，而灵活运用思维导图就可以大幅度的增强学生们的逻辑能力，让同学们的思维更加严谨、灵活。
由此可见，思维导图在初中数学教学中具有重要地位。
本篇文章就针对如何运用思维导图来提升初中数学复习课效率展开讨论。
一、思维导图在数学复习教学中的重要性随着思维导图的兴起，如今大家对思维导图都有一定的认识和了解，并且目前很多中小学教师都在借助思维导图进行教学，但是有大部分学生并不能在真正意义上了解思维导图。
思维导图本质上来说就是一张图，一张充满知识点的图，人们将书本上的知识通过各种横线罗列在一起，简洁明了，便于人们去记忆和了解。
所以在面对数学复习教学时，教师或学生就可以利用思维导图自身的特点，将复杂的、凌乱的书本知识运用一定的逻辑思维组成一张图表，将学过的知识穿插起来，按照一定的层次进行排列[1]。
这样学生们就会根据思维导图的知识罗列来分清知识的主次，学会抓住重要的知识点进行首先复习，学会“排兵布阵”，只有这样，学生们才能做到有效复习。
第二章 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论.§2⋅1 特征值问题2．1.1 矩阵特征值问题在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。
该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程：,n Ax x x R λ=∈， （1.1）的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型.若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =，或, 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3）上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出.定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题,n Ax x x R λ=∈，则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）.特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤.例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =.解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此组基分别展开为11 ,n ni i i i i i x x T b bT ====∑∑，则Ax b =等价于11 n ni i i ii i x AT bT ===∑∑， 或11 n ni i i i ii i x T bT λ===∑∑， 比较上式两边i T 的系数可得1, 1i i i x b i n λ-=≤≤，12( ... )n x x x x T =便是原问题的解.例 1.2 设0n x R ∈,12()((),(),...,()), 0n n f t x t x t x t R t T =∈>. 求解非齐次常微分方程组0(), (0)dx Ax f t x x dt=+=， （1.4） 其中 '''12((),(),...,()),0n dx x t x t x t t dtT =>. 解 类似于上例，将0,,()x x f t 按基{1}i T i n ≤≤分别展开为00111 , , ()()n n ni i i ii i i i i x x T x x T f t f t T ======∑∑∑. 则（1.4）等价于0111() () +(), (0), 1nn n i i i i i i i i i i i dx t T x t AT f t T x x i n dt =====≤≤∑∑∑， 或011() (()()), (0),1nn i i i i i i i i i i dx t T x t f t T x x i n dt λ===+=≤≤∑∑， 比较上式两边i T 的系数可得0()()(), (0), 1i i i i i i dx t x t f t x x i n dtλ=+=≤≤. （1.5） （1.5）是n 个一阶线性方程的初始值问题，很容易求出其解.请同学们给出解(),1i x t i n ≤≤的具体表达式. 2.1.2 一个二阶线性微分算子的特征值问题在这一小节，我们讨论在本章常用的一些特征值问题. 代替上节的有限维线性空间n R 和n 阶实对称矩阵A ，在这儿要用到线性空间[0,]C l 的某个子空间H 和该子空间上的二阶线性微分算子A . 一般地取2{()[0,]()H X x C l X x =∈在0,x l =满足齐次边界条件}.（1.6） 下面我们讨论二阶线性微分算子22d A dx=-的特征值问题. 先取边界条件为(0)0,()0X X l ==，设()X x H ∈是A 的特征函数，即()0X x ≠且满足()()AX x X x λ=.此问题等价于()X x 是下面问题的非零解"()()0, 0 (0)()0 .X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩ （1.7） （1.7）便是二阶线性微分算子22d A dx=-的特征值问题，即要找出所有使得该问题有非零解的λ. 下面求解特征值问题（1.7）.首先证明要使（1.7）具有非零解，λ必须非负.设)(x X 是相应于λ的一个非零解，用)(x X 乘（1.7）中的方程，并在[]l ,0上积分得0)()()()("=+x X x X x X x X λ，0)()()( 02 0 "=+⎰⎰dx x X dx x X x X l lλ， 0)())(()()( 0 2 0 2'0'=+-⎰⎰dx x X dx x X x X x X ll l λ.