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多项式的根

多项式的根
例2.10 验证2是不是多项式 f (x) 2x4 8x3 9x2 4x 4
的根.如果2是f ( x)的根，试确定其重数k,并把f ( x) 表示成f ( x) ( x - 2)k g( x)的形式.
2.6.3 多项式的根的个数
定理2.12 设f (x) F[x].如果0 f (x) n n 0，
若
f x g x,
则 f (c) g (c).
2.6.2 余式定理和因式定理
定理2.10（余式定理） 一次多项式x c
除多项式f x所得余式为f (c).
定义2.1 设f (x) F[x], c F . 如果 f (c) 0, 则称c是f (x)在F中的一个根.
定理2.11(因式定理) 设f ( x) F[x], c F . c是f ( x)的根当且仅当x - c是f ( x)的因式.
定义 设f ( x) F[x], c F .如果(x c)是f ( x)
的k重因式,则称c是f ( x)的k重根. 当k 1时，c称为 f ( x)的一个单根; k 1时，c 称为f ( x)的重根, k称为 c 的重数.
那么f (x)在F中最多有n个根(k重根按k个计).
推论2.12.1设f ( x) F[ x]. f ( x) 0当且仅当f ( x)在 F中有无穷多个根.
推论2.12.2 设f ( x), g( x) F[ x]. f ( x) g( x)当且 仅当它们确定的两个多项式函数相等.
推论2.12.3 设f ( x), g( x)是数域F上两个次数 n 的多项式. 如果对于F中n 1个不同的数c1,L ,cn1,有
说明：由. 推论2.12.3，数域F上满足以上条 件的多项式至多存在一个.事实上，利用拉格朗 日插值公式或待定系数法可以确定一个多项式.

多项式课件-新人教版

多项式课件-新人教版

公式法
公式法是一种基于数学公式进行多项 式因式分解的方法。根据公式，我们 可以将多项式表示为几个整式的积的 形式。常用的公式包括平方差公式、 完全平方公式等。
例如，多项式$a^2 - b^2$可以分解 为$(a + b)(a - b)$，其中使用了平方 差公式。
十字相乘法
01
十字相乘法是一种通过将二次项 和常数项拆分成两个数的乘积， 然后交叉相乘得到一次项系数， 从而找到因式分解结果的方法。
02 多项式的加减法
同次多项式的加减法
同次多项式是指各个项的次数相同的 多项式，例如$2x^3 - 3x^3$。同次 多项式的加减法可以通过系数相加减 ，字母部分不变的方式进行计算。
计算方法：将同次多项式的系数进行 加减运算，例如$2x^3 - 3x^3 = (23)x^3 = -x^3$。
不同次多项式的加减法
解法
通过移项和合并同类项，将方程化为标准形式 ax+b=0，然后求解x=-b/a（当a≠0）。
3
实例
2x+5=0的解是x=-5/2。
一元二次方程的解法
01
定义
一元二次方程是只含有一个未知数，且该未知数的次数为2的方程。
02
解法
通过因式分解或配方法，将方程化为标准形式ax^2+bx+c=0，然后求
解x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a。
合并同类项
合并同类项是指将多项式中相同或相似项进行合并，例如 $2x^2 + 4x^2 + 6x^2$。合并同类项可以简化多项式，使 其更易于计算和理解。
计算方法：将多项式中相同或相似项的系数进行相加或相减 ，字母部分不变。例如$2x^2 + 4x^2 + 6x^2 = (2+4+6)x^2 = 12x^2$。