由于0)()0(==l X X ，故有2'2 00()(())l lX x dx X x dx λ=⎰⎰， '22 0 0(())()0l l X x dx X x dx λ=≥⎰⎰. （1.8）当0λ=时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为12()X x c c x =+. 利用边界条件0)()0(==l X X 可得120c c ==，即()0X x =. 因此，0λ=不是特征值.当0λ>时，方程0)()("=+x X x X λ的通解为 x C x C x X λλsin cos )(21+=. （1.9） 利用边界条件0)()0(==l X X 确定常数21,C C 如下10C =, l C l C λλsin cos 021+=,或0sin 2=l C λ.由于要求（1.7）中齐次微分方程的非零解，故2C 不能为零. 故有0sin =l λ.0>，从而有πλn l = ， 1n ≥,2)(ln n πλ=，1n ≥ . 将n C C λ,,21代入到（1.8）中，并略去任意非零常数2C 得x ln x X n πsin )(= ， 1n ≥ . 故特征值问题（1.7）的解为 2)(l n n πλ= ， x ln x X n πsin )(= ，1n ≥ （1.10） 注1 特征值问题是分离变量法的理论基础. 上面已求出特征值问题（1.7）的解为{ sin 1 }n x n lπ≥. 在高等数学中知道，在一定条件下区间[0 , ]l 的任一函数可按特征函数系{ sin 1 }n x n lπ≥展开为Fourier 级数. 换言之，特征函数系 { sin 1 }n x n lπ≥是区间[0 , ]l 上满足一定条件的函数所成无穷维空间的一组基，而且还是该空间上的一组正交基，即有0sinsin 0 , ln m x xdx n m l lππ=≠⎰. 特征函数系{ sin 1 }n x n lπ≥的这两个根本性质：正交性和完备性（基），和定理1.1有限维空间n R 中相应结论很相似，只是现在的特征值和特征函数是无穷个. 另外，若改变（1.7）中的边界条件，其相应的特征值和特征函数也会有所变化. 如将边界条件变为(0)0,'()0X X l ==，则特征值和特征函数分别为2(21)(21)(),()sin ,022n n n n X x x n l lππλ++==≥. 该特征函数系(21){ sin 1 }2n x n l π+≥也具有和特征函数系{ sin 1 }n x n lπ≥类似的性质，既正交性和完备性.此类问题的一般结果便是著名的Sturm —Liouville 定理，有兴趣的同学可参阅参考文献[1][4]-.将以上的结果以定理的形式给出.定理1.2 [1],[4] 考虑二阶线性微分算子22d A dx=-的特征值问题 "()()()()0 , 0 ,(0)0,()0 .k m X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （1.11）其中0,1k m ≤≤. 则该问题的特征值非负，且满足120......n λλλ≤<<<<→∞.相应的特征函数系1{()}n n X x ≥在[0,]l 上是相互正交的. 且对于任一在区间[0,]l 上分段光滑的函数()f x ，可按特征函数系1{()}n n X x ≥展开为如下的Fourier 级数 1()()n n n f x f X x ∞==∑，其中Fourier 系数为020()(), 1()ln n ln f x X x dx f n X x dx=≥⎰⎰. 为后面需要，下面再求解二阶线性微分算子22d A dx=-带有周期边界条件的特征值问题. 在偏微分方程教材中，习惯上用()θΦ表示周期函数，即考虑下面 二阶线性微分算子22d A dx=-的周期边值问题 "()()0, () (2), .θλθθθπθθ⎧Φ+Φ=-∞<<+∞⎨Φ=Φ+-∞<<+∞⎩（1.12） 可证（1.12）和以下问题等价"''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩ （1.13） 和（1.8）的证明相似易得（1.13）中的特征值0≥λ. 当0λ=时，12()c c θθΦ=+, 由周期边界条件可得20c =. 所以0()1θΦ=为特征函数.当0λ>时，方程通解为θλθλθsin cos )(21c c +=Φ,求导得'()c c θΦ=-+.由周期边界条件可得112cos(2sin(2c c c c c c ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩ 或1212[1cos(2sin(20sin(2[1cos(20.c c c c π⎧--=⎪⎨+-=⎪⎩ （1.14） 由于要求非零解，故12,c c 不能同时为零. 因此，齐次方程组（1.14）的系数矩阵行列式必为零，即1cos(20-=. 解之可得2n n =λ，()cos sin .n n n c n d n θθθΦ=+此时对每个正特征值2n n =λ，特征函数有二个，既θn cos ，θn sin . 总结所得结果为如下定理.定理1.3 考虑二阶线性微分算子22d A d θ=-带有周期边界条件的特征值问题 "''()()0, 02(0) (2), (0) (2).θλθθπππ⎧Φ+Φ=≤≤⎪⎨Φ=ΦΦ=Φ⎪⎩则该问题的特征值和特征函数分别为00,λ=0()1;θΦ=2n n =λ，(){cos ,sin }, 1n n n n θθθΦ=≥.§2⋅2 分离变量法本节结合具体定解问题的求解来介绍分离变量法（method of separation of variables ）. 所举例子仅限于一维弦振动方程，一维热传导方程混合问题以及平面上一些特殊区域上的位势方程边值问题. 对高维问题的处理放在其它章节中介绍.以下多数例子均假定定解问题带有齐次边界条件. 