高等代数课件 第二章

高等代数课件 第二章

三、 多项式的带余除法定理
定理 设f x, gx F[x] ，且 gx 0，则存在
qx, rxF[x], 使得
f x gxqx rx
这里 rx 0，或者 0 rx 0 gx. 并且满足上述条件的 qx和r(x) 只有一对。
注1： qx, rx分别称为 gx除f (x)所得的商式和
余式
注2： gx 0, gx| f x rx 0.
使以下等式成立:
f xux gxvx dx
三、多项式的互素
1. 互素的定义
定义 3 如果 Fx 的两个多项式除零次多项式外
不再有其它的公因式，我们就说，这两个多项式互素.
2. 互素的性质
(1)定理 2.3.3 Fx的两个多项式 f x与gx 互素
的充分且必要条件是：在 Fx中可以求得多项式 ux
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素概念. 2.熟练掌握辗转相除法 3.会应用互素的性质证明整除问题
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式. 证明整除问题
一、最大公因式的定义
定义 1 令 f x和 gx是F [x]的两个多项式，若 是F [x]的一个多项式hx 同时整除 f x和gx ，那么 hx 叫做 f x与gx的一个公因式.
f1x, f2 x,, fk x,及 q1x, q2 x,, qk x,
使得
fk1x fk x qk1xgx
而
0 f x 0 f1x 0 gx
由于多项式 f1x, f2x,的次数是递降的, 故存在k使
fk x 0或0 fk x 0gx ，于是
qx q1x qk x及rx fk x
系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。 2．熟练运用带余除法。

《多项式概念》课件

《多项式概念》课件

根的性质
多项式的根可以是实数、复数或分数，取决 于多项式的系数和指数。
根的求法
通过代入法或因式分解法等数学方法，可以 求出多项式的根。
多项式的因式分解
定义
因式分解是将一个多项式表示为几个整式的积的形式 。
因式分解的方法
包括提公因式法、分组分解法、十字相乘法、公式法 等。
因式分解的意义
因式分解有助于理解和分析多项式的结构，简化计算 和证明。
。
一次多项式的根（即解）是直线与$x$轴的交点，解的个数为1
03
或2。
二次多项式
01
二次多项式是只包含一个变量最高次幂为2的多项式，形如 $ax^2 + bx + c$，其中$a neq 0$。
02
二次多项式在平面坐标系中表示一个抛物线。
03
二次多项式的根的个数最多为2个，且一定是一对共轭复数 。
多项式的最大公因式
定义
最大公因式是指两个或多个多项式中共同的因 式中次数最高的一个。
最大公因式的求法
通过辗转相除法或分组法等数学方法，可以求 出多项式的最大公因式。
最大公因式的应用
最大公因式在简化多项式、解方程和证明等领域有广泛应用。
THANKS
感谢观看
多项式的根表示与坐标轴的交点，即曲线与坐标轴的交点。
微积分性质
多项式函数的积分也是多 项式函数。
多项式函数的导数仍然是 多项式函数。
多项式函数是可微的，即 其导数存在。
01
03 02
03
CATALOGUE
多项式的运算
多项式的运算
• 多项式是数学中一个基本概念， 通常表示为有限个单项式的代数 和。每个单项式由一个系数和一 个变量幂次相乘得到。例如，多 项式 (2x^3 + 3x^2 - 4x + 5) 包 含四个单项式。