否则,可利用边界条件齐次化方法转化之. 我们以弦振动方程的一个定解问题为例介绍分离变量法.2．2.1 弦振动方程定解问题例2.1求解两端固定弦振动方程的混合问题2(,), 0, 0 (2.1)(0,)0, (,)0, 0 (2.2)(,0)(), (,0)(),0. tt xx t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ-=<<>==≥==≤≤ (2.3)⎧⎪⎨⎪⎩解 分四步求解.第一步 导出并求解特征值问题. 即由齐次方程和齐次边界条件，利用变量分离法导出该定解问题的特征值问题并求解.令)()(),(t T x X t x u =，并代入到齐次方程中得0)()()()(''2''=-t T x X a x X t T ,或''''2()()()()X x T t X x a T t = . 上式左端是x 的函数而右端是t 的函数，要二者相等，只能等于同一常数.令此常数为-λ，则有λ-=)()("x X x X ， "2()()T t a T t λ=- ， 上面的第一个方程为0)()("=+x X x X λ .利用齐次边界条件（2.2），并结合0)(≠t T 得0)()0(==l X X .由此便得该定解问题的特征值问题为"()()0, 0 (0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩其解为特征值：2() , 1 ;n n n l πλ=≥特征函数： ()sin , 1 .n n X x x n lπ=≥ 第二步 正交分解过程. 即将初值和自由项按特征函数系{}1()n n X x ≥展成Fourier 级数，并将),(t x u 也用特征函数{}1()n n X x ≥表出.11()()sinn n n n n n x X x x l πϕϕϕ∞∞====∑∑ , （2.4） 11()()sin n n n n n n x X x x lπψψψ∞∞====∑∑, （2.5） 11(,)()()()sinn n n n n n f x t f t X x f t x l π∞∞====∑∑, （2.6） 11(,)()()()sinn n n n n n u x t T t X x T t x lπ∞∞====∑∑ （2.7） 这里n ϕ，n ψ和)(t f n 分别为)(x ϕ，)(x ψ和),(t x f 的Fourier 系数，具体表示如下02()sin l n n d l lπϕϕααα=⎰, 02()sin l n n d l lπψψααα=⎰, 02()(,)sin l n n f t f t d l l πααα=⎰, 而)(t T n 为待定函数.第三步 待定系数法. 即先将),(t x f 和),(t x u 的Fourier 级数代入到（2.1）中，导出关于)(t T n 满足的常微分方程. 再利用初值条件（2.3）得出)(t T n 满足的初始条件.假设(2.7)中的级数可逐项求导，并将（2.6）和（2.7）代入到（2.1）中得"2"111()()()()()()nn n n n n n n n T t X x a T t X x f t X x ∞∞∞===-=∑∑∑, "2111()()()(())()()nn n n n n n n n n T t X x a T t X x f t X x λ∞∞∞===--=∑∑∑, "211(()())()()()n n n n n n n n T t a T t X x f t X x λ∞∞==+=∑∑. （2.8） 由于Fourier 展式是唯一的，比较（2.8）两端)(x X n 系数得"2()()(), 1.n n n n T t a T t f t n λ+=≥ （2.9）在（2.7）中令0=t 并结合（2.4）得00()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑ （2.10）比较（2.10）两端)(x X n 系数得(0), 1.n n T n ϕ=≥ （2.11） 类似地可得'(0), 1.n n T n ψ=≥ （2.12） 结合（2.9），（2.11）和（2.12）便得出关于)(t T n (1)n ≥满足的二阶常系数非齐次方程初始值问题"2'()()(), 0(0), (0).n n n n n n n n T t a T t f t t T T λϕψ⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.13）第四步 求解关于)(t T n 的定解问题（2.13），并将其结果代入到（2.7）中即可.为简单起见，我们设()0,1n f t n =≥. 将n λ代入到（2.13）中可得方程的通解为t la n d t l a n c t T n n n ππsin cos)(+= ， 利用初始条件确定常数,n n c d 如下 '(0), (0)n n n n nn a T c T d lπϕψ====. 故有 ()cos sin n n n l n a n a T t t t l n a lψππϕπ=+ . 最后将上式代入到（2.7）中便得定解问题（2.1）—（2.3）的解为012(,)()sin cos sin l n n n a n u x t d t x l ll l πππϕααα∞==∑⎰ 012()sin sin sin l n n n a n d t x n a l l l πππψαααπ∞=+∑⎰ (2.14) 注1 利用分离变量法求解（2.1）—（2.3），需要假设在（2.7）中可通过无穷求和号∑逐项求导. 而通过∑号求导要对无穷级数加某些条件，在这里就不做专门讨论了. 今后遇到此类问题，我们均假设一切运算是可行的，即对求解过程只作形式上的推导而不考虑对问题应加什么条件. 通常称这样得出的解为形式解. 验证形式解是否为真解的问题，属于偏微分方程正则性理论的范围. 一般地讲，偏微分方程定解问题的解大多数是以无穷级数或含参变量积分形式给出的. 对这两类函数可微性的研究需要较深的数学知识，也有一定的难度，有兴趣的同学可查阅参考文献[1]和[2]. 我们约定：本书只求定解问题的形式解.注2 当(,)0f x t =时，由（2.14）可以看出：两端固定弦振动的解是许多简单振动(,)()sin n n n u x t T t x l π=的叠加，当(11)k kl x x k n n==≤≤-时，对任意的时刻t ，(,)0n k u x t =，即(,)n u x t 在振动的过程中有(1)n +个点永远保持不动，所以称这样的振动为驻波,而k x 称为该驻波的节点.显然当21(11)2k x l k n n+=≤≤-时sin 1x =，在这些点上振幅最大，称这些点为驻波的腹点. 因此，求特征函数实际上就是求由偏微分方程及边界条件所构定的系统所固有的一切驻波. 利用由系统本身所确定的简单振动来表示一些复杂的振动，便是分类变量法求解波动问题的物理解释.注3 例2.1的求解方法也叫特征函数法（eigenfunction method ），现已成为固定模式，也具有普适性. 初学者似乎会感到有些繁琐，但随着进一步的学习，同学们就会熟练掌握这一方法. 特征函数法的关键之处是求解偏微分方程定解问题相应的特征值问题，而基本思想就是笛卡尔（Descartes ）坐标系的思想.如在三维空间3R 中，每个向量可由基{,,}i j k 的线性组合表出，两个向量111222 , a i b j c k a i b j c k αβ=++=++相等当且仅当在基{,,}i j k 下两个向量的坐标相等. 既121212 , , a a b b c c ===. 与此相类似，在例2.1求解中也是比较方程或初始条件两边()n X x 的系数而得到（2.13）. 与三维空间3R 相比较，例2.1中特征函数系{ sin 1 }n x n lπ≥相当于3R 中的基{,,}i j k ，而{ T () 1 }n t n ≥也就相当于上面的111{,,}a b c ，即定解问题的解关于基函数{ sin1 }n x n lπ≥的坐标. 因此，在具有可数基的无穷维空间中，特征函数法也称为待定系数法. 例 2.2 设有一均匀细弦，其线密度为ρ. 若0x =端为自由端，x l =端固定.初始速度和初始位移分别为零，并受到垂直于弦线的外力作用，其单位长度所受外力为sin t ω. 求此弦的振动.解 所求定解问题为21 sin , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x t u a u t x l t u t u l t t u x u x x l ρω-⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（2.15） 利用特征函数法求解该问题.情形1 非共振问题，即22, 0n a n ωλ≠≥.该定解问题的特征值问题为"'()()0, 0 (0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ (2.16) 其解为2(21)()2n n l πλ+= ， (21)()cos 2n n X x x lπ+= ，0n ≥ 将1sin t ρω-按特征函数{}0)(≥n n x X 展开成Fourier 级数得11sin ()()n n n t f t X x ωρ∞==∑ , （2.17)021214()sin sin sin sin 2(21)l n n n f t t d t f t l l n ωπααωωρπρ+===+⎰.令0(,)()()n n n u x t T t X x ∞==∑ （2.18）完全类似例2.1的求解过程可得，对于任意0, ()n n T t ≥满足下面问题"2'()()sin , 0(0)0, (0)0.n n n n n n T t a T t f t t T T λω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.19） 初值问题(2.19)中齐次方程的通解为12()cos sin n T t c c =+，而非齐次方程的一个特解为22()sin nn n f T t t a ωλω=-.因此，（2.19）的通解为1222()cos sin sin nn n f T t c c t a ωλω=++-. （2.20） 由初始条件可确定出120, c c ==最后将所得到的()n T t 代入到（2.18）中便得（2.15）的解.情形2 共振问题，即存在某个0,n ≥ 使得22n a ωλ=.不妨假设220a ωλ=. 此时，在情形1中求解所得到的{ T () 1 }n t n ≥不变. 当0n =时，要求解以下问题"2000'00()()sin , 0(0)0, (0)0.T t T t f t t T T ωω⎧+=>⎪⎨==⎪⎩ （2.21） （2.21）中齐次方程通解为012()cos sin T t c t c t ωω=+.为求得非齐次方程的一个特解，要将（2.21）中方程的自由項换为0i t f e ω，而求以下问题的一个特解"2000()(). i t T t T t f e ωω+=令()i t T t Ate ω=并代入到上面非齐次方程中可得 02f iA ω=-，故有00()sin cos 22f t f tT t t i t ωωωω=-， 取其虚部便得（2.21）中方程的一个特解为00()Im(())cos 2f tT t T t t ωω==-.结合以上所得结果便可得到（2.21）中方程的通解为0012()cos sin cos 2f tT t c t c t t ωωωω=+-，由初始条件确定出 01220, 2fc c ω==，由此可得0002()sin cos 22f f tT t t t ωωωω=-.