第一讲-高等代数选讲之多项式理论

第一讲-高等代数选讲之多项式理论

4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3

例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。

高等代数02多项式

高等代数02多项式

注意： 注意：
定理2.3.2的逆命题不成立.但是当（2）式成立，而d(x)是f(x)与 g(x)的一个公因式时， d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式. 定义3 定义3 F[X]的两个多项式 与 互素的充分必要条件是： F[X]的两个多项式f(x)与g(x)互素的充分必要条件是：在 的两个多项式 互素的充分必要条件是 F[X]中可以求得多项式u(x)与v(x)，使 中可以求得多项式u(x) 中可以求得多项式u(x)与v(x)， f(x)u(x)+g(x)v(x)=1
最大公因式的定义可以推广到n（n>2）个多项式的情形： n n>2） 若是多项式h(x)整除多项式中 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的每一个，那么 h(x)叫做这n个多项式的一个公因式.若是 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的公因式d(x)能被这n多个多项式的每一个公因式整除，那么d(x)叫 做 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的一个最大公因式。 容易推出：若d0 ( x)是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x ) 的一个最大公因式 容易推出 那么 d 0 ( x) 与多项式f(x)的最大公因式也是多项式 f1 ( x), f 2 ( x),L f n ( x) 的最大公因式。
§2.4 多项式的分解
我们知道，给了F(X)的任何一个多项式f(x)，那么的任何不为零 的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c与f(x)的成绩cf(x)也总是f(x)的因 式.我们f(x)把的这样的因式叫做他的平凡因式 平凡因式. 平凡因式 定义 令f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在F[X] f(x)是F[X]的一个次数大于零的多项式.若是f(x)在 的一个次数大于零的多项式 f(x) 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域 上不可约. f(x)除平凡 就是说在数域F 中只有平凡因式，f(x)就是说在数域F上不可约.若f(x)除平凡 饮食外， F[X]中还有其它因式 f(x)就是说在 上可约。 中还有其它因式， 就是说在F 饮食外，在F[X]中还有其它因式，f(x)就是说在F上可约。 对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也 不能说它们是不可约的。在任一多项式环F[X]中都存在不可约多 项式，因为F[X]的任何一个一次多项式总是不可约的. 注意： 注意：我们只能对给定的数域来谈论多项式可约或不可约

多项式函数的因式分解与根的性质

多项式函数的因式分解与根的性质多项式函数是数学中的重要概念，它在代数学、微积分和数值计算等领域都有广泛的应用。

在多项式函数中，因式分解是一项重要的操作，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

本文将探讨多项式函数的因式分解以及与根的性质之间的关系。

一、多项式函数的因式分解多项式函数是由常数项、各次幂项和系数相乘得到的表达式。

例如，f(x) =ax^n + bx^{n-1} + ... + k，其中a、b、k为常数，n为正整数。

多项式函数的因式分解是将一个多项式函数表示为若干个因子的乘积的形式。

在进行因式分解时，我们可以利用多项式函数的根来确定因子。

根是指多项式函数f(x) = 0的解，即满足f(x) = 0的x值。

如果一个多项式函数有一个根为x = a，那么它可以被(x - a)整除，即f(x) = (x - a)g(x)，其中g(x)是一个次数比f(x)低的多项式函数。

这就是多项式函数的因式定理。

根据因式定理，我们可以通过反复使用因式定理将一个多项式函数进行因式分解。

例如，对于多项式函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 6，我们可以先找到一个根为x= 2，然后将f(x)除以(x - 2)，得到商式为x^2 - x + 3。

继续寻找商式的根，我们可以得到另一个根为x = -1。

再次使用因式定理，我们将商式除以(x + 1)，得到最终的因式分解形式为f(x) = (x - 2)(x + 1)(x - 3)。

二、根的性质与多项式函数的因式分解根是多项式函数的重要性质之一，它与多项式函数的因式分解密切相关。

根的性质可以帮助我们确定多项式函数的因子及其个数。

首先，根与因式的关系。

如果一个多项式函数f(x)有一个根为x = a，那么它可以被(x - a)整除，即f(x) = (x - a)g(x)，其中g(x)是一个次数比f(x)低的多项式函数。