将()n T t 代入到（2.18）中便得在共振条件下（2.15）的解为00102112(,)()()()()()()(sin cos )cos ()()222 (,)(,) .n n n n n n n n n u x t T t X x T t X x T t X x f f t t t x T t X x l u x t u x t πωωωω∞=∞=∞===+=-+=+∑∑∑可以证明: 2(,)u x t 是有界的. 而在1(,)u x t 的表达式中取 2k k t πω=，则1(,)u x t 中的基本波函数cos2x lπ的振幅0()k T t 当k 逐渐变大时将趋于无穷大，最终要导致弦线在某一时刻断裂，这种现象在物理上称为共振. 注意到在上面求解过程中我们取周期外力的频率ω等于系统的第一固有频率数分量上发生共振. 一般地讲，当周期外力的频率ω很接近或等于系统的某个固有频率时，系统都会有共振现象发生，即弦线上一些点的振幅将随着时间的增大而不断变大，导致弦线在某一时刻断裂.2．2.2 热传导方程定解问题例2.3 求解下面热方程定解问题20, 0, 0 (0,), (,)sin , 0(,0)0, 0.t xx x u a u x l t u t u u l t t t u x x l ω⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（2.22）解 利用特征函数法求解(2.22).首先将边界条件齐次化,取0(,)sin w x t u x t ω=+，并令w u v -=，则（2.22）转化为20cos , 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0), 0.t xx x v a v x t x l t v t v l t t v x u x l ωω⎧-=-<<>⎪==≥⎨⎪=-≤≤⎩（2.23）利用分离变量法可得（2.23）的特征值问题为"()()0, 0(0)0, '()0. X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩特征值和特征函数分别为2(21)()2n n lπλ+= 0≥n , (21)()sin 2n n X x x lπ+= 0≥n .将(,)cos f x t x t ωω=-，0)(u x -=ϕ按特征函数{}0)(≥n n x X 展成Fourier 级数得0cos ()()n n n x t f t X x ωω∞=-=∑ ， (2.24)02(21)()(1)cos sin cos 2l n n n f t t d f t l lπωαωααω+=-=⎰, 其中1228(1)(12)n n l f n ωπ+-=+. 00n n n u X ϕ∞=-=∑， (2.25)其中00042(21)()sin 2(12)l n u n u d l l n πϕααπ-+=-=+⎰ . 令0(,)()(), n n n v x t T x X x ∞==∑ (2.26)并将（2.26）代入到（2.23）中的方程得'2"00()()()()cos ()n nn nn n n n n T t Xx aT t Xx f tX x ω∞∞∞===-=∑∑∑ ,'20(()())()cos ()nn nnn n n n T t a T t Xx f tX x λω∞∞==+=∑∑.在（2.26）中令0=t 并结合（2.25）得()(0)()()n n n n n n x T X x X x ϕϕ∞∞====∑∑.比较上面两式中特征函数()n X x 的系数便得'2()()cos , 0(0).n n n n nn T t a T t f t t T λωϕ⎧+=>⎪⎨=⎪⎩ （2.27）（2.27）是一阶常系数常微分方程初值问题.齐次方程通解为ta n n Cet T λ2)(-=.令()cos sin n T t A t B t ωω=+，并利用待定系数法求特解可得2242242()cos sin n n n n n na f f T t t t a a λωωωωλωλ=+++, 故有22242242()cos sin n a tn n nn n n a f f T t Ce t t a a λλωωωωλωλ-=++++（2.28） 在上式中代0t =得2242n nn n a f C a λϕωλ=++,2242n nn n a f C a λϕωλ=-+ . 最后将(2.28)代入到(2.26)中便得(2.23)的解为0(21)(,)()sin2n n n v x t T t x lπ∞=+=∑ . 故（2.21）的解为),(),(),(t x w t x v t x u +=0 (,)sin v x t u x t ω=++其中)(t T n 由（2.28）给出.2．2.3 平面上位势方程边值问题 考虑矩形域上Poisson 方程边值问题1212(,), , (,)(), (,)(), (,)(), (,)(), .xx yy u u f x y a x b c y d u a y g y u b y g y c y d u x c f x u x d f x a x b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2.29）我们假设0)()(21==x f x f 或0)()(21==y g y g . 否则，利用边界条件齐次化方法化非齐次边界条件为齐次边界条件. 当然，也可以利用叠加原理将（2.29）分解为二个问题，其中一个关于x 具有齐次边界条件，而另一个关于y 具有齐次边界条件.例2.4 求解Dirichlet 问题0, 02, 0 1 (0,)0, (2,)0, 01(,0)1, (,1)(1), 0 2.xx yy u u x y u y u y y u x u x x x x +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==-≤≤⎩（2.30）解 令)()(),(y Y x X y x u =并将其代入到（2.29）中齐次方程得0)()()()(""=+y Y x X y Y x X ,λ-=-=)()()()(""y Y y Y x X x X , "()()0, 0 2(0)0, (2)0. X x X x x X X λ⎧+=<<⎨==⎩ （2.31）0)()("=-y Y y Y λ （2.32） （2.31）便是（2.30）的特征值问题，其解为2)2(πλn n =， x n x X n 2sin )(π=， 1≥n .将n λ代入到（2.32）中得0)()("=-y Y y Y n λ ， （2.33） 该方程有两个线性无关解y n e2π，y n e2π-. 由于2n shy π，2n ch y π也是（2.33）的解且线性无关，故（2.33）通解为y n ch d y n shc y Y n n n 22)(ππ+=. 令11(,)()()()sin 222n n n n n n n n n u x y X x Y y c shy d ch y x πππ∞∞====+∑∑ (2.34) 则),(y x u 满足（2.30）中方程和关于x 的齐次边界条件. 利用关于y 的边界条件可如下确定n c ，n d ，∑∞==12sin1n n x n d π, ))1(1(22sin 12220nn n d n d --=⨯=⎰πααπ. （2.35） x n n ch d n shc x x n n n ∑∞=+=-12sin )22()1(πππ,22))1(1(22)1(416)1(163322ππππππn sh n chn n sh n n c n n n n -------= . （2.36） 故（2.30）解为1(,)()sin ,222n n n n n n u x y c shy d ch y x πππ∞==+∑ （2.37） 其中n c ，n d 由（2.36）和（2.35）确定.对于圆域，扇形域和圆环域上的Poisson 方程边值问题，求解方法和矩形域上的定解问题无本质区别，只是在此时要利用极坐标.同学们自己可验证：令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，则有θθρρρρρu u u u u yy xx 211++=+.令)()(),(θρθρΦ=R u ，将其代入到极坐标下的Laplace 方程中得"'"211()()()()()()0R R R ρθρθρθρρΦ+Φ+Φ=,"'"211(()())()()()0R R R ρρθρθρρ+Φ+Φ=,"'"21()()()1()()R R R ρρθρλθρρ+Φ=-=-Φ,故有0)()("=Φ+Φθλθ, （2.38）222330216(1)164(1)(1)sin ,2222n nn n n n n n c sh d ch d n ππππααααπ----+=-=⎰0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.39）方程（2.38）结合一定的边界条件便得相应定解问题的特征值问题,而 （2.39）是欧拉（Euler ）方程. 对（2.39）作自变量变换s e =ρ可得s e =ρ ， ρln =s ,'1s dR dR ds R d ds d ρρρ==, 2222'''2222211()ss s d R d R ds dR d s R R d ds d ds d ρρρρρ=+=-. 将以上各式代入到（2.39）得''0ss R R λ-= . （2.40） 例2.5 求下面扇形域上Dirichlet 问题22220, 0, 0, 4(,0)0, 0 2(0,)0, 0 2 (,), 4. xx yy u u x y x y u x x u y y u x y xy x y ⎧+=>>+<⎪=≤≤⎪⎨=≤≤⎪⎪=+=⎩ （2.41）的有界解.解 令θρcos =x ，θρsin =y 作自变量变换，（2.41）转化为2110, 0, 0 2 2(,0)0, (,)0, 022(2,)2sin 2, 0.2u u u u u u ρρρθθπθρρρπρρρπθθθ⎧++=<<<<⎪⎪⎪==≤≤⎨⎪⎪=≤≤⎪⎩（2.42）令)()(),(θρθρΦ=R u 代入到（2.42）中的方程，并结合边界条件可得"()()0, 0<</2(0)0, (/2)0.θλθθππ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ=⎩ （2.43）0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.44） （2.43）便是（2.42）的特征值问题.求解特征值问题（2.43）可得224)2/(n n n ==ππλ ， θθn n 2sin )(=Φ ， 1≥n .将n λ代入到（2.44）中，并令s e =ρ作自变量变换可得"240ss R n R -=,2222()ns ns n n n n n n n R c e d e c d ρρρ--=+=+.由于是求（2.42）的有界解，故有∞<)0(R ，即0=n d . 从而有n n n c R 2)(ρρ=.上面求出的(,)()()n n n u R ρθρθ=Φ对每个1n ≥都满足（2.42）中的方程和齐次边界条件，由叠加原理得∑∑∞=∞==Φ=1212sin )()(),(n n n n n n n c R u θρθρθρ, （2.45）也满足（2.42）中的方程和齐次边界条件.为使（2.42）中的非齐次边界条件(2,)2sin u θθ=得以满足，在（2.45）中令2ρ=得212sin 22sin 2n n n c n θθ∞==∑， （2.46）比较上式两边特征函数θθn n 2sin )(=Φ的系数得 112c =， 1)( 0≠=n c n . 将1c ，1)(≠n c n 代入到（2.45）中便得（2.42）的解为θρθρ2sin 21),(2=u . 