这意味着a是f(x)的一个因子，而g(x)是f(x)的一个较低次数的因式。

多项式函数与根的性质与运算

多项式函数与根的性质与运算知识点：多项式函数的定义知识点：多项式函数的图像特点知识点：多项式函数的导数知识点：多项式函数的极值知识点：多项式函数的零点知识点：多项式函数的根的性质知识点：多项式函数的根的分布知识点：多项式函数的根的运算知识点：多项式函数的因式分解知识点：多项式函数的系数与根的关系知识点：多项式函数的定理知识点：多项式函数的应用知识点：一元二次函数的定义知识点：一元二次函数的图像特点知识点：一元二次函数的导数知识点：一元二次函数的极值知识点：一元二次函数的零点知识点：一元二次函数的根的性质知识点：一元二次函数的根的分布知识点：一元二次函数的根的运算知识点：一元二次函数的因式分解知识点：一元二次函数的系数与根的关系知识点：一元二次函数的定理知识点：一元二次函数的应用知识点：一元三次函数的定义知识点：一元三次函数的图像特点知识点：一元三次函数的导数知识点：一元三次函数的极值知识点：一元三次函数的零点知识点：一元三次函数的根的性质知识点：一元三次函数的根的分布知识点：一元三次函数的根的运算知识点：一元三次函数的因式分解知识点：一元三次函数的系数与根的关系知识点：一元三次函数的定理知识点：一元三次函数的应用知识点：一元四次函数的定义知识点：一元四次函数的图像特点知识点：一元四次函数的导数知识点：一元四次函数的极值知识点：一元四次函数的零点知识点：一元四次函数的根的性质知识点：一元四次函数的根的分布知识点：一元四次函数的根的运算知识点：一元四次函数的因式分解知识点：一元四次函数的系数与根的关系知识点：一元四次函数的定理知识点：一元四次函数的应用知识点：多项式函数与一元二次函数的关系知识点：多项式函数与一元三次函数的关系知识点：多项式函数与一元四次函数的关系知识点：多项式函数的根与系数的关系知识点：多项式函数的根与图像的关系知识点：多项式函数的根与导数的关系知识点：多项式函数的根与零点的关系知识点：多项式函数的根与极值的关系知识点：多项式函数的根与因式分解的关系知识点：多项式函数的根与定理的关系知识点：多项式函数的根与应用的关系知识点：多项式函数的求根公式知识点：多项式函数的求根公式的推导知识点：多项式函数的求根公式的应用知识点：多项式函数的求根公式的局限性知识点：多项式函数的求根方法知识点：多项式函数的求根方法的比较知识点：多项式函数的求根方法的选取知识点：多项式函数的求根方法的优劣知识点：多项式函数的求根方法的适用范围知识点：多项式函数的求根方法的注意事项知识点：多项式函数的根的判别式知识点：多项式函数的根的判别式的定义知识点：多项式函数的根的判别式的性质知识点：多项式函数的根的判别式的计算知识点：多项式函数的根的判别式的应用知识点：多项式函数的根的判别式的局限性知识点：多项式函数的根的判别式与根的关系知识点：多项式函数的根的判别式与系数的关系知识点：多项式函数的根的判别式与图像的关系知识点：多项式函数的根的判别式与导数的关系知识点：多项式函数的根的性质知识点：多项式函数的根的性质的定义知识点：多项式函数的根的性质的性质知识点：多项式函数的根的性质的计算知识点：多项式函数的根的性质的应用知识点：多项式函数的根的性质的局限性知识点：多项式函数的根的性质与根的关系知识点：多项式函数的根的性质与系数的关系知识点：多项式函数的根的性质与图像的关系知识点：多项式函数的根的性质与导数的关系知识点：多项式函数的根的运算知识点：多项式函数的根习题及方法：定义一个多项式函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 6x - 1，求f(x)的导数。