例2.6 求解圆域上Dirichlet 问题 2110, 0, 02 (,)(), 02.u u u a u a ρρρθθρθπρρθϕθθπ⎧++=<<≤<⎪⎨⎪=≤≤⎩（2.47） 解 圆域上的函数(,)u ρθ相当于关于变量θ具有周期2π. 令)()(),(θρθρΦ=R u 并代入到（2.46）中的方程可得"()()0() (2).θλθθπθ⎧Φ+Φ=⎨Φ=Φ+⎩ （2.48）0)()()('"2=-+ρλρρρρR R R . （2.49）（2.48）是定解问题（2.47）的特征值问题. 由定理1.3知（2.48）的解为2, ()c o s s i n ,n n n n n c n d n n λθθθ=Φ=+≥. 将n λ代入到（2.49）中可得(要利用自然边界条件(0,)u θ<∞)00)(c R =ρ,n n n c R ρρ=)(，1≥n利用叠加原理可得（2.47）的如下形式解∑∞=++=10)sin cos (),(n n n n n d n c c u θθρθρ . （2.50）根据边界条件)(),(θϕθ=a u 得01()(cos sin )n n n n c a c n d n ϕθθθ∞==++∑,其中2001()2c d πϕττπ=⎰, ⎰=πτττϕπ20cos )(1d n a c n n ,⎰=πτττϕπ20sin )(1d n a d n n .将以上各式代入到（2.50）中便得（2.47）的解为2 2 0111(,)()()(()cos cos 2nn u d n d n aππρρθϕττϕτττθππ∞==+∑⎰⎰)sin sin )(12 0 ⎰+πθτττϕπn d n . （2.51）注4 利用等式)Re()(cos 1)(1∑∑∞=-∞==-n in n n n e c n c τθτθ可将（2.51）化为如下形式2222201()()(,),22cos()a u d a a πρϕτρθτπρρθτ-=+--⎰（2.52）式（2.52）称为圆域上调和函数的Poisson 公式. 在后面学习中还将用其它方法导出它.注5 在例2.5和例2.6中，如果方程中自由项),(θρf 不为零，若),(θρf 特殊，可用函数代换将自由项化为零而转化齐次方程. 对于一般的),(θρf ，要利用特征函数方法求解.注6 上面例2.3—例2.6几个定解问题的求解思想和主要过程，是伟大的数学家和物理学家Fourier 给出的，详细内容见参考文献[5]. 在这部著名论著中，Fourier 首次利用偏微分方程来研究热问题，并系统地介绍了分离变量法的基本思想和主要步骤.结合本节所举例子，请同学们小结一下在本章所学过的特征值问题，二阶常系数非齐次常微分方程和欧拉方程的求解方法. 习 题 二1. 设有如下定解问题2(,), 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x t u a u f x t x l t u t u l t t u x x u x x x l ϕψ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩利用分离变量法导出该定解问题的特征值问题并求解.2.求解下列特征值问题（1） "''()()0, 0(0)()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎪⎨==⎪⎩ （2） "()()0, 1 1(1)0,(1)0X x X x x X X λ⎧+=-<<⎨-==⎩（3） "()()0, 0'(0)0, ()0.X x X x x l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩（4） "()()0, 02(0)(2), '(0)'(2).X x X x x l X X l X X l λ⎧+=<<⎨==⎩3*考虑下面特征值问题"()()0, 0(0)0, '()()0.X x X x x l X X l X l λ⎧+=<<⎨=+=⎩ （1）证明一切特征值0.λ>（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的. （3）求出所有的特征值和相应的特征函数.4． 设(),()p x q x 在区间[0,]l 一阶连续可导且()0,()0.p x q x >≥ 考虑如下特征值问题[()()]()()(), 0(0)0, ()0.dd p x X x q x X x X x x l dxdx X X l λ⎧-+=<<⎪⎨⎪==⎩ （1）证明一切特征值0.λ≥（2）证明不同的特征值对应的特征函数是正交的. 5．求解下列弦振动方程的定解问题（1） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx x x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x l ⎧-=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（2） 20, 0<, 0(0,)0, (,)0, 035(,0)sin , (,0)sin , 0.22tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x x u x x x l l l ππ⎧⎪-=<>⎪==≥⎨⎪⎪==≤≤⎩（3） 240, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0), (,0)0, 0 1.tt xx t u u u x t u t u t t u x x x u x x ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=-=≤≤⎩（4） 242sin , 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)0, (,0)0, 0.tt xx x x t u u u x x t u t u t t u x u x x πππ⎧--=<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩（5） 22, 0, 0 (0,) (,)0, 0(,0)0, (,0), 0.tt xx x t u a u x l t u t u l t t u x u x A x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩6．求解下列热传导方程的定解问题（1） 2cos , 0<, 02(0,)1, (,), 0(,0)0, 0<.t xx x x u a u x t u t u t t u x x ππππ⎧-=<>⎪⎪==≥⎨⎪=<⎪⎩（2） 22, 0<1, 0(0,)0, (1,)0, 0(,0)sin , 0< 1.t xx x u a u u x t u t u t t u x x x π⎧-=<>⎪==≥⎨⎪=<⎩（3） 220, 0<, 0(0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx u a u b u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧-+=<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（4） 2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)1, 0.t xx x x u a u xt x l t u t u l t t u x x l ⎧-=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩7. 求解下面位势方程定解问题（1） , 0, 0 (,0)0, (,)0, 0(0,)0, (,), 0.xx yy y y u u x x a y b u x u x b x a u y u a y Ay y b +=<<<<⎧⎪==≤≤⎨⎪==≤≤⎩（2）22220, 0, , 4 (,0)0, 02, (,)0, 0(,), 4.xx yy u u y x y x y u x x u x x x u x y x y x y ⎧+=>>+<⎪⎪=≤≤=≤≤⎨⎪=++=⎪⎩（3） 22220, 4 (,)1, 4.xx yy u u x y u x y x x y ⎧+=+<⎪⎨=++=⎪⎩ （4） 222222, 1< 4 (,)0, 1 (,), 4.xx yy u u xy x y u x y x y u x y x y x y ⎧+=+<⎪⎪=+=⎨⎪=++=⎪⎩8*设()x ϕ在区间[0,]l 的Fourier 展开式为1()sin ,k k k x x c l πϕ∞==∑ （6.1） 其部分和为1()sin ,n n k k k x S x c l π==∑ 求解或证明以下结果. （1）设()[0,]x C l ϕ∈，求20[()()]l n x S x dx ϕ-⎰. （2）证明下面贝塞尔（Bessel ）不等式22012().l k k c x dx l ϕ∞=≤∑⎰ （6.2） （3）设2()[0,]x C l ϕ∈，()x ϕ的二阶导数的Fourier 展开式为1''()sin ,n n n x x d l πϕ∞==∑ 如果 (0)()0l ϕϕ==，利用分部积分法证明 2, 1,n n d An c n =≥ （6.3）其中A 为正常数.（4）利用（6.2）和（6.3）证明（6.1）中的三角级数在区间[0,]l 上一致收敛，并且可以逐項求导.9*考虑如下定解问题2, 0, 0 (0,)0, (,)0, 0(,0)(), 0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1） 给出该定解问题的物理解释.（2） 当经过充分长的时间后，导热杆上的温度分布(,)u x t 如何？（3） 求极限lim (,)t u x t →+∞. 10*考虑如下定解问题2, 0, 0 (0,), (,), 0(,0)(), 0.t xx x u a u x l t u t A u l t B t u x x x l ϕ⎧=<<>⎪==≥⎨⎪=≤≤⎩（1）给出该定解问题的物理解释.（2）求极限lim (,)t u x t →+∞. 11*考虑下面定解问题20, 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0), (,0)0, 0.tt xx t t u u u u x t u t u t t u x x u x x πππ-++=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （1）解释该定解问题方程中各项的物理意义.（2）推导出问题的特征值问题并求解.（3）写出该问题解的待定表示式并求出表达式中第一特征函数的系数. 12*考虑下面定解问题(,), 0<, 0(0,)(,)0, 0(,0)(), (,0)(), 0.tt xx x x t u u f x t x t u t u t t u x x u x x x ππϕψπ-=<>⎧⎪==≥⎨⎪==≤≤⎩ （12.1） （1）写出该定解问题的特征值和特征函数 ,(),0.n n X x n λ≥（2）如果()0,()0x x ϕψ==，而(,)f x t t =，求解该定解问题.（3）如果(,)0f x t =，证明 0τ∀>，下面等式222200[(,)(,)][()()]l lt x x u x u x dx x x dx ττψϕ+=+⎰⎰， （12.2） 成立，解释该等式的物理意义.（4）证明（12.1）的解是唯一的.。