多项式函数与根的分布与像的分析

多项式函数与根的分布与像的分析多项式函数是数学中一类非常重要的函数形式，它们在各个领域都有广泛的应用。

在研究多项式函数时，人们常关注它的根的分布和像的特性。

本文将从这两个方面进行分析。

一、多项式函数的根的分布多项式函数的根是指使得函数等于零的自变量值。

通过观察多项式函数的图像和解析表达式，我们可以得到一些有关根的信息。

1. 根的个数对于一个n次多项式函数，其最多有n个根。

这是因为一个n次多项式函数的图像最多与x轴交于n个点。

但是，根的个数可能小于n。

根的个数与多项式函数的最高次项系数相关，根据代数学基本定理，如果多项式函数的系数都是实数，那么它的根的个数与它的次数相等。

2. 根的分布多项式函数的根的分布对于理解函数的性态非常重要。

通过观察多项式函数的图像，我们可以大致了解根的分布情况。

对于二次多项式函数，它的根可能是实数或者复数。

如果判别式大于零，那么它有两个不相等的实根；如果判别式等于零，那么它有两个相等的实根；如果判别式小于零，那么它有两个共轭的复根。

对于高次多项式函数，根的分布就更加复杂了。

然而，根的分布与多项式函数的系数之间存在一些关系，比如可以利用标准形式、综合定理等方法来推断根的分布情况。

二、多项式函数的像的分析多项式函数的像指的是函数取遍的所有值。

通过分析多项式函数的像，我们可以了解其图像的特点以及函数的性质。

1. 探讨函数的最值通过求导和求解一阶导数的零点，我们可以找到多项式函数的极值点。

进一步分析这些极值点，可以确定函数的最大值和最小值。

这些信息有助于我们了解多项式函数的振荡情况和最值的取向。

2. 研究函数的单调性多项式函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。

通过求解导函数的零点，我们可以找到多项式函数的单调区间。

同时，我们还可以使用二阶导数来确定函数的凹凸性。

这些分析可以帮助我们确定多项式函数的变化趋势和弯曲程度。

3. 多项式函数的图像特征根据多项式函数的系数和次数，我们可以确定其图像的特征。

多项式课件


高次多项式
总结词
复杂函数关系
详细描述
高次多项式的一般形式为 a_nx^n+a_(n-1)x^(n1)+...+a_1x+a_0，其中 n>2。它描 述的函数关系比一次和二次多项式更 为复杂，可以表示各种不同的数学关 系和物理现象。
04
多项式的因式分解
因式分解的定义与性质
总结词
理解因式分解的概念和性质是掌握因 式分解方法的基础。
02
多项式的表示方法
代数表示法
代数表示法是用字母和数字的组合来表示多项式，例如： $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$。这种表示方法可以清晰 地展示多项式的各项系数和指数，方便进行代数运算和解析 。
代数表示法的优点是简洁明了，易于理解和计算。它适用于 需要精确表达多项式数学关系的情况，如数学公式、定理证 明等。
表格表示法是将多项式的系数以表格的形式呈现出来，方便进行对比和查找。这 种表示方法适用于需要展示多项式系数的详细情况，如数据统计、表格报告等。
表格表示法的优点是详细全面，能够清晰地展示多项式的各项系数。它适用于需 要精确记录多项式系数的情况，如科学实验、工程设计等。
03
多项式的分类
一次多项式
总结词：线性关系
应用数学
在应用数学中，求根公式广泛 应用于物理、工程等领域。
06
多项式的应用
在数学中的应用
代数方程
多项式是代数方程的基本 组成部分，用于表示和解 决各种数学问题。
函数
多项式可以用来表示连续 函数，有助于理解函数的 性质和图像。
微积分
多项式在微积分中用于近 似复杂函数的积分和导数 。
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有重根？
由于多项式 f x 有无重因式与系数域无关，而
f x有无重根与系数域有关，故 f x 有重根
f x 有重因式，但反之不对。
第一章 多项式
定理1.7.3（根的个数定理）：数域F上 nn 0
次多项式至多有n个根（重根按重数计算）。 证明（用归纳法）： 当 n 0 时结论显然成立，数等Βιβλιοθήκη 分解式中一次因式的个数，这个数目当然不
超过n。
定理1.7.4：设 f x, g xF x, 它们的次数都不
超过n，若在F中有n+1个不同的数使 f x 与 g x 的值相等，则 f x g x 。
证明： 令 ux f x g x,
若 u x 0, 又ux n,
第一章 多项式
由于F中有n+1个不同的数，使 f x与 g x 的值相等，
例1.7.3：求一个次数小于3的多项式 f x,
使 f 2 7, f 1 2, f 2 1。
解一（待定系数法）：设所求的多项式
f x ax2 bx c,
第一章 多项式
由已知条件得线性方程组：
4a 2b c 7
abc 2
4a 2b c 1
解之得
a
7 6
b
3 2
c
2 3
c F, 作映射f：
c f cF
映射f确定了数域F上的一个函数 f x, f x 被称
为F上的多项式函数。
第一章 多项式
当F=R时，f x 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 ux f x gx,vx f xgx, 则uc f c gc,vc f cgc.
二、余式定理和综合除法 定理1.7.1（余式定理）：用一次多项式x-c去
故 ux 有n+1个不同的根，这与定理1.7.3矛盾， 故 u x 0, 即 f x g x
问题3、设 a1, a2 , , an 是F中n个不同的数，
b1,b2, ,bn 是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项
式 f x，使
f ai bi, i 1, 2, ,n
利用定理1.7.4可求一个n-1次多项式 f x, 使
x c q x r b0xn b1 cb0 xn1 bn1 cbn2 x r cbn1.
把 f x,qx 代入 f x x cqx r
中展开后比较方程两边的系数得：
a0 b0
b0 a0
第一章 多项式
a1 b1 cb0
a2 b2 cb1
b1 a1 cb0
b2 a2 cb1
an1 bn1 cbn2
bn1 an1 cbn2
an r cbn1
r an cbn1
因此，利用 f x 与qx 之间的系数关系可以方便
qx 和r，这就是下面的综合除法：
a0
a1
a2
an1
an
c
cb0 cb1
b0 a0 b1
b2
cbn2 cbn1
bn1
r
第一章 多项式
§1.7 多项式函数与多项式的根
一、多项式函数
1. 定义：设 f x a0 a1x anxn F x, 对
c F, 数 f c a0 a1c ancn F 称为当
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。
2. 定义（多项式函数）：设 f xF x, 对
于是得 q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1,
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2去除 f x x5 x3 2x2 8x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
2 4 10 16 48
1 2 5 8 24 53
因此 q x x4 2x3 5x2 8x 24
r 53
第一章 多项式
利用综合除法求 qx 与r时应注意：
1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；
2、除式 x b 要变为 x b
例1.7.2：把 f x x5 x3 2x2 8x 5 表成 x 2
的方幂和。
第一章 多项式
定理1.7.2（因式定理）：多项式 f x 有一个 因式 x c 的充要条件是 f c 0。
f ai bi , i 1, 2, ,n
第一章 多项式
作函数
f
x
n i1
bi x a1 ai a1
x ai1 x ai1 ai ai1 ai ai1
则 f ai bi , i 1, 2, ,n
这个公式也称为Lagrange插值公式。
x an ai an
除多项式 f x, 所得的余式是 f c 。 证：由带余除法：设 f x x cqx r, 则 r f c。
第一章 多项式
问题1、有没有确定带余除法：
f x xcqxr
中 qx 和 r 的简单方法？
设 f x a0xn a1xn1 an1x an q x b0xn1 b1xn2 bn2x bn1
证明：设 f x x cqx r, 若 f c 0, 即 r 0,
故x c 是 f x 的一个因式。
若f x 有一个因式 x c, 即 x c f x,
故r 0, 此即 f c 0 。
由此定理可知，要判断一个数c是不是 f x 的根，
可以直接代入多项式函数，看f x 是否等于零；也可
以利用综合除法来判断其余数是否为零。
第一章 多项式
三、多项式的根
定义3：若 x c 是 f x 的一个k重因式，即有 x ck f x, 但 x c k1 f x, 则 x c 是 f x
的一个k重根。
问题2、 若多项式 f x 有重根，能否推出 f x 有重因式，反之，若 f x 有重因式，能否说 f x
解二（利用Lagrange公式）：
第一章 多项式
利用Lagrange插值公式可得：
假设当 f x是 n 1次多项式时结论成立， 则当 f x是n次多项式时，
设c F是 f x 的一个根，则有 f x x cqx
qx是n-1次多项式，由归纳知 qx 至多只有
n 1个根，故 f x 至多只有n个根。
第一章 多项式
证二：对零次多项式结论显然成立，
若 f x 是一次数>0的多项式，把 f x 分解成 不可约多项式的乘积，这时 f x 在数域F中